DE DA HSG 20172018

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018 MÔN: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 120 phút). Bài 1 (4,0 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = 4 + 10 + 2 5 + 4 - 10 + 2 5  a  bc   b  ca    c  ab   b  ca    c  ab   a  bc  B c  ab a  bc b  ca b) (Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1) Bài 2 (3,0 điểm) a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x 4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2. b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y 2z2 là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên. Bài 3 (4,0 điểm) 2m  1 m  3 a) Tìm m để phương trình: x  2 vô nghiệm. 2 b) Giải phương trình: 4 x  1 x  5x  14 .. xy yz zx   3 z x y c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: . Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC. b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng. d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui. Bài 5 (2,0 điểm) Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d là các số thực) Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = f (8) + f (- 4) . –––––––––––––––Hết––––––––––––––––. Họ và tên thí sinh: ................................................................................. Số báo danh: .................................................Phòng số:..........................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI. KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN 9. (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang) BÀI. Ý. NỘI DUNG. A = 4 + 10 + 2 5 + 4 -. ĐIỂM. 10 + 2 5 > 0. (. Û A = 4 + 10 + 2 5 + 4 -. 10 + 2 5 + 2 16 - 10 + 2 5. 2. ). 0.25. Û A2 = 8 + 2 6 - 2 5 a 2.0. Û A2 = 8 + 2. (. ). 5- 1. 2. 0.25. Û A2 = 8 + 2 5 - 2 Û A2 = 6 + 2 5 Û A2 =. 1. (. ). 5 +1. 0.25 0.25. 2. 0.25. ( do A > 0). Û A = 5 +1. 0.25. Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta có: B. b 2.0. B.  1  b  c  bc   1  a  c  ca  1  a  b  ab.  1  b  1  c  1  a  1  c 1  a  1  b 2. B  1  c . 1 a . 2. . . .  1  a  b  ab   1  a  c  ca  1  b  c  bc.  1  a  1  b 1  a  1  c 1 b 1 c. 1  b. . .  1  a  b  ab   1  b  c  bc  1  a  c  ca. 1  a  1  b 1  b  1  c  1  a  1  c. 2. B |1  c |  |1  a |  |1  b | B 1  c  1  a  1  b (vì 0 < a,b,c < 1). Tính đúng: B = 2. 2. 0.5. Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x)( x - 1)( x - 2) f(x) chia hết cho x – 1 Þ f(1) = 0 Þ a + b = 0 Þ b = –a (1) f(x) chia hết cho x – 2 Þ f(2) = 0 Þ 8a + 2b = –15 (2) a 5 5 2.0 Từ (1) và (2) Þ 8a + 2(–a) = –15 Þ a = – 2 Þ b = 2 5 5 1 1 Thử lại: (x4 – 2 x3 + 2 x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + 2 x – 2 5 5 Vậy a = – 2 , b = 2 1.0 B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2. 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên Þ B là số chính phương ĐKXĐ: x 2 2m - 1 = m - 3  2m - 1 = ( x - 2) ( m - 3) x- 2 Þ 2m - 1 = mx - 2m - 3x + 6  ( m - 3) x = 4m - 7. a 1.5. + Xét m 3 , phương trình (*) có nghiệm. 4m  7 m 3. 4m - 7 1 =2Þ m= 2 Để phương trình đã cho vô nghiệm thì m - 3. Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm. ĐKXĐ: x  1 3 B 1.5. 0.25 0.25 0.25. ( *) + Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí) Þ m = 3 phương trình đã cho vô nghiệm x. 0.25. 0.25 0.25. 0.25. 4 x +1 = x 2 - 5x +14 Û x 2 - 5x - 4 x +1 +14 = 0. 0.25 0.25 0.25.  x 2 - 6x + 9 + x +1- 4 x +1 + 4 = 0. 0.25. 2.  ( x - 3) +. (. ). 2. x +1 - 2 = 0. 0.25. ïì x - 3 = 0  ïí ïï x +1 - 2 = 0 î ïì x = 3  ïí  x = 3( tm) ïïî x = 3. 0.25 0.25. Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta có: C 1.0. 3. xy yz zx xy yz zx   ³ 33 . . 3 3 xyz Þ xyz £ 1 z x y z x y. Vì x, y, z là các số nguyên dương nên từ (1) Þ x = y = z = 1 Thử lại : Đúng. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y;z) = (1;1;1). 4. N. A. E. M. D. B. I. H. C. 0.25 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a 2.5. b 2.0. c 1.5. d 1.0. 5. 2.0. Đặt BH = x (0 < x < 6) Þ BC = x + 6,4 AB2 = BH.BC Þ 62 = x(x + 6,4) Þ x = 3,6 Þ BC = 10cm Þ AC = 8cm Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật Þ DE = AH Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA AH2 = HB.HC Þ AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA Þ AH4 = BD.CE.BC.AH Þ AH3 = BD.CE.BC Vậy DE3 = BD.CE.BC Chứng minh ÐCNH =ÐBHM , HD = AE Gọi giao điểm của NA với HD là M’. Ta có: NE NC NE AE cos 2CNH = . = = NC NH NH M 'H HD HB HD AE cos 2 BHM = . = = HB HM HM HM AE AE Þ = Þ M 'H = MH M 'H MH Þ M’ trùng M Þ M, A, N thẳng hàng Có BM//CN, BD // NE, MD // CE Þ D BDM ~ D NEC Þ BD/NE = DM/EC (1) Gọi I là giao của MC với DE Þ DI/EI = DM/EC (2) Gọi I’ là giao của BN với DE Þ DI’/EI’ = BD/NE (3) Từ (1), (2), (3) Þ DI/EI = DI’/EI’ Þ I và I’ trùng nhau Vậy BN, CM, DE đồng qui. Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x Þ bậc của đa thức g(x) bằng 4 Từ giả thiết Þ g(1) = g(2) = g(3) = 0. Mà g(x) có bậc 4 nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a là số thực nào đó). Þ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x ìï f (8) = 7.6.5.(8 - a) + 80 Þ ïí ïïî f (- 4) = (- 5)(- 6)(- 7)(- 4 - a) - 40 Þ f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + 4 + a) + 40 Vậy f(8) + f(–4) = 2560.. 0.25 0.5 0.75 0.25 0.75 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25. *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>