De HSG Toan 920162017 83

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 1 trang). KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 Môn : TOÁN – THCS Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 18/02/2011. Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn A  127  48 7  127  48 7 . Câu 2:(2,0 điểm). Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến trên R với mọi m.. Câu 3:( 2,0 điểm). Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm) Chứng minh MC.MD = MT2 .. Câu 4: (2,0 điểm ). Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x2 + y2 .. Câu 5: (1,5 điểm). Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 chia hết cho 15 .. Câu 6: (1,5 điểm ). Phân tích đa thức x3 – x2 – 14x + 24 thành nhân tử .  x  y  z 2  2 2xy  z 4. Câu 7: (1,5 điểm). Giải hệ phương trình. Câu 8: (1,5 điểm ). Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương với mọi n  N * .. Câu 9: (1,5 điểm ). 1 1 4   Cho hai số dương a và b . Chứng minh a b a  b .. Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 0   Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD ( A D 90 ) , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông. góc với AC (H  AC) , gọi N là trung điểm của CH . Chứng minh BN vuông góc với DN . 0  Câu 12: (1,5 điểm). Cho tam giác MNP cân tại M ( M  90 ) . Gọi D là giao điểm các đường. phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM = 2 5 cm , DN = 3 cm . Tính độ dài đoạn MN . ---------- HẾT--------Họ và tên thí sinh :……………………………………………...Số báo danh : ……………………… Giám thị 1 :……………………………………………………..Ký tên : ……………………………. Giám thị 2 :……………………………………………………..Ký tên : ……………………………..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (Thí sinh không được sử dụng máy tính ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu Câu 1 (2 điểm ). Môn : TOÁN – THCS Ngày thi 18/02/2011 Hướng dẫn chấm A  127  48 7  127  48 7 =. (8  3 7)2 . (8  3 7)2. = |8 3 7 |  | 83 7 | 8  3 7  8  3 7 (8>3 7)  6 7 Câu 2 (2 điểm ). 5  2 7 m  m  3 3 3m2 – 7m + 5 = 3  2  7  49 60  3   m      6  36 36    2  7  11  3   m      0 m 6  36    Vây f(x) đồng biến trên R với mọi m. Điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm. Câu 3 (2 điểm). Câu 4 (2 điểm ). Chứng minh MC. MD = MA. MB Chứng minh MT2 = MA. MB Suy ra MC.MD = MT2 3x + y – 1 = 0  y = 1 – 3x. 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm. B 3x 2  (1  3x) 2 12x 2  6x  1 2  1 1 12   x     4  48   . 0,5 điểm 0,5 điểm. 2. 1 1 1  12  x     4 4 4  1 1 1 khi x = và y = 4 4 Vây GTNN của B là 4. 0,5 điểm 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 5 (1,5 điểm ) Câu 6 (1,5 điểm ) Câu 7 (1,5 điểm ). C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 = (1 + 2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26 + 27 ) + …+ ( 22008 + 22009 +22010 + 22011) = (1 + 2 + 22 + 23 )+ 24 (1 + 2 + 22 + 23 )+ …+22008(1 + 2 + 22 + 23 ) = 15 ( 1 + 24 + …+ 22008 ) chia hết cho 15 x3 – x2 – 14x +24 = x3 + 4x2 – 5x2 – 20x + 6x + 24 = (x + 4) (x2 – 5x + 6 ) = (x + 4) (x – 2) (x – 3)  x  y  z 2  z 2  x  y (2  x  y) 2 2xy  4     2  2  2xy  z 4  z 2xy  4  z 2  x  y (x  2) 2  (y  2) 2 0   z 2  x  y  x y 2   z  2. Câu 8 (1,5 điểm ). Câu 9 (1,5 điểm ). Câu 10 (1,5 điểm). D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2 ) = (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n)  (n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) +1  (n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n +1)2 Nên D không phải là số chính phương vì (n2 + 3n)2 và (n2 + 3n +1)2 là 2 số chính phương liên tiếp Ta có (a – b)2 0  a 2  b 2 2ab  (a  b) 2 4ab a b 4   ( vì (a+b)ab >0 ) ab a b 1 1 4    a b a b Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiếu câu này không trừ điểm) 2x2 – xy – y2 – 8 = 0  (2x + y) (x – y) = 8 2x  y 8 2x  y 4     x  y 1 hoặc  x  y 2  x 3    y 2 hoặc.  x 2   y 0. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm. 0,5 điểm. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm. Câu 11 (1,5 điểm ). Gọi M là trung điểm của DH Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành  AM // BN (1) Chứng minh MN  AD Suy ra M là trực tâm của ADN  AM  DN (2) Từ (1) và (2)  BN  DN. 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu 12 (1,5 điểm ). Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF  ND   Chứng minh D1 E  MD ME 2 5 cm và EF =DF. 0,5 điểm. ME2 = EF .EN = EF .(2EF + DN ) (2 5) 2 EF(2EF  3) 2EF2  3EF  20 0 (EF  4)(2EF  5) 0  EF 2,5 (vì EF >0). 0,5 điểm.  MN 2 11 cm 0,5 điểm (Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>