Tài liệu Tài liệu ôn tập Đại số tuyến tính pdf

Tài liệu
Ôn tập Đại số tuyến tính
.
phần lý thuyết
Câu 19. Trình bày đường cong phức hợp? cơ sở toán và thuật toán hình thành đường cong phức hợp ?
Các đường cong phức hợp là những đường cong phức tạp như thân ô tô, cánh máy bay, vỏ tàu thủy,
các loại chai mỹ phẩm… đường cong phức hợp trong thiết kế đòi hỏi từ hai khả năng, thứ nhất đường
sinh đường cong dựa vào tập hợp các điểm đo đạc được, thứ hai là hiệu chỉnh đường cong trên các đối
tượng đã có.
Về mặt toán học các đường cong phức hợp là các đường cong trơn được xây dựng dựa vào các dữ liệu
điểm, tuy nhiên trong CAD/CAM dạng đa thức được sử dụng điển hình nhất. Để biểu thị mức trơn của
các đường cong người ta đưa ra 3 sự liên tục tại các điểm dữ liệu đó là:
C
0
- sự liên tục về vị trí ( position)
C
1
- sự liên tục về độ dốc( slope)
C
2
- sự liên tục về độ cong ( curvature)
Đa thức bậc ba là dạng thấp nhất để biểu diễn đường cong nhưng mang lại hiệu quả đáng kể:
+ Cho phép biểu diễn đường cong trong không gian
+ Tốc độ tính toán nhanh
Do vậy đường cong bậc lớn hơn 3 không được phổ biến sử dụng trong CAD/ CAM. Các đường cong
phức hợp chính trong CAD/ CAM là:
+ Hermite, Cubic , Spline
+ Bezier
+ B-spline
1. Đường cong Hermite
Đường cong Hermite trơn tham số bậc ba được định nghĩa bởi tọa độ và vecto tiếp tuyến tại hai điểm đầu

mút. Phương trình tổng quát được viết như sau:
P(t) =
i
0
Trong đó P( t) là điểm trên đường cong
Khai triển phương trình ta được :
(19.1)
Viết dưới dạng vecto :
P(t)=a
3
t
3
+ a
2
t
2
+ a
1
t+ a
0
(19.2)
Viết dưới dạng ma trận :
P(t)= * (19.3)
Vécto tại một điểm trên đường cong nhận được bằng cách đạo hàm :
P(t)= t (19.4)
Viết dưới dạng vecto :
(19.5)
Dể xác định các hệ số a
i
cần dựa vào các điều kiện biên đã biết là P0, P1, P

’
0 tại t=0, P
’
1tại t=1
Thay phương trình (19.1) vào (19.2) ta được :
P0= a
0
P
’
0= a
1
P1= a
3
+ a
2
+ a
1
+ a
0
(19.6)
P
’
1= 3a
3
+ 2a
2
+ a
1
Từ đó ta tính được các hệ số a
i

như sau:
a
0
= P(0)
a
1
= P’(0)
a
2
= -3P(0)+ 3P(1)- 2P
’
(0)- P
’
(1) (19.7)
a
0
= 2P(0)- 2P(1)+ P
’
(0)+P
’
(1)
Thay phương trình (19.7) vào phương trình (19.2) ta nhận được :
P(t) = (2t
3
-3t
2
+1) *P(0)+ (-2t
3
+ 3t
2

) *P(1)+ (t
3
-2t
2
+t)*P
’
(0) +(t
3
-t
2
)*P
’
(1) (19.8)
P
’
(t)=(6t
2
-6t)* P(0)+ (-6t
2
+ 6t) *P(1)+ (3t
2
-4t+1)*P
’
(0) +(3t
2
-2t)*P
’
(1) (19.9)
Phương trình (19.8) viết dưới dạng ma trận như sau :
P(t) = T.M

H
.G
H
Trong đó :
T= được gọi là ma trận tham số
M
H
= được gọi là ma trận đặc trưng của đường cong Hermite
G
H
= gọi là ma trận hình học
Tương tự ta có phương trình (19.9) viết dưới dạng ma trận
P
’
(t) = T.M
H
*.G
H
Trong đó :
M
H
*=
2. Đường cong Bezier
Bezier đã bắt đầu làm công việc trên dựa trên các công thức toán học để cho công việc thiết kế mềm dẻo
hơn dựa trên phương pháp nội suy.
Đường cong Bezier nhận các điểm điều khiển hoặc các đỉnh điều khiển được sắp xếp theo một trật tự
điểm (P
0
…P
n

) đó là các điểm gần với đường cong. Các điểm này có thể được biểu diễn trên màn hình đồ
họa và được con người sử dụng dùng để điều khiển hình dạng của đường cong theo ý muốn của mình.
Đường cong Bezier dựa trên nền tảng các hàm đa thức, dùng để biểu diễn các đường cong tự do. Đường
cong Bezier có bậc n được định nghĩa bằng n+1 đỉnh điều khiển và hàm tham số có dạng :
P(t)= (t) (19.10)
Trong đó các vecto P
i
biểu diễn n+1 điểm điều khiển. Hàm B
i,n
(t) là hàm trộn cho các biểu diễn Bezier và
được mô tả bằng đa thức Bernstein như sau :
B
i,n
(t)=C(n,i).t
i
(1-t)
n-i
0 (19.11)
Trong đó C(i,n) là nhị thức Newton được tính như sau:
C(i,n)= i=0….n
Các hàm trộn này thỏa mãn điều kiện sau :
B
i,n
(t)≥0 cho tất cả các i 0 (19.12)

(t) =1 0
Dạng thứ hai của phương trình (19.12) gọi là ‘’đặc trưng chung ‘’. Các điều kiện này tác động vào các
đường cong để làm đảm bảo tồn tại thực thể với các hình thù lồi được cài đặt bởi các điểm ngoài cùng của
đa giác đươc tạo ra bằng các điểm điều khiển và được gọi là thân lồi. Thân lồi có thể được coi tương
đương với các đa giác và nó sẽ nhận được nếu ta dùng một sợi dây cao su bọc quanh các điểm điều khiển.

Các hàm trộn của Bezier tạo ra bậc n của đa thức và cho n+1 điểm điều khiển. Nói chung tác động vào
đường cong Bezier để thêm vào các điểm điều khiển đầu và cuối. Các điểm điều khiển ở giữa chỉ có tác
dụng lôi kéo co giãn đường cong và có thể được sử dụng điều chỉnh cho đường cong thay đổi hình thể.
Các đa thức Bernstein được sử dụng như các hàm trộn cho các đường cong Bezier tương đương với mảng
các điểm điều khiển đường cong đa thức đơn giản. Mức độ hình dạng cuối cùng phụ thuộc vào số lượng
các điểm điều khiển. Các đường cong này được gọi là điều khiển cục bộ : đó là khi di chuyển một điểm
điều khiển chỉ làm thay đổi hình dáng của một đoạn đường cong.
Để cung cấp sự mềm dẻo trong thiết kế thì với một số lượng lớn các điểm điều khiển là cần thiết, kết quả
cho ở các đa thức mức độ cao có thể sẽ khó cho việc điều khiển.
Các ứng dụng của công thức Bezier là làm cánh máy bay, thân ô tô … Thuật toán của đường cong Bezier
không gian với n điểm điều khiển như sau :
Subroutine Bezier_curve ()
# n+1 –số điểm điều khiển
# P
i
- điểm điều khiển thứ i có tọa độ là (P
ix
, P
iy
, P
iz
)
Begin
For i=0 to n do
Read control point P
i

Next i
For t=0.0 to 1.0 insteps of 0.05 do
x=y=z=0.0

for i=0 to n do
B=Blend(i,n,t)
x=x+P
ix
*B
y=y+P
iy
*B
z=z+P
iz
*B
next i
if (x,y,z) is start point
then
Move _to (x,y,z)
Else
Draw_to (x,y,z)
endif
return
end
Function Blend(i,n,t)
Begin
Blend = Factorial(n)/factoria(i)*factoria(n-i)
Blend= blend *(t)
i
(1-t)
n-i
Return(blend)
End
Dạng ma trận của đường cong Bezier :

Các đường cong Bezier có thể biểu diễn đơn giản dưới dạng ma trận. Xét đường cong Bezier bậc ba có 4
điểm điều khiển.
Bốn hàm trộn phải tìm dựa trên đa thức Bernstein cho ở phương trình (19.10) là:

Ta có thể viết lại đường cong Bezier bậc ba dưới dạng ma trận như sau:
P(t)= *
Hoặc
P(t)= *
Và có thể rút gọn lại :
P(t)= * *
Viết dạng gọn nhất :
P(t)= * *
3. Đường cong B-Spline
Đường cong B-Spline là dạng đường cong trơn có tính chất linh hoạt hơn đường cong Bezier. Bậc của
đường cong không phụ thuộc vào số điểm điều khiển với 4 điểm điều khiển tạo đường cong của Bezier
bậc thì cùng với 4 điểm đó có thể tạo thành đường cong B-Spline bậc 1, 2 hoặc 3. Tính linh hoạt này có
được bởi việc chọn các hàm trộn khác nhau.
Phương trình tổng quát của đường cong B-Spline định nghĩa bởi n+1 điểm điều khiển như sau:
P(u)= (u) (19.13) 0 u
max
Tham số u không lấy giá trị từ 0÷1 như đường cong Bezier .
Trong đó : P
i
là các điểm điều khiển.
N
i,k
(u) là các hàm trộn ( hàm B-Spline)
(k-1) là bậc của đường cong.
Hàm trộn ( hàm B-Spline) có các đặc điểm sau :
+ (u) =1

+ N
i,k
(u) >0
+ N
i,k
(u) = 0 nếu u≠ , N
i,k
(u) có k-2 lần vi phân liên tục.
Đặc điểm thứ nhất đảm bảo sự liên quan giữa đường cong và các điểm điều khiển là bất biến qua phép
biến đổi affine. Đặc điểm thứ hai đảm bảo đoạn cong nằm hoàn toàn về phía lồi của P
i
và đặc điểm thứ ba
cho thấy đoạn cong chỉ bị ảnh hưởng bởi k điểm điều khiển.
Ví dụ : đường cong B-Spline bậc ba (k=4) thì đoạn chỉ bị ảnh hưởng của 4 điểm điều khiển .
Hàm B-Spline tổng quát có đặc điểm đệ quy và xác định bởi công thức :
N
i,k
(u) = (u-u
i
) * + (u
i+1
-u)*
Trong đó :
N
i,1
=
N
i,1
(k=1) là hằng số, còn trong trường hợp tổng quát k≠1 thì sẽ là đa thức bậc k-1.
U

i
gọi là các nút tham số, chúng tạo thành 1 dãy các số nguyên không giảm gọi là vecto nút. Giá trị của
các U
i
phụ thuộc vào đường cong B-Spline là mở hay đóng. Đối với đường cong mở U
i
xác định bởi :
U
i
= (19.14)
Trong đó : 0 (19.15)
Và khoảng cách chia của u là : 0 (19.16)
Trong (19.15) dùng chỉ số j và j thường lớn hơn n. mà n là giới hạn trên của i, các u
i
sẽ lấy bằng u
j
khi i=j.
Phương trình (19.16) chỉ rằng (n+k+1) nút là cần thiết để tạo đường cong bậc k-1 với (n+1) điểm điều
khiển. Các nút này được đặt đều nhau trong phạm vi của u với =1, như vậy sẽ cho phép tạo ra hàm B-
Spline đồng nhất; (19.16) cho giới hạn của u đồng thời cũng cho giới hạn của k xác định bởi : n-k+2>0
Quan hệ này cho thấy số điểm điều khiển tối thiểu là 2,3,4 là bắt buộc để định nghĩa đường cong B-
Spline bậc 1,2 hoặc 3. Có nghĩa là có hai điểm điều khiển thì chỉ định nghĩa được B-Spline bậc 1, có 4
điêm điều khiển mới có thể định nghĩa được đường cong bậc 3,
n n+1 điểm điều
khiển
k k-1 bậc n-k+2>0
1 2 2 1 Đúng
2 3 3 2 Đúng
3 4 4 3 Đúng
B-Spline là dạng đường cong rất hiệu quả cho thiết kế mô hình khung dây bởi chúng có đặc điểm sau:

+ Khả năng điều khiển cục bộ : bằng cách thay đổi vị trí 1 điểm điều khiển hay cho một số điểm điều
khiển trùng nhau thì không ảnh hưởng đến toàn bộ đường cong mà chỉ ảnh hưởng đến k đoạn quanh điểm
điều khiển đó .
 B-Spline mở sẽ tiếp tuyến với đoạn (P
1
-P
0
) và (P
n+1
-P
n
)
 Bậc của đường cong càng thấp thì dạng càng gần với điểm điều khiển
 k=1 bậc 0 thì đường cong suy biến thành các điểm điều khiển
 k=2 bậc 1 thì đường cong suy biến thành các đoạn đa giác điều khiển
 Nếu B-Spline là bậc 2 thì nó tiếp tuyến tại điểm giữa của các đa giác điều khiển
 Nếu k=n+1 thì đường cong B-Spline suy biến thành đường cong Bezier
 Sử dụng nhiều điểm điều khiển trùng nhau để kéo spline vể điểm đó
Dạng ma trận của đường cong B-Spline
Đường cong B-Spline nội suy qua n+1 điểm điều khiển nhưng do tính chất điểu khiển cục bộ mà đường
cong B-Spline được chia thành các đoạn, mỗi đoạn chỉ chịu ảnh hưởng của 4 điểm điều khiển.
Có (n+1) điểm điều khiển sẽ được (n+1-3) hay (n-2) đoạn cong. Ký hiệu đoạn cong là Q
i
thì Q
i
được điều
khiển bởi 4 điểm P
i-3
, P
i-2

, P
i-1
, P
i
. Vecto hình học G
Bsi
cho trong đoạn Q
i
là:
G
Bsi
= 3
Định nghĩa ma trận =
Trong đó u
i
là các nút tham số được tính theo công thức (19.14). Thì công thức ma trận cho B-Spline như
sau :
P
i
(u) = * * u
i
≤ u ≤ u
i+1
; 3 ≤ i ≤ n
Trong đó ma trận cơ bản của B-Spline M
Bs
như sau :
M
Bs
=

Câu 20. Trình bày mô hình mặt lưới? cơ sở toán và thuật toán hình thành mô hình mặt lưới?
Đây là một bề mặt được định nghĩa bởi một chuỗi các đường Section và cross-section. Bề mặt tạo ra là
một lưới các mảnh nhỏ.
Bề mặt đi qua một cách trơn tru một chuỗi các đường Section ( hướng U) và các đường Cross-Section
( hướng V)
Mỗi một cặp các đường Section và các đường Cross-section kề nhau sẽ tạo ra một mảnh bề mặt.
Sự tiếp nối giữa hai mảnh kề nhau là liên tục và trơn tru.
Bên trong các mảnh , hình dạng của bề mặt được định nghĩa bởi một hàm số tùy thuộc vào hình dạng của
các đường cong tạo ra mảnh đó và khoảng cách từ điểm đang xét tới đường biên của mảnh.
Trong CAD /CAM để tạo ra bề mặt lưới người ta dùng lệnh MESH sau đó chỉ ra hai nhóm đường cong
cắt nhau.
Bộ các đường cong được chọn đầu tiên sẽ tạo nên các đường Section, còn nhóm đường cong chọn thứ hai
sẽ tạo ra các đường cong Cross-Section.
Thuật toán tạo ra mặt lưới cho phép chúng ta tạo ra những bề mặt có hình dạng tương đối phức tạp và có
ít quy luật.
1. Phương pháp để biểu diễn bề mặt trong CAD
Các bề mặt được biểu diễn trong không gian tham số và không gian đề các
Bề mặt là một dạng mô hình hình học trong thiết kế kĩ thuật và gia công. Bề mặt chi tiết thường được tạo
bởi nhiều mảnh bề mặt ghép lại, mỗi mảnh bề mặt tùy thuộc theo đặc điểm hình học sẽ được biểu diễn
bằng các mô hình toán học khác nhau, ví dụ như mặt phẳng, mặt tròn xoay, mặt Bezier… Cũng giống
nhau đường cong các bề mặt được biểu diễn bằng phương trình tham số.
2. Biểu diễn các bề mặt
2.1.Biểu diễn các bề mặt cơ bản :như mặt phẳng, mặt kẻ , mặt trụ….
• Mặt phẳng
a. Xét trường hợp mặt phẳng đi qua 3 điểm P
0
,P
1
,P
2

Giả sử tại P
0
có u=0, v=0 và 0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ 1
Vecto P
1
-P
0
xác định hướng tham số u
Vecto P
2
-P
0
xác định hướng tham số v
Vecto xác định một điểm bất kì trên mặt phẳng P(u,v) viết như sau :
P(u,v)= P
0
+ u.(P
1
-P
0
) + v.(P
2
-P
0
) 0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ 1 (20.1)
Vécto tiếp tuyến tại P được xác định theo hai hướng u và v :
P
u
(u,v) = P

1
-P
0
P
v
(u,v) = P
2
-P
0
Vecto pháp tuyến của bề mặt :
= (20.2)
b. Phương trình đi qua điểm P
0
và chứa hai vecto đơn vị
P(u,v)= P
0
+ uL
u
+ v.L
v
0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ 1 (20.3)
Tùy theo độ lớn của L
u
, L
v
mà ta có mảnh mặt phẳng có kích thước khác nhau.
c. Mặt phẳng đi qua P
0
và vuông góc với vecto pháp tuyến . Ta có :
(P-P

0
) . = 0 (20.4)
• Mặt kẻ
Mặt kẻ được sinh ra bằng việc nối các điểm trên mặt cong không gian G(u) và Q(u) bằng các thẳng. Đặc
điểm chính của mặt kẻ là tại 1 điểm P(u,v) trên bề mặt tồn tại ít nhất một đường thẳng nằm toàn bộ trên
bề mặt đó. Bề mặt kẻ có thể kể đến là : mặt phẳng, mặt côn , mặt trụ…
Xét điểm P(u,v) nằm trên đường thẳng nối hai điểm G
i
và Q
i
tham số u=u
i
ta có :
P(u
i
,v) = G
i
+ v . (Q
i
-G
i
) (20.5)
Trong đó v là tham số dọc theo đường kẻ. Tổng quát ta có
P(u, v) = G(u) + v. (20.6)
= (1-v) G(u) + Q(u)
0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ 1
Đặc điểm lưu ý của bề mặt kẻ là : Đường cong bề mặt theo hướng v tại những giá trị v xác xấp xỉ 0
thì càng giống đường cong G(u) còn tại những giá trị v xấp xỉ 1 thì càng giốn đường cong Q(u)
• Bề mặt tròn xoay
Bề mặt tròn xoay được tạo bởi việc quanh 1 đường cong phẳng quanh một trục, nếu tham số v=360 thì

mỗi điểm trên đường cong phẳng sẽ tạo thành một đường tròn gọi là vĩ tuyến. Đường cong phẳng gốc gọi
là profile. Đường cong phẳng và trục quay tạo thành mặt phẳng tại gốc 0.

Định nghĩa hệ tọa độ cục bộ có truc Z trùng với trục quay X
L
nối vuông góc từ điểm có u=0 trên profile
đến trục quay ra profile. Trục Y
L
sẽ được xác định bằng quy tắc bàn tay phải. Xét một điểm trên đường
cong phẳng G(u)=P(u,v) cho quay một góc v quanh trục Z
L
được điểm P(u,v). Công thức xác định P(u,v)
chính là phương trình tham số của bể mặt tròn xoay:
P(u,v) = r
z
(u) . + r
z
(u) . + z
L
(u). 0
Chuyển P(u,v) về không gian mô hình thông qua ma trận chuyển hình dựa vào P
L
, , , ta có P(u,v)
trong không gian mô hình để hiển thị bề mặt cơ sở dữ liệu của bề mặt tròn xoay bao gồm profile, trục
quay, góc đầu, góc cuối.
• Bề mặt trụ
Bề mặt trụ được tạo thành do di chuyển một đường cong thẳng theo một hướng (cho đường cong chuẩn
trượt theo đường sinh ) hoặc di chuyển một đường thẳng (gọi là đường sinh) dọc theo một đường cong
phẳng (gọi là đường chuẩn). Đường sinh luôn luôn song song với 1 vecto cố định, vecto này định nghĩa
phương v của bề mặt.

Vecto vị trí P(u,v) tại một điểm trên bề mặt được viết như sau :
P(u,v) = G(u) + v. 0≤ u ≤ u
max
; 0≤ v ≤ v
max
Cơ sở dữ liệu của bề mặt trụ là : đường chuẩn, vecto (hay đường sinh) và giới hạn trên, dưới của mặt
trụ.
2.2. Biểu diễn các bề mặt cong trơn
• Bề mặt Hermite bậc 3
Bề mặt Hermite bậc 3 nội suy qua dữ liệu tại 4 điểm ở 4 góc. Tại 4 điểm này xác định 16 vecto điều kiện
(hay 48 đại lượng vô hướng) 16 vecto bao gồm :
4 tọa độ điểm tại 4 góc : P
00
, P
10
, P
01
, P
11

8 vecto tiếp tuyến tại 4 góc (mỗi hướng có 2 vecto theo hai hướng u và v ).
4 vecto xoắn tại 4 góc

Bề mặt Hermite bậc ba
8 vecto tiếp tuyến :P
v00
= ; P
u00
=

P
v10
= ; P
u10
=
P
v01
= ; P
u01
=
P
v11
= ; P
v00
=
4 vecto xoắn : P
uv00
= ; P
uv10
=
P
uv01
= P
uv11
=
Phương trình tổng quát của bề mặt Hermite như sau:
P(u,v) = 0≤ u,v ≤ 1 (20.7)
Phương trình bề mặt Hermite dưới dạng ma trận như sau:
P(u,v) = U
T

* V 0≤ u,v ≤ 1
Trong đó: U = ; V =
C =
Để xác định các C
ij
dựa vào 16 vecto điều kiện. Tính ma trận C như sau:
= *
Lúc đó phương trình tổng quát như sau :
P(u,v) = U
T
* * *V 0≤ u,v ≤ 1
Trong đó: = chính là ma trận cho đường Hermite
[B] = (20.8)
Nếu muốn có ma trận [B]
X|
là yếu tố hình học theo phương x thì các phần tử trong (20.8) cũng lấy chỉ số
x. Ma trận [B] có 4 nhóm yếu tố hình học nên ta có thể viết gọn lại như sau:
[B] =
Vecto tiếp tuyến và vecto xoắn tại một điểm bất kì trên bề mặt như sau:
P
u
(u,v) = = U
T
* * *V
P
v
(u,v) = = U
T
* * *V
P

uv
(u,v) = = U
T
* * *V
Trong đó [M
H
]
u
= [M
H
]
v
= (như đường Hermite )
Điều kiện để hai mảnh liên tục C
1
tại cung u=1 như sau:
 [ P(0,v)]
mảnh1
=[P(1,v)]
mảnh2
:liên tục C
0
 [P
u
(0,v)]
mảnh2
=[P
u
(1,v)]
mảnh1

:liên tục C
1
• Bề mặt Beier
Bề mặt Bezier là mở rộng đường cong Bezier theo hai phương tham số u và v. Bề mặt Bezier được nội
suy qua một ma trận điểm. Ví dụ qua ma trận 16 điểm ( 4 hàng X 4 cột) ta có bề mặt Bezier bậc 3. Ma
trận điểm hình thành ra một đa diện điều khiển bề mặt.
Phương trình bề mặt Bezier như sau : P(u,v) = 0 ≤ u,v ≤ 1
Trong đó : P
ij
là điểm điều khiển được xếp thành ma trận (n+1) X (m+1) ; (n+1) là số điểm theo hàng u và
(m+1) là số điểm theo hàng v.
B
i,n
(u) và B
j,m
(v) là các hàm trộn theo hàm Bernstein theo hàng u và v.

Cơ sở hình thành bề mặt Bezier
Bề mặt Bezier sẽ tiếp tuyến với các mảnh đơn của các đa diện điều khiển tại 4 góc. Có thể viết được vecto
tiếp tuyến tại 4 góc của bề mặt như sau :
P
u00
= n(P
10
– P
00
) ; P
un0
= n(P
n0

–P
(n-1)0
) dọc theo cạnh v=0
P
u0m
= n(P
1m
– P
0m
) ; P
unm
= n(P
nm
–P
(n-1)m
) dọc theo cạnh v=1
P
v00
= n(P
10
– P
00
) ; P
vm0
= n(P
nm
–P
(n-1)m
) dọc theo cạnh u=0
P

vm0
= n(P
n1
– P
n0
) ; P
vnm
= n(P
nm
–P
(n-1)m
) dọc theo cạnh u=1
Pháp tuyến tại điểm bày trên bề mặt tính theo công thức sau :
N(u,v) =
P
kl
Khi khai triển chú ý P
ij
* P
bl
= 0 nếu i =b và j = l và P
ij
* P
bl
= -P
bl
*P
ij
.
Phương trình bề mặt Bezier được viết dưới dạng ma trận như sau:

P(u,v) = *
Trên đây là các cách biểu diễn của một số bề mặt. Nếu ta muốn biểu diễn thành mặt lưới gồm
có m đường Section và n đường Cross-Section ta chỉ việc chia u ra thành (m-1) khoảng bằng
nhau và chia v ra thành (n-1) khoảng bằng nhau.
Câu 21. Giải thích ý nghĩa của việc bù bán kính dao? Lấy ví dụ minh họa?
Do trong quá trình gia công dao bị mòn dần , và trong quá trình lập trình gia công do ta lấy điểm đỉnh
dao để lập trình gia công không trùng với điểm đầu dao tiếp xúc với phôi ngoài thực tế nên khi gia công
sẽ gây ra sai số. Vì vậy ta cần phải bù dao trong quá trình gia công để gia công được kích thước đúng yêu
cầu tránh gây ra sai số ảnh hưởng tới chất lượng của chi tiết gia công.
Trong quá trình gia công tùy thuộc vào hướng chạy dao mà ta có thể bù dao trái hoặc bù dao phải.
Quỹ đạo tâm dao khi bù dao b) và khi không bù dao

I. phần thực hành
Chi tiết dạng càng thường có chức năng biến chuyển động thẳng của chi tiết này (piston của động cơ đốt
trong chẳng hạn) thành chuyển động quay của chi tiết khác (trục khuỷu). Ngoài ra chi tiết dạng càng còn
dùng để đẩy bánh răng ( khi cần thay đổi tỷ số truyền trong các hộp tốc độ ).
Trên chi tiết dạng càng ngoài các lỗ cơ bản cần được gia công chính xác, còn có những lỗ dùng để kẹp
chặt chi tiết , các rãnh then, các mặt đầu của lỗ và những yếu tố khác cần được gia công. Trên chi tiết
dạng càng bao giờ cũng có một hoặc một số lỗ cơ bản mà tâm chúng bao giờ cũng song song với nhau
hoặc tạo với nhau một góc nào đó.
Cũng như các chi tiết khác, đối với chi tiết dạng càng tính công nghệ có ý nghĩa quan trọng vì nó ảnh
hưởng trực tiếp đến năng suất và độ chính xác gia công. Vì vậy khi thiết kế càng nên chú ý tới kết cấu của
nó như:
Độ cứng vững của càng.
Chiều dài của các lỗ cơ bản nên bằng nhau và các mặt đầu của chúng cùng nằm trên hai mặt phẳng song
song với nhau là tốt nhất.
Kết cấu của càng nên đối xứng với nhau qua một mặt phẳng nào đó. Đối với những càng có lỗ vuông góc
với nhau thì kết cấu phải thuận lợi cho việc gia công các lỗ đó.
Kết cấu của càng phải thuận lợi cho việc gia công nhiều chi tiết cùng một lúc.
Hình dáng của càng phải thuận lợi cho việc chọn chuẩn thô và chuẩn thống nhất.

Chi tiết càng gia công trên là chi tiết có tác dụng như đùi xe đạp để truyền chuyển động quay từ tay quay
sang trục .
Để thiết kế chi tiết này ta sẽ sử dụng phần mềm thiết kế Solidwork .
Quá trình thiết kế chi tiết như sau:
1.thiết kế chi tiết trên phần mềm Solidwork
để vẽ được chi tiết ta phải tạo mặt vẽ phác thảo (Sketch). Trên mặt phác thảo này ta vẽ biên
dạng của chi tiết như hình vẽ dưới đây:
Hình1. biên
dạng của chi
tiết trên mặt
phẳng vẽ phác
thảo
Sau đó ta dùng lệnh
Extrude để tạo khối
cơ bản ban đầu của
chi tiết. Ta cho các
thông số kích thước
để sau này có được
kích thước của chi tiết
yêu cầu. Ta có hình
vẽ minh họa cho công
việc thực hiện như
sau:
Hình 2. khối cơ bản ban đầu : dùng lệnh Extrude
Sau đó để thực hiện tiếp ta chọn mặt phẳng để vẽ phác thảo tiếp như hình vẽ duới đây:
Hình 3. chọn mặt phẳng để gia công và phác thảo biên dạng
hình vẽ tiếp theo
Hình 4. Tạo khối hình trụ để đạt kích thước hình trụ lớn
Sau đó ta dùng lệnh Extrude để tạo hình trụ để đạt kích thước yêu cầu của hình trụ lớn. Dưới
đây là hình vẽ minh họa

Hình 5. tạo khối cho hình trụ lớn
Sau khi đã đạt được kích thước của hình trụ lớn theo đúng yêu cầu ta tiếp tục tạo hình trụ nhỏ
để đạt kích thước theo yêu cầu.
Hình6 chọn mặt phẳng và vẽ biên dạng cho hình trụ nhỏ