Sai lam Can bac 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. PHÁT HIỆN VAØ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI. I. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậc hai – căn bậc ba” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai – căn bậc ba và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai – căn bậc ba rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức căn bậc hai (đại diện cho căn bậc chẵn) căn bậc ba (đại diện cho căn bậc lẻ) tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1. Cơ sở lý luận: Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán.Vì sao dẫn đến ñieàu naøy ta coù theå chia laøm hai nguyeân nhaân: - Nguyeân nhaân khaùch quan: + Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít. + Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải. + Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV. - Nguyeân nhaân chuû quan: + Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho HS thường gặp phải khó khăn và còn nhiều hạn chế. + Một số GV thường dùng tiết luyện tập để chữa bài tập cho HS mà Không để cho học sinh tự làm bài. + Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy của HS. + Một số GV sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huy hết ñaët thuø cuûa boä moân. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 1..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. + Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học,chưa tự giác khắc phục những kiến thức mình bị hỏng trong quá trình giải bài tập. Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thường mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẫu thả, chép bài của các HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả học taäp. 2. Cơ sở thực tiễn: a. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS Long Phú tôi nhận thấy rằng: trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số về căn baäc hai thì hoïc sinh raát luùng tuùng khi vaän duïng caùc khaùi nieäm, ñònh lyù, baát đẳng thức, các công thức toán học. Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của moät soá hoïc sinh coøn raát yeáu. Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án “phát hiện và khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai” b. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích như sau: + Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích cực rất dễ thực hiện. + Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nói riêng có thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ dễ dàng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác coù phaïm vi vaø quy moâ xuyeân suoát hôn.. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 2..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. + Qua saùng kieán naøy toâi muoán ñöa ra moät soá loãi maø hoïc sinh hay maéc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giuùp hoïc sinh khaéc phuïc caùc loãi maø caùc em hay maéc phaûi trong quaù trình giaûi bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra..... Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng ngay trong con người học sinh. + Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo. c. Phöông phaùp tieán haønh: Trong những năm học vừa qua bản thân tôi luôn quan tâm đến những vấn đề mà học sinh thường mắc phải qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm của học sinh khi giải bài tập. Trường THCS Long Phú năm học 2009-2010: gồm ba lớp 9, tổng số học sinh là 88, hầu hết chất lượng học tập môn toán không đồng đều. Qua khảo sát chất lượng đầu năm học, kết quả học tập của học sinh ở môn toán đạt như sau: Gioûi: 5. Tæ leä: 5,68%. Trung bình: 30. Tæ leä: 34,09%. Khaù: 19. Tæ leä: 21,59%. Yeáu, keùm: 34. Tæ leä: 38,64%. Vì vậy, để giải quyết các vấn đề trên tôi đã sử dụng những biện pháp sau: - Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó. - Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh 3 lớp 9 với tổng số 88 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm). - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 3..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. - Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra … Tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai laàm trong khi giaûi baøi taäp. Yeâu caàu hoïc sinh giaûi moät soá baøi taäp theo noäi dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh. - Phaân tích vaø toång keát kinh nghieäm giaùo duïc khi aùp duïng noäi dung ñang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo. 3. Xây dựng các qui trình giải toán: 3.1/ Kiến thức cơ bản: - Caên baäc hai cuûa moät soá a khoâng aâm laø soá x sao cho x2 = a. - Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương kí hieäu laø a vaø soá aâm kí hieäu laø - a . - Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết. 0 = 0..  x 0 x a  2  x a - Caên baäc hai soá hoïc: - Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a 0, ta có.  a. 2. a ; với a bất kỳ có. a 2 | a | ). - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a 0, b  0, ta có : a < b . a  b ”). - Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi định lý “ Với a 0, b  0, ta có : ab  a b ” và định lý “ Với a  0, b > a a  b ”) 0, ta coù: b * Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau : Người viết: Le Hoang Khai. Trang 4..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. A tồn tại  A  0 (với A là biểu thức đại số). A2 = A. (với A là biểu thức đại số). AB  A B. (với A, B là hai biểu thức mà A  0, B  0). A A  B B. (với A, B là hai biểu thức mà A  0, B > 0). A 2 B | A | B. (với A, B là hai biểu thức mà B  0 ). A 1  AB B B. (với A, B là hai biểu thức màA B  0, B 0). A B. . A B B. C A B. . C A B. (với A, B là biểu thức và B > 0). C ( A B ) A  B2. . (với A, B là hai biểu thức màA  0, A B2). C( A  B ) A B (với A, B, C là các biểu thức mà A, B  0, A B). 3.2/ Phân tích những điểm mới và khó trong kiến thức về căn bậc hai: So với chương trình cũ thì chương I - Đại số 9 trong chương trình mới này có những điểm mới và khó chủ yếu sau : a. Điểm mới: - Khái niệm số thực và căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phương. - Phép tính khai phương và căn bậc hai số học được giới thiệu gọn, liên hệ giữa thứ tự và phép khai phương được mô tả rõ hơn sách cũ ( nhưng vẫn chỉ là bổ sung phần đã nêu ở lớp 7) - Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn (nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập) - Cách trình bày phép tính khai phương và phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai được phân biệt rỏ hơn ( Tên gọi các mục và các chuyển ý Người viết: Le Hoang Khai. Trang 5..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phương thể hiện điều đó) - Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng được SGK chú ý để HS có thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n có ngay trong phaàn baøi hoïc moãi baøi. b. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh: - Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn ... ) - Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hieåu khaùi nieäm (chaúng haïn nhö caên baäc hai, caên baäc hai soá hoïc, khai phöông, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức ...). 3.3/ Sai lầm và biện pháp khắc phục khi giải toán về căn bậc hai: a. Hoïc sinh hieåu sai veà caên baäc hai cuûa moät soá döông a vaø caên baäc hai soá hoïc cuûa moät soá döông a: VD1: Giaûi baøi taäp 1 (sgk - 6) Tìm caên baäc hai soá hoïc cuûa 169 roài suy ra caên baäc hai cuûa chuùng. + Caùch giaûi sai: Ta coù: 169 = 13  số 169 có 2 căn bậc hai được viết là. 169 = 13 vaø 169 = -13 (!). + Cách giải đúng: Caên baäc hai soá hoïc cuûa 169 laø: 169 = 13; - 169 = - 13 .. 169 = 13, coøn caên baäc hai cuûa 169 laø:. - Nguyeân nhaân: Hoïc sinh hieåu sai veà caên baäc hai cuûa moät soá döông a vaø caên baäc hai soá học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này. - Bieän phaùp khaéc phuïc: + GV cần phải cho HS nắm được: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a . Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0. + Khi nói đến a ta phải có: a 0 và âm. Vì vậy không được viết : Người viết: Le Hoang Khai. a 0, nghóa laø. a khoâng theå Trang 6..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. Soá 169 coù hai caên baäc hai laø. 169 = 13 vaø 169 = - 13.. VD2 : Tính 16 Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau : 16 = 4 vaø - 4 coù nghóa laø 16 = 4. Như vậy học sinh đã tính ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau laø : 16 =4 vaø 16 = -4. - Nguyên nhân: do việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau. + Cách giải đúng :. 16 = 4 ( coù theå giaûi thích theâm vì 4 > 0 vaø 42 = 16). Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích. - Biện pháp khắc phục: GV chỉ ra sự khác nhau giữa việc tìm căn bậc hai và CBHSH của một số không âm đó là. Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a . Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0. Với số a 0 thì a 0, nghĩa là a không thể âm. VD3: So saùnh 4 vaø 15 4 < 15 (vì 4 < 15). + Cách giải đúng là: 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15 + Caùch giaûi sai:. - Nguyeân nhaân: Hoïc sinh seõ khoâng bieát neân so saùnh chuùng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15 ). Taát nhieân trong caùi sai naøy cuûa hoïc sinh khoâng phaûi caùc em hieåu nhaàm ngay sau khi học xong bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa. - Bieän phaùp khaéc phuïc: Người viết: Le Hoang Khai. Trang 7..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học! Ta phải viết chúng ở dạng CBHSH rồi sau đó so sánh các số dưới dấu caên.. -VD4: Tính + HS giaûi:. 81 81 =. 9 3. + Cách giải đúng là: 81 = 9 - Nguyên nhân: Ở đây học sinh nhầm tưởng căn bậc hai có tính chất rút gọn giống như phân số để đưa một phân số chưa tối giản trở thành một phân soá toái giaûn. - Biện pháp khắc phục: GV chỉ cho HS thấy được căn bậc hai không có tính chaát ruùt goïn nhö phaân soá. Khaéc saâu ñònh nghóa CBHSH cho HS:  x 0 a x   2  x a b. Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn baäc hai, A coù nghóa; caùc quy taéc nhaân caùc caên baäc hai, chia caên baäc hai: VD: Baøi taäp 1.29 (Saùch naâng cao ÑS 9 – trang 18). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x  x + Caùch giaûi sai: x xaùc ñònh maø voäi vaøng 2 1 1  2 x  x  x    2  4 maø bieán  tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào đổi 2 1 1 1  A x  x  x     2 4 4  1 1 1  min A  x  0  x  4  2 4 1 1 min A  x  4  4 Vaäy + Cách giải đúng: x xác định khi x 0 . Do đó: A x  x 0  min A 0  x 0. Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để. - Nguyên nhân: Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 8..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. HS chöa naém roõ caùc quy taéc nhaân caùc caên baäc hai,chia hai caên baäc hai. - Bieän phaùp khaéc phuïc: Khi daïy phaàn naøy GV caàn khaéc saâu cho HS điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều a a  b . kiện để có: a . b  ab ; b. c. Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của. moät soá.. 2 -VD1: Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a  5a ( Với a < 0 ) + Caùch giaûi sai; 2 2 a  5a 2a  5a  3a A = 2 a  5a = ( với a < 0 ) (!). + Cách giải đúng là: 2 2 a  5a  2a  5a  7a A = 2 a  5a = ( với a < 0 ) -VD2: Tìm x, bieát :. 4(1  x )2 - 6 = 0. + Caùch giaûi sai : 4(1  x )2 - 6 = 0  2 (1  x )2 6  2(1 - x) = 6  1- x = 3  x = - 2. Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. + Cách giải đúng: 4(1  x )2 - 6 = 0  2 (1  x )2 6  1  x = 3. Ta phaûi ñi giaûi hai phöông trình sau : 1) 1- x = 3  x = -2 2) 1- x = -3  x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4. - Nguyeân nhaân: HS chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà HS chỉ hiểu a<0 thì a a. - Bieän phaùp khaéc phuïc: + Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một số. a , neáu a 0 a   a , neáu a  0 + Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 9..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai. A2  A. d. Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: -VD1: Khi so saùnh hai soá a vaø b. Moät HS phaùt bieåu nhö sau: “Baát kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau: Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b . 2 2 2 2 2 2 a  b   b  a   a  2 ab  b  b  2 ab  a Ta coù : hay (1) Lấy căn bậc hai hai vế ta được: Do đó: a  b b  a Từ đó : 2a 2b  a b.  a  b. 2.   b  a. 2. Vaäy baát kì hai soá naøo cuõng baèng nhau. HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả:. a  b b  a. chứ không thể có a - b = b- a.. - Nguyên nhân: HS chưa nắm vững hằng đẳng thức tuyệt đối của một số âm. -VD2: Tìm x sao cho B coù giaù trò laø 16.. A2  A. , giaù trò. B = 16 x  16 - 9 x  9 + 4 x  4 + x  1 với x  -1 + Caùch giaûi sai : B = 4 x  1 -3 x  1 + 2 x  1 + x  1 B = 4 x 1 2 16 = 4 x  1  4 = x  1  42 = ( x  1 )2 hay 16 = ( x  1).  16 = | x+ 1|. Neân ta phaûi ñi giaûi hai phöông trình sau : 1) 16 = x + 1  x = 15 2) 16 = -(x+1)  x = - 17. - Cách giải đúng: B = 4 x  1 -3 x  1 + 2 x  1 + x  1 (x  -1) B = 4 x 1 16 = 4 x  1  4 = x  1 (do x -1)  16 = x + 1. Suy ra x = 15.. - Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x 2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập Người viết: Le Hoang Khai. Trang 10..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! - Bieän phaùp khaéc phuïc: Qua caùc baøi taäp ñôn giaûn baèng soá cuï theå giuùp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một 2 biểu thức ta có A = | A|, có nghĩa là : A2 = A neáu A. 0. ( tức là A lấy giá trị không âm );. A2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). e. Những khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức, mà biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. Chaúng haïn: Tính 11  4 7 Để giải quyết vấn đề trên HS làm sao vận dụng hằng đẳng thức lần lượt biến đổi biểu thức 11  4 7 và 7  5 2 dưới dạng bình phương và lập phương của một biểu thức. 2 A B   A2 2 AB  B 2  Trong các hằng đẳng thức : Học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập ở dạng trên. VD1: Ở bài tập 15c ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 ) Chứng minh :. . 4. 7. . 2. 4 7 HS dễ dàng biến đổi. 23  8 7 2. 16  8 7  7 23  8 7. Nhưng ngược lại các em gặp khó khăn (nếu nắm không vững hằng đẳng thức và khả năng tính toán ) VD2: Ở bài tập 15d (SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 ) Chứng minh 23  8 7  7 4 Nếu HS không vận dụng bài tập 15c ở trên để giải mà các em lại viết 23  8 7 dưới dạng bình phương của một biểu thức để tính 23  8 7 là một điều khó! Để tính nhanh và không nhầm lẫn. GV có thể hướng dẫn HS một số dạng biến đổi như sau: - Đối với biểu thức có dạng:. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 11..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. x 2 a b với a,b  0 và x = a + b thì - Đối với biểu thức có dạng:. . x 2 a b . . a b. x 2a b  a  b. . . 2. 2. x 2a b với a,b  0 và x = a2 + b thì f. Sai lầm khi HS chưa nắm vững các phép biến đổi biểu thức chứa caên baäc hai: - VD: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 ). Rút gọn biểu thức sau: 20  45  3 18  72 +Caùch giaûi sai: 20 . 45  3 18  72  4.5 . 9.5  3 2.9  36.2. 2 5  3 5  9 2  6 2  5  15 2 14 7. + Cách giải đúng là: 20 . 45  3 18  72  4.5 . 9.5  3 2.9  36.2. 2 5  3 5  9 2  6 2 15 2 . 5. - Nguyeân nhaân: Sai lầm ở chỗ HS chưa nắm vững công thức biến đổi: x A  y B  z A  m  x  z  A  y B  m ( A,B  Q+ ; x,y,z,m  R ) - Bieän phaùp khaéc phuïc: Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu mà tránh những sai sót. g. Laïm duïng ñònh nghóa caên baäc hai soá hoïc cuûa moät soá a 0 khi giaûi các bài toán về căn bậc ba : - VD: Giaûi baøi taäp 3c (SBT ÑS9 – trang 19) Giaûi phöông trình: + Caùch giaûi sai: 3. 3. x  1  1 x. x  1 1 x . 3. (1). x  1 x  1.  x  1 0  x 1    3 2  x  1  x  1  x  1 x  2 x 0  x 1   x 1   x 0(loai )     x  x  1  x  2  0   x 1   x 2 . . . Vaäy phöông trình (1) coù 2 nghieäm x1=1; x2=2. + Cách giải đúng:. Người viết: Le Hoang Khai. (!). Trang 12..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. 3. x  1  1 x . 3. 3. x  1  x  1   x  1 x  1. 3.   x  1   x  1 0   x  1  x 2  2 x  0  x  x  1  x  2  0  x 0 hoặc x = 1 hoặc x = 2. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 0; x2 1; x3 2 - Nguyeân nhaân: + HS quaù laïm duïng ñònh nghóa caên baäc hai soá hoïc cuûa moät soá a 0  x 0 a x   2 2 x  a a  + HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a. - Bieän phaùp khaéc phuïc: Khi giaûng phaàn naøy GV caàn cho HS naém ñònh caên baäc ba cuûa moät soá a, đồng thời lưu ý HS hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số a 0 ; căn bậc hai số hoïc cuûa moät soá a 0 vaø caên baäc ba cuûa moät soá a. h. Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phöông trình: - VD1: Bài tập 1 ( Sách nâng cao toán 9 - tập 1- trang 11 ).  . Giaûi phöông trình : 14  x x  2 (*) + Caùch giaûi sai : 2   x  2  14  x (*)  x 2  3x  10 0   x 2  5 x    2 x  10  0  x 5   x  5   x  2  0    x  2 Vaäy phöông trình (*) coù hai nghieäm x1 = 5 ; x2 = -2 (!) + Cách giải đúng :  x  2 0  x 2   2 2  x  2  14  x  x  4 x  4 14  x (*)  x 2  x 2  2   x  5 x    2 x  10  0  x  5   x  2  0  x 2     x 5  x 5   x  2  Người viết: Le Hoang Khai. Trang 13..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5. - VD2: giaûi taäp sau: y 2  xy M   y Rút gọn biểu thức:. x y. + Caùch giaûi sai: y 2  xy M  y . x. y y. . . x x   1 y y. . y x y x   y y. y. xy  y 2 x   y y x  1 y. x y. (!). + Cách giải đúng :. Đk để M xác định: xy 0 ; y 0 . Ta xét hai trường hợp: * x 0 ; y < 0 . M. y 2  xy  y. y 2  xy x   y y2. x y. x x x  1  2 y y y * x 0 ; y>0. 1 . M . y 2  xy  y. y . x y. . . y x  y . y y. y. x x  1   y y. Vaäy: neáu x 0 ; y<0 thì. x. . x y. x  1 y. M 1  2. x y vaø neáu x 0 ; y>0 thì M  1 A2 B  A B. - Nguyên nhân: HS năm chưa vững quy tắc với B 0 , điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn taïi, ñònh nghóa caên baäc hai soá hoïc, quy taéc khai phöông moät thöông. - Biện pháp khắc phục:Khi dạy GV cần cho HS nắm vững: +. A2 B  A B. với B 0.  A2 B vo 'i A 0; B 0 A B   A2 B vo'i A  0; B 0 + + A toàn taïi khi A 0. + a 0 ,.  x 0 a x   2  x . Người viết: Le Hoang Khai.  a. 2. a Trang 14..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai. A A  B B. + Neáu A 0 , B > 0 thì k. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương HS thường mắc phải một số sai lầm: VD1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 ) Tính 1, 44.1, 21  1, 44.0, 4 + Caùch giaûi sai: 1, 44.1, 21  1, 44.0, 4  1, 44.1, 21  1, 44.0, 4  1, 2.1,1  1, 2.0, 2 1,32  0, 24 1, 08. (!). + Cách giải đúng: 1, 44.1, 21  1, 44.0, 4  1, 44  1, 21  0, 4   1, 44.0,81 1, 2.0,9 1, 08. VD2: Giaûi caùc baøi taäp sau: 625 81.256 ; b. 16. Tính: a. + Caùch giaûi sai:. a. 81.256  9. 16  3. 4 12. (!). 625 25 5 5    16 4 2 2. b. + Cách giải đúng:. (!). a. 81.256  81. 256 9.16 144 625 625 25   16 4 16. b. VD3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu + Caùch giaûi sai : a.. 5 2 3. 5  2 15  2   2 3 3 3.  . . b. hoặc hoặc. . . . 2 51 2 51 2 51    2 5 1 2 51 51. . 2  51. . 2. . 2  51. . . 5 1. . 51 2. . . . 5 1. . 5 1. . 51. Người viết: Le Hoang Khai. 2 . . 5 1 2. . . 2. 5 1 3.  2 . 5 1.   5. 5 1. . 5 1. 1. . 5 1. 25  1. 5 1 12. Trang 15..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. . . . . 2 5 1 2 5 1 2    2 1 51 5  1 5 1. . hoặc. 2  51. hoặc. 2. . . . . 51. . 51. 2. . 5 1. . . . 51 5 1. . . 5 1. 51 2. 5 5 7 5 7 5 7    c. 2 7  3 2 7. 7  3 2.7  3 17. hoặc 5  2 7 3 2. 5. . . 7 3. . 7 3 .. . 5. 7 3. . . . 2.  7  9 . 2 a 1  d. 2 a  3 3 2 a 2 a   2 a 3 2 a 3 2 a  3 2. hoặc - Cách giải đúng:. . . 7 3. .  5 . 2 a.  a. 2.  32. 73 4. .   5. 73. . 4. 2 a 2a  9. a.. . . 3. 5  2 5 2 15  2 3   2 3 3 3.  . b. c.. 2  51. 2. . . . 5 1. 2 . . . 5 1. 5 1 2.   5  1 5  1 5  2 7  3 5  2 7  3 5   2 7  3  2 7  3 .  2 7  3   2 7   3 5  2 7  3 10 7  15   51. 2. 28  9. d.. 2. 19. . . . 2 a 2 a3 2 a 2 a 3 2 a   2 2 a 3 2 a 3 2 a  3 2 a  32. . . 2 a 2 a 3 . 4a  9. .   4a  6.  . . . a. 4a  9. (với a 0 và. a. 9 4). - Nguyeân nhaân: Người viết: Le Hoang Khai. Trang 16..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. + Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A  B  A  B ” tương tự như A.B  A. B ( với A 0 và B 0 ) để tính . + HS hieåu mô hoà veà quy taéc khai phöông moät tích, khai phöông moät thöông. + HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức. + HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng A2  B2  A  B. AB.    đẳng thức: - Bieän phaùp khaéc phuïc: + GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng A  B  A  B tương tự như. A.B  A . B ( với A 0 và B 0 ) .. + Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức. + Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau. + Cần khắc sâu các công thức: A A B  B , với B > 0 B. . . C A B C  A  B 2 , với A 0 và A  B 2 A B C C  A B. . A B A B.  , với A 0, B 0 và A B. l. Sai lầm trong kỹ năng biến đổi : Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai. +VD1 : Tìm x, bieát : (4- 17 ).2 x  3 (4  17 ) . - Caùch giaûi sai : (4-. 17 ).2 x  3 (4 . 17 )  2x <. 3 3 ( chia caû hai veá cho 4- 17 )  x < 2. . - Cách giải đúng : Vì 4 = 16 < 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có Người viết: Le Hoang Khai. Trang 17..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. (4- 17 ).2 x  3 (4  17 )  2x >. 3 3  x> 2 .. -Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”. - Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và 17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai. +VD2: Ruùt goïn M, roài tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa M.  1 1   a M= a a.  a 1  : 1  a  2 a  1 với a > 0.. - Caùch giaûi sai :  1 1   a M= a a.  a 1  : 1 a  2 a 1 =.  1 a  a 1  :  a ( a  1)  ( a  1) 2  .  1  a  ( a  1) 2    a ( a  1)  . a 1 M=  a1. M=. a a1. Ta coù M =. a. a. =. 1. a-. 1. a = 1-. a , khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0. Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1. - Cách giải đúng :  1 1   a M= a a.  a 1  : 1  a  2 a  1 coù a > 0 vaø. a - 1 0 hay a > 0 vaø a  1.. Với điều kiện trên, ta có :  1  a  ( a  1) 2    a ( a  1)  . a 1 M=  a1. M=. a. Khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a > 0. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 18..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1 (mâu thuẫn với điều kiện). Vaäy 0 < min M < 1, khi vaø chæ khi 0< a <1. -Nguyên nhân: Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai. Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết: Khi a = 1 thì a = 1 do đó a - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức. - Biện pháp khắc phục: Lưu ý cho HS khi đi giải các bài toán có chứabiến dưới căn thức bâc hai, ở mẫu của phân thức ta phải đi tòm ĐKXĐ của biểu thức.. III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN: Với một số biện pháp vừa nêu trên, tôi nhận thấy rằng đa số các em giải và làm được các bài tập về căn bậc hai, cụ thể là qua bài kiểm tra một tiết đại số chương I với số liệu như sau: Gioûi: 7. Tæ leä: 7,95%. Trung bình: 37. Tæ leä: 42,05%. Khaù: 24. Tæ leä: 27,27%. Yeáu, keùm: 20. Tæ leä: 22,73%. Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được naâng leân.. IV. BAØI HOÏC KINH NGHIEÄM: Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu các phương án giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương IĐại số 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm như sau : * Veà phía giaùo vieân : - Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Đồng thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm Người viết: Le Hoang Khai. Trang 19..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn. - Thoâng qua caùc phöông aùn vaø phöông phaùp treân thì giaùo vieân caàn phaûi nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc. - Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học. * Veà phía hoïc sinh : - Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì vaø chòu khoù trong quaù trình hoïc taäp. - Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh được những sai lầm khi giải toán. - Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.. V. KEÁT LUAÄN: Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần chương I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cần phải cập nhật đầy đủ những kiến thức cũ, phải biết suy luận tổng quát, loâgic . Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần chương I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh. Với sáng kiến “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh Người viết: Le Hoang Khai. Trang 20..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai.. thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được biện pháp khắc phục các sai lầm đó. Trên đây là một số biện pháp mà tôi đã tìm ra được trong việc giảng dạy về căn bậc hai. Mong rằng chuyên đề này sẽ giúp giáo viên chúng ta có thêm những định hướng, phương pháp mới để dạy tốt hơn nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức, giải được các bài tập và vận dụng tốt vào thực tế cuộc sống. Tuy nhiên, trong quá trình thực hiện sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, mong quý thầy cô đóng góp nhiệt tình để chuyên đề được hoàn thiện hơn nhằm phục vụ thiết thực cho công tác dạy học thực sự đạt hiệu quả. . Xin chaân thaønh caùm ôn ! Long Phuù: 18/11/2009. Người viết. Le Hoang Khai. Người viết: Le Hoang Khai. Trang 21..

<span class='text_page_counter'>(22)</span>