Tài liệu Cơ sở lý thuyết về phân tích động học vật rắn không gian ppt

Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 1 -
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC VẬT
RẮN KHÔNG GIAN

2.1 Ma trận cosin chỉ hướng
2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn.
Cho vật rắn B và hệ qui chiếu R
0
=
{
}
(0) (0) (0)
123
,,eee
r
rr
. Trong đó
(0)
1
e
r
,
(0)
2
e
r
,
(0)
3
e

r

là ba vector đơn vị trên các trục Ox
0
,Oy
0
,Oz
0
. Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ
qui chiếu R=
{
}
123
,,eee
rr r
với
1
e
r
,
2
e
r
,
3
e
r
là ba vector đơn vị trên các trục
Ax,Ay,Az (Hình 2.1).

Hình 2.1
Định nghĩa : Ma trận vuông cấp ba

=A
(0) (0) (0)
11 12 13
(0) (0) (0)
21 22 23
(0) (0) (0)
31 32 33



eeee ee
eeee ee
eeee ee
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
rrrr rr
rrrr rr
rrrr rr
(2.1)
được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R
0
.
Nếu ta đưa vào ký hiệu :

(0) (0)
.cos(,)
ij i i i i
aee ee==
rr r r
, (i,j = 1,2 3) (2.2)
Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng:

=A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(2.3)
O
e
3
(0)
(0)
e
1
e
(0)

2
e
3
e
1
e
2
X
Z
Y
X
B
A
0
0
Y
Z
0
Z
1
Y
1
X
1
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 2 -
Từ định nghĩa trên, trong hệ qui chiếu R
0
ta có các hệ thức liên hệ:

(0) (0) (0)
1111 122 133
(0) (0) (0)
2211 222 233
(0) (0) (0)
3311 322 333
eaeaeae
eae ae ae
eae ae ae
=++
=++
=++
r
rrr
r
rrr
r
rrr
(2.4)
Nếu ta ký hiệu e
i
là ma trận cột gồm các phần tử của vector
i
e
r
trong hệ
qui chiếu R
0

1
=e
11
21
31
a
a
a
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
,
2
=
e
12
22
32
a
a
a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢

⎥
⎣
⎦
,
3
=
e
13
23
33
a
a
a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.5)
Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng:
A=[e
1
,e
2
,e

3
] (2.6)
Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn.

2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng
a) Tính chất 1: Ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao.
Theo công thức (2.6) :
A=[e
1
,e
2
,e
3
]
Vậy ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba vector trực
chuẩn. Do đó A là ma trận trực giao.
Hệ quả: Trong 9 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng có 3 thành
phần độc lập.
Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên
A.A
T
=E. Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của
ma trận cosin chỉ phương như sau:

222
11 21 31
222
12 22 32
222
13 23 33

1
1
1
aaa
aaa
aaa
++=
++=
++=
,
11 12 21 22 31 32
11 13 21 23 31 33
12 13 22 23 32 33
0
0
0
aa aa aa
aa aa aa
aa aa aa
+
+=
+
+=
+
+=

Do vậy chỉ có ba thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập.
b) Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det(A)=1.
Từ hệ thức
A.A

T
= E ta suy ra:
det(
A.A
T
) = det(A).det(A
T
) = det(E) = 1
Do : det(
A) = det(A
T
) nên to có det(A) =
1
±
. Ta có thể chứng minh
det(
A) = 1.
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 3 -
c) Tính chất 3 : Ma trận cosin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng
1
1
λ
=
.

2.1.3 Ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Xét hai hệ qui chiếu R
0
và R có cùng gốc O. Trong đó hệ qui chiếu R

0

≡

Ox
0
y
0
x
0
là hệ qui chiếu cố định, hệ qui chiếu R
≡
Oxyz gắn liền với vật rắn
B. Lấy một điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xác định
bởi vector định vị
P
OP r=
uuur
r
. (Hình vẽ 2.2)

Hình 2.2
Ký hiệu các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là x
P
, y
P
, z
P
,
các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu cố định Ox

0
y
0
z
0
là
(0)
P
x
,
(0)
P
y ,
(0)
P
z .
Ta có các hệ thức sau :

(0) (0) (0) (0) (0) (0)
123

PP P P
rxe ye ze=++
rr r r
(2.7)

123

PP P P
rxeyeze=++

rr rr
(2.8)
Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được :

(0) (0) (0)
11 1 21 2 31 3
(. . . )
PP
rxae ae ae=+++
rrrr


(0) (0) (0)
12 1 22 2 32 3
(. . . )
P
yaeaeae
+
++
rrr
(2.10)

(0) (0) (0)
13 1 23 2 33 3
(. . . )
P
zaeaeae++
rrr

Hay :

(0)
11 12 33 1
(. . .)
PPPP
raxayaze=++ +
rr


(0)
31 32 33 2
(. . .)
PPP
ax ay aze++ +
r
(2.11)

(0)
31 32 33 3
(. . .)
PPP
ax ay aze++
r

e
3
(0)
e
2
(0)

e
1
(0)
e
3
e
1
e
2
Z
Y
Y
X
0
Z
0
X
0
P
B
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 4 -
Z
Y
X
O
θ
Ψ
ϕ
So sánh các biểu thức (2.7) và (2.11) ta suy ra hệ phương trình :

(0)
11 12 33

P
PPP
x
ax ay az=++


(0)
31 32 33

P
PPP
yaxayaz=++ (2.12)

(0)
31 32 33

P
PPP
zaxayaz=++

Hệ phương trình (2.12) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau :

(0)
11 12 13
(0)
21 22 23

(0)
31 32 33
.
P
P
P
P
P
P
x
x
aaa
yaaay
aaa
z
z
⎡⎤
⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥

⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣
⎦
⎣⎦
(2.13)
Từ hệ phương trình (2.13) ta rút ra kết luận sau : Ma trận cosin chỉ hướng
A biến đổi các tọa độ của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn trong hệ qui chiếu
động Oxyz sang các tọa độ của điểm P đó trong hệ qui chiếu cố định Ox
0
-
y
0
z
0
.

2.2 Các ma trận quay cơ bản
Ta qui ước hướng quay dương là hướng quay ngược chiều kim đồng hồ
như hình vẽ (Hình 2.3).

Hình 2.3

Các phép quay quanh trục x, y, z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz được gọi là
phép quay cơ bản.
Ta tìm ma trận quay của phép quay quanh trục x
0
một góc
ϕ
(Hình 2.4).
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 5 -

Hình 2.4

Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có:

0x
A
(0) (0) (0)
11 1 2 13
(0) (0) (0)
21 22 23
(0) (0) (0)
31 32 33

() . . .

eeee ee
eeee ee

eeee ee
ϕ
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
rrrr rr
rrrr rr
rrrr rr
(2.14)


0
()
ϕ
x
A
=
10 0
0cos sin
0sin cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⎡⎤
⎢⎥
−

⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(2.15)

Ma trận (2.15) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x
0
.
Bằng cách tương tự, ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các
trục y
0
và z
0
(Hình 2.5)
0
()
ψ
=
y
A
cos 0 sin
010
sin 0 cos
ψ
ψ
ψ
ψ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥

⎢⎥
−
⎣⎦
,
0
()
θ
=
z
A
cos sin 0
sin cos 0
001
θ
θ
θθ
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.16)
Từ các công thức (2.15) và (2.16) ta dễ dàng tính được:

000
det ( ) det ( ) det ( )
ϕ
ψθ
==
xyz
AAA (2.17)
e
2
Z
Z
Y
O
0
0
Z
e
2
(0)
e
3
(0)
3
e
ϕ
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 6 -

Hình 2.5

2.3 Các tọa độ thuần nhất và ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất
Khái niệm toạ độ thuần nhất được Denavit Hartenberg đưa ra năm 1955,và
hiện nay đang được dùng rất rộng rãi trong tính toán động học robot.

2.3.1 Các toạ độ thuần nhất
Định nghĩa: Cho X={x
1
,x
2
, x
n
} là một điểm trong không gian n chiều R
n
.Tập
hợp (n+1) phần tử (y
1
,y
2
, y
n
,y
n+1
) với (y
n+1
≠0) và:

12
12
11 1
; ; ;

n
n
nn n
y
yy
xx x
yy y
++ +
== =
(2.18)
Gọi là toạ độ thuần nhất của X.
Trong kỹ thuật,người ta thường chọn (y
n+1
=1).
Vậy điểm P(x,y,z) trong toạ độ vật lý R
3
được biểu diễn trong toạ độ thuần
nhất R
4
như sau:

P=[x,y,z]
T
⇔ P=[x,y,z,1]
T

Trong R
3
Trong toạ độ thuần nhất R
4

Nhờ khái niệm toạ độ thuần nhất trong không gian 4 chiều ta có thể chuyển
bài toán cộng ma trận cột trong không gian ba chiều sang bài toán nhân ma trận
trong không gian bốn chiều. Cho
a
r
và
b
r
là hai vector trong không gian ba
chiều, ta có:
e
e
O
2
θ
1
(0)
1
e
X
0
0
Y
Y
2
(0)
e
X
O

1
(0)
e
X
0
3
(0)
0
Z
e
Z
X
Ψ
3
e
1
e
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 7 -
a+b=
11 11
22 22
33 33
abab
abab
abab
+
⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
+=+

⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
+
⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦
(2.19)
Ta chuyển phép tính cộng (2.19) bằng phép tính nhân hai ma trận như sau:

11 1
1
22 2
2
3
33 3
100
010
001
000 1
11
ab b
a
ab b
a
a
ab b
+
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
+

⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
+
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠

(2.20)

2.3.2 Ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất
Xét vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định OX
0
Y
0
Z
0
. Lấy một
điểm A nào đó của vật rắn B và gắn chặt vào vật rắn hệ qui chiếu AXYZ (Hình
2.6). Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B. Trong hệ toạ độ vật lý OX
0
Y
0

Z
0
ta có:

Hình 2.6


P
AAP
rrs=+
rrr
(2.21)
Phương trình (2.21) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

(0) (0)
11 12 13
(0) (0)
21 22 23
(0) (0)
31 32 33
PA
x
P
Ay
P
Az
xx
s
rrr
yyrrrs
rrr

zz s
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=+
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
(2.22)
O
X0
Z0
Y0
Y
X
Z
P
e
A
(0)
3

(0)
e
1
e
3
(0)
e
2
e
1
r
A
e
2
r
P
S
AP
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 8 -
Trong đó R là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B, ,,
x
yz
s
ss là toạ độ
của vectơ
A
P
s
r

trong hệ qui chiếu
x
yz
A
.Nếu sử dụng hệ các toạ độ thuần nhất
phương trình (2.22) có thể được viết lại dưới dạng:

(0)
(0)
11 12 13
(0)
(0)
21 22 23
(0)
(0)
31 32 3
000 1
1
1
x
P
A
y
P
A
A
z
P
s
x

rrrx
s
y
rrr y
rr rz
s
z
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
(2.23)
Định nghĩa

: Ma trận

H =
(0)
11 12 13
(0)
21 22 23
(0)
31 32 33
000 1
A
A
A
rrrx
rrr y
rrr z
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(2.24)
được gọi là ma trận chuyển toạ độ thuần nhất của điểm P từ hệ Axyz sang hệ
Ox
0
y
0
z
0

.
Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tịnh tiến thuần nhất:
Các ma trận quay cơ bản (2.15), (2.16) mở rộng ra trong hệ toạ độ thuần nhất
bốn chiều có dạng như sau:
A
x0
(ϕ)=
10 0 0
0cos sin 0
0sin cos 0
00 0 1
ϕϕ
ϕϕ
⎛⎞
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(2.25)
A
y0
(ψ)=
cos 0 sin 0
0100
sin 0 cos 0
0001
ψψ
ψψ

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠
(2.26)
A
z0
(θ)=
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0010
0001
θθ
θθ
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(2.27)
Ngoài ra ta đưa vào khai niệm ma trận tịnh tiến thuần nhất có dạng:
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 9 -
T(a,b,c)=
100

010
001
0001
a
b
c
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(2.28)
Trong đó ta thực hiện chuyển động tịnh tiến theo trục toạ độ x một doạn là a,
theo trục toạ độ y một đoạn b, theo trục toạ độ z một đoạn c.

2.4 Các góc quay Euler và ma trận quay Euler
2.4.1 Xác định ma trận cosin chỉ hướng từ các góc Euler
Vị trí của vật rắn B quay quanh điểm O cố định được xác định bởi hệ qui
chiếu động Oxyz (gắn chặt vào vật rắn B) đối với hệ qui chiếu cố định
Ox
0
y
0
z
0
(Hình 2.7). Giả sử giao của mặt phẳng Ox
0
y
0

và mặt phẳng Oxy là
trục OK. Trục OK này được gọi là đường nút.










Hình 2.7
Ta đưa vào các ký hiệu sau :
- Góc giữa trục Ox
0
và OK là
ψ

- Góc giữa trục Oz
0
và Oz là
θ

- Góc giữa trục OK và Ox là
ϕ

Ba góc
,,
ψ

θϕ
được gọi là góc Euler. Như thế, vị trí của vật rắn B đối với
hệ qui chiếu cố định được xác định bởi ba tọa độ suy rộng
,,
ψ
θϕ
. Phương
trình chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định có dạng:

(t)
ψ
ψ
=
;
(t)
θ
θ
=
;
(t)
ϕ
ϕ
=
(2.29)
Từ đó suy ra, vật rắn quay quanh một điểm cố định có ba bậc tự do.
K
0
X
X
O

Z
Z
0
0
Y
Y
θ
Ψ
ϕ
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 10 -
Khi xác định vị trí của vật rắn bằng các góc Euler, ta có thể quay hệ qui
chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0
sang hệ qui chiếu động Oxyz bằng ba phép quay Euler
như sau (Hình 2.8):



Hình 2.8
- Quay hệ qui chiếu R
0
≡
Ox
0
y

0
z
0
quanh trục Oz
0
một góc
ψ
để trục Ox
0

chuyển tới đường nút OK. Với phép quay này, hệ Ox
0
y
0
z
0
chuyển sang hệ
Ox
1
y
1
z
1
với Oz
0
≡
Oz
1
.
- Quay hệ qui chiếu R

1
≡ Ox
1
y
1
z
1
quanh trục Ox
1

≡
OK một góc
θ
để trục
Oz
0
≡ Oz
1
chuyển tới trục Oz
2
≡
Oz. Như thế hệ qui chiếu Ox
1
y
1
z
1
chuyển
sang hệ qui chiếu Ox
2

y
2
z
2
với Ox
1
≡
Ox
2
≡
OK.
- Quay hệ qui chiếu R
2
≡
Ox
2
y
2
z
2
quanh trục Oz
2
≡
Oz một góc
ϕ
để trục
Ox
2
≡
OK chuyển tới trục Ox. Với phép quay này hệ qui chiếu Ox

2
y
2
z
2

chuyển sang hệ qui chiếu Oxyz với Oz
2

≡
Oz.
Như thế, bằng phép quay Euler quanh trục Oz
0
một góc
ψ
, quanh trục OK
một góc
θ
, quanh trục Oz một góc
ϕ
, hệ qui chiếu Ox
0
y
0
z
0
chuyển sang hệ
qui chiếu Oxyz.
Các ma trận quay ứng với các phép quay Euler có dạng:

0
()
ψ
=
z
A
cos sin 0
sin cos 0
001
ψ
ψ
ψψ
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(2.30)

()
θ
=
K
A
10 0
0cos sin
0sin cos
θ
θ

θ
θ
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(2.31)

X
O
Ψ
Z
ω
0
X
1
0
Y
Y
1
≡ Κ
Ψ
≡ Ζ
1
≡ X
X
1
ω

θ
O
1
Y
Y
0
Z
1
Z
2
θ
Z
≡ Z
2
ω
ϕ
Y
2
Y
X
X
2
ϕ
0
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 11 -

()
ϕ
=

z
A
cos sin 0
sin cos 0
001
ϕ
ϕ
ϕϕ
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(2.32)

Bây giờ ta xác định ma trận quay hệ qui chiếu Ox
0
y
0
z
0
sang hệ qui chiếu
Oxyz (cũng là ma trận cosin chỉ hướng của hệ qui chiếu Oxyz đối với hệ qui
chiếu Ox
0
y
0
z
0

). Ta lấy P là một điểm bất kỳ của vật rắn B và ký hiệu A
E
là
ma trận quay nêu trên.
Theo công thức (2.13) ta có :

(0)
(0)
(0)
P
P
P
x
y
z
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
E
A
P
P
P
x
y
z
⎡

⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.33)
Ta ký hiệu
() () ()
,,
iii
P
PP
x
yz là tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu R
i

≡
Ox
i
y
i
z
i

(i=1,2). Theo công thức (2.13) ta cá các hệ thức sau:

(2)
(2)
(2)
P
P
P
x
y
z
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
()
ϕ
Z
A
P
P
P
x
y
z
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

,
(1)
(1)
(1)
P
P
P
x
y
z
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
()
θ
K
A
(2)
(2)
(2)
P
P
P
x
y
z
⎡

⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,
(0)
(0)
(0)
P
P
P
x
y
z
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

0
()
ψ
Z
A
(1)
(1)
(1)
P
P
P
x
y
z
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(2.34)

Từ đó ta suy ra :

(0)
(0)
(0)
P
P
P
x

y
z
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
0
() () ()
ψ
θϕ
ZKZ
AAA
P
P
P
x
y
z
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

(2.35)
So sánh các biểu thức (2.33) và (2.35) ta suy ra biểu thức ma trận cosin chỉ
hướng :

0
() () ()
ψ
θϕ
=
EZ K Z
AA A A
(2.36)
Hay:
A
E
=
cos sin 0 1 0 0 cos sin 0
sin cos 0 0 cos sin sin cos 0
0010sincos001
ψ
ψϕϕ
ψψ θ θϕϕ
θθ
−−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(2.37)

Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 12 -
=
E
A
cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin
sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin (2.38)
sin sin sin cos cos
ψ
ϕψθϕ ψϕψθϕ ψθ
ψϕ ψθϕ ψϕ ψθϕ ψθ
θϕ θϕ θ
−−−
⎡⎤
⎢⎥
+−+−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

Ma trận cosin chỉ hướng (3.38) được gọi là ma trận quay Euler.

2.4.2 Xác định các góc Euler từ ma trận cosin chỉ hướng
Ma trận cosin chỉ hướng có dạng :

=A
11 12 13
21 22 23

31 32 33
aaa
aaa
aaa
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(2.39)
Ta có:

2
33 33
cos( ) ,sin( ) 1aa
θθ
==±−


23 13
cos( ) ,sin( )
sin( ) sin( )
aa
ψψ
θ
θ
=− =
(2.40)

32 31

cos( ) ,sin( )
sin( ) sin( )
aa
ϕϕ
θ
θ
==


Khi
θ
= n.
π
(n=1,2,3, ) thì
2
cos ( ) 1,sin( ) 0
θθ
=
= việc tính toán sẽ rất
khó khăn, vì thế người ta phải tìm cách xác định vật rắn bởi nhiều loại tham
số khác nhau.

2.5 Phép quay Roll - Pitch - Yaw
Một phép quay khác cũng thường được dùng là phép quay Roll, Pitch và
Yaw, gọi tắt là phép quay RPY.
Hãy tưởng tượng, gắn hệ tọa độ xyz lên thân một con tàu. Dọc theo thân
tàu là trục z (Hình 2.9).
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 13 -

Hình 2.9

Roll là chuyển động lắc của thân tàu, tương đương với việc quay thân tàu
một góc
ϕ
quanh trục z.
Pitch là sự bồng bềnh, tương đương với góc quay
θ
quanh trục y.
Yaw là sự lệch hướng, tương đương với phép quay một góc
ψ
quanh trục
x.
Xác định thứ tự quay : quay một góc
ψ
quanh trục x, tiếp theo là quay một
góc
θ
quanh trục y và sau đó là quay một góc
ϕ
quanh trục z.
Theo thứ tự đó có thể biểu diễn phép quay RPY như sau:

() () ( )
ϕ
θψ
=
RPY Z Y Z
AAAA
(2.41)

Với :

()
ψ
X
A
10 0
0cos sin
0sin cos
ψ
ψ
ψ
ψ
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦


()
θ
=
Y
A
cos 0 sin
010
sin 0 cos
θ

θ
θ
θ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦


()
ϕ
=
Z
A
cos sin 0
sin cos 0
001
ϕ
ϕ
ϕϕ
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

Thay vào công thức (2.41) ta được :

X
Y
Z
Yaw
Roll
Pi
tc
h
Ψ
ϕ
θ
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 14 -
=
RPY
A
10 0 cos 0sincos sin0
0 cos sin 0 1 0 sin cos 0
0sin cos sin 0cos 0 0 1
θ
θϕ ϕ
ψψ ϕϕ
ψψ θ θ
−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

Hay :
=
RPY
A
cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin
sin cos sin sin cos cos sin (2.42)
sin cos sin cos cos
ϕ
θϕθψϕψϕθψϕψ
ϕθ ϕθψϕψ ϕθψ ϕψ
θθψ θψ
−
+
⎡⎤
⎢⎥
+−
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
sss cc

2.6 Vận tốc góc của vật rắn
2.6.1 Định nghĩa
Vận tốc góc của vật rắn là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong
động học.
Xét vật rắn B chuyển động đối với hệ qui chiếu R
0

như hình vẽ (Hình
2.10). Lấy
c
r
là một vector tùy ý khác không thuộc vật rắn B. Do
2
()c const=
r
nên đạo hàm theo t biểu thức này ta được .0
dc
c
dt
=
r
r
. Như thế
dc
dt
r
là một vector vuông góc với vector c
r
.







Hình 2.10

Mặt khác tích có hướng của hai vector có dạng
ac b
×
=
r
r
r
. Trong đó vector
b
r
vuông góc với mặt phẳng chứa hai vector a
r
và c
r
. Những nhận xét đó gợi
ý cho chúng ta xây dựng khái niệm vector vận tốc góc của vật rắn như sau.
Định nghĩa:

Vận tốc góc của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R
0
là một vector, ký hiệu là
ω
r
sao cho :
R
X
B
0
0
Y

Z
0
c
0
O
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 15 -

0
ω
=×
r
r
r
R
dc
c
dt
(2.43)
Chú ý : Vận tốc góc của vật rắn B được định nghĩa bởi biểu thức (2.43) là
duy nhất. Thật vậy, giả sử
ω
r
không duy nhất, sẽ tồn tại vector
'
ω
r
mà:

0

'
R
dc
c
dt
ω
=×
r
r
r
(2.44)
Lấy biểu thức (2.43) trừ đi biểu thức (2.44) ta được

'( ') 0cc c
ω
ωωω
×− ×= − ×=
rr rr
rr r
(2.45)
Do c
r
là một vector tuỳ ý khác không thuộc vật rắn B và do phương trình
(2.45) luôn thoả mãn với mọi c
r
nên ta phải có hệ thức

'0
ω
ω

−=
rr

⇒

'
ω
ω
=
r
r

Chú ý :

Hình 2.11

Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ qui chiếu
{
}
,,
x
yz với các vector đơn vị
[
]
123
,,
T
eeee=
rrrr
trên các trục x,y,z tương ứng (Hình 2.11)

Sử dụng ký hiệu :
ω =
[
]
123
,,
ω
ωω
T
, trong đó
123
,,
ω
ωω
là hình chiếu của vector
ω
r
trên
3 trục x,y,z :

ω
=
r
T
ω .e
r
(2.46)
R
e
3

e
1
e
2
X
Z
Y
X
B
0
0
Y
Z
0
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 16 -
Ma trận đối xứng lệch của vector
ω
r
có dạng :

%
ω
=
32
31
21
0
0
0

ω
ω
ω
ω
ωω
−
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
(2.47)

2.6.1 Quan hệ giữa ma trận cosin chỉ hướng và vận tốc góc của vật rắn
Vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định OX
0
Y
0
Z
0
. Lấy D là một
điểm nào đó thuộc vật rắn B. Gắn chặt vào vật rắn B hệ qui chiếu động
DXYZ. Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B như hình vẽ (Hình 2.12).

Hình 2.11

Gọi
P

v
r
và
D
v
r
là vận tốc của điểm P và điểm D trên hệ cố định R
0
.
A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ R
0
.
Từ hình vẽ ta có:

PD P
rrs=+
rrr
(2.48)
Đạo hàm phương trình (2.48) trong hệ qui chiếu cố định R
0
ta được:

000
RRR
P
DP
dr dr ds
dt dt dt
=+
rrr

(2.49)
Theo công thức định nghĩa vận tốc góc của vật rắn B (2.43) ta có:

0
ω
=×
r
r
r
R
P
P
ds
s
dt

Thay vào công thức (2.49) :
O
Z
Y
X
B
D
Z
0
0
X
0
Y
P

P
r
D
r
P
S
Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian
- 17 -

ω
=+×
r
rr r
P
DP
vv s
(2.50)
Biểu diễn (2.50) dưới dạng ngôn ngữ đại số :

00 0
RR R
=.
PD P
vv s+
%
ω (2.51)
Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.48) dưới dạng đại số:

00 0
RR R

=+
P
DP
rrs
(2.52)
Do
A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B nên:

0
R
.=
PP
sAs (2.53)
Vậy (2.52)
⇔

00
RR
.=+
P
DP
rrAs
(2.54)
Đạo hàm phương trình (2.54) theo thời gian
t ta được:

00
RR
.=+
PDP

vvAs
&
(2.55)
Vì
A là ma trận cosin chỉ hướng nên là ma trận trực giao. Từ công thức
(2.53) ta suy ra:

00
1

−
==
RR
T
PPP
sA sAs (2.56)
Thay (2.56) vào (2.55) ta được:

00 0
=+
RR R
T
PD P
vvAAs
&
(2.57)
So sánh (2.51) và (2.57) ta có .
T
AA
=

&
%
ω
(2.58)
Với
%
ω
được xác định theo (2.47)
Như vậy nếu biết ma trận cosin chỉ hướng
A của vật rắn B và đạo hàm
của nó
A
&
, ta có thể xác định được các thành phần vận tốc góc của vật rắn B
theo công thức (2.58).