so hang tong quat cua day so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Số hạng tổng quát của dãy só truy hồi ìï u = 1 ï 1 ,"n Î N * í ïï un+1 = 2.un + 3 xác định bởi î . Tìm số hạng thứ. (u ) Ví dụ mở đầu: Cho dãy số n 100 của dãy. Lời giải: u Rõ ràng việc tìm 100 của dãy truy hồi thì ta phải tìm được 99 số hạng trước nó. Việc làm như thế sẽ mất rất nhiều thời gian. Nên suy nghĩ phải tìm một giải pháp khác tối ưu hơn là đi tìm số hạng tổng quát của dãy.!!! u = 1;u2 = 5;u3 = 13;u4 = 29;u5 = 61 Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy là 1 u = 2n+1 - 3, " n Î N *, ( 1) Dự đoán: số hạng tổng quát n Bây giờ ta dùng quy nạp chứng minh dự đoán trên: u =1  Với n = 1 ta có: 1 đúng với dự đoán (1) . u = 2k+1 - 3, " k Î N * Giả sử (1) đúng với n = k , ta có: k. u = 2k+2 - 3, " k Î N *  Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là chứng minh: k+1 Thật vậy ta có:. (. ). uk+1 = 2uk + 3 = 2. 2k+1 - 3 + 3 = 2k+2 - 3, " k Î N * n+1. Theo nguyên lý quy nạp ta có:. un = 2. (đúng). - 3, " n Î N *. u = 2101 - 3 Vậy số hạng thứ 100 của dãy là 100 Vấn đề đặt ra ở đây là “Tại sao lại dự đoán được số hạng tổng quát như trên??” Thực ra việc tìm số hạn tổng quát của dãy số truy hồi “Thật sự không dễ chút nào” Nó là một vấn đề của toán học được các nhà toán học nghiên cứu rất nhiều có tên là “ Phương trình sai phân” Hôm nay tôi xin giới thiệu một bài toán nhỏ của phương trình sai phân bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy truy hồi “ Tuyến tính cấp 1” ìï u = a ï 1 , " n Î N *,( a, a, b Î R ) í ïï un+1 = aun + b u ( n) Bài toán 1: Cho dãy số xác định bởi î Khi đó số hang tổng quát của dãy truy hồi trên có dạng:. un = xa n + y, " n Î N *,( x,y Î R ). u ;u Để xác định được hệ số x,y ta chỉ cần thế hai giá trị của 1 2 . Việc còn lại là chứng minh quy nạp. ìï u = 2 ï 1 ,"n Î N * í ïï un+1 = 3un - 1 un ) ( Áp dụng: Cho dãy số xác định bởi î ìï u = 2 ìï 3x + y = 2 ìïï x = 1 ï 1 Û ïí Û íï í ï ï ïï y = 13 u = 5 9 x + y = 5 îï 2 îï un = x.3n + y ïî Khi đó số hạng tổng quát có dạng: ta có Vậy số hạng tỏng quát của dãy là. un = 3n- 1 + 1, " n Î N *.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Mở rộng tý: Nếu b không phải là số mà là một đa thức của n thì số hạng tổng quát có. u = xa n + f (n), " n Î N *,( x Î R ) f ( n) dạng n với đồng bậc với b . Mời các em đọc thêm về “ Phương trình sai phân tuyến tính về Bài toán số hạng tổng quát của dãy số” Một số bài tập: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau: ìï u = 2 ï 1 ,"n Î N * í ïï un+1 = 4un + 1 1. î ìï u = - 1 ï 1 ,"n Î N * í ïï un+1 = 2un - 3 2. î ìï u = 2 ï 1 ,"n Î N * í ïï un+1 = 3un + n 3. î ïìï u1 = 3 ,"n Î N * í ïï un+1 = 2un + 2n - 1 4. î ìï u = 2 ï 1 ,"n Î N * í ïï un+1 = nun + 1 5. î.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>