Gioi han day so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC. CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN DÃY SỐ&HÀM SỐ - HÀMSỐ LIÊN TỤC I. GIỚI HẠN DÃY SỐ. Các quy tắc giới hạn vô cực của dãy số *Quy tắc 2 (Quy t¾c nh©n) lim u n lim v n = a (dấu của a) lim  u n / v n   0 +   0  +. *Quy tắc 1 lim u n. lim v n. a a.  . lim  u n .v n    . . . . *Quy tắc 3 (Quy t¾c chia) lim u n a 0. lim vn 0, v n 0. dÊu a. + +. +. . +. . . lim. .  2n 2  3n  5  lim  3  2  n  2n  1  . b).. 3n 4  4 n 2  2n  5 lim 4 n  3n3  5n  6 a). f (n) Bài 1. Tính:(Dạng1: lim g (n) ):. lim. un vn    . ( v n cã dÊu). 2n n  1  2n 2 +4 4n 2  5n  7  (5n 2  n)(2n3  1)(4n  5) lim  ) lim   6n  5 (6n 4  3n  1)(3n 2  7)  3n  1  n 2  n  3 e) f).. 2  4  6  ...  (2n) 3n 2  n  7 g) lim.  2.4 n  5.3n  3   4.4n  2.3n  lim  n lim   n n n   2  5.4  1  b)  5.4  3.2  Bài 2. Tính (Dạng 2:chứa lũy thừa ) a).  Bài 3. Tính (Dạng3:lim. f (n) - g(n).  ) a) lim . n 2  4n+2 - n. . b). lim. .  f (n)    Bài 4. Tính (Dạng 4 giới hạn vô cực dạng : *limf(n) * lim  g (n)  * lim 3. 2. a) lim( 2n  4n  n  7) 2 e)lim 2n  5n  3. f). 3n 2 + 5n+ 4 ; 2 - n2  2n 3 1- 5n 2  5)lim  2 + ;  2n + 3 5n +1 . 1)lim. 9)lim. (2 n  1)( n  2) ; 2n 2  3n 1. 13)lim. 17)lim. 1+ 4n + 9n 2 ; 1 - 2n. 3n n 2  n  2 ; n2  n 1. GV NGUYỄN VĂN TỀ. . n 2 -3n-2 + n. . lim. 6 + 3n - n 2 ; 3n 2 + 5  n3 3n 2  6)lim  2 ;  n +1 3n+1  5n 2  5n  1 ; (5n  2)(n  4). 14)lim. 18)lim. n 2 -3n-2 - n. . 2n 2 +4n+1 + n. 2n 4 - n 2 +1. 3. 4n 2  1. 3. 27n  n  3. 1. .. ;. . c). lim. . n 2 +4n+1 - n. . . 3n 4  n 2  7 2 h) lim 5n  2n  1. 2n 3 - 4n 2 + 3n+7 ; n 3 -7n+ 5 n 2 - n+ 3 7)lim 3 ; n + 3n 3)lim. 11)lim. 2n 2 - n + 4. n2  3 .  . m. g) BÀI TẬP TỰ GIẢI. 2)lim. 10) lim.  5.4 n  2.3n  lim  n n   3.5  4.2  c). f (n) * lim f (n) + g(n) )  2n3  5n2  2n  6  lim   3 3 2 2n 2  5n  1   c) d) lim  2n  4n  1. 4 3 b)lim (  3n  4n  8). lim. 5n 3  2 n 2  4 3 c)lim 2n  3n  1 d). 2n 5 - 6n+9 ; 1- 3n 5 1  2  3  ...  n 8) lim n 2 + 3n 4)lim. ( n 2  n)(2n3  1)(4n  5) ; (n 4  3n  1)(3n 2  7). 15)lim. 19). lim. n 4 - 2n+ 3 ; -2n 2 + 3 n6 + 3n 2 - 3 2n6 + n 5 - 2. 16)lim. 12)lim. 2n n 1 ; n2  n  3. 1  3 n3  n 2  1 2n  3. 20)lim. . . n2 + n - n ;.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC. 21)lim. 3n2 +1 - n2 -1 ; n. 2n 2 +1 - n 2 +1 ; n+1. 22 )lim. 25 )lim n - 1( n+ 2 - n );. 26)lim. . 3.  - n ;. . 23)lim n 2 +1 - n 2 -1 ;. n 3 - 2n 2. 24)lim( n 2 + n - n 2 +1 );. 27 )lim. . 3. . n2 - n3 + n .. II. GIỚI HẠN HÀM SỐ. Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: f  x  0  lim  0 x a g  x    1. Giới hạn của hàm số dạng: o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. f  x g x . lim. x .      . 2. Giới hạn của hàm số dạng: o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x   thì coi như x>0, nếu x    thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 3. Giới hạn của hàm số dạng: 4. Giới hạn của hàm số dạng:. lim  f  x  .g  x  .  0.. x . lim  x  . f.  x. g  x    -  . . lim  2 x  3x  4  Bài 1. Tính GH dạng HSố xác định tại x 0 : a. x  2 3. 0 0. Bài 2. TínhGH:dạng. 0 0. Bài 3. Tính GH dạng .. ∞ ∞. Bài 4. Tính GH dạng.  3x-1  lim x    2x  1  a..  lim x 0  (nhân lượng LH)a.. f.  x   g x  f  x  g x. lim. Đưa về dạng:. x .  2x 2 + 3x +1  lim  2  x -1 -x + 4x + 2   b.. 1+ 2x - 1 ) 2x. 4x  lim(  9  x  3  b. x  0.  x 2  2 x  15  lim   x 3  x 3  (chia đa thức ) a..  lim  x 2  c.. 2x  2   x  2 .  2 x3  3x  1  lim   x  1  x2  1  b.. đưa x mũ lớn nhất làm nhân tử chung (chia tử và mẫu cho x mũ lớn nhất).  x2  2 x  3   Lim  x   2x 2  x  x   b.. Bài 5. Tính GH dạng.    Bài 6. Tính GH dạng: 0..    0     . Ta biến đổi về dạng:    ;  0 . a). a) lim. x  +. lim  x +1. x  . lim   2 x  5 x  1 3. Bài 7 (Dạng vô cực): a. x  . .  2x x  3  lim  . c.. x   x 2  x  1   . x 2 + 3x+ 4 - x. . Lim. d.. x . b) lim. x  . .  x  1 2 x  1  3x  2 x  3 . x 2 + 3x - 1 + x. . 2x+1 x + x+2 3.  2x 3 + 3x + 1  lim  2  x  x + 4x + 2   b.. lim  2 x 4  5 x 2 1. c. x . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tính các gới hạn. GV NGUYỄN VĂN TỀ. 1.. lim(x 2 + 2x+1) x  -1. 2. 2.. lim(x+2 x +1) x 1. 3.. lim  3 - 4x  x 3. 2. 4.. lim x 1. x +1 2x - 1 ;.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC. x2 - 1 ; x 1 x - 1. x-3 ; 2 x  3 x + 2x - 15. 1)lim. 2)lim. x2 - x 5)lim ; x 1 x -1. 3)lim.  x - 2 3 x - 2 + 8  7)lim ; x 2. 3   1 6)lim  ; x  1 1- x 1- x 3   3 2 x + x - 2x - 8 10)lim ; x 2 x 2 - 3x + 2. 2x 2 - 3x +1 ; x  1 x 3 - x 2 - x +1. 9)lim. x 2 - 3x + 2. ;. 3. 8)lim. x. x 0. 11)lim x 3. x4 - 1 ; x  1 x 2 + 2x - 3. 4)lim. 2  x + h  - 2x 3 h. h 0. ;. x 3 - 4x 2 + 4x - 3 8x 3 - 1 ; 12)lim ; 2 1 x 2 - 3x x  6x - 5x +1 2. Bài 2:. Tính các gới hạn. Bài 3: Tính các giới hạn sau (Tìm giới hạn dạng x+ 4 - 2 x+3 - 2 1)lim ; 2)lim ; x 0 x  1 x x -1. 0 0. của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai) 2- x-2 x - 2x -1 3)lim 2 ; 4)lim 2 ; x  7 x - 49 x  1 x -12x+11. x+4 - 3 x 2 +5 - 3 x 3 +1 - 1 ; 7)lim ; 8)lim ; x 6 x  5 x 2 - 25 x 2 x 0 x-2 x2 + x 0 Bài 4: Tính các giới hạn sau (Tìm g hạn dạng 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc ba và bậc cao) x-2 -2 ; x -6. 5)lim. 3. 1)lim x 2. 6)lim. 3. 4x - 2 ; x-2. 2)lim x 0. 3. 2x - 1 - 3 x 5)lim ; x 1 x -1. 3. 1- x - 1 ; x. 3)lim x 1. 2x - 1 - 1 ; x -1. 3. 4)lim 3. x -1 ; x - 2 +1. 8)lim. 9 + 2x - 5 ; 3 x -2. x 1. x + x 2 + x+1 7) lim ; x  -1 x+1. 3. x - 1 + 3 x+1 6)lim ; x 0 2x+1 - x+1. 3. x 8. 0 Bài 5: Tính các giới hạn sau (Tính giới hạn dạng 0 của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng) 2 1+ x - 3 8 - x 2x - 1 + 3 x - 2 2x + 2 - 3 7x +1 1- 2x - 3 1+3x ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim x 0 x 1 x 1 x 0 x x -1 x -1 x Bài 6: Tính các giới hạn sau  3x 2  2x - 1 3x 2 + x+1  -6x 5 +7x3 - 4x+3 x+ x 2 + 2   1) lim 5 ; 2) lim ; 3) lim ; x  + 8x - 5x 4 + 2x 2 - 1 x    2x+1 x   4x 2   8x 2 +5x+ 2 1)lim. . 2. 4) lim.  2x - 3   4x+7 .  3x. 2. 3. +1  10x 2 +9 . ;. 5 ) lim. x+ x 2 +1. ;. . 6 ) lim. x+ x 2 + x. x   2x+ x+1 3x - x 2 +1 Bài 7: Tính các giới hạn sau (Tính giới hạn dạng    của hàm số) x  +. GV NGUYỄN VĂN TỀ. x  +. 3. ;.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC. 1) lim. . x+1 - x ;. 4) lim. . 3x 2 + x+1 - x. x  +. x  +. .  3 ; 5) lim . . x  +. x   -2 . 3x +6 x+ 2. ;. x  - 2 . 3x +6 x+ 2. x  . . x  . 6) lim . 3) lim. 3x 2 + x+1 + x 3 ;. Bài 8: Tính các giới hạn sau (Giới hạn một2 bên) x+ 2 x 4-x 1) lim ; 2) lim ; 3) lim x 0 x 2 x 3 x- x 2- x. 5) lim .  6) lim . x 2 + x+1 - x ;. 2) lim. ; 7) lim  x   - 1. x 2 -7x +12 9 - x2. . x 2 +1 + x - 1 ;. . 2x 2 +1 + x ;. x  . ;. x 2 + 3x + 2. 4) lim . x5 + x4. x   -1. x 2 + 3x + 2 ; x +1. 8) lim  x   - 1. ;. x 2 + 3x + 2 ; x +1. Bài 9: Tính các giới hạn sau (Tính giới hạn dạng 0. của hàm số). 1) lim+  x - 2  x 2. x ; x -4. 2) lim +  x 3 +1. 2. 3. x   -1. x ; x -1 2. 3) lim  x+2  x  +. x -1 ; x3 + x. 4) lim  x+1 x  . 2x+1 ; x + x+2 3.  víi x<1 x f  x   2 lim f  x  , lim f  x  vµ lim f  x   2x  3 víi x 1 . Tìm x 1 x 1 x 1 Bài 10: Cho hàm số (nếu có). 2 x  1 víi x -2 f  x   lim f  x  , lim  f  x  vµ lim f  x  2 x  2  2x  1 víi x   2 . Tìm x   2   x   2  Bài 11: Cho hàm số (nếu có). 2 x  2x  3 víi x 2 f  x   lim f x , lim f x vµ lim f  x  4x  3 víi x  2 . Tìm x 2   x 2   x 2 Bài 12: Cho hàm số (nếu có).. III. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:.  lim  f  x    f  x0  x  x0 o f(x) xác định trên khoảng (a;b) . f(x) liên tục tại điểm x0  (a;b) . o f(x) xác định trên (a;b) được gọi là liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. o f(x) được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và  lim  f  x    f  a   x a  lim  f  x    f  b    x  b  2. Một số định lý về hàm số liên tục: o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.  Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). B. CÁC DẠNG TOÁN QUAN TRỌNG. Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm x  x0 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm chỉ ra:. a).  x 2  3x  4  2 - x f(x) = . GV NGUYỄN VĂN TỀ. khi x  1 khi x 1. tại xo = 1. 4. b) f(x) =.  x2  3x  2   x 2  11 +x  3. khi x 2 khi x 2. tại xo = 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC 3  x khi x 0  2    x  1  1 khi x  0   x. 2. c) f(x) =. 4  x khi x  2   x 2  2x khix 2 . tại xo = 2 d) f(x) = Dạng 2 : Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định hàm số 2. Xét sự liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:  x 2  3x  2 khi x  1 2  x  1 x  9 khi x 3    x 3  x khi x 1 x  5 khi x  3 f(x) =  d) f(x) =  2. tại xo = 0. Dạng 3:Tìm m để hàm số liên tục tại x 0 3. Tìm m để hàm số liên tục tại x 0 chỉ ra. a).  x2  4x  3  f  x   x  1 x - m .  x 1  x=1. x 0 =1. b).  x2  4  f  x   x  2 2x - m .  x 2  x < 2. tại x0 = 2.. Dang 4 : chứng minh phương trình y=f(x) =0 có nghiệm trên khoảng (a;b) 4 Chứng minh rằng phương trình:. a) 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm d. 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1). b) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt. e. x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2). 3 c)2x -6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2]. 5. CMR phương trình: x2016 + 3x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( -1 ; 0 ) 6.CMR phương trình: x 5 - 3x 3 + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương. GV NGUYỄN VĂN TỀ. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ-HÀM SỐ. ÔN TẬP I) PHẦN GIỚI HẠN DÃY SỐ: 3n2 + 5n+ 4 2n 3 - 4n 2 + 3n+7 1)lim ; 2 )lim ; 2 2-n n 2 -7n + 5.  3n  4 n  lim  n n  Lim  3.4  2  4) 5) II) PHẦN GIỚI HẠN HÀM SỐ:. . n2  n  1  n. 3 )lim. . 6) lim (n. n 2 - n+ 3 ; n 3 + 3n 3.  3n 2  2n  5). Loại 1: gh hàm số xác định tại x 0. x 2 + x +1 lim 5 1) x   1 2x + 3. lim 2). x 1. x -1 2x +1. Loại 2: gh hàm số không xác định tại x 0 ( gh vô cực). x 3 + x+1 lim lim (2 x 4  5 x 2  1) lim ( x  2 x  5 x  1) lim ( x 2  1  x ) x   2x + 3 1) x   2) 3) x    4) x   0  ; ; Loại 3: gh hàm số dạng vô định ( 0  0.;    ) 3 4x  1  2x  1  0   2x - 1 - 1 2x 2 - 3x+1 x 3 + x 2 - 2x - 8 Lim Lim  lim  1)lim 3 2 ; 2 )lim 2 ;   x  0 x 0  9  x  3  x 1 x - x + x - 1 x 2 x -1  4 x  2  ( 0 ) x - 3x+ 2 3) 4) x  1 5) 3. 2. 2. -6x 5 +7x 3 - 4x +3 x   8x 5 - 5x 4 + 2x 2 - 1. 6) lim. 10) lim. x  +. . 7) lim.  2x - 3   4x +7 . x  . . x+1 - x ;.  3x. 11) lim. x  . . 2. . 3. +1 10x 2 +9. . x  8) lim  x - 2  2 ; x 2 x -4 (). . lim(. x 2 + 2x + x ;. 12/. x 2. 1 1  2 ) x  2 x  3x  2 ;. 2x+1 x + x+ 2 (0.  ) 2 3x (2 x  1)(3x 2  x  1) lim (  ) x   2 x 1 4x2 13/ (. 9 ) lim  x+1 x  . 3. 3.   ). 14 )lim x 0. 1- 2x - 1+ 3x x 1  2 x  3 1 ; lim x  3 x x 3 15/ (gọi hằng số vắng). Loại 4: gh một bên của hàm số 3. x víi x<1 f  x   2 f  x  , lim f  x  vµ lim f  x  2x  3 víi x 1 . Tìm xlim x 1  1 x 1 1/ Cho hàm số (nếu có).. 2/ Tìm các giới hạn. a) e). lim. x 1. 3x - 1 x -1. lim . x  (  1). x 2 + 3x - 1 x +1. lim. b) x  1. 3x - 1 x -1 lim . f) x  (  1). 2m 2 x  2...khi...x  2  5  3 x.......khi...x 2. 2x - 1 c) x    x + 2 lim. x 2 + 3x - 1 x +1. lim. 3/ Cho f(x)= .Tìm m để ta có giới hạn x 2 f(x) và tìm giới hạn nầy? Loại 5: Tính liên tục của hàm số 1. Chứng minh rằng phương trình: sinx-x +1=0 Có ít nhất một nghiệm. 2. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2:. 3..  x3  3x  14  khi x  2 f(x)   x 2 5a  2x khi x  2 .  x3  8 víi x  2  f  x   4x  8 3 víi x=-2 có liên tục tại x= - 2  Hàm số.  x 1 , neáu x  1  g(x)  2  x  1  2x neáu x 1  4. Xét tính liên tục của hàm số: GV NGUYỄN VĂN TỀ. Trang 6. taïi x 1. 2x - 1 d) x   x + 2 lim.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ-HÀM SỐ 2   ax f  x    3 5. Cho hàm số:. GV NGUYỄN VĂN TỀ.  x 2   x>2 . a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại x=2. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>