Chuyen de Gioi han day soTNGiai chi tiet

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số I. Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n dần tới vô cực ( n   ), nếu lim  un  L   0. Kí hiệu: n. lim  un   L hay u n  L khi n  +.. n.  Chú ý: lim  un   lim  u n  . n . 2. Một số định lý:  Định lí 1: Giả sử lim un  L , khi đó:  lim un  L ,lim 3 un  3 L  Nếu un  0, n  L  0 và lim un  L  Định   . lí 2: Giả sử lim un  L, lim vn  M , c  const. lim(un  vn )  L  M lim(un  vn )  L  M lim(un .vn )  L.M , lim c.un  c.L u L  lim n  ( M  0) vn M.  Định lí 3: Cho 3 dãy số (un ), (vn ),( wn ) . Nếu un  vn  wn , n và lim un  lim wn  L  lim vn  L.  Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … =. u1 1 q.  q  1. II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Dãy số có giới hạn  : lim un    mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. 2. Dãy số có giới hạn  : lim un    mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Chú ý: lim un    lim(un )   3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: o Qui tắc 1: lim un. lim vn. lim un .vn.  .  .  . Dấu của. lim un .vn. o Qui tắc 2: lim un. lim vn  L  .  .  . o Qui tắc 3: lim un  L  0. Dấu của L + -. lim vn  0, vn  0 Dấu của lim vn  . lim. un vn.  . Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này. Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: lim a.. 5n3  3n 2  6 4n 2  3n3  7n. b. lim. e. lim. lim. 6n 4  2n 2  1 1  5n 2  3n4 4n  2017. 2n2  n  3. c.. 3n2  2n  1. d. lim. 2n 2  3n  1 n2  1. n2  1  4n f. lim 3n  2. 2. 4n  1  n. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi:. 3 6  n3  5   3  5n  3n  6 n n  lim 2  lim  3 7  4n  3n  7 n 4 n3   3  2  n  n 3  lim 0  n  lim 6  0 3  Vì khi n   thì  n lim 4  0  n  7 lim 2  0  n 3. 2. 3 6 5  3 n n  5  lim 4 7 3 3 2 n n. b. Ta có biến đổi: 2 1   2 1 n4  6  2  4  6 2  4 6n  2n  1 6n  2n  1 n n  n n =-2 lim  lim = lim  lim  2 4 2 4 1 5 5 1  5n  3n 1  5n  3n  1   2 3 n4  4  2  3  4 n n n n  4. 2. 4. 2. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. 2  lim n2  0  1  Vì khi n   thì lim 4  0 n  5  lim n2  0 . c. Ta có biến đổi:   1 3  1 3  n2  2    2    n n2  n n2  2 2n  n  3 2n  n  3 lim  lim   lim   lim  2 1  2 1  3 3n2  2n  1 3n2  2n  1 2 n 3    3 n  2  n n2  n    2. 2. 1  lim n  0  lim 3  0 2  Vì khi n   thì  n lim 2  0  n  1 lim 2  0  n. d. Ta có biến đổi: 3 1   n 2  2   2  2n  3n  1 n n  lim  lim  2 1  n 1  n 2 1  2   n . 3 1  n n 2  2 1 1 2 n. 2 . 2.  lim. 3  lim n  0 Vì khi n   thì  lim 1  0  n2. e. Ta có biến đổi: 2017 4n  2017 4n  2017 4n  2017 4 n lim  lim  lim  lim  2 3 1 1 1  4n  1  n  n 4 2 n 4  2 1 n2  4  2   n n n n   4. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. 2017  lim n  0 Vì khi n   thì  lim 1  0  n2. f. Ta có biến đổi:. 1 n 2  1  4n 1 2  4 2 n  1  4n 1 4 5 n n lim  lim  lim   3n  2 2 3n  2 3 3 3 n n 1  lim n2  0 Vì khi n   thì  lim 2  0  n. Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: a. lim. n 4  3n 2  2 n3  2. 8n 4  3n 2  2n  1 lim b) 3  4n  2n 2. c. lim. 2n 4  n2  3 3n3  2n 2  1. 3n 4  2n  5 d. lim 2n 3  4. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 3 2 3 2    n 1  2  4  n 4 1  2  4  n  3n  2 n n   n n    lim = lim  lim  3 2 2  n 2  1 2 n3 1  2  n  n  3 2  1  2  4   n n  1 Vì lim n  . và lim 2 1 2 n 4. 2. b) Ta có biến đổi:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11.  8n 4 3n 2 2n 1  n  4  4  4  4 n n n  8n 4  3n 2  2n  1  lim  n lim 4n 2n 2  2 3 3  4n  2n 2 n  2 2 2  n n  n 4. 3 2 1  8 2  3  4  n n n  lim n 2  3 4   2  n2 n.       . 3 2 1  8 2  3  4  Do lim n 2   và lim  n n n 3 4   2  n2 n.   8000  4  0  002  . c. Ta có biến đổi:  1 3  1 3   n2    n4  2  2  4  2 2n  n  3 2n  n  3 n n4  n n   lim    lim  lim lim 3 2 1    2 1  3n3  2n2  1 3n  2n 2  1 n3  3   3  3    n n  n n3    4. 2. 4. 2. lim n    1 3   n2    1 3    n2 n4    2 2  4  2 lim   n n     0 . Nên  2 1  Vì lim  3   2 1  3   n n3  3  3   n n   . d. Ta có biến đổi: 3n 4  2n  5 lim  lim 2n 3  4. 2 5   2 5  n 4  3  3  4  3  3  4  n n   n n  lim n.  4 4    2 3 n3  2  3   n n  . 2 5   3  n 3  n 4 Do lim n   và lim  4  2 3  n.       .   3  0  0 3  0  20 2  . Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau: a. lim. 2n  1 n  2n  4. b. lim. 2. n5 3n3  1. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 2n 1 2 1  2  2 2 2n  1 n n n n  0 0 lim 2  lim 2  lim 2 4 1 n 2n 4 n  2n  4 1     n n2 n2 n2 n2. 2  lim n  0  1  Vì khi n   thì lim 2  0 n  4  lim n 2  0 . b. Ta có biến đổi: n 5 1 5  3  3 3 2 n5 n n n n  0 0 lim 3  lim 3  lim 1 3n 1 3n  1 3 3 3  3 3 n n n. 1  lim n 2  0  5  Do : Vì khi n   thì lim 3  0 n  1  lim n3  0 . Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút ra nhận xét như sau. + Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng  + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. + Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0. Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác. Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:. Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim a.. 2 3. 2n3  n 2  3n 1 bằng: 3n  2 c. . b. 0. d. 3. Đáp án: C. Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số dương và bậc cao nhất của mẫu là bậc 1 nên giới hạn này bằng  Bài tập 2: Giới hạn lim a. . b. . 1 4. n3  n 2  3n  1 bằng: 4n  2 c. . d. 0. Đáp án: A. Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số âm và bậc cao nhất của mẫu là bậc 1 nên giới hạn này bằng  Bài tập 3: Giới hạn lim a.. 3 2. b. . 1 4. 3n 2  n 1 bằng: 2n3  1 c. . d. 0. Đáp án: D. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba. Nên giới hạn này có giới hạn bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn lim a.. 3 2. b. . 3n 2  5n  1 bằng: 2n 2  n  3 d. . c. 0. 3 2. Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 2 . Nên giới hạn này bằng . Bài tập 5: Giới hạn lim a. 4. b.. 3 2. n4  n2  5 bằng: 2n3  7 n c. . 1 2. d. . Đáp án: C. 1 5 1 5    n 1  2  4  n 4 1  2  4  n n 5 n n   n n    Ta có: lim = lim  lim  3 7 7 2n  7 n  2 n3  2   n n  4. 2. 1 5  1  2  4  1  n n  Vì lim n  . và lim 7 2 2 n Bài tập 6: Giới hạn lim a.. 2 3. b. 3. 2n 2  n  3 3n2  2n  1. bằng: c. . 1 2. d. 0. Đáp án: A. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng 2 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng. 2n  1. Bài tập 7: Giới hạn lim a. . 3. n  4n2  3. b. 0. 2 3. bằng: c. 2. d.. 1 3. Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc 1 và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 0.. Bài tập 8: Giới hạn lim a.. 3 4. b.. 3n3  2n2  n n3  4. bằng: c. . 1 3. d. 3. Đáp án: D Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 3.. Bài tập 9: Giới hạn lim a. 4. b.. n4 (n  1)(2  n)(n2  1). bằng:. c. 1. 1 2. d. . Đáp án: C Bậc cao nhất của tử là bậc bốn có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc bốn có hệ số bằng 1 . Nên giới hạn này bằng 1.. Bài tập 10: Giới hạn lim. n2  1 2n 4  n  1. bằng:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. a.. c. . b. 0. 1 2. d. 1. Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc 4 nên giới hạn này bằng 0 Bài tập 11: Giới hạn lim a.-3. b.. 2n4  n2  3 3n3  2n2  1. bằng:. 4 3. c. . d. . 1 2. Vì bậc cao nhất của tử là bậc 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc 3 nên giới hạn này bằng  Bài tập 12: Giới hạn lim a. 2. 4n2  1  2n  1 n 2  4n  1  n. bằng:. c. . b. 4. d. 0. Đáp án: A. Sau khi biến đổi ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 2. Nên giới hạn này bằng 2. Thật vậy ta cần chứng minh : 4n2 2. lim. 4n  1  2n  1 n2  4n  1  n. Bài tập 13: Giới hạn lim a. 0.  lim. . n2. 1 n2. . 2n 1  n n. n2 4n 1 n    n2 n2 n 2 n. n2  3  n  4 n2  2  n. b. 1. 4  lim. 1. 2. 1 n. 4 n2  2 2 4 1 1  2 1 n n. bằng: c. 2. d. 4. Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên 3. Bài tập 14: Giới hạn lim. n2  1  n6 4. n 1  n. 2. bằng:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 a. 0. b. 1. c. 2. d. 4. Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên. (2n n  1)( n  3) bằng: (n  1)(n  2) 3 2 b. c. 2 3. Bài tập 15: Giới hạn lim a. . d. 2. Đáp án: D. Ta có biến đổi: (2n n  1)( n  3) 2 n 2  7n n  3 lim  lim (n  1)(n  2) n2  3n  2 Do đó: Bậc cao nhất của tử là bậc hai hệ số bằng 2. Bậc cao nhất của mẫu là bậc hai hệ số bằng 1. Nên giới hạn này bằng 2. n2  4n  4n 2  1. Bài tập 16: Giới hạn lim a.. 3 3 1. 3n2  1  n 1 3 1. b.. c.. bằng:. 1 3. d.. 4 3. Đáp án: A. Thực hiện tương tự như những bài trên. Bài tập 17: Giới hạn a. 1. b.. n2  2. lim. 2. bằng:. 4n  2. 1 4. c.. 1 2. d. -1. Đáp án: C. Thực hiện tương tự như những bài trên.. 8n3  1 lim 2n  5 3. Bài tập 18: Giới hạn. bằng:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 b. . a. 4. c. . d. 1. 1 5. Đáp án: D. Thật vậy, bậc cao nhất của tử là bậc nhất hệ số bằng 3 8  2 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất hệ số bằng 2. Do đó, giới hạn này có giới hạn bằng 1. Bài tập 19: Giới hạn lim a.. 4 3. b.. 4n 4  n 2  3 bằng: 3n  2 c. . 1 3. d. 4. Đáp án: C. Bậc lớn nhất của tử là 2 hệ số bằng 4  2 , bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất nên giới hạn này có giới hạn bằng  Bài tập 20: Giới hạn lim a. -3. 3n 4  2n 2  3n  1 n4  n2 1. b. . bằng:. c. 2. d. 1. Đáp án: B. Bậc lớn nhất của tử là bậc 4 hệ số bằng -3, bậc của mẫu là bậc 2 nên giới hạn này bằng  Bài tập 21: Giới hạn lim a.. 3. b. 1. 3n 1. bằng:. 3n 2  2n  2 c. 3. d.0. Đáp án: A. Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 22: Giới hạn lim. 3n 2  2n 1 4n 2  n  2. bằng:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. a.. 3 2. b.. 3 4. c.. d. . 1 2. Đáp án: D. Thực hiện tương tự như những bài trên 4n  1. Bài tập 23: Giới hạn lim. a.. 4 3. b.. 3n  2n 1  2n 2. bằng:. c. 0. 4 32. d. 2. Đáp án: B. Thực hiện tương tự như những bài trên. 3n 4  n3  4n 2  n bằng: 3n 2  2. Bài tập 24: Giới hạn lim a.  b.. c. . 3 3. d. . 1 3. Đáp án: B. Thực hiện tương tự như những bài trên n  n 1. Bài tập 25: Giới hạn lim a. 1. n n. b. . bằng:. c. -1. d.. 1 2. Đáp án: A. Thực hiện tương tự như những bài trên 3. 8n 3  4 n  2 Bài tập 26: Giới hạn lim bằng: 5n  1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. a.. 8 5. b. . c.. 2 5. d.. 4 5. Đáp án: C. Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 27: Giới hạn lim a.2. b. 4. n 2n 4 n bằng: n 1 c. . d. 0. Đáp án: D. Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 28: Giới hạn lim a. 0. b.. 1 4. 1  2  3  ...  n bằng: 2n 2  n  1 c.. 1 2. d. . Đáp án: B. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta có: n  n  1 n  n  1 1  2  3  ...  n n2  n 2 lim  lim 2  lim  lim 2 2n 2  n  1 2n  n  1 4n  2n  2 2  2n 2  n  1 1 Áp dụng các nhận xét ở giới hạn dãy hữu tỉ ta có giới hạn này bằng 4. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức. Phương pháp : Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn. Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ. Lưu ý : + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc hai :  A  B  A  B   A2  B 2 + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc ba :.  A  B   A2  AB  B 2   A3  B3  A  B   A2  AB  B 2   A3  B3 Sau khi nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tinh giới hạn nhanh hơn. Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a. lim  n2  2n  n  c. lim. . 3. n2  3 n. . b. lim. . e. lim n  1  n 2  2n  5. . f. lim. . . 1 3n  2  2n  1. d. lim. . n2  2n  3  n. 3. n3  3n 2  1  n 2  4n. . Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: lim. .  lim. . . 2. n 2  2n  n. n  2n  n  lim n2  2 n  n 2 2. n  2n  n.  lim. . n 2  2n  n. . n2  2n  n 2n 2. n  2n  n.  lim. 2 1 2 1 1 n. b. Ta có biến đổi:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11.  lim  n  2n  3  n   lim. n 2  2n  3  n. 2.  lim. n 2  2n  3  n 2 n 2  2n  3  n. . n2  2n  3  n. . n 2  2n  3  n. 2n  3.  lim. n 2  2n  3  n 3 2 2n  3 2 n  lim  lim  1   11 2 3 2 3 1  2 1 n  1   2  1 n n n n   n2  2n  3  n là biểu thức liên hợp của. n2  2n  3  n. c. Ta có biến đổi:. lim. . 3. 3. . n  2  n  lim. .  lim 3. 3. 2. 3. 2 n  2  3 n  3  n  2   3 n  2. 3 n  3 n 2   . . 3. n2.  n  2. . 3.    . 3. n.  n  2. 3.  n  2. 2.  3 n  2. 3 n  3 n2. 3. n2n.  lim.  3 n  2. 3 n  3 n2. 2.  lim. 2. 3.  n  2. 2.  3 n  2. 3 n  3 n2. 0. 3. 3. 3.  n  2. n  n. 2. d. Ta có biến đổi:. lim.  lim. 1  lim 3n  2  2n  1. 3n  2  2n  1. . 3n  2  2n  1  lim 3n  2  2n  1. 3n  2  2n  1. . . 3n  2  2n  1. . . 3n  2  2n  1  . e. Ta có biến đổi:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. . 2. lim n  1  n  2n  5.  n  1.  lim. 2. . . n 1  lim.   n 2  2n  5 .  lim. n  1  n 2  2n  5 2 n  5  lim  1 n  1  n 2  2n  5. n 2  2n  5 n  1  n 2  2n  5. . n  1  n 2  2n  5. n 2  n 2  2n  5 n  1  n 2  2n  5. f. Ta có biến đổi:. lim. . 3. . n3  3n 2  1  n 2  4n  lim.  lim. .  lim. . 3. n3  3n 2  1  n  n  n 2  4n.  . 3. n3  3n 2  1  n  n  n 2  4n. . 3. . . . n3  3n 2  1  n  lim n  n 2  4n.  .  L  lim 3 n3  3n 2  1  n  1 Đặt:   L2  lim n  n 2  4n . . . . . Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc ba..   n  3n  1  n    n  3n  1  n n  3n  1  n   lim  n  3n  1  n n  3n  1  n L1  lim 3. . 3. 3. n3  3n 2  1  n 2. 3. 3.  lim.  lim. 3. 2. 3. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 2. 3. 2. 2. 2. n3  3n 2  1  n3. . 3. . 2. n3  3n 2  1  n 3 n3  3n 2  1  n 2 3n 2  1. . 3. . 2. n3  3n 2  1  n 3 n3  3n 2  1  n 2. Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc hai.. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. . L2  lim n  n 2  4n n 2  n 2  4n.  lim. Vậy: lim. . 3. n  n 2  4n. . n   lim.  lim. . n 2  4n n  n 2  4n. . n  n 2  4n. 4 n n  n 2  4n.  2. . n3  3n 2  1  n 2  4n  L1  L2  1   2   1. Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau:. 1 n 1  n  3. a) lim( n2  3n  2  n 1). b) lim. c) lim( n2  3n 1  n 1). d) lim  .  4n 2  n  4  n    2 n  1  . Hướng dẫn giải a) Ta có biến đổi:.  lim  n  3n  2  n 1  lim 2.   lim. . 2. n2  3n  2 n 1. 2. n2  3n  2  n 1 5n 1 5  lim  n2  3n  2  n 1 2. . n2  3n  2 n 1.  lim. . n2  3n  2  n 1. n2  3n  2  n 1 n2  3n  2  n2  2n 1 n2  3n  2  n 1. b)Ta có biến đổi: lim. 1  lim n 1  n  3.  lim. . n 1  n  3 n 1  n  3. . n 1  n  3. . n 1  n  3 n 1  n  3  lim   n  1 n  3 2. c) Ta có biến đổi:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. lim. . n2  3n 1 .  lim.  n 1  lim. n2  3n 1 n 1 n2  3n 1  n 1. . n2  3n 1  n 1. . n2  3n 1  n 1. n2  3n 1  n 1 n2  3n  2.  lim. n2  3n 1  n 1.  . d) Ta có biến đổi:.  4n2  n  4  n     lim lim    2n  1   lim. . 4n 2  n  4  n. . 4n 2  n  4  n. 2n 1 4n 2  n  4  n . 4n 2  n  4  n. 2n 1 4n 2  n  4  n .  lim. 4n 2  4. 2n 1 4n 2  n  4  n . . 1. Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim a. 1. b.. 1 2. n 2  3n 1  n bằng: n 1 c. . d. 0. Đáp án: D Ta có biến đổi:. n 2  3n 1  n lim  lim n 1  lim. . n 2  3n 1 n 2. n 2  3n  1  n. n 1 n2  3n 1  n. . n 2  3n 1  n. n 1 n2  3n 1  n  lim. 3n 1. . n 1 n2  3n 1  n. 0. Vì bậc của tử là bậc nhất và bậc lớn nhất của mẫu là bậc hai. Nên giới hạn này bằng 0. 3n 2  2n  n Bài tập 2: Giới hạn lim bằng: 3n  2 a.. 3. . 2. . 32. b.. 3. . 2. . 3 1. c.. 3 3. d.. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. 1 2. Trang số 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Đáp án: B. Ta có biến đổi: 3n 2  2n  n lim  lim 3n  2  lim. . 3n 2  2n  n. . 3n 2  2n  n. 3n  2 3n2  2n  n. 2n 2  2 n. 3n  2 3n2  2n  n.  3. . 2. . . 3 1. 2 2 Bài tập 3: Giới hạn lim( 2n 1  2n 1) bằng: b. 4 c.  a. 1. d. 0. Đáp án: D. Ta có biến đổi:. lim. .  lim.  2n 1  lim. 2n 1  2. 2. 2n2 1 2n2 1 2n2 1  2n2 1.  lim. . 2n2 1  2n2 1. . 2n2 1  2n2 1. 2n2 1  2n2 1 2 2n2 1  2n2 1. 0. Bậc lớn nhất của tử là bậc 0 và bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất. Do đó, giới hạn này bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn lim( 3n  2  3n  2) bằng: b. . a. 9. c. 0. d. 6. Đáp án: C Ta có biến đổi:. lim. .  lim. . 3n  2  3n  2  lim. . 3n  2  3n  2. . 3n  2  3n  2. . 3n  2  3n  2. 3n  2  3n  2 4  lim 0 3n  2  3n  2 3n  2  3n  2. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Bài tập 5: Giới hạn lim n( n  3  n  2) bằng: a. . b. 5. c.. d. 0. 3 2. Đáp án: A. Ta có biến đổi: lim n. .  lim. . n  3  n  2  lim n n  3  n  2 n 3  n  2.  lim. Bài tập 6: Giới hạn lim a. . n. . n 3  n  2. . n 3  n  2. . n 3  n  2 n   n 3  n  2. n 2n  1  n 3  n 2  1 4n 3  3n. b. 0. c.. bằng:. 1 2. 1. d.. 2. . . 2 1. Đáp án: D Ta có biến đổi:. lim. n 2n  1  n 3  n 2  1.   lim  lim. 4n 3  3n.  lim. 2n 3  n 2  n 3  n 2  1 4n3  3n. . . 2n3  n 2  n 3  n 2  1 4n3  3n 2n 3  n 2  n 3  n 2  1. 2n3  n 2  n3  n 2  1. 2n3  n 2  n 3  n 2  1 4n 3  3n. . 2n 3  n 2  n 3  n 2  1. . .  n3  1.  lim 4n 3  3n. . 2n 3  n 2  n 3  n 2  1. . Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu sau khi nhân phân phối ta được bậc ba hệ số bằng 2. . . 2  1 . Nên giới hạn này có giới hạn bằng. 1 2. . . 2 1. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. 3. Bài tập 7: Giới hạn lim a. 0. n 3  2n  4  n bằng: n 1. b. 1. d. . c. 2 Đáp án: A. Ta có biến đổi: 2  3 3  3 n  2 n  4  n n  2 n  4  n 3 n3  2n  4  n 2  3 3  n  2n  4  n   lim  lim 2 n 1  3 3   n  1  n  2n  4  n 3 n3  2n  4  n2    3 3 n  2n  4  n  lim 2  n  1  3 n3  2n  4  n 3 n3  2n  4  n2    2n  4  lim 0 2  3 3 3 3 2  n  1  n  2n  4  n n  2n  4  n   . . . 3. . . . . . . . Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa – Mũ Phương pháp: Tương tự như dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất Một số công thức lưu ý:. an  a  + n   b b. n. 1 + n  an a. +. n. a a. 1 n. + 1n  1. Giới hạn của lũy thừa: lim a n  0 với 0  a  1 .. Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: 2n  5n a. lim n 2.3  3.5n. 3n1  2n 1 b. lim n 5.3  4.2n 1. 3n1  2n 1  5n c. lim n 5.5  3.2n  3n 1. 10n  1 d. lim n n 2 5. e. lim. 9n  1 3n  1. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 5n ta được n. 2 2 n 5n  n   1 1 n 5 5 5 lim  lim   n  n n 3 5 3 3   2. n  3. n 2.    3 5 5 5   2 n 2  lim    0 0  5  1  5   n Vì 0  3  1 nên ta có   3   lim  5   0 5 . b. Ta có biến đổi: lim. 3n1  2n 1 3n.3  2n.2 3.3n  2.2n  lim  lim 2n 5.3n  4.2n 1 5.3n  2.2n n 5.3  4. 2. Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 3n ta được. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 n. 2 3n 2n 3  2.   3. n  2. n 3  3 3  lim lim 3n n n 2 5 3 2 5. n  2. n 5  2.   3 3 3 n. Vì 0 . 2 2  1 nên lim    0 3 3. c. Ta có biến đổi: lim. 3n1  2n1  5n 3n.3  2n.2  5n 3.3n  2.2n  5n  lim  lim 5.5n  3.2n  3n 1 5.5n  3.2n  3n.3 5.5n  3.2n  3.3n. Chia tử và mẫu cho 5n ta được: n. n.  3 2 3n 2n 5n 3.    2.    1 3. n  2. n  n 1 5 5 5  lim  5  lim 5n  n n n n 5 2 3 5 2  3 5. n  3. n  n .3 5  3.    3.   5 5 5 5 5   2 n 2  lim    0 0  5  1  5   n Vì 0  3  1 nên ta có   3  lim    5   0 5 . d. Ta có biến đổi: chia tử và mẫu cho 10n ta được n. 1 10n 1 1    n n n 10  1  10    lim n n  lim 10n 10n  lim n n 2 5 2 5 1 1          10n 10n 5  2   1 n 1  lim    0 0  10  1   10   n  1   1 0   1 lim     0 Vì  5 nên ta có   5  n 1   1  0   1 lim    0  2    2  e. Chia tử và mẫu cho 3n ta được: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. n. 1 9n 1 1    n n n 9 1 9 lim n  lim 9n 9  lim 1 n 3 1 3 1 1    1   3n 3n 3 n.  1 1  lim    0 0   1   9 9   n Vì 0  1  1 nên ta có   1  lim    3   0 3  n Lưu ý: Khi chia cho 3 vào trong căn bậc hai nghĩa là chia cho 9n Trích dẫn: Cũng tương tự giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta cũng hoàn toàn có thể tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này. Bằng cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Từ đó ta hoàn toàn có thể tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm.. Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim. a.. 1 4. 1  3n 4  3n. bằng:. b. . c. 1. d.. 3 4. Đáp án: C. Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 1. Bài tập 2: Giới hạn lim. a. 1. b. 7. 4.3n  7n1 2.5n  7n. bằng:. c.. 3 5. d.. 7 5. Đáp án: B. Thật vậy trước khi nhận xét ta có biến đối 4.3n  7n1 4.3n  7n.7 lim  lim 2.5n  7n 2.5n  7n Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 7 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 7. 4n 1  6 n2. Bài tập 3: Giới hạn lim. a. 0. b.. bằng:. 5n  8n. c. . 6 8. d.. 4 5. Đáp án: A. Thật vậy trước khi nhận xét ta có biến đối 4n1  6n2 4n.4  6n.62 4.4n  36.6q n lim  lim  lim 5n  8n 5n  8n 5n  8n Nhận xét: Cơ số cao nhất của tử là 6 và cơ số cao nhất của mẫu là 8. Nên giới hạn đó bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn lim. a. 2. b.. 2n  5n1. bằng:. 1  5n. 1 5. c.. d. 5. 2 5. Đáp án: D. Ta có biến đổi: lim. 2n  5n1 1  5n.  lim. 2n  5.5n 1  5n. Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 5 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 5. Bài tập 5: Giới hạn lim. a. 2. b.. 1  2.3n  7n. 1 5. 5n  2.7n. bằng:. c. . 1 2. d. 0. Đáp án: C. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là -1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 2 1 nên giới hạn đó bằng  . 2 Bài tập 6: Giới hạn lim. a. . b.. 1  2.3n  6n 2n (3n1  5). bằng:. c.1. 1 2. d.. 1 3. Đáp án: D Ta có biến đổi:. lim. 1  2.3n  6 n.  lim. 1  2.3n  6 n.  lim. 1  2.3n  6n. 2 n (3n1  5) 2 n (3.3n  5) 3.6n  5.2n Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 3 1 nên giới hạn đó bằng . 3. Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa Phương pháp 1: Dùng định lí kẹp Phát biểu: Cho 3 dãy số (un ), (vn ),( wn ) . Nếu un  vn  wn , n và lim un  lim wn  L  lim vn  L. Một số kiến thức cũ:   1  sin u  1. + 1  cos u  1 Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn lim. sin(3n) n. Hướng dẫn giải Ta có nhận xét:. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. 1  sin  3n   1 . 1 sin(3n) 1   n n n.   1 lim   n   0    lim 1  0  n. Ta có:. nên. lim. sin(3n) 0 n. . cos 3n . Bài tập mẫu 2: Chứng minh rằng: lim  2  2   2 n  . Hướng dẫn giải  . Ta có: lim  2 . cos 3n   cos 3n   cos 3n    lim  2   lim  2   2  lim  2  2 n   n   n . Thực hiện tương tự bài tập mẫu 1 ta được: 1  cos  3n   1 . 1 cos(3n) 1   2 n2 n2 n. Ta có:. Do đó:.   1  lim   n 2   0    lim 1  0  n2. nên. lim. cos(3n) 0 n. cos 3n   lim  2    2 n2    ( 1) n   1  1  n 1 . Bài tập mẫu 3: Chứng minh rằng: lim . Hướng dẫn giải n. n.  ( 1)  ( 1) ( 1) n  1  lim  lim1  lim 1 n 1 n 1  n 1 . Ta có: lim . Ta có nhận xét : Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 n. 1   1  1 n.  1  1 1   n 1 n 1 n 1   1  lim   n  1   0 (1)n    lim 0 Mà:  n 1 lim  1   0 nên   n  1   ( 1) n  lim   1  1  n 1 . Do đó:. Bài tập trắc nghiệm tương tự Bài tập 1: Giới hạn lim a.. 1 2. b.. n  sin 3n bằng : 2n  1. 3 2. c. 0. d. . Đáp án: A Ta có biến đổi: n  sin 3n n sin 3n  lim  lim 2n  1 2n  1 2n  1 n 1  lim 2n  1  2 Mà khi n dần ra  thì ta có :  lim sin 3n  0 2n  1  lim. Nên: lim. n  sin 3n 1  2n  1 2. Bài tập 2: Giới hạn un  a. . b. 1. sin n 3 bằng n c.. 3. d. 0. Đáp án: D. Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Bài tập 3: Giới hạn un  a.. 2 3. b.. 2n  cos n bằng : 3n  2 d. . c. 0. 1 3. Đáp án: A. Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp. Bài tập 4: Giới hạn lim a. . b.. 2 5. (1)n 1  2n 2 bằng : 5n 2  cos n 2 c.  5. d. . 1 5. Đáp án: C. Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 5: Giới hạn un  a.. 2 3. b.. 3 2. 2n 2  (1)n 1 bằng cos n  3n 2 c. . 2 3. d. 1. Đáp án: A. Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 6: Giới hạn un  a. 2. b.. 2. sin n  cos n bằng n sin 2n c. 0. d..  4. Đáp án: C. Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp. Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11. Bạn vừa xem xong một phần nhỏ trong quyển sách: Thủ thuật giải nhanh trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 tập 2 của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn(Tổng biên tập của Xuctu.com). Để được học toàn bộ quyển sách này vui lòng mua bản đầy đủ. Chúng tôi cũng cung cấp bản word cho các giáo viên muốn sở hữu để phục vụ công việc của mình.. Xem chi tiết và mua sách này tại:. Tài liệu phù hợp với bạn:. Liên hệ bộ phận bán hàng tại: 01257.444.115 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232. Trang số 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span>