De HSG Toan 920162017 184
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (494.65 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013-2014. Đề chính thức. Môn: Toán - Lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Bài 1 3,0 đ. Nội dung 1 A x 1. 1 : x 1 x 1 1. Điều kiện: x 1 A. A. x 1 x 1 x 1 2. x 1 x 1 x 1 x 1. Với x . x 1 2. . 2. 1. . 2. x 1 x 1. 0,75. a 2 b2 , a b 0 thì x 1 . Do đó 2ab. a2 b2 a2 b2 a2 b2 A 1 2ab 2ab 2ab a2 b2 a2 b2 a A . 2ab 2ab b 4 2 Với mọi n N thì n - n 12.. a. 0,25 0,5. x 1 x 1. x 1 2 x2 1 x 1 x x2 1 2. 2. Bài 2 a) 2,0 đ. a b , a b 0. , với x 2ab x 1 . x 1 x 1. :. Điểm 2. 0,25 2. b2. 2ab 2. 2. 2ab2. Ta có: n4 - n2 = n2 ( n2 - 1) = n . n ( n + 1) ( n - 1) Vì 12 = 3.4 và (3; 4) = 1. Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 n ( n + 1) ( n - 1) 3 suy ra n4 - n2 3 (n N ) (1) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2 n ( n + 1) 2; n ( n - 1) 2 suy ra n4 - n2 4 (n N ) (2) Từ (1) và (2) ta có n4 - n2 12 (n N ). b) 2,0 Ta có: x73y5 33 nên chia hết cho 3 và 11. đ Điều kiện để x73y5 3 là x + 7 + 3 + y + 5 3 x + y + 15 3 mà 15 3 nên x + y 3 Điều kiện để x73y5 11 là x + 3 + 5 - 7 - y 11 hay x - y + 1 11 * Trường hợp : x - y + 1 = 11 hay x - y =10 ( vô lý) * Trường hợp : x - y + 1 = 0 hay x = y - 1 Vì x + y 3 nên y - 1+ y 3 hay 2y - 1 3 Nhưng 2y - 1 là số lẻ và 2y - 1 17 nên ta có : 2y - 1 = 3, 9, 15. suy ra : y = 2; 5; 8. - Khi y = 2, ta có x = 1; số đã cho 17325. - Khi y = 5, ta có x = 4; số đã cho 47355. - Khi y = 8, ta có x = 7; số đã cho 77385.. 0,5 0,25 0,5. 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 3 a) 3,0 đ. Biểu thị y theo x ta được. 2 x 3 y 5 x 11. Ta có 2 x 3 0 (vì x nguyên) và 5 x 11 x5 y 2 2x 3 2x 3. 0,25. 2 x 5 2 x 3 2 x 3 7 2 x 3 . 0,25. 7 2 x 3. 0,25 0,25. 0,5. Để y Z phải có x 5 2 x 3. Ta có bảng các giá trị tương ứng của 1 2x 3 x -1 y 6. 2 x y, x, y . -1 -2 -1. 7 2 3. Nghiệm (x ;y) của phương trình là (-1 ;6), (-2 ;-1), (2 ;3), (-5 ;2). b) 2,0 đ. Đặt u =. 1 1 ;v= x y2. x 0, y 2. -7 -5 2. 1,0 0,5. 0,5. Hệ phương trình trên trở thành: u v 1 4u 3v 5. Giải hệ phương trình trên được 2 7 Với u = => x = 7 2 9 25 Với v = => y = 7 9. 7 x 2 Vậy hệ có nghiệm là : y 25 9. 0,25 0,5 0,5. 0,25. 2.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 4 4,0 đ. x M L K. N. C. 0,25. I. D. Tam giác IND vuông tại I có IN = ID (gt) ∆ IND vuông cân tại I nên IND IDN 45 0 . Chứng minh tương tự ta có ∆ IMC vuông cân tại I IMC ICM 45 0 Tam giác LCD có LCD LDC 45 0 ∆ LCD vuông cân tại L DL LC Mà MI CD (gt). CN ∆CNI đồng dạng ∆MNK (g-g); Suy ra MN. NI NK. CN.NK = MN.NI Ta có: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID Đặt ID = x; x > 0 ta được:. 3 2. 2. MN.NI = (6 – 2x).x = 6x – 2x2 = 2 x . 9 9 2 2. 3 Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi x = (Thoả mãn điều kiện x > 0) 2 9 3 Vậy CN. NK có giá trị lớn nhất là khi ID = cm. 2 2 Bài 5 4,0 đ. 0,25. 0,5. Có DL và MI là hai đường cao của ∆CDM cắt nhau tại N N là trực tâm ∆ CDM CN MD hay CK MD ∆CNI và ∆MNK có: CIN MKN 90 0 ; INC KNM đđ . . 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. y x D. M. O'. 0,25. C N A. B O. 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> a/ Chứng minh: CM .CB CN.CD . Vì AC //BD nên ∆NAC đồng dạng ∆NDB (g.g) . DN DB DM AN AC CM. MN // AC // BD CM CN ( Do ∆CMN đồng dạng ∆CDB) CD CB CM .CB CN.CD. 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25. b/ Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. Gọi O’ là trung điểm CD. O’ là tâm đường tròn đường kính CD. Chứng minh COD = 90 suy ra O thuộc đường tròn đường kính CD và 0. 0,5 0,5. OO’ là bán kính đường tròn đường kính CD. Chứng minh OO’ AB ( do OO’ là đường trung bình của hình thang. 0,5. ACDB) Do đó OO’// AC // BD suy ra AB OO’.. 0,5. Ghi chú:Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định của từng bài.. --- HẾT ---. 4.
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
