Tich phan co ban hay Luu Huy Thuong File word

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.82 MB, 119 trang )

(1)TÍCH PHÂN CƠ BẢN. HT. Tính các tích phân sau: 1. a) I1   x3 dx. 1. 1. 0. 0. b) I 2   (2 x  1)3 dx c) I 3   (1  4 x)3 dx. 0. 1. 1. 0. 0. d ) I   ( x  1)( x 2  2 x  5)3 dx e) I 5   (2 x  3)( x 2  3x  1)3 dx. Bài giải 1. a) I1   x3 dx  0. x4 4. 1.  0. 1 4. 1. 1 b) I 2   (2 x  1)3 dx Chú ý: d (2 x  1)  2dx  dx  d (2 x  1) 2 0 1.  I 2   (2 x  1)3 dx  0. 1 1 (2 x  1) 4 3 (2 x  1) d (2 x  1)  2 0 2 4 1. 1.  0. 81 1   10 16 8. 1. 1 c) I 3   (1  4 x)3 dx Chú ý: d (1  4 x)  4dx  dx   d (1  4 x) 4 0 1.  I3   (1  4 x)3 dx   0. 1 1 (1  4 x)4 3 (1  4 x ) d (1  4 x )   4 0 4 4 1. 1.  0. 1. 81 1   5 16 16. d) I 4   ( x  1)( x 2  2 x  5)3 dx Chú ý d ( x 2  2 x  5)  (2 x  2)dx  ( x  1)dx  0 1. 1. 1  I 4   ( x  1)( x  2 x  5) dx   ( x 2  2 x  5)3 d ( x 2  2 x  5) 20 0 2. . 1 ( x 2  2 x  5)4 2 4. 3. 1.  162  0. 615 671  8 8. 1. e) I 5   (2 x  3)( x 2  3x  1)3 dx Chú ý: d ( x2  3x  1)  (2 x  3)dx 0 1. 1.  I 5   (2 x  3)( x  3x  1) dx   ( x 2  3x  1) 2. 0. 3. 0. 1 d ( x 2  2 x  5) 2.

(2) . ( x 2  3x  1)4 4. 1.  0. 1 1  0 4 4. HT2. Tính các tích phân sau: 1. 7. 4. 0. 2. 0. a) I1   xdx b) I 2   x  2dx c) I 3   2 x  1dx 1. 1. 1. 0. 0. 0. d) I 4   x 1  x 2 dx e) I 5   x 1  x 2 dx f) I 6   (1  x) x 2  2 x  3dx 1. 1. 0. 0. g) I 7   x 2 x3  1dx h) I8   ( x 2  2 x) x3  3x 2  2dx Bài giải 1. a) I1   xdx  0. 1. 2 x x 3.  0. 2 3. 7. 7. 2 b) I 2   x  2dx  ( x  2) x  2 3 2 4. c) I 3   0.  18  2. 16 38  3 3. 4. 4. 1 1 2 1 26 2 x  1dx   2 x  1d (2 x  1)   (2 x  z ) 2 x  1  9   20 2 3 3 3 0. 1. 1. 1 1 2 d) I 4   x 1  x dx   1  x 2 d (1  x 2 )   (1  x 2 ) 1  x 2 20 2 3 0. 1. 1. 2 2 1  3 3. . 2. 0. 1. 1 1 2 e) I 5   x 1  x dx    1  x 2 d (1  x 2 )    (1  x 2 ) 1  x 2 20 2 3 0. 1. 2. 1. f) I 6   (1  x) x 2  2 x  3dx   0. g) I 7   x 0. 1. 1 x 2  2 x  3d ( x 2  2 x  3)  20. 1 2    ( x 2  2 x  3) x?  2 x  3 2 3 1. 1.  0. 2 2  3 3. 1 1 2 4 2 2 x  1dx   x3  1d ( x3  1)   ( x3  1) x3  1  30 3 3 9 0 1. 2. 0. 1 1  0  3 3. 1. 3. 1. h) I8   ( x 2  2 x) x3  3x 2  2dx  0. 1 2   ( x3  3x 2  2) x3  3x 2  2 3 3. 1. 1 x3  3x 2  2d ( x3  3x 2  2)  30. 1.  0 0. 4 2 4 2  9 9.

(3) HT 3. Tính các tích phân sau: 4. 0. 1 dx dx dx b) I 2   c) I 3   2x  1 x 0 1 1  2 x. a) I1   1. ( x  1)dx. 1. d) I 4  . 1. e) I 5  . x  2x  2 2. 0. 0. ( x  2)dx x2  4 x  5. Bài giải 4. 4. dx 2 x x. a) I1   1.  42  2 1. dx 1 d (2 x  1)    2x  1  3 1 2x 1 2 0 2x 1 0. 1. 1. b) I 2   0. 1. dx 1 d (1  2 x)     1 2x 2 1 1  2 x 1 2x. 0. 0. c) I 3  . 1. ( x  1)dx. 1.  1  3 1. 1 d ( x 2  2 x  2)    x2  2x  2 2 2 x  2x  2 2 0 x  2x  2. 1. d) I 4   0 1. e) I 5   0. 1. ( x  2)dx. 1 d ( x 2  4 x  5)    x2  4 x  5 2 2 2 x  4x  5 x  4x  5 0 1. 1.  5 2 0 1.  2 5 0. HT 4. Tính các tích phân sau: e. a) I1   1 1. d) I 4   0. 0. 1 dx dx xdx b) I 2   c) I 3   2 x 1 2x x 1 1 0. ( x  1)dx x2 e) I 5   2 dx 2 x  4x  5 x  2x  2 0 1. Bài giải e. dx  ln x x 1. a) I1  . e.  ln e  ln 1  1 1. dx 1 d (1  2 x) 1     ln 1  2 x 1  2x 2 1 1  2 x 2 1 0. b) I 2  . 0. 1. 1 ln 3   (ln1  ln 3)  2 2 1.

(4) 1. c) I 3   0 1. d) I 4   0. 1. e) I 5   0. xdx 1 d ( x 2  1) 1   2  ln x 2  1 2 x 1 2 0 x 1 2 1. 1. 0. 1 ln 2  (ln 2  ln1)  2 2. ( x  1)dx 1 d ( x 2  2 x  2) 1   ln x 2  2 x  2 2 2  x  2x  2 2 0 x  2x  2 2 1. 1. 0. x2 1 d ( x 2  4 x  5) 1 dx   ln x 2  4 x  5 2 2  x  4x  5 2 0 x  4x  5 2 1. 1 1 5  (ln 5  ln 2)  ln 2 2 2 1. 0. 1 1 2  (ln 2  ln 5)  ln 2 2 5. HT 5. Tính các tích phân sau: 2. a) I1   1. 0. 1 dx dx dx b) c) I  I  2 3 2 2   x (2 x  1) (3x  1) 2 1 0. Bài giải 2. 2. 2. dx dx 1  2  2 x x x 1 1. a) I1  . 1. 1 1   1  2 2. dx 1 d (2 x  1) 1 1     2 2 (2 x  1) 2 1 (2 x  1) 2 2x 1 1 0. 0. b) I 2  . 0.  1. 1 1 1   2 6 3. dx 1 d (3x  1) 1 1 1 1 1        2 2 (3x  1) 3 0 (3x  1) 3 3x  1 0 12 4 6 0. 1. 1. c) I 3  . 1. HT 6. Tính các tích phân sau: 1. 1. 1. a) I   e dx b) I 2   e (2e  1) dx c) I 3   e x (1  4e x )3 dx 1. x. 3x. 0. 0. 1. 2. x. 3. 0. 2. e2 x dx e2 x dx e x dx e) f) I  I  5 1 (e2 x  1)2 6 1 (1  3e2 x )3 ex  1 0. d) I 4   1. 1. 1. 0. 0. 0. g) I 7   e x 2e x  1dx h) I8   e x 1  3e2 x dx i) I 9  . e x dx ex  1. Bài giải 1. 1 a) I 1   e3 x dx  e3 x 3 0 1. 1.  0. b) I 2   e x (2e x  1)3 dx  0. e3 1  3 3 1 1 (2e x  1) 4 x 3 x (2 e  1) d (2 e  1)   2 0 2 4 1. 1. 0.

(5) 1  (2e  1)4 81  (2e  1) 4 81      2 4 4 8 8 1. c) I 3   e x (1  4e x )3 dx   0. 1 (1  4e x )4   4 4. 1. 0. 1. 3 1 (1  4e x ) d 91  4e x )  40. 1  (1  4e)4 81  81  (1  4e) 4     4 4 4 16. e x dx d (e x  1)   ln e x  1 x x  e  1 e  1 0 0. 1. 1. d) I 4  . 1.  ln(e  1)  ln 2  ln 0. e 1 2. e2 x dx 1 d (e2 x  1) 1 1 1 1 e2         (e2 x  1)2 2 1 (e2 x  1)2 2 e2 x  1 1 2(e4  1) 2(e2  1) 2(e4  1) 1 2. 2. e) I 5  . 2. e2 x dx 1 d (1  3e2 x ) 1 1     2x 3 2x 3  (1  3e ) 6 1 (1  3e ) 6 2(1  3e2 x )2 1 2. 2. f) I 6  . 1. g) I 7   e x 2e x  1dx  0. 1. h) I8   e x 1  3e2 x dx  0 1. i) I 9   0. e x dx ex  1. 1. .  1. 1 1  4 12(1  3e ) 12(1  3e2 ). 1. 1. 1 1 2 1 2e x  1d (2e x  1)   (2e x  1) 2e x  1  (2e  1) 2e  1  3  20 2 3 3 0 1. 1 1 2 1  3e2 x d (1  3e2 x )   (1  3e2 x ) 1  3e2 x  60 6 3. d (e x  1). 0. 2. ex  1. 1. 0. 1 8  (1  3e2 ) 1  3e2  9 9. 1.  2 ex  1  2 e  1  2 0. HT 7. Tính các tích phân sau: 3ln x  1 dx x 1. ln x dx x 1. e2. dx 4ln 3 x  3ln 2 x  2ln x  1 d) I 4   dx e) I 5   x ln x x 1 e e. 1. 3ln x  1dx x. e. h) I8   1. dx x 3ln x  1. Bài giải e. e. b) I 2  . e. g) I 7  . (3ln x  1) 3 dx x 1. e. e. a) I1  . e. ln x ln 2 x dx   ln xd (ln x)  a) I1   x 2 1 1. e. 1. ln 2 1 1   2 2. c) I 3   e. f) I 6   1. dx x(3ln x 1).

(6) e  3ln 2 x  e 3  3ln x  1 5 dx   (3ln x  1)d (ln x)    ln x     1  0  x 2  2  1 2  1 1 e. b) I 2  . (3ln x  1)3 1 1 (3ln x  1) 4 dx   (3ln x  1)3 d (3ln x  1)   x 31 3 4 1 e. e. c) I 3  . e.  1. 64 1 85   3 12 4. 4ln 3 x  3ln 2 x  2ln x  1 dx   (4ln 3 x  3ln 2 x  2ln x  1)d (ln x) x 1 1 e. e. d) I 4  . e.  (ln x  ln x  ln x  ln x  (1  1  1  1)  0  2 4. 3. 2. 1 e2. e) I 5   e. e. f) I 6   1 e. g) I 7   1. e. h) I8   1. e2. dx d (ln x)   ln(ln x) x ln x e ln x. e2.  ln(ln e2 )  ln(ln e)  ln 2. e. dx 1 d (3ln x  1) 1 1 ln 4    ln(3ln x  1)  (ln 4  ln1)  x(3ln x  1) 3 1 3ln x  1 3 3 3 1 e. e. 3ln x  1dx 1 1 2 16 2 14   3ln x  1d (3ln x  1)   (3ln x  1) 3ln x  1    x 31 3 3 9 9 9 1 e. e. dx 1 d (3ln x  1) 1 4 2 2     2 3ln x  1    3 3 3 x 3ln x  1 3 1 3ln x  1 3 1 e. e. HT 8. Tính các tích phân sau: . . . 2. 2. 4. 0. 0. a) I1   cos 2 x sin xdx. b) I 2   sin 2 x cos xdx c) I 3   sin 3 2 x cos 2 xdx. 0. . . 4. 2. sin x d) I 4   dx cos x 0. . e) I 5   sin x 3cos x  1dx 0. 0. Bài giải . . cos3 x a) I1   cos x sin xdx    cos xd (cos x)   3 0 0 2. 2. 2. . 2. . sin 3 x b) I 2   sin x cos xdx   sin xd (sin x)  3 0 0 2. 2. 2. . 2.  2. . 1 3. 0.  2. . 1 3. 0. . 14 sin 4 2 x c) I 3   sin 3 2 x cos 2 xdx   sin 3 2 xd (sin 2 x)  20 8 0 4. 2. f) I 6  .  4. 0. . 1 8. cos x dx 3sin x 1.

(7) . . 4. 4 sin x d (cos x) d) I 4   dx      ln(cos x) cos x cos x 0 0. .  4.   ln. 2 2  ln1   ln 2 2. 0. . 2. 12 1 2 e) I 5   sin x 3cos x  1dx   3cos x  1d (3cos x  1)   (3cos x  1) 3cos x  1 30 2 3 0 . . cos x 1 2 d (3sin x  1) 2 dx    3sin x  1 3 0 3sin x  1 3 3sin x  1. 2. f) I 6   0.  2. 1 4    1 3 3. 0.  2. . 4 2 2   3 3 3. 0. PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ I.DẠNG 1:. dx. 1.  ax  b  a ln ax  b  c. HT 1. Tính các tích phân sau: 0. 1. 3   1 c)     dx 2 x  1 4  2 x   0 1. dx 1  3x 1. dx 3x  1 0. b) . a) . Bài giải 1. dx 1  ln 3x  1 3x  1 3 0. a) . 1. 0. 1 ln 4  (ln 4  ln 1)  3 3. 0. 0. dx 1   ln 1  3x 1  3x 3 1. 1 ln 4   (ln1  ln 4)   3 3 1. b) . 3  3 3 3  1 1  1  1  c)     dx   ln 2 x  1  ln 4  2 x    ln 3  ln 2    ln1  ln 4  2x 1 4  2x  2 2 2 2  0 2  2  0 1. 1. HT 2. Tính các tích phân sau: 2. a) I1   1. x 4  3x3  2 x 2  5 x  1 dx x2. 0. x3  3x  2 x  1 dx x2. 2 x  3x  4 x  1 dx 1  2 x 1 0. c) I 3 . 1. b) I 2  . . 3. 2. Bài giải.

(8) x 4  3x3  2 x 2  5 x  1 5 1   a) I1   dx    x 2  3x  2   2 dx 2 x x x  1 1 2. 2. 2  x3 3x 2 1 1 1 3 8  13    2 x  5ln x      6  4  5ln 2       2  5ln1  1   5ln 2 2 x 1 3 2 3 2  3  3 1. b) I 2   0. x3  3x  2 x  1 1   dx    x 2  x  dx x2 x  2   0 1.  x3 x 2  1 1 1 1      ln x  2      ln 1  ( ln 2)  ln 2  6   3 2  0 3 2 0   2 x3  3x 2  4 x  1 3 1 dx     x 2  x   dx 1 2x 2 2(2 x  1)  1 1  0. c) I 3  .  x3 x 2 3  1      x  ln 2 x  1  4  3 2 2 . 0. 1.  1  1 1 3 1  ln 3 7    ln1      ln 3    4 3  4  3 2 2 4 . II. DẠNG 2:.  ax. 2. dx  bx  c. HT 3. Tính các tích phân sau( mẫu số có hai nghiệm phâm biệt): 1. 1. dx ( x  1)( x  2) 0. dx ( x  1)(3  x ) 0. a) . b) . Bài giải dx ( x  2)  ( x  1) 1   1 a)   dx     dx ( x  1)( x  2) 0 ( x  1)( x  2) x 1 x  2  0 0 1. 1. 1.   ln x  1  ln x  2 . 1. 0. x 1  ln x2. 1. 0. 2 1 4  ln  ln  ln 3 2 3. dx 1 ( x  1)  (3  x) 1  1 1  b)    dx      dx ( x  1)(3  x ) 4 0 ( x  1)(3  x ) 4 0  3  x x  1 0 1. 1. 1. 1 1 x 1    ln 3  x  ln x  1   ln 4 4 3 x 0 1. 1. 0. 1 1 ln 3   ln1  ln    4 3 4. dx (2 x  3)  2( x  1) 2   1  dx      dx ( x  1)(2 x  3) 0 ( x 1)(2 x  3) x 1 2 x  3  0 0. 1. c) . 1. 1. 1. dx ( x  1)(2 x  3) 0. c) .

(9) 1.   ln x  1  ln 2 x  3   ln 0. x 1 2x  3. 1. 0. 2 1 6  ln  ln  ln 5 3 5. HT 4.Tính các tích phân sau: 1. a)  0. 0. 2. dx 2 2 x  5x  2 1. dx 2 x  x  12. dx 1  2 x  3x 2 1. b) . c) . Bài giải dx dx 1 ( x  3)  ( x  4) a)  2    dx x  x  12 0 ( x  3)( x  4) 7 0 ( x  3)( x  4) 0 1. 1. 1. 1  1 1  1 1 x4    dx   ln x  4  ln x  3   ln  7 0  x4 x3 7 7 x3 0 1. . 1. 1. 0. 1 3 4 1 9   ln  ln   ln 7 4 3  7 16 0. 0. dx  b)  2 2 x  5 x  2 1 1. dx dx 1 (2 x  1)  2( x  2)    dx 1  1 ( x  2)(2x  1) 3 1 (x  2)(2x  1)  2( x  2)  x   2  0. 1  1 2  1   dx   ln x  2  ln 2 x  1   3 1  x  2 2 x  1  3 0. . 0. 1 x2 =  ln 3 2x 1. 0. 1. 0. 1 ln 2  (ln 2  ln1)  3 3 1. dx dx dx 1 3( x  1)  (1  3x) c)      dx 2 1 1  2 x  3x ( x  1)(1  3 x) 4 1 ( x 1)(1  3 x) 1 1 3( x  1)( x  ) 1 3 2. 2. 2. 2. 1  3 1  1 1 x 1    dx    ln 1  3x  ln x  1   ln  4 1  1  3x x  1  4 4 1  3x 1 2. . 2. 2. 1. 1 3 1 3  (ln  ln1)  ln 4 5 4 5. HT 5. Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 2. 1. dx a)  2 x 1. dx b)  (3x  1)2 0. 0. dx c)  (1  2 x) 2 1. Bài giải 2. dx 1  2 x x 1. a) . 2. 1. 1 1   1  2 2. 0. dx d)  2 9x  6x  1 1. 0. dx 16 x  8 x  1 1. e) . 2.

(10) 1. dx 1 1   2 (3x  1) 3 (3x  1) 0. b)  0. 1. 0.  1 1 1       12 3  4. 0. dx dx 1 1 c)     2 2 (1  2 x) (2 x  1) 2 2 x 1 1 1 0.  1 1 1        2 6 3 1. 0. 0. dx dx 1 1    2 2 9 x  6 x  1 1 (3x  1) 3 3x  1 1. d)  0. 0.  1 1 1        3 12  4 1. 0. 0. dx dx dx 1 1 e)        2 2 2 16 x  8 x  1 16 x  8 x  1 (4 x  1) 4 4x 1 1 1 1. 0. 1 1 1    4 20 5 1. HT 6. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1. 3. dx x 1. a) I1  . b) I 2 . 2. 0. x 0. dx 3. c) I 3 . 2. dx x 1. a) I1  . 2. 0.      Đặt: x  tan t  t    ;     2 2  dt cos 2 t.  dx . Đổi cận: Với x  0  t  0 Với x  1  t .  4. . . 4. 4. . 4 dt dt  I1     0 dt  t cos 2 t (tan 2 t  1) 0 cos 2 t  1 0 cos 2 t 3. b) I 2 . x 0. dx 3. 2.    Đặt: x  3 tan t Với t    ;   2 2.  4. 0. .  4. dx 2 3.  2x 0. Bài giải 1. 2 2.

(11) 3dt cos 2 t.  dx . Đổi cận: Với x  0  t  0 ;Với x  3  t  .  4. . 3dt 34 dt 3  I2     t 2 2  1 cos t (3 tan t  3) 3 3 2 0 0 cos t  cos 2 t. . 4. c) I 3 . 2 2. dx  2 3.  2x 0. Đặt: x .  dx . 2 2.  0. dx 3  2  x2   2 . . 1 2. 2 2. . . 3 12. 0. dx x2 . 0. 4. 3 2. 3    tan t Với t  t    ;  2  2 2 6 dt 2 cos 2 t. Đổi cận: Với x  0  t  0 ; Với x  . 2  t  2 6 . 6. 1 6dt 66 dt 6  I3     t  2 0 2 cos 2 t ( 3 tan 2 t  3 ) 6 0 cos 2 t  1 6 2 2 cos 2 t.  6. . 6 36. 0. HT 7. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 0. dx a) I1   ( x  1)2  1 1. 4. dx b) I 2   2 x  4x  8 2. Bài giải 0. a) I1 . dx.  ( x  1). 1. 2. 1.    Đặt: x  1  tan t Với t    ;   2 2  dx . dt cos 2 t. Đổi cận: Với x  1  t  0 ; Với x  0  t .  4. 1. c) I 3   0. dx x  x 1 2.

(12) . . 4. 4. . 4 dt dt  I1     0 dt  t cos 2 t (tan 2 t  1) 0 cos 2 t  1 0 cos 2 t 4.  4. .  4. 0. 4. dx dx  2 x  4 x  8 2 ( x  2)2  4. b) I 2   2.     Đặt: x  2  2 tan t Với t   ;   2 2 2dt cos 2 t.  dx . Đổi cận:Với x  2  t  0 ; Với x  4  t  .  4. . . 4. 2dt 14 dt 14 1  I2     dt  t 2 2   cos t (4 tan t  4) 2 0 cos 2 t  1 20 2 0 cos 2 t 1. 1. dx dt  2 2 x  x 1 0  1 3 x   2 4 . c) I 3   0. Đặt x . 1 3     tan t Với t    ;  2 2  2 2 3 dt  2 cos 2 t.  dx . Đổi cận: Với x  0  t .  6. ; Với x  1  t .  3.  I3   . 6.  3. . 3dt 2 33 dt   3 3 3  cos 2 t  1 2 cos 2 t ( tan 2 t  ) 6 4 4 cos 2 t. . . 3. 3. 2 3 2 3  dt  t  3  3 6. III.Dạng 3:. . . 2 3 2 3 2 3   9 18 18. 6.  ax. mx  n dx 2  bx  c.  4. 0. .  8.

(13) HT 8. Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt) 1. a) I1   0. x 1 dx 2 x  4x  3. 2 x  10 1  x2  x  2 dx 0. b) I 2 . 0. c) I 3 . 7  4x dx 2  3x  2.  2 x. 1. Bài giải 1. a) I1   0. x 1 ( x  1)dx dx   2 x  4x  3 ( x  1)( x  3) 0 1. Xét đồng nhất thức:. x 1 A B Ax  A  Bx  3B ( A  B )x  A  3B     ( x  3)( x  1) x  3 x  1 ( x  3)( x 1) ( x  3)( x 1). A  B 1 A  2 Đồng nhất thức hai vế ta được:    A  3B  1  B  1. 1   2 Vậy, I1     dx   2ln x  3  ln x  1  x  3 x 1  0 1. 1. 0. 4  (2ln 4  ln 2)  (2ln 3  ln1)  2ln  ln 2 3. 2 x  10 2 x  10 b) I 2   2 dx   dx x  x  2 ( x  2)(1  x) 1 1 0. 0. Xét đồng nhất thức:. 2 x  10 A B A  Ax  Bx  2B (B  A) x  A  2B     ( x  2)(1  x) x  2 1  x ( x  2)(1  x) ( x  2)(1  x). B  A  2 A  2 Đồng nhất thức hai vế ta được:    A  2 B  10 B  4. 4   2 Vậy, I 2     dx   2ln x  2  4ln 1  x  x  2 1  x   1 0. 0. 1.  (2ln 2  4ln1)  (2ln1  4ln 2)  2ln 2  4ln 2  ln 4  ln16  ln 64. 7  4x 7  4x c) I 3   dx   dx 2 2 x  3x  2 ( x  2)(1  2 x) 1 1 0. Xét đồng nhất thức:. 0. 7  4x A B A  2 Ax  Bx  2B (B  2 A) x  A  2B     ( x  2)(1  2 x) x  2 1  2 x ( x  2)(1  2 x) ( x  2)(1  2 x).  B  2 A  4 A  3 Đồng nhất thức hai vế ta được:    A  2B  7 B  2.

(14) 3   2 Vậy, I 3      dx    ln 1  2 x  3ln x  2  1 2x x  2  1  0.  ( ln1  2ln 2)  ( ln 3  3ln 2)  ln 3  ln 2  ln. 0. 1. 3 2. HT 9. Tính các tích phân sau: (Mẫu có nghiệm kép) 3x  1 b) I 2   2 dx 4x  4x 1 1. (3x  1)dx a) I1   2 x  2x 1 0. 3x  2 dx 4 x  12 x  9 0. 0. z. 1. c) I 3  . 2. Bài giải z. a) I1   0. 1 1 1  3 (3x  1)dx 3x  1 3( x  1)  2 2   dx  dx   dx  2 2 2 2     x  2 x  1 0 ( x  1) ( x  1) x  1 ( x  1)   0 0. 2     3ln x  1    (3ln 2  1)  (3ln1  2)  3ln 2  1 x 1  0  1. 3 1 0 0  2 x  1  3x  1 3x  1 2 dx b) I 2   2 dx   dx   2 2 2 4x  4x 1 (2 x  1) (2 x  1) 1 1 1 0. 0 3 1  1 1 1 1  3      dx   ln 2 x  1    2  2 2 x  1 2 (2 x  1)  4 2 x 1  4 1 . 0. 1. 1 3 1 3 1 3   ln1     ln 3     ln 3  4 4 12  4 6 4. 3 5 1 1 (2 x  3)  3x  2 3x  2 2 dx c) I 3   2 dx   dx   2 2 2 4 x  12 x  9 (2 x  3) (2 x  3) 0 0 0 1. 3  1 5 1 5 1  3      dx   ln 2 x  3    2  2 2 x  3 2 (2 x  3)  4 2x  3  4 0 1. 1. 0. 1 3 5 3 5 1 3   ln 5     ln 3    ln  4 4 12  4 3 6 4. HT 10. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 3x  1 a) I1   2 dx x 1 0 1. 3. b) I 2   1. 3x  2 dx 2 x  4x  5. Bài giải. 3x  1 dx 4x  4x  2 0. 1. c) I 3  . 2.

(15) 3x  1 dx x2  1 0. 1. a) I1  . 3 1 1 1  2x 1 3 2x dx  3 2x  Chú ý: ( x2  1) '  2 x Nên: I1   2 2 dx     2 dx   2 dx   2 x 1 2 x 1  2 0 x 1 x 1 0 0 0 1. 1. Xét: N   0. dx x 1 2.      Đặt: x  tan t  t    ;     2 2   dx . dt cos 2 t. Đổi cận: Với x  0  t  0 Với x  1  t .  4. . . 4. 4. . 4 dt dt M    0 dt  t cos 2 t (tan 2 t  1) 0 cos 2 t  1 0 cos 2 t. Vậy, I1  M  N  3. b) I 2   1.  4. .  4. 0. 3ln 2   2 4. 3x  2 dx x  4x  5 2. Chú ý: ( x2  4 x  5)'  2 x  4 3 3 (2 x  4)  8 2x  4 1 3  Khi đó: I 2   2 2 dx     2  8 2  dx x  4x  5 2 x  4x  5 x  4x  5  1 1 3. 3 2x  4 1 dx  8 2 dx 2  2 1 x  4x  5 x  4 x  5 1 3. . 3. 3 2x  4 3 d ( x 2  4 x  5) 3 dx   2  ln x 2  4 x  5 +Xét: M   2 2 1 x  4x  5 2 1 x  4x  5 2 3. 3. 3. 3. 1 dx +Xét: N  8 2 dx  8 x  4x  5 ( x  2) 2  1 1 1. 3. 1. 3  (ln 2  ln 2)  0 2.

(16)      Đặt: x  2  tan t Với  t    ;     2 2   dx . dt cos 2 t. Đổi cận: Với x  1  t  .  4. ; Với x  3  t . . . . 4. 4. 4. dt  8  dt  8t 2 cos t (tan 2 t  1) .  N 8 . . . 4. 4. .  4.  4.  4. Vậy, I 2  M  N  4 3x  1 dx 4x  4x  2 0. 1. c) I 3  . 2. Chú ý: (4 x2  4 x  2) '  8x  4 3 1 (8 x  4)  1 3x  1 2 dx Ta có: I 3   2 dx   8 2 4 x  4 x  2 4 x  4 x  2 0 0 1. 3 8x  4 1 dx dx   2 2  8 0 4x  4x  2 2 0 4x  4x  2 1. . 1. 3 8x  4 3 d (4 x 2  4 x  2) 3 + Xét: M   2 dx    ln 4 x 2  4 x  2 2 8 0 4x  4x  2 8 0 4x  4x  2 8 1. 1. 1. 1. 1 dx 1 dx   2  2 0 4 x  4 x  2 2 0 (2 x  1) 2  1. +Xét: N .      Đặt: 2 x  1  tant Với  t    ;     2 2   2dx . dt dt  dx  2 cos t 2cos2 t. Đổi cận: Với x  0  t  .  4. ; Với x  1  t . . 1 N 2. 4. . . 4. dt 1  2 2 2 cos t (tan t  1) 2. . . 4. 4. 1  dt  2 t. . 4. .  4. .  4.  4. 1. 0. 3  (ln 2  ln 2)  0 8.

(17) Vậy, I 3  M  N .  4. HT 11. Tính các tích phân sau: x3  5 x 2  6 x  1 dx x 2  3x  2 1. b) I 2  . x3  3x 2  6 x  1 dx 2 x  2 x  2 1. d) I 4  . 0. 1. a) I1  . 0. 0. 2. c) I 3  . 1. x 4  5 x 3  3x 2  2 x  1 dx x2  2x  1. x2 dx x 2  7 x  12. Bài giải x3  5 x 2  6 x  1 2 x  3  2 x  3  a) I1   dx    x  2  2 dx dx   ( x  2)dx   2 2 x  3x  2 x  3x  2  x  3x  2 1 1  1 1 0. 0. 0  x2  +Xét: M   ( x  2)dx    2 x   2  1. 0. 0. 5 1     2   2 2  1. 0. 2 x  3 2 x  3 dx   dx 2 x  3 x  2 ( x  1)( x  2) 1 1 0. 0. +Xét: N  . Dùng đồng nhất thức ta tách được:. 1   1 N     dx    ln x  1  ln x  2  x 1 x  2  1  0. Vậy, I1  M  N  ln3  1. b) I 2   0. 0.  ( ln1  ln 2)  ( ln 2  ln 3)  ln 3 1. 5 2. x 4  5 x3  3x 2  2 x  1 19 x  9 dx   ( x 2  3x  10  2 )dx 2 x  2x 1 x  2x  1 0 1.  x3 3x 2 1 1 3 49 +Xét: M   ( x  3x  10)dx     10 x   (   10)  0   2 6  3 0 3 2 0 1. 2. 1. +Xét: N   0. 1 1  19 19 x  9 19( x  1)  10 10  dx  dx    dx 2 2   x  2x  1 ( x  1) x  1 ( x  1)2  0 0. 10    19ln x  1    (19ln 2  5)  (19ln1  10)  19ln 2  5 x 1  0  1. Vậy, I 2  M  N  19ln 2 . 79 6.

(18) x3  3x 2  6 x  1 10 x  1   c) I 3   dx    x  1  2  dx 2 x  2x  2 x  2x  2  1 1  0. 0. 0  x2  +Xét: M   ( x  1)dx    x   2  1. 1  1     1  2  2 1. 0. 10 x  1 5(2 x  2)  9 9  5(2 x  2)  dx   2 dx    2  2  dx 2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2   1 1 1 0. 0. +Xét: N  . 0. 2x  2 d ( x 2  2 x  2) dx  5  5ln x 2  2 x  2 2 2  x  2x  2 x  2x  2 1 1 0. 0. P  5 0. 0.  5(ln 2  ln1)  5ln 2 1. 0. dx dx Q  9 2  9 x  2x  2 ( x  1) 2  1 1 1    Đặt: x  1  tan t Với t    ;   2 2  dx . dt cos 2 t. Đổi cận: Với x  1  t  0 ; Với x  0  t   4. . dt  Q  9  9t 2 cos t (tan 2 t  1) 0  N  P  Q  5ln 2  2. d) I 4   1. 4. .  4. 9 4. 0. 9 1 9  I 3  M  N   5ln 2  4 2 4 2. x2 dx   x  16ln x  4  9ln x  3   1  25ln 2  16ln 3 x 2  7 x  12 1. HT 12.Tính các tích phân sau: 2. 1. dx a) I1   5 x  x3 1. xdx ( x  1)3 0. b) I 2   Bài giải. 2. a) I1   1. dx x  x3 5.

(19) 1 1 1 x   3  2 2 x ( x  1) x x x 1. Ta có:. 3. 1 1    I1    ln x  2  ln( x 2  1)  2x 2  . 2. 1. 3 1 3   ln 2  ln 5  2 2 8. 1. xdx ( x  1)3 0. b) I 2  . Ta có:. x x  1 1   ( x  1)2  ( x  1) 3 3 3 ( x  1) ( x  1). 1.   ( x  1)2  ( x  1) 3  dx  0. 1 8. HT 13. Tính các tích phân sau: (Đổi biến số) 1  x2 dx 4 1  x 1. 1. 2. x7 dx (1  x 2 )5 0. 1. I  . 9. I  . 1  x2 dx 4 1  x 1 2. 1. 10. I  . 2.  x5 (1  x3 )6 dx 0 4. 3. I . 3.  x( x. 1 2. 1  x2 dx 3 x  x 1 2. 1 4.  1). 11. I  . dx. 1. 12. I  . dx 4. I   10 x( x  1)2 1 2. 5. I   1 3. 6. I .  1 1. 0. 1  x7 dx x(1  x 7 ). 0 1. dx 6 x (1  x 2 ). 14. I   0. ( x  1) 2 dx 4 (2 x  1) 0. 15. . dx  7 x 1  8. I      2 x  1  (2 x  1) 2 0 99. 1 5 2.  1. Bài giải 1 x 2  xdx  x7 1. I   dx   (1  x 2 )5 (1  x 2 )5 0 0 1. . 13. I . 7. I   1. 3 3. 3. x4  1 dx x6  1. x2 dx x4 1 xdx x  x2  1 4. x2  1 dx x4  x2  1.

(20) Đặt t  1  x2  dt  2 xdx Đổi cận: Với x  0  t  1 Với x  1  t  2 1 (t  1)3 1 1 dt   5 5  21 t 4 2 2. I  1. 1. 0. 0. 2.  x5 (1  x3 )6 dx   x3 (1  x3 ) x 2 dx Đặt t  1  x3  dt  3x 2dx  x 2dx  . dt 3. Đổi cận: Với x  0  t  1 Với x  1  t  0 1 1 6 1  t 7 t8  1 t (1  t ) dt      30 3  7 8  168. I  4. 3. I . 3.  x( x. 4. 1 4. 1.  1). dx . 3.  1. x3dx x 4 ( x 4  1). Đặt t  x 4  dt  4 x 3dx  x 3dx . dt 4. Đổi cận: Với x  1  t  1 ; Với x  4 3  t  3 1 dt 1 1 1  1  t  1 3     dt  ln    ln  4 1 t (t  1) 4 1  t t  1  4  t 1  1 4 2 3. I  2. 4. I   1. 3. 3. 2. dx x9 dx  x( x10  1)2 1 x10 ( x10  1)2. Đặt t  x10  1  dt  10 x9 dx  x9 dx . dt 10. Đổi cận: Với x  1  t  2 ;Với x  2  t  210  1 1 I  5. 210 1.  2. dt 1  2 (t  1)t 5. 1 1   ln(t  1)  ln t   5 t. 210 1.  2. 210 1. 2.  1 1 1   2 dt   t 1 t t . 1 1 1 1  (10ln 2  ln(210  1)  10 )  ( ln 2  5 2 1 5 2). 1  x7 (1  x 7 ) x 6 5. I   dx   7 dx x(1  x7 ) x (1  x 7 ) 1 1 2. 2.

(21) Đặt t  x7  dt  7 x 6dx  x 6dx . dt 7. Đổi cận: Với x  1  t  1 ;Với x  2  t  128 1 7. I . 128.  1. 1 t 1 dt  t (1  t ) 7. 128.  1. 1 1 2     dt   ln t  2ln 1  t  7  t 1 t . 128. 1. 1 1 10 2  (7 ln 2  2ln129)  (2ln 2)  ln 2  ln129 7 7 7 7 3. . 6. I . 1. Đặt t . dx  6 x (1  x 2 ). 3. dx 1 x 2 .x 6 ( 2  1) x.  1. 1 1  dt   2 dx x x. Đổi cận: Với x  1  t  1 ; Với x  3  t  3 3. I  1. . 1. t6 dt  t2 1.   t. 4.  t2 1. 3 3. 1 3. 1  117  41 3    dt  t 1  135 12 2. 2. ( x  1)2 dx  x 1  dx    7. I     4 (2 x  1) 2 x  1  (2 x  1) 2 0 0 1. 1. 3  x 1  Chú ý:   2  2 x  1  (2 x  1) Đặt:. x 1 3dx dx dt t   dt   2 2 2x 1 (2 x  1) (2 x  1) 3. Đổi cận: Với x  0  t  1 ; Với x  1  t  0 1. t . 1 2 t3 t dt  3 0 9. 1.  0. 1 9 99. dx 1  7 x 1   7 x 1   7 x 1    8. I       d  2 2 x  1  (2 x  1) 9 0  2x 1   2x 1  0 1. 99. 1. 1 1  7 x 1      9 100  2 x  1 . 100 1.  0. 1  2100  1 900 .

(22) 1  x2 dx 1  x4 1 2. 9. I  . 1 1 2 1  x2 x Ta có:  1  x4 x2  1 x2 Đặt t  x . 1 1   dt  1  2  dx x  x . Đổi cận: Với x  1  t  0 ; Với x  2  t  3 2. 3 2. 3 2. dt 1  1 1  1 t 2 I  2   dt   ln    t 2 2 2 0t  2 t  2  2 2 t 2 0. 3 2. 0. . 1 ln(3  2 2) 2. 1  x2 dx 1  x4 1 2. 10. I  . 1 1 2 1  x2 x Ta có:  1  x4 x2  1 x2 Đặt t  x . 1 1   dt  1  2  dx x  x . Đổi cận: Với x  1  t  2 ; Với x  2  t . 5 2. 5 2. dt t 2 2.  I  . 2. Đặt t  2 tan u  dt  2 u. du 5 5 ; tan u  2  u1  arctan 2; tan u   u2  arctan 2 cos u 2 2. 2 2 2 2 5  du  (u2  u1 )   arctan  arctan 2   2 u1 2 2  2 . I . 1  x2 dx x  x3 1 2. 11. I  .

(23) 2. Ta có: I   1. Đặt t  x . 1 1 x 2 dx 1 x x. 1 1   dt  1  2  dx x  x . Đổi cận: Với x  1  t  2 ; Với x  2  t  5 2. dt I      ln t t 2. 5 4   ln  ln 2  ln 2 5. 2. x4  1 dx x6  1. 1. 12. I   0. Ta có:. 5 2. 5 2. x 4  1 ( x 4  x 2  1)  x 2 x4  x2  1 x2 1 x2      x6  1 x6  1 ( x 2  1)( x 4  x 2  1) x 6  1 x 2  1 x 6  1. 1 1 d ( x3)  1    I   2 dx   3 2 dx     x 1 3 0 (x ) 1 4 3 4 3 0 1. 13. I . 1. 3 3. x2 dx x4 1.  0. I. 3 3.  (x. 2. x 1 dx  2  1)( x  1) 2. 2. 0. 1. 14. I   0. 3 3. .   x 0. 1 1  1   2 dx  ln(2  3)  1 x 1  4 12. 2. xdx x  x2  1 4. Đặt t  x 2  dt  2 xdx  xdx . dt 2. Đổi cận: Với x  0  t  0 ; Với x  1  t  1 1 dt 1 dt  I   2    2 2 2 0 t  t 1 2 0  1   3  6 3 t        2  2  1. 15. . 1 5 2.  1. x2  1 dx x4  x2  1. 1.

(24) 1 1 2 x2  1 x Ta có: 4  x  x2  1 x2  1 1 x2 Đặt t  x . 1 1   dt  1  2  dx x  x . 1. dt t 1 0. I . 2. . Đặt t  tan u  dt . 4 du   I  du  2  cos u 4 0. PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ HT 1. Tính các tích phân sau: 3. a) I1 . 3. xdx. . b) I 2 . x 1 2. 0.  0. 3. dx. c) I 3 . x 1 2. . x 2  1dx. 0. Bài giải 3. a) I1 . xdx. 1  2 x 1 2.  0. 3. . d ( x 2  1) x2  1. 0. 1.  x 1  2 2. 0. dx. . b) I 2 . 3. x2  1. 0. Đặt x  x2  1  t  (1. x x2  1. )dx  dt . Đổi cận x  0  t  1; x  3  t  3  2 3 2. .  I2 . 1. dt  ln t t. 32.  ln( 3  2). 1. 3. c) I 3 . . x 2  1dx. 0. x  dx u  x 2  1 du  2  Đặt:  x 1 dv  dx v  x . x  x2  1 x2  1. dx  dt . dx x2  1. . dt t.

(25) 3.  I3  x x2  1 0. 3. x2  1. 0. 3.  2 3   x 2  1dx  0. 3. x 2 dx. . 3.  0. 2 3. dx x2  1.  0. x2  1 1 dx x2  1.  2 3  I 3  I 2  2 3  I 3  ln( 3  2). 1  2 I3  2 3  ln( 3  2)  I3  3  ln( 3  2) 2. HT 2. Tính các tích phân sau: 0. 1. b) I   x. 3 x  1dx. a) I   x3 1  x 2 dx. 1. 0. 1. c) I   ( x  1)3 2 x  x 2 dx 0. Bài giải 1. 1. a) I   x 1  x dx   x 2 1  x 2 xdx 3. 2. 0. 0. Đặt: t  1  x 2 (t  0)  x 2  1  t 2  xdx  tdt Đổi cận: x  0  t  1; x=1  t  0 0 1  t3 t5  1 1 1 2  I    (1  t 2 )t.tdt   (t 2  t 4 )dt         3 5  0 3 5 15 1 0. 0. b) I   x. 3 x  1dx 1. Đặt: t  3 x  1  t 3  x  1  dx  3t 2dt Đổi cận: x  1  t  0; x  0  t  1  t7 t4  1 9  I   3(t  1)dt  3      28 7 40 0 1. 3. 1. c) I   ( x  1)3 2 x  x 2 dx 0 1. 1. 0. 0. I   ( x  1)3 2 x  x 2 dx   ( x 2  2 x  1) 2 x  x 2 ( x  1)dx. Đặt t  2 x  x2  t 2  2 x  x 2  2tdt  (2  2 x)dx  ( x  1)dx  tdt.

(26) Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t  1 1 1  t5 t3  1 1 1 2  I    (t 2  1)t.tdt   (t 4  t 2 )dt         15 5 3 0 5 3 0 0. HT 3. Tính các tích phân sau: 2x 1 a) I   dx 0 1 2x 1 4. x 3 dx 0 3 x 1  x  3 3. d) I   1. x 2 dx 0 ( x  1) x  1. g) I  . 2. 3. 0. 27. x 2. 1. 3. x2  1 dx x 3x  1. 5. e) I   1. 0. . x2. 1. 8. dx. x 1. 4. h) I  . k) I  . 4  x2.  x. m) I . dx 2 2x  1  4x  1. b) I  . 2. x3 dx. j) I  . 6. n) I . . 3. 1  1  2x. 2. . x2  1. 2x 1 dx 0 1 2x 1 4. Đặt t  2 x  1  t 2  2 x 1  2tdt  2 dx  tdt Đổi cận: x  0  t  1; x  4  t  3 3  t2  t2 1   I  dt    t  1   dt    t  ln t  1  1 t t 1  2  1 1. 3. 1. 9  1     3  ln 4     1  ln 2   2  ln 2 2  2  6. dx 2 2x  1  4x  1. b) I  . Đặt t  4 x  1  t 2  4 x  1  2tdt  4 dx  dx . i) I  . tdt 2. 2 x3  3x 2  x. 0. 2 5. l) I .  2. o) I   1. a) I  . 3. 2. dx. 4. dx. Bài giải. Đổi cận: x  2  t  3; x  6  t  5. 2 x2  x 1 dx x 1 0 3. f) I  . 4  x2 xdx x. x 1. 1 x dx x 0 1. 1. c) I  . x2  x  1. dx. x ( x 2  1) x 2  5 x2  x 1 x x. dx. dx.

(27) 5 5 5 5  1 1 tdt tdt tdt 1  I   2  2     dt 2 2 3 t 1 t  2t  1 3 (t  1) t  1 (t  1) 2  3 3 1 t 2. 1  1 1 3 1    ln t  1    (ln 6  )  (ln 4  )  ln  t 1  3 6 4 2 12  5. 1 x dx x 0 1. 1. c) I  . Đặt t  1  x  x  (t 1)2  dx  2(t 1)dt Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 2  t2  2 11 1  (t  1)2 2  dt    t  2  dt    2t  2ln t    4ln 2 t t 2 1 3 1 1 2. I . x 3 dx 0 3 x 1  x  3 3. d) I  . Đặt t  x  1  2tdt  dx Đổi cận: x  0  t  1; x  3  t  2 2t 3  8t 1 3 dt   (2t  6)dt 6 dt  3  6ln 2 t  3t  2 t 1 2 1 1 1 2. 2. I  5. e) I   1. 2. x2  1 dx x 3x  1. Đặt t  3x  1  dx . 2tdt 3. Đổi cận: x  1  t  2; x  5  t  4 2.  t 2 1   1 4  4 4 4 4 3  2tdt 2 2 dt 2 2 1   1  I    ( t  1) dt  2  ( t  1) dt  2    dt 2 2     t 1 3 92 t 1 9 2 t 1 t  1  2 2 2 t 3 21 t 1    t 3  t   ln 93 t 1 2 4. 2 x2  x 1 f) I   dx x 1 0 3. 4.  2. 100 9  ln 27 5.

(28) Đặt. x  1  t  x  t2 1  dx  2 tdt. Đổi cận: x  0  t  1; x  3  t  2 2 2  4t 5 2(t 2  1)2  (t 2  1)  1 54 4 2 3 I   2tdt  2 (2t  3t )dt    2t   t  5 1 5 1 1 2. 1. x 2 dx 0 ( x  1) x  1. g) I  . Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 2. . I . 1. 2  t3 (t 2  1)2 1  1  2 tdt  2 t  dt  2  2 t      3 1  t  t t 3 2. 4. h) I   0. 1 . x 1 1  2x. . 2. 2. 1. . 16  11 2 3. dx. dx t 2  2t  dx  (t  1)dt và x  2 1  2x. Đặt t  1  1  2 x  dt . Đổi cận: x  0  t  2; x  4  t  4 1 (t 2  2t  2)(t  1) 1 t 3  3t 2  4t  2 1  4 2 I   dt  dt    t  3   2  dt 2 2  22 t 22 t 2 2 t t  4. 4. 1  t2 2    3t  4ln t   2 2 t 2. i) I  . 2 x3  3x 2  x x2  x  1. 0. 4.  2ln 2  2. 2. dx   0. 4. 1 4. ( x 2  x)(2 x  1) x2  x  1. Đặt t  x2  x  1  2tdt  (2 x  1)dx Đổi cận: x  0  t  1; x  2  t  3 3.  I  2  (t 2  1)dt  1. 2. j) I   0. x3 dx 3. 4  x2. 4 3. dx.

(29) Đặt t  3 4  x2  x2  t 3  4  2 xdx  3t 2dt Đổi cận: x  0  t  3 4; x  2  t  2 2 3 3  t5 4 2 ( t  4 t ) dt   2 t   2 34 2 5 . I . 2. 3. 4. 38      43 2  25 . 4  x2 xdx x. 2. k) I   1. Đặt t  4  x2  t 2  4  x 2  tdt   xdx Đổi cận: x  1  t  3; x  2  t  0. t (tdt ) I    4  t2 3 0. 2 5. l) I .  2. 0. t2  t 2  4dt  3. x ( x  1) x 2  5 2. 4   t 2    1  t 2  4  dt   t  ln t  2  3 0. 0. 3.  2 3     3  ln   2  3  . dx. Đặt t  x2  5  t 2  x 2  5  tdt  xdx Đổi cận: x  2  t  3; x  2 5  t  5 dt 1  1 1  1 15    dt  ln 2 t 4 4 3t 2 t 2 4 7 3. 5. 5. I . x 2. 27. m) I .  x 1. 3. x2. dx. Đặt t  6 x  t 6  x  dx  6t 5dt Đổi cận: x  1  t  1; x  27  t  3 3.  I  5 1. 8. n) I . . 3. 3. x 1 x2  1. dx.  x 1  1   x2  1  x2  1 dx  2 3 8. I. t3  2 2t 1  2  5  2  dt  5  1   2  2  dt  5  3  1  ln   2 t (t  1) t t  1 t  1 3  12  1 . 8. . 3. d ( x 2  1) x2  1. 8. dx x 1 3. . 2.

(30) . . 8.   x 2  1  ln x  x 2  1    4. o) I   1. x2  x 1 x x. 4.  I1   0. x2 1 x x. 4. dx   0.  1  ln( 3  2)  ln( 8  3) 3. x2 1 x x. 4. dx   0. x 1 x x. dx. dx. 4 Đặt t  1  x x  t 2  1  x x  x3  (t 2  1)2  x 2 dx  t (t 2  1)dt 3. Đổi cận: x  0  t  1; x  4  t  3 4 4  80 4   (t 2  1)dt   t 3  t   3 3 1 9 9 1 3. 3. 4. I2   0. Vậy: I . 2 d (1  x x ) 4  1 x x 3 0 1  x x 3 4. x 1 x x. dx . 4.  0. 8 3. 104 9. HT 4. Tính các tích phân sau: 1. a) I . 1. dx.  1 x . b) I  . 1  x2. 1. 1 3 3. x  x  x. 1 3. 3. 4. 1. c) I  . dx. 0. 1 x2  x  1. dx. 3. x2 x2 e) dx I  dx 2 2 0 (1  1  x ) (2  1  x ) 0 2( x  1)  2 x  1  x x  1. d) I  . f) I . 2 2 3.  1. x  x  2011x dx x4. 2 2. 3. g) I . . 3. 2 3. 4. x dx 1 2   x   x 1 x . h) I   1 3. Bài giải 1. a) I . dx.  1 x . 1. 1  x2. 1  x  1  x2 1  x  1  x2 1 1  1  x2 Ta có: I   dx  dx   1 dx      2 x dx (1  x)2  (1  x 2 ) 2x 2 1  x  1 1 1 1. 1. 1. 1. x 3x  9 x 2  1. dx.

(31) 1 1  1   1 dx  ln x  x   2 1  x  2 1.  I1 . 1 1. t 2 dt 1  x2 2 2 2 0 dx .Đặt t  1  x  t  1  x  2tdt  2 xdx  I2   2(t 2  1) 2x 2 2. 1. .  I2 . 1. 1. Vậy: I  1 Cách 2: Đặt t  x  x 2  1  t  x  x 2  1  (t  x)2  x 2  1  t 2  2tx  1  x . 1 1   dx    2  dt  2 2t  Đổi cận: x  1  t  1  2; x  1  t  1  2 1 2. I . 1 2. (t 2  1)dx 1 1 1  2  2t 2 (1  t )  2   t  1  t 2  t  dt 1 2 1 2. 1 1    2ln t  1   ln t  2 t . 1 2. 1 2. 1  (t  1) 2 1    ln   2 t t. 1 2. 1 2. 1 1  (ln(2  2 2)  1  2)  (ln(2  2 2)  1  2)  1 2 2 1. 1. b) I  .  x  x3  3 x4. 1 3. dx. 1.  1 3 1 Ta có: I    2  1  3 dx  x 1 x 1. 3. Đặt t . 1 2 dx dt  1  dt   3 dx  3   2 x x x 2. 1 Đổi cận x   t  8; x  1  t  0 3 0. I  1. c) I   0. 8. 1 13 1 18 1 3 43 t dt  t dt   t 2 8 2 0 2 4. 1 x  x 1 2. 1. dx   0. 8. 6 0. dx 2. 1 3  x   2 4 . t 2 1 2t.

(32) 1  2  x  x 1  x  2   2x 1  Đặt: dt  1   dx  dt    dx  2 2 x  x  1  2 x  x 1     . dx x2  x  1. 3 3 1 Đổi cận: x  0  t  ; x  1  t   3  t  x   x 2  x  1 2 2 2. I. 3  3 2. dt  ln t t.  3 2. 3  3 2. 3 2. 3 3 2 3 3   ln   3   ln  ln 2 3 2 . 3. x2 dx 2 2 0 (1  1  x ) (2  1  x ). d) I  . Đặt 2  1  x  t  t  2  1  x  (t  2)2  1  x  2(t  2)dt  dx Đổi cận: x  0  t  3; x  3  t  4 4. I .  (t  2). 3. 2.  1. (t  1)2 .t 2. 2. (t  1)2 (t  3) 2 .2(t  2)dt 2(t  3) 2 (t  2)dt   3 (t  1) 2 .t 2 t2 3 4. 4. 42 36  36  4      2t  16   2 dt   t 2  16t  42ln t    12  42ln t t  t 3 3  3 4. 4. 3. x2 dx 0 2( x  1)  2 x  1  x x  1. e) I  . Đặt t  x 1  t 2  x 1  2tdt  dx Đổi cận: x  0  t  1; x  3  t  2 2t (t 2  1)2 dt 2 I   2 (t  1) 2 dt  (t  1)3 2 t (t  1) 3 1 2. f) I . 2 2 3.  1. 2. Ta có: I .  1. 2 2 3.  1.  1. x  x3  2011x dx x4 2 2 3. M . 2. 1 1 2 2 x 2 dx  2011 dx  M  N 1 x3 x3. 1 1 x 2 dx x3. 2 3. . dt t.

(33) Đặt: t . 1 1 2 dx 3  1  t 3  2  1  3t 2 dt   3 dx  3   t 2 dt 2 x x x x 2. 3. Đổi cận: x  1  t  0; x  2 2  t   . M . 2 2. . N . 1. I . 7 2. 3. 7 2. . t 3dt  . 0. 2011 dx  x3. 2 2.  1. 213 7 128.  2011 2011x 3dx   2   2x . 2 2. . 1. 14077 16. 14077 213 7  16 128. 2 2. . g) I . 3 2. 3. 3. x4 dx  1 2   x   x 1 x . Đặt t  x2  1  dt . 2 2. . 3. x 4 .xdx ( x 2  1) x 2  1. xdx x2  1. Đổi cận: x  3  t  2; x  2 2  t  3 3 4 3 3 (t 2  1)2 t  2t 2  1 1 19 2  4 2  2 dt  dt  t dt  dt   ln   2 2 2    t  2 t  2 t  2 3 4 2 2 2 2  4 2  3. I  2 3. h) I   1 3. x 3x  9 x  1 2. 2 3. 2 3. 1 3. 1 3.  I1   3x 2 dx  x3. 2 3. 2 3. 2 3. 1 3. 1 3. 1 3. dx   x(3 x  9 x2  1)dx   3 x2 dx   x 9 x2  1dx. . 8 1 7   27 27 27. 2 3. 2. 3. 3. 3 1 3 1  I 2   x 9 x 2  1dx   9 x 2  1d (9 x 2  1)  (9 x 2  1) 2 18 1 27 1. I . 73 3 27. HT5. Tính các tích phân sau:. 2 3. 1 3. . 3 9.

(34) 2. a) I   x. 2. b) I  . 4  x dx 2. 0. 1. c) I   3  2 x  x 2 dx.  x  2 xdx 2. 1. 0. 0. 1. 1 2. x 2 dx. d) I  . 4  x6. 0. 1. e) I   1  2 x 1  x 2 dx. f) I  . 0. 0. x 2 dx 3  2 x  x2. Bài giải 2. a) I   x 2 4  x 2 dx 0.    Đặt: x  2sin t Với t    ;   cos t  0  2 2  dx  2cos tdt Đổi cận: x  0  t  0; x  2  t .  2. . . 2. 2. 0. 0.  I   4sin 2 t 4  4sin 2 t .2cos tdt  16  sin 2 t 1  sin 2 t .cos tdt . . . . 2. 2. 2. 2. 0. 0. 0. 0.  16  sin 2 t. cos t cos tst  16  sin 2 t.cos 2 tdt  4  sin 2 4t.dt  2  (1  cos8t )dt . sin 8t  2(t  ) 8. 2. . 0. b) I  . 0. 1. 0.  x  2 xdx  2. . 1  ( x  1) 2 dx. 1.    Đặt: x  1  sin t Với t    ;   cos t  0  2 2  dx  cos tdt Đổi cận: x  1  t  0; x  0  t  . . 2. 2. I  0.  2 . 12 1  sin t .cos tdt   cos tdt   (1  cos 2t )dt 20 0 2. 2.

(35) . 1  sin 2t   t   2 2 . 2. .  4. 0. 1. 1. 0. 0. c) I   3  2 x  x 2 dx   4  ( x  2) 2 dx.    Đặt: x  2  2sint ,Với t    ;   cos t  0  2 2  dx  2cos tdt Đổi cận: x  0  t   . . . 6. 1. 0.  6. . . 6.  6. 4  4sin 2 t .2cos tdt  4  cos 2 tdt  2  (1  cos 2t )dt . 2.  sin 2t   2t   2  . d) I  . 2. ; x 1 t  . . . I . . . . . . 2. . 2.  6. . .  12. . 3   3    4 4 6 4. 2. x 2 dx 4  x6. Đặt: t  x3  dt  3x2 dx Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t  1 1. I . 1 dt  3 0 4  t2.   Đặt t  2 sin u , u   0;   dt  2 cosudu  2 Đổi cận: t  0  u  0; t  1  u  .  6. . 1 6 2cos u.du 16 u I     du  3 0 4  4sin 2 u 3 0 3.  6. .  18. 0. Chúý: Các em học sinh có thể đặt trực tiếp: x3  2sin t.

(36) 1 2. e) I   1  2 x 1  x 2 dx 0.    Đặt: x  sin t ,Với t    ;   cos t  0;cos t sin t  2 2  dx  cos t.dt 1  t  2 6. Đổi cận: x  0  t  0; x  . . . 6. 6. 6. 0. 0. 0.  I   1  2sin t 1  sin 2 t .cos tdt   1  2sin t.cos t .cos tdt   (sin t  cos t )2 cos tdt . . 6. 6. . 16 1 sin 2t cos 2t   (cos t  sin t ) cos tdt   (cos t  sin t.cos t )dt   (1  cos 2t  sin 2t )dt  (t   ) 20 2 2 2 0 0 2. .  12. 3 1  8 8.  1. x 2 dx. f) I  . 3  2 x  x2. 0. 1. Ta có: I   0. x 2 dx 22  ( x  1)2.    Đặt: x 1  2sint ,Với t    ;   cos t  0  2 2  dx  2cos tdt Đổi cận: x  o  t   . I . 2. ; x 1 t  .  6. . . . (1  2sin t ) 2 2cos t 4  (2sin t ) 2. . dt . .  (3t  4 cos t . sin 8t ) 4. . 6.  6. . . 2. . 1  4sin t  4sin 2 t  dt . 2.  6. . .  2. . 3 3 4 2. 2. HT 6. Tính các tích phân sau :. .  6.  (1  4sin t  2  2cos8t )dt. . 2.  2. 0.

(37) (3  4  x 2 )dx 2x4 1. 2. 2. a) I   ( x5  x 2 ) 4  x 2 dx. b) I  . 2. 1  1 x d) I     2 x ln(1  x )  dx   x 0  1 . 2 x dx x2. 2. c) I   0. Bài giải 2. a) I   ( x5  x 2 ) 4  x 2 dx 2. 2. 2.   ( x  x ) 4  x dx  5. 2. x. 2. 2. x. 4  x dx   x 2 4  x 2 dx  A  B 2. 2. 2. +Tính A . 2. 5. 2. 2. 4  x dx . 5. 2. 2. x. 4. 4  x 2 xdx. 2. Đặt t  4  x2  t 2  4  x 2  xdx  tdt Đổi cận : x  2  t  0; x  2  t  0 0.  I   (4  t 2 )2 .t 2 .dt  0 0. 2. +Tính B . x. 4  x 2 dx. 2. 2.    Đặt : x  2sin t ,Với t    ;   cos t  0  2 2  dx  2cos tdt Đổi cận : x  2  t  .  2. ;x  2t . . B. . 2 . 2.  4sin. . 2. 2. t 4  4sin t .2cos t.dt  16  sin 2 t 1  sin 2 t .cos t.dt 2. . 2. . 2. . . . . 2. 2. 2. 2.  16  sin 2 t. cos t cos tdt  16  sin 2 t.cos 2 t.dt  4  sin 2 4t.dt  2  (1  cos8t )dt . . 2. . . 2. . . 2. . . 2.

(38) . sin 8t ) 8.  2(t . 2. .  2.  2. Vậy, I  2 (3  4  x 2 )dx 2x4 1 2. b) I  . 2. Ta có : I   1. 3 4  x2 dx  1 2 x4 dx 2 x4 2. 2. 2. 3 3 7 dx   x 4 dx  4 2x 21 16 1. +Tính I1   2. +Tính I 2   1. 4  x2 dx 2 x4. Đặt x  2sin t  dx  2costdt Đổi cận x  1  t .  6. ;x 2t . .  2. . . 1 2 cos 2 tdt 1 2 2  1  12 2 3  I2    cot t dt   cot t . d (cot t )    4 2 8  sin t 8  8  8  sin t  6. Vậy : I . 6. 6. 1 (7  2 3) 16. 2 x dx x2. 2. c) I   0. Đặt x  2cos t  dx  2sin tdt Đổi cận : x  0  t . 0. I  . 2. .  2. ;x  2t  0. 2  2 cos t 2sin tdt   2  2 cos t. t 2 2sin t.dt t cos 2 2 sin 2.  t 2 2 4sin t dt  2(1  cos t )dt  0 t 2 0 cos 2 2. sin.

(39) .  2(t  sin t ). 2.  2. 0. 1  1 x d) I     2 x ln(1  x )  dx   x 0  1 . 1. Tính H   0.    x  cos t ;t   0;   H  2 2  2. 1 x dx Đặt 1 x. u  ln(1 x ) 1 Tính K   2 x ln(1  x)dx Đặt  K  2 dv  2 xdx 0 1. Vậy I . 3   2 2. PHẦN IV TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC HT1. Tính các tích phân sau: . . . 2. b) I   (sin x  cos x)dx. a) I   cos xdx. 6. 4. .  3. 3. 4sin x dx 1  cos x 0. d) I  . e) I   0. 2.  sin 2 x.sin 5 x.dx. c) I . 0. 0. 2. 6. .   2 sin  x   4  dx cos x.  4. dx 1  cos 2 x 0. f) I  . Bài giải . . . . 1  1  cos 2 x  2 a) I   cos xdx   (cos x) dx     dx   (1  2cos 2 x  cos 2 x)dx 2 4  0 0 0 0 4. 2. 2. 2. . 1 3 cos 4 x  13 sin 4 x     2cos 2 x   dx   x  sin 2 x   4 02 2  42 8  . . 2. 2. 0. 0. .  0. 3 8. b) I   (sin 6 x  cos6 x)dx   (sin 2 x  cos2 x)(sin 4 x  sin 2 x cos2 x  cos4 )dx  2. . 2 3   (sin 2 x  cos 2 x) 2  3sin 2 x cos 2 x)dx   (1  sin 2 2 x)dx 4 0 0. 2.

(40) . . 5 3 3 5    (  cos 4 x)dx   x  sin 4 x  8 8 32 8  0 2. . c) I . 2. . . 2. . 5 16. 0. . sin 2 x.sin 5 x.dx . 1 2. 2. . 1  sin 3x sin 7 x   (cos 3x  cos 7 x)dx  2  3  7   2. 2. . . 2. . . . 4 21. 2. . 2 4sin x 4(1  cos x)sin x d) I   dx   dx   4(1  cos x)d (1  cos x)  2(1  cos x) 2 1  cos x 1  cos x 0 0 0 2.  3. e) I   0. 3. 2. 2.  2. 2. 0.     2 sin  x   3 3 sin x  cos x 4  sin x   dx   dx     1 dx cos x cos x cos x  0 0.    ln cos x  x .  3.  ln 2 .  3. 0. . . 4. 4 dx dx 1 f) I     tan x 2 1  cos 2 x 0 2cos x 2 0.  4. . 1 2. 0. HT2 . Tính các tích phân sau: . . 2. 2. a) I   cos 2 x cos 2 xdx.  4. dx cos 6 x 0. b) I   (cos3 x  1) cos 2 xdx. 0. c) I  . 0. . . 2. 2. d) I   (sin 4 x  cos4 x )(sin6 x  cos6 x )dx. e) I   cos 2 x(sin 4 x  cos 4 x)dx. 0. 0. Bài giải  2. a) I   cos 2 x cos 2 xdx 0.  2. . . 12 12 I   cos2 x cos 2 xdx   (1  cos 2 x) cos 2 xdx   (1  2cos 2 x  cos 4 x)dx 20 40 0.

(41) . 1 1  ( x  sin 2 x  sin 4 x) 4 4. 2. .  8. 0. . . 2. 2. 0. 0. b) I   (cos3 x  1) cos 2 xdx   (cos5 x  cos 2 x)dx . . 2. 2. 0. 0. A   cos5 xdx   (1  sin 2 x)2 d (sin x)  . 8 15. . 2. B   cos 2 xdx  0. Vậy I . 12  (1  cos 2 x)dx   20 4. 8   15 4. . . 4. 4. . 4 dx dx 28 c) I      (1  2 tan 2 x  tan 4 x)d (tan x)  6 4 2 cos x 0 cos x.cos x 0 15 0.  2. d) I   (sin 4 x  cos4 x )(sin6 x  cos6 x )dx 0. Ta có: (sin 4 x  cos4 x)(sin 6 x  cos60 x) . 33 7 3  cos 4 x  cos8 x 64 16 64. 33  128. I  . 2. e) I   cos 2 x(sin 4 x  cos 4 x)dx 0. . . 1 2 1  1   I   cos 2 x 1  sin 2 2 x  dx   1  sin 2 2 x  d (sin 2 x)  0 2 0 2  2   0 2. HT 3. Tính các tích phân sau: . a) I . cot x  tan x  2 tan 2 x dx  sin 4 x 8. 12.  6. b) I   0. 1 dx 2sin x  3. . c) I   . 3. dx 2  3 sin x  cos x.

(42)   cos2  x   8  d) I   dx sin 2 x  cos 2 x  2. 8cos 2 x  sin 2 x  3 e) I   dx f) I  sin x  cos x. 2. . 1  sin xdx. 0. Bài giải . a) I . 8.  . cot x  tan x  2 tan 2 x dx sin 4 x. 12 . 2 cot 2 x  2 tan 2 x dx  sin 4 x. 8. Ta có: I .   12. . . . 8. 8. 8.  . 2 cot 4 x cos 4 x 1 dx  2  dx   2 sin 4 x 2sin 4 x  sin 4 x. 12. 12. . . 2 3 3 6. 12.  6. b) I   0. 1 dx 2sin x  3. Ta có: I . . . 6. 6. 1 2. 1 1 dx   dx   2 0 sin x  sin  0 sin x  sin 3 3.  x    x   cos            3 6   2 6   dx 3  dx    x  x  0 sin x  sin 0 2 cos     sin     3 2 6 2 6 . cos. 6. . . 6.  x  x  cos      6 cos  1 1 2 6 2 6 x      dx   dx  ln sin    20 20 x  x  2 6 sin    sin    2 6 2 6 . 6. . c) I   . dx 2  3 sin x  cos x. 3.  1. I. 1 2  3. . dx 1 dx 1      4  x x 0 1  cos  x  2sin 2    4 3   3 3  2 6.   cos2  x   8  d) I   dx sin 2 x  cos 2 x  2.  6. 0. x   ln cos    2 6.  6. 0.  ....

(43)   1  cos  2 x   1 4  Ta có: I  dx  2 2 1  sin  2 x      4      cos  2 x    1  dx 4    dx   2    2 2 1  sin  2 x             sin  x  8   cos  x  8     4            cos  2 x    1 1 dx 4    dx   3 2  2 2  1  sin  2 x    sin 2  x     4 8    . 1   3    ln 1  sin  2 x    cot  x  4 8 4 2  . e) I   I .      .    C . 8cos 2 x  sin 2 x  3 dx sin x  cos x. (sin x  cos x)2  4cos 2 x dx    (sin x  cos x  4(sin x  cos x)dx sin x  cos x.  3cos x  5sin x  C 2. f) I . . 1  sin xdx. 0. 2. I. 2. x x   sin  cos  dx  2 2 .  0. 2.  0. 2. x x x  sin  cos dx  2  sin    dx 2 2 2 4 0.  32  2 x  x     2   sin    dx   sin    dx   4 2 2 4 2 4 3  0  2 HT 4. Tính các tích phân sau: .  2. 2. sin 2 x dx (2  sin x) 2 0. cos 2 x dx (cos x  sin x  3)3 0. 1. I  . 9. I  . .  4. 2. I   0. sin 4 x sin 6 x  cos6 x. 4. dx. 10. I  . sin 4 x. 2 4 0 cos x. tan x  1. dx.

(44) . . 3. 3. I  . cos x 3  sin 2 x. 0. 4. I . 4. sin x. sin 4 x dx 2 1  cos x 0. 11. I  . dx. . 2 3. x  ( x  sin x)sin x dx sin 3 x  sin 2 x. . . tan 3 x dx cos 2 x 0 6. 12. I   . 3 . cos x  sin x dx 3  sin 2 x 0 4. 2. sin 2 x. 5. I  . cos 2 x  4sin 2 x 0     6 tan  x  4  6. I   dx cos 2 x 0. 13. I  . dx.  3. cot x dx    sin x.sin  x   6 4 . 14. I   . 2. 7. I  2 1  cos x .sin x.cos .xdx 6. 3. 5. 3. 15. I  . 1. .  4. 8. I   0. dx sin x.cos 4 x 2. 4. tan xdx cos x 1  cos 2 x. Bài giải  2. sin 2 x dx (2  sin x) 2 0. 1. I  . . . 2. 2 sin 2 x sin x cos x Ta có: I   dx  2 dx Đặt t  2  sin x 2  (2  sin x) (2  sin x) 2 0 0. t 2 2 1 2    I  2 2 dt  2   2  dt  2  ln t   t t t  t  2 2 3. 3. 3. 2. 3 2  2ln  2 3.  4. 2. I   0. sin 4 x sin 6 x  cos6 x. dx. . 1 4. sin 4 x 3 4  2 1  dx . Đặt t  1  sin 2 2 x  I       dt  t 4 3 t 3 3 2 1 1  sin 2 x 4. 4. I  0. 1.  1 4. 2 3.  3. 3. I   0. sin x cos x 3  sin 2 x. dx. Đặt t  3  sin 2 x  4  cos2 x .Ta có cos2 x  4  t 2 và dt . sin x cos x 3  sin 2 x. dx.

(45) . . 3. 3. I  0. sin x cos x 3  sin x 2. 15 2. 1 t2  ln 4 t 2. 3. 4. I . 2 3.  . dx   0. sin x cos x cos x 3  sin x 2. 1 15  4   ln  ln 4  15  4. 2. 32 32. dx . 15 2. . 3. dt 1  2 4t 4. 15 2.  1. 1 .   t  2  t  2  dt 3.  1   ln( 15  4)  ln( 3  2)  2. . . x  ( x  sin x)sin x dx sin 3 x  sin 2 x. 3. I. 2 3. x.   sin. 2. dx . x. 3. 2 3. dx.   1  sin x 3. +Tính I1 . 2 3. u  x x du  dx   dx. Đặt   I1  dx   2 sin x dv  3 v   cot x  sin 2 x . . . 3 2 3.  . +Tính I 2 . dx  1  sin x. 3. Vậy: I . 2 3.   3. . dx    1  cos   x  2 . 2 3.   3. dx  42 3 x 2  2 cos     4 2. 42 3. 3.  2. 5. I   0.  2. I  0. sin 2 x cos x  4sin 2 x 2. dx. 2 udu 2 2 2 2sin x cos x 2 3 dx Đặt u  3sin x  1  I     du   2 u 31 3 3sin x  1 1 2.   tan  x   4  6. I   dx cos 2 x 0 . 6.    tan  x   6 1 tan 2 x  1 4  dx  (tan 2 x  1)dx I  dx    dx Đặt t  tan x  dt  2 2 cos x cos 2 x (tan x  1) 0 0 . 6.

(46) 1 3. I  0. 1 3. dt 1  2 (t  1) t 1. 1 3 2. . 0. 2. 7. I  2 6 1  cos3 x .sin x.cos5 .xdx 1. Đặt t  6 1  cos3 x  t 6  1 cos3 x  6t 5 dt  3cos2 x sin xdx dx. 2t 5 dt cos2 x sin x. 1  t 7 t13  1 12  I  2 t 6 (1  t 6 )dt  2      7 13  0 91 0.  4. 8. I   0. tan xdx cos x 1  cos 2 x  4. Ta có: I   0. 3. I . tan xdx. .Đặt t  2  tan2 x  t 2  2  tan2 x  tdt . cox 2 x tan 2  2. tdt  t  2. tan x dx cos2 x. 3.  dt . 3 2. 2.  2. cos 2 x dx (cos x  sin x  3)3 0. 9. I  . t 3 1 dt   3 t 32 2 4. Đặt t  cos x  sin x  3  I    4. 10. I   0. sin 4 x cos 2 x. tan 4 x  1. dx.  4. Ta có: I   0. 2 2. sin 4 x sin x  cos x 4. 4. dx .Đặt t  sin 4 x  cos 4 x  I  2  dt  2  2 1.  4. sin 4 x dx 1  cos 2 x 0. 11. I  . . 1. 2 2(2t  1) 1 2sin 2 x(2cos 2 x  1) 2 Ta có: I   .Đặt t  cos x  I   dt  2  6 ln dx 2  t 1 3 1  cos x 1 0 4.

(47) . tan 3 x dx cos 2 x 0 6. 12. I  . .  3. 6 tan x tan 3 x dx   dx cos 2 x  sin 2 x cos 2 x(1  tan 2 x) 0 0 6. Ta có: I  . 3 3. t3 1 1 2 Đặt: t  tan x  I   dt    ln 2 1 t 6 2 3 0 . cos x  sin x dx 3  sin 2 x 0 4. 13. I  . 2. Đặt u  sin x  cos x  I .  1. du 4  u2.  4. Đặt u  2sin t  I   . . 2cos tdt 4  4sin 2 t. 6. 4. . . 12.   dt  6.  3. cot x dx    sin x.sin  x   6 4 . 14. I  .  3. I  2 . cot x 1 dx Đặt 1  cot x  t  2 dx  dt sin x(1  cot x) sin x 2. 6. 3 1. t 1 I  2  dt  2  t  ln t  t 3 1 3. 3 1. 3 1 3.  2   2  ln 3   3 .  3. 15. I   . dx sin x.cos 4 x 2. 4.  3. Ta có: I  4  . 4. dx dt .Đặt t  tan x  dx  2 sin 2 x.cos x 1 t2 2.

(48) 3. I .  1. (1  t 2 )2 dt  t2.  1 t3  1 2  2  t dt    2 t     1  t 2 3   t 3. 3. . 1. 8 3 4 3. HT 5. Tính các tích phân sau: sin 2 xdx 1. I   3  4sin x  cos 2 x. 2. I  . dx sin x.cos5 x. 3. I  . dx sin x.cos3 x. 3.  2. sin 2 x.cos x dx 1  cos x 0. 4. I    3. 5. I   sin 2 x.tan xdx.  6. 11. I   0 2. 0.  4. sin x dx 5sin x.cos 2 x  2 cos x 0. 13. I  . . 14. I . 4. . . sin 2 xdx cos 4 x(tan 2 x  2 tan x  5). 4. . 6. I   sin 2 x(2  1  cos 2 x )dx . 2. 15. I   . 2. sin 2 x dx sin 3x. 6. . . dx. 12. I   1  3 sin 2 x  2cos 2 xdx. . 3. sin x  3 cos x. . 0. 7. I  . 1. . dx sin x.cos 4 x 2. 2. 16. I   . 4  6. sin x  cos x dx 1  sin 2 x. 4. . sin x dx cos 2 x 0. 3. 8. I  . 17. I  . . 4. . dx 4. 3. sin x.cos5 x. 2. sin x 9. I   dx 3 0 (sin x  3 cos x ) . 10. I . 4. . . sin x 1  cos 2 x dx cos 2 x. . cos3 x  cos x  sin x 18. I   x( )dx 1  cos 2 x 0  2. 19. I  . 3. . cos x sin x 3  cos 2 x. dx. 6. Bài làm 1. I  . sin 2 xdx 3  4sin x  cos 2 x. Ta có I   2. I  . 2sin x cos x 1 dx .Đặt t  sin x  I  ln sin x  1  C 2 sin x  1 2sin x  4sin x  2. dx sin x.cos5 x 3.

(49) I . dx dx  8 3 3 2 sin x.cos x.cos x sin 2 x.cos 2 x 3. 3 1 3 1   Đặt t  tan x. I    t 3  3t   t3  dt  tan 4 x  tan2 x 3ln tan x  C t 4 2 2 tan2 x  . Chú ý: sin 2 x  3. I   I . 2t 1 t2. dx sin x.cos3 x. dx dx dx 2t Đặt t  tan x  dt   2 ;sin 2 x  2 2 2 cos x 1 t2 sin x.cos x.cos x sin 2 x.cos x. dt t 2 1 1 t2 tan 2 x  I  2  dt   (t  )dt   ln t  C   ln tan x  C 2t t t 2 2 1 t2  2. sin 2 x.cos x dx 1  cos x 0. 4. I  . . (t  1)2 sin x.cos 2 x dt  2ln 2  1 dx .Đặt t  1  cos x  I  2 t 1  cos x 0 1 2. 2. Ta có: I  2   3. 5. I   sin 2 x.tan xdx 0. . . 3 sin x (1  cos 2 x)sin x Ta có I   sin 2 x  dx   dx .Đặt t  cos x cos x cos x 0 0 3. 1 2. 1 t2 3  I   dt  ln 2  t 8 1 . 6. I   sin 2 x(2  1  cos 2 x )dx . 2. . . . . 2. 2. Ta có : I   2sin 2 xdx   sin 2 x 1  cos 2 xdx  H  K.

(50) . .  H   2sin xdx   (1  cos 2 x)dx    2. . . 2. 2.  2. .  2. . . . . . . 2. 2. 2.  K   sin 2 x 2cos 2 x   2  sin 2 x.cos xdx   2  sin 2 xd (sin x) . . I . 2. . 2 3.  3. 7. I   . dx sin x.cos 4 x 2. 4.  3. I  4 . dx dx .Đặt t  tan x  dt  2 sin 2 x.cos x cos2 x 2. 4 3. I.  1. (1  t 2 )2 dt  t2.  1 t3  1 2  2  t dt    2 t     1  t 2 3   t 3. 3. . 1. 8 34 3.  6. sin x dx cos 2 x 0. 8. I   . . 6. 6 sin x sin x dx   dx Đặt t  cos x  dt   sin xdx cos 2 x 2cos 2 x  1 0 0. I . Đổi cận x  0  t  1; x  3 2. Ta được I    1.  6. t . 3 2. 1 1 2t  2 dt  ln 2 2t  1 2 2 2t  2. 1.  3 2. 1 2 2. ln. 32 2 52 6.  2. sin x dx 3 (sin x  3 cos x ) 0. 9. I  .   Ta có : sin x  3 cos x  2cos  x  ; 6     3  1    sin x  sin   x      sin  x    cos  x   6 6 2 6 2 6   . 2 3.

(51)    sin  x   dx 3 1 2 dx 3 6  I       16 0  6 16 0   cos3  x   cos 2  x   6 6   . 2. . 10. I . 4. . . sin x 1  cos 2 x dx cos 2 x. 3. . I. 4. . . . sin x 1  cos 2 xdx  2 cos x. 3. . 4. sin x sin x dx  cos 2 x. . . 3. 0. . . 4 sin x sin x sin x dx  sin x dx 2 2  cos x cos x 0. 3.  0.  . . 4 sin x sin 2 x 7 dx  dx   3 1 2 2  cos x cos x 12 0 2. 3.   sin  x   1 1 1 1 1 3  11. I   dxI   dx   dx   dx   20 20  2  0 sin x  3 cos x 0 sin x  3 cos x sin  x   1  cos x  x   3 3   . . . . 6. 6. 6. 6.   sin  x   1 1 1 1 3  I  dx   dx   dx   2 2     sin x  3 cos x 2 0 0 sin x  0 1  cos x x      3 3   . . . 6. 6. 6.  1 2.   1 1 1   Đặt t  cos  x    dt   sin x   dx  I   dt  ln 3 2 3 3 2 0 1 t 4    2. 12. I   1  3 sin 2 x  2cos 2 xdx 0. . . . 2. 3. 2. 0. 0. . I   sin x  3 cos x dx  I   sin x  3 cos x dx   sin x  3 cos x dx  3  3 3.  4. sin x dx 5sin x.cos 2 x  2 cos x 0. 13. I  .

(52)  4. tan x 1  dx . Đặt t  tan x 2 5 tan x  2(1  tan x) cos 2 x 0. Ta có I  . t 1  2 1  1 2 dt      dt  ln 3  ln 2 2 2t  5t  2 3 0  t  2 2t  1  2 3 0. 1. 1. I . . 14. I . 4. . . sin 2 xdx cos 4 x(tan 2 x  2 tan x  5). 4 1. Đặt t  tan x  dx . 1. dt t 2 dt 2 dt  I   2  ln  3  2 2 2  1 t t  2t  5 3 1 t  2t  5 1. t 1 1 dt 1 t 2  2t  5 .Đặt 2  tan u  I1  2 1. Tính I1 . . 0.  du  8. . 2 3 Vậy I  2  ln 2  3 8. 4. . sin 2 x dx sin 3x. 2. 15. I   . 6. .  2. 2. 2 sin x s ?n I  dx   dx 3 2  3sin x  4sin x  4 cos x  1 6. 6. 0. dt 1  2 4t  1 4 3. Đặt t  cos x  dt    sin xdx  I    2. 3 2.  0. dt. 1  ln(2  3) 1 4 t2  4. . sin x  cos x dx 1  sin 2 x. 2. 16. I   . 4.    Ta có : 1  sin 2 x  sin x  cos x sin x cos x (vì x   ;  ) 4 2  2. I  . sin x  cos x dx .Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx sin x  cos x. 4 2. I . 1 1 t dt  ln t. 2. 1. 1  ln 2 2.

(53)  3. dx. 17. I  . sin 3 x.cos5 x. 4. . 4. . . 3. 3. 1.  . Ta có :. sin 3 x  cos8 x 3 cos x. 4. 4. 3. Đặt t  tan x  I . t. . 3 4. 1. dx  . 4. . 1 dx 2 tan 3 x cos x . 4. dt  4(8 3  1). 1. . cos3 x  cos x  sin x )dx 1  cos 2 x. 18. I   x( 0. .    cos x(1  cos 2 x)  sin x  x.sin x Ta có I   x  dx  J  K  dx   x.cos x.dx   2 1  cos x 1  cos 2 x  0  0 0  u  x du  dx +Tính J   x.cos x.dx Đặt    J  2 dv  cos xdx v  sin x 0. . x.sin x dx Đặt x    t  dx  dt 1  cos 2 x 0. +Tính K   . . . (  t ).sin(  t ) (  t ).sin t (  x).sin x dt   dt   dx 2 2 2 1  cos (   t ) 1  cos t 1  cos x 0 0 0. K . . . . ( x    x).sin x sin x.dx  sin x.dx  2K   dx    K   2 2 1  cos x 1  cos x 2 0 1  cos 2 x 0 0. Đặt t  cos x  K . . 1. dt. 2  1 t. 2. ,Đặt t  tan u  dt  (1  tan 2 u)du. 1. . . K. 2. Vậy I . . 4. . . 2 4. (1  tan u )du   1  tan 2 u 2 2. 4. 2.  2. 19. I   . 6. cos x sin x 3  cos 2 x. dx. 4. . . 4. . du .  2. 4. . .u .  4. 2 4.

(54)  2. Ta có I   . sin x cos x sin x 3  cos x 2. 2. dx .Đặt t  3  cos2 x. 6. I . 15 2. . 3. . dt 1  ln( 15  4)  ln( 3  2 2 4t 2. . HT 6. Tính các tích phân sau : . . 2. 3sin x  4cos x dx 3sin 2 x  4cos 2 x 0 2. 1 1. I   sin x. sin 2 x  dx 2 . 2. I  . 6.   sin  x   4  4. I   dx  2sin x.cos x  3. . . 4. 3. I   . tan x cos x 1  cos 2 x. 2. dx. 6. 4. Bài giải  2. 1 1. I   sin x. sin 2 x  dx 2  6. . 3  34  Đặt cos x  sin t ,  0  t    I   cos 2 tdt  2 2 20 . 3 1    2 4 2. . 3sin x  4 cos x dx 3sin 2 x  4 cos 2 x 0 2. 2. I   . . . . . 2 3sin x  4cos x 3sin x 4cos x 3sin x 4cos x dx  dx  dx  dx  dx 2 2 2 2     3  cos x 3  cos x 3  cos x 3  cos x 4  sin 2 x 0 0 0 . 0 2. 2. I . 2. 2.  1. 2. 3sin x 3dt +Tính I1   dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I1   2 3  t2 3  cos x 0 0 . 3 3(1 tan2 u )du  3  3(1 tan2 u ) 6 0 6. Đặt t  3 tan u  dt  3(1 tan2 u )du  I1    2. +Tính I 2   0. 1. 4 cos x 4dt1 dx .Đặt t1  sin x  dt1  cos xdx I 2   dt  ln 3 2 2 1 4  t 4  sin x 0.

(55)  3. Vậy I . 6.  ln3.  4. 3. I   . tan x cos x 1  cos 2 x. dx. 6. . . 4. 4 tan x tan x Ta có I   dx   dx 2 2 1   cos x tan x  2 2 cos x 1 6 6 cos 2 x. Đặt u  tan x  du . 3. 3.  dt  t. I . 1 dx  I  cos2 x.  3 7 3. 7 3. 1. . 1 3. u u2  2. dx .Đặt t  u 2  2  dt . u u2  2. du. 7 3 7  3 3.   sin  x   4  4. I   dx  2sin x.cos x  3 . 2. 4.  1 1 2 sin x  cos x 1 1 Ta có I   dx .Đặt t  sin x  cos x  I   dt 2 2   2  (sin x  cos x) 2 0 t 2. 4. arctan. Đặt t  2 tan u  I  . 1 2. . 1 2. 2(1 tan2 u ) 1 1 du   arctan 2 2 tan u  2 2 2. 0. HT 7.Tính các tích phân sau : . 1. I . 3. .  3. . x sin x dx cos 2 x. .  1  sin x  x 2. I     .e dx 1  cos 2  0 2. Bài giải . 1. I . 3. x sin x dx 2 x.  cos.  3. 4. x cos 2 x dx (1  sin 2 x) 2 0. 3. I  .

(56) Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: . I. 3. . . x  1  xd    cos x  cos x. 3. . . 3. 3. . . . dx 4   J Với J  cos x 3.  . 3. . . Để tính J ta đặt t  sin x . Khi đó J . 3. dx.  cos x. . 3. . 3. 3 2. dx. dt 1 t 1  ln 2 1 t 2 t 1 3.  cos x  . . Vậy I . 3. 3. . 2. 3 2. .   ln. 3 2. 2 3 2 3. 4 2 3  ln 3 2 3. .  1  sin x  x 2. I     .e dx 1  cos 2  0 2. 1  sin x Ta có  1  cos x  2. I  0. x x 1  2sin cos 2 2  tan x x 2 2 cos 2 2 .  2 x   e x tan dx  e 2 x 0 2 2 cos 2 2 x. e dx.  4. x cos 2 x dx 2 (1  sin 2 x ) 0. 3. I  . u  x du  dx    Đặt  cos 2x 1 dv  (1  sin 2x )2 dx  v   1  sin 2x  1  1   I  x.      2 1  sin 2 x . . .  4. . 0. 1 1      tan  x   16 2 2 4 . 1 1  14 1 1 dx      dx   2 0 1  sin 2 x 16 2 0 2 2 cos  x   4 .  4. . 4. . . 1 2 2    (0  1)   16 2 2 4 16. 0. PHẦN V TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT.

(57) HT 1. Tính các tích phân sau: ln 3. e2 x. 1. I  . 10. I . dx 1  ex ( x 2  x )e x 2. I   dx x  e x. 11. I . ln. e2 x  9 ln(1  x 2 ) x  2011x 4. I   dx 2 ln (ex 2  e) x 1    e x xe  1 5. I   dx x(e x  ln x) 1 ln 2. 6. I . . 2e3 x  e2 x  1 dx e3 x  e 2 x  e x  1. 0 3ln 2. 7. I . . . 0. dx ex  2. 3. . 12. I . 8. I . . 9. I . . 3ln 2. . 8 3 ln 3. 13. I .  0. 14. I . . ln 2 ln 2. 15. I . . 1 1. e  1dx. 3e x  4dx ex (e x  1)3. ln 5. 16. I  . x. 0 ln15. 16 3. 0 2. 2. 1  ex  2 2e3 x  e2 x dx e x 4e x  3  1 x. ln. ln 2 3.  0. dx. 3. I  . e. ln 2 ln 3. e2 x dx. e2 x ex 1. dx. dx. e x  1dx. 2x  x x dx 4x  4x  2. 6 x dx 9 x  3.6 x  2.4 x 0. 17. I  . (e2 x  24e x )dx e x . e x  1  5e x  3 e x  1  15. Bài giải 1. I  . e2 x 1  ex. dx. Đặt t  e x  e x  t 2  dx  2tdt  I  2. 2. I   I . t3 2 2 dt  t 3  t 2  2t  2ln t  1  C  e x e x  e x  2 e x  2ln e x  1  C 1 t 3 3. ( x 2  x )e x dx x  e x. ( x 2  x )e x xe x .( x  1)e x x x x dx   xe x  1 dx Đặt t  x.e  1  I  xe 1  ln xe 1  C x  e x. 3. I  . dx e2 x  9. Đặt t  e2 x  9  I  . dt 1 t 3 1 e2 x  9  3  ln  C  ln C t2  9 6 t  3 6 e2 x  9  3.

(58) ln(1  x 2 ) x  2011x dx 2 ln (ex 2  e) x 1   . 4. I  . Ta có I  . e. 5. I   1.  0. ln 2.  0. 2. e. 3e3 x  2e2 x  e x  (e3 x  e2 x  e x  1) dx  e3 x  e 2 x  e x  1 ln 2.  ln(e  e  e  1) 2x. 3ln 2. . . 0. e3.  ln 1. ee  1 e. . . 3. ex  2.  0.  ln11  ln 4  ln 0.  3e3 x  2e2 x  e x   1 dx  3x 2 x x  e  e  e 1  14 4. 2. . 1 3x 3 3 1 Đặt t  e  dt  e dx  I   ln   3 4 2 6. e dx x. 0. ex  2. 3. x 3. 3ln 2. . dx. ln 2. ln 2. x. x. 0. . e. 2e3 x  e2 x  1 dx e3 x  e 2 x  e x  1. 3x. 7. I . dx .Đặt t  ln( x2  1)  1. d (e x  ln x) xe x  1 J   ln e x  ln x dx x x  e  ln x x(e  ln x) 1. ln 2. I. ( x  1) ln( x  1)  1 2. 1 t  2010 1 1 1 dt  t  1005ln t  C  ln( x 2  1)   1005ln(ln( x 2  1)  1)  C  2 t 2 2 2. I . 6. I . x ln( x 2  1)  2011. . 3. 2. ln 2. 8. I . . 3. e x  1dx. 0. 3t 2 dt 1  dt   I  3 1  3 dt  3  3 3 3 t 1 t 1  t 1 0 0 1. Đặt. 3. e x  1  t  dx . dt 2t    1    2  ln 2 dt  3 t  1 t  1 t  t  1 3   0 0. 1. 1. Tính I1  3. Vậy I  3  ln 2  ln15. 9. I . . 3ln 2.  3. (e2 x  24e x )dx e x . e x  1  5e x  3 e x  1  15. 1.

(59) Đặt t  ex 1  t 2 1  ex  ex dx  2 tdt. (2t 2  10t )dt 3 7    2  dt   2t  3ln t  2  7 ln t  2   2  3ln 2  7 ln 6  7 ln 5 2 t  4 t  2 t  2   3 3 3 4. 4. I . ln 3. 10. I . e. 4. e2 x dx 1  ex  2. x. ln 2. Đặt t  e x  2  e2 x dx  2tdt (t 2  2)tdt 2t  1  d (t 2  t  1)   I  2 2  2  t  1  2 dt  2 (t  1)dt  2 2 t  t 1 t 11  t  t 1 0 0 0 0 1. 1. 1. 1. 1. 1.  (t 2  2t )  2ln(t 2  t  1)  2ln 3  1 0. 2e3 x  e2 x. ln 3. 11. I . e. 0. 4e x  3  1. x. 0. dx. Đặt t  4e3 x  3e2 x  t 2  4e3x  3e2 x  2tdt  (12e3x  6e2 x ) dx  (2 e3x  e2 x ) dx  9. 9. 1 tdt 1 1 1 I     (1  )dt  (t  ln t  1 3 1 t 1 3 1 t 1 3 ln. 12. I . 16 3.  ln. 9.  1. 8  ln 5 3. 3e x  4dx. 8 3. t2  4 2tdt  dx  2 Đặt: t  3e  4  e  3 t 4 x. 2 3. I .  2. 2t 2 dt  2 t2  4 2 3. Tính I1 . x.  2. 2 3.  2. 2 3. dt  8  2. dt  4( 3  1)  8I1 ,với I1  2 t 4. 3 1 1     I1   du      Vậy : I  4( 3  1)  2  3 4  24 3  2 4. 13. I .  0.  2. dt t 4 2. dt    . Đặt: t  2 tan u, u    ;   dt  2(1  tan 2 u )du t 4  2 2 2. . ln 3. 2 3. ex (e x  1)3. dx. tdt 3.

(60) 2. Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx  dx  ln 5. . 14. I . ln 3. e2 x ex  1. 2tdt tdt  I  2  3  2 1 x e t 2. dx 2. 2  t3  2tdt 20 2 Đặt t  e  1  t  e  1  dx  x  I  2   t  1 d  2   t   e 3  3 1 1 x. 2. x. ln 2. . 15. I . e x  1dx. 0. Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx  dx . 2td 2td  2 x e t 1. 2t 2 1  4    2 1  2 dt  2 t 1 t 1 2 0 0. 1. 1. I . 2 x  2 x dx 4 x  4 x  2 1 2. 16. I  . Đặt t  2 x  2 x  4 x  4 x  2   2 x  2 x   4  I  2. 1 81 ln 4ln 2 25. 1. 6 x dx 9 x  3.6x  2.4x 0. 17. I  . x. 3  3 x 1   dx 2 3 1 dt ln15  ln14   2  Ta có I   . Đặt t    I  2x x 2  ln 3  ln 2 1 t  3t  2 ln 3  ln 2 2  3 0  3    3   2 2 2. HT 2: Tính các tích phân sau: ln x   1. I     3x 2 ln x dx  1  x 1  ln x e. ln x 2  ln x dx x 1 e. e2. 3. I .  e. dx x.ln x.ln ex. e. 1. e. 1 e. log32 x x 1  3ln x 2. dx. dx. x 1 1. ln 3 x dx x 1  ln x. x 1. e2 x 4. I   x dx e  6e  x  5 ln 4. . x 1 x 1 3. 10. I   11. I . ln 6. 5. I  . ln. 2. 2. 3. 2. I  . 5. 9. I  . 3  2ln x dx 1  2ln x. ln x 3 2  ln 2 x dx x 1 e. 12. I   e. 13. I   1. xe x  1 dx x  e x  ln x .

(61) e. 6. I   1. x   x  2  ln x dx x 1  ln x . e3. 2 x ln 2 x  x ln x 2  3 dx x 1  ln x   2 e. 7. I  . e2. ln 2 x  x ln x 2  1 dx x2. 8. I   1. Bài giải ln x   1. I     3x 2 ln x dx  1  x 1  ln x e. . . e 2 2 2 ln x 2e 3  1 5  2 2  2e 3 I  dx  3 x 2 ln xdx    3 3 3 1 x 1  ln x 1 e. ln x 3 2  ln 2 x dx x 1 e. 2. I  . 3. Đặt t  2  ln 2 x  dt  e2. 3. I . 2ln x 1 3 dx  I   3 tdt  x 22 8. . 3. 34  3 24. . dx.  x.ln x.ln ex e. e2. I e. e e d  ln x  dx 1   1     d  ln x   2ln 2  ln 3 x.ln x. 1  ln x  e ln x. 1  ln x  e  ln x 1  ln x  2. 2. ln 6. 4. I . e2 x x ln 4 e x  6e x  5dx Đặt t  e I  2  9ln 3  4ln 2 e. 5. I   1. log32 x x 1  3ln 2 x. dx 2.  ln x  e e e 3   log 2 x 1 ln 2 x ln xdx ln 2   I  dx   dx  3  . 2 2 2 ln 2 1 1  3ln x x 1 x 1  3ln x 1 x 1  3ln x Đặt 1  3ln 2 x  t  ln 2 x  2. 1 2 dx 1 t  1  ln x.  tdt  3 x 3. 1 1 3  4 t t  Suy ra I  3  3 9ln 2  3  1 27ln 2.

(62) x   x  2  ln x dx x 1  ln x . e. 6. I   1. e. e. 1. 1. e. ln x ln x dx  e  1  2 dx x 1  ln x  x 1  ln x  1.  dx  2. t 1 ln x Tính I   dx . Đặt t  1  ln x  J   dt  1  ln 2 t x 1  ln x  1 1 e. 2. Vậy I  e  3  2ln 2 e3. 2 x ln 2 x  x ln x 2  3 dx x 1  ln x   2 e. 7. I  . e3. e3. 1 I  3 dx  2  ln xdx  3ln 2  4e3  2e2 x 1  ln x  e2 e2 e2. ln 2 x  x ln x 2  1 dx x2. 8. I   1. Đặt. t  ln x  dt . 2 2 1 2 t 1 dx t 2  2t  1 t 1 t 1 I  dt  dt   dt  dt  I1  I 2 t t t t    x e e e e 0 0 0 1.  1 tdt 1 dt    t 2 1 dt 1 dt  1 I1     t   t    te   t   t   1 e   e 0e  e 0 0 0 e  2 tdt 2 dt    t 2 2 dt 2 dt  2 1 2 I 2     t   t    te   t   t   te  t   2 1 1 e   e 1e  e e 1 1 1 e. Vậy I  5. 9. I   2. ln. . 2  e  1 e2. dx. x 1 1. x 1 x 1. Đặt t  ln e3. 10. I   1. . . ln 3. dx x  1  1  2dt   I  2  dt  ln 2 3  ln 2 2 x 1 x 1 ln 2. ln 3 x dx x 1  ln x. Đặt t  1  ln x  1  ln x  t 2 . 3 dx  2tdt và ln3 x   t 2  1 x.

(63) 2. I . t. 2. 1. e. x. 11. I . 1.  1. 3. t. t 6  3t 4  3t 2  1 1 15  dt    t 5  3t 3  3t  dt   ln 2 t t 4 1 1 2. 2. dt  . 3  2 ln x dx 1  2 ln x e. Đặt t  1  2ln x  I .   2  t dt  2. 1. 4 2 5 3. ln x 3 2  ln 2 x dx x 1 e. 12. I  . 3 Đặt t  2  ln 2 x  I   3 34  3 24   8 e. 13. I   1. xe x  1 dx x  e x  ln x . Đặt t  e x  ln x  I  ln. ex  1 e. HT 3: Tính các tích phân sau  2. 1. I   esin x .sin 2 xdx 0 1. 2. I   x ln  x 2  x  1 dx 0 8. 3. I   3. ln x dx x 1. 1 2. 1 x  8. I   x ln  dx 1 x  0 2. 1 9. I   x 2 .ln  x   dx x  1 1. 10. I   x 2 .ln 1  x 2  dx 0. x  x ln x  1 x 4. I   e dx x 1. 11. I  . ln x   5. I     ln 2 x dx  1  x 1  ln x. ln 2 x  e x  e x  ln 2 x  dx 12. I   x 1  e 1. e. 2. e. ln  x 2  1 dx 6. I   x3 1 2. ln  x  1 7. I   dx x2 1. 3. 1. ln x.  x  1. 2. dx. e. 2. 1  x  13. I    x  1  e x dx x 1. 2. 1. 2 4. 14. I   ln 0. Bài giải. . . x 2  9  x dx.

(64)  2. 1. I   esin x .sin 2 xdx 0.  2 u  sin x du  cosx dx I  2  esin x .sinxcosxdx Đặt    sin x sin x dv  e cos xdx v  e 0. .  I  2sin xe.  sin x 2 0. 2.  e. sin x. .cosxdx  2e  2e.  sin x 2 0. 2. 0 1. 2. I   x ln  x 2  x  1 dx 0. 2x  1  du  dx 2  u  ln  x  x  1   x  x 1 Đặt   2 dv  xdx  v  x    2 2. 1. x2 1 2 x3  x2 1 1 1 2x 1 3 dx I  n  x 2  x  1   2 dx  ln 3    2 x  1 dx   2 dx   2 2 2 0 x  x 1 2 20 4 0 x  x 1 4 0 x  x 1 0 1. 1. 1. 1. 3 3  ln 3  4 12 8 ln x 3. I   dx x 1 3. dx  u  ln x  du  x Đặt   I  2 x  1.ln x dx   dv  x  1 v  2 x  1  . . 8. Tính J   3. . 8 3. 8.  2 3. x 1 dx  6ln8  4 ln 3  2 J x. x 1 dx x 3. 3. 3. t t2 1 1   Đặt t  x  1  J   2 2tdt  2  2 dt     2   dt t 1 t 1 t 1 t 1 2 2 2 8. t 1     2t  ln  2  ln 3  ln 2 t  1  3 . Từ đó I  20ln2  6ln3 4 e. 4. I   1. x 2  x ln x  1 x e dx x.

(65) e. e. 1. 1. e. e. e. e ex dx Tính I1   xe x dx  xe x   e x dx  ee  e  1 1 x 1 1 1. I   xe x dx   ln xe x dx   e. e. e. ex ex dx  e x   dx x x 1 1. Tính I 2   ln xe x dx  ln xe x   e. 1. 1 e. ex dx  e e1 x 1. Vậy I  I1  I 2  . ln x   5. I     ln 2 x dx  1  x 1  ln x e. e. Tính I1   1. 4 2 2 ln x dx Đặt t  1  ln x  I1   3 3 x 1  ln x. e. Tính I 2   ln 2 xdx . Lấy tích phân từng phần 2 lần ta được I 2  e  2 1. 2 2 2 Vậy I  e   3 3 ln  x 2  1 dx 3 x 1 2. 6. I  . u  ln  x 2  1 du  22 x ln x 2  1   x 1 Đặt  Do đó I    dx 2 x2 dv  3 v   1 x   2 x2. . . 2. 2.  1. 1. dx x  x 2  1. 2 2 2 2 ln 2 ln 5 x  ln 2 ln 5 dx 1 d  x  1 1         dx  2 8 1  x x 2  1  2 8 1 x 2 1 x 2  1 2. ln 2 ln 5  1 5      ln x  ln x 2  1   2 ln 2  ln 5 2 8  2 8 1. ln  x  1 dx x2 1 2. 7. I  . dx u  ln  x  1  du  2 2  1 dx 3   x 1 Đặt    I   ln x  1   3ln 2  ln 3    dx  x x  1 x 2 1 1  dv  2 v   1 x   x  1 2. 1 x  8. I   x ln  dx 1 x  0.

(66) 2  1 1 du  dx   1 x 2   2 2 u  ln 1  x 1  2 1 x  2      2 Đặt   I   x ln  1 x    x  2  2 2 1  x   0 0  1  x  x dv  xdx    v  2. . 1 2. 1 2.   ln 3 x ln 3 1 ln 3 1 1 2  2 dx    1    ln  dx  8 x 1 8 8 2 2 3  x  1 x  1  0 0  2. 2. 1 9. I   x 2 .ln  x   dx x  1. 1   10 1 u  ln  x   x   I  3ln 3  ln 2  Đặt   3 6 dv  x 2dx  1. 10. I   x 2 .ln 1  x 2  dx 0 2  1 4  u  ln 1  x  Đặt   I  .ln 2   2 3 9 6  dv  x dx. 3. 11. I  . ln x. 1  x  1. 2. dx. u  ln x 1 3  dx  I   ln 3  ln Đặt  dv  4 2 2   x  1 . ln 2 x  e x  e x  ln 2 x  dx 12. I   1  ex 1 e. e. e. e2 x Ta có I   ln x.dx   dx  H  K 1  ex 1 1 2. e u  ln 2 x Đặt H   ln x.dx  H  e   2ln x.dx  e  2  dv  dx 1 1 e. 2. e. e2 x x K dx Đặt t  1  e  I 2  x 1  e 1. Vậy I  ee  2  ln. e 1 ee  1. ee 1. t 1 e 1 dt  ee  e  ln e t e 1 e 1. .

(67) 2. 1  x  13. I    x  1  e x dx x 1 1. 2 2. Ta có I   e 1 2. x. 1 x. 2. 1  x  dx  I    x  e x dx  H  K x 1 1. 2. Tính H theo phương pháp từng phần I1  H  xe. x. 1 2 x. 2. 1 2. 1  x 1 3 5     x  e x dx  e 2  K x 2 1 2. 3 5  I  e2 2 4. 14. I   ln. . . x 2  9  x dx. 0. . . u  ln x 2  9  x  Đặt   I  x ln  dv  dx. . x2  9  x. . 4 0. 4.  0. x x2  9. dx  2.

(68) PHẦN VI TỔNG HỢP HT 1: Tính các tích phân sau 4  3 x  1. I    x 2e x  dx 1 x  0 2  4  x2  2. I   x  e x  dx 3   x 1   1 x 3. I   e2 x 4  x 2  x 2 dx 2 4 x 0 1. 7. I   0 e. 8. I  . 2. 4. I  .  x  1. 0. 3. . 3. xe. e3. 9. I  . e x dx 2. 1. x. dx. x2  9. 3. 10. I   0. x sin x dx cos2 x. Bài giải 1 4  3 x  1. I    x 2e x  dx 1  x 0  1. 1. I   x e dx   2 x3. 0. 0. 4. x. 1 x. dx 1. 1. 1. 1 1 1 1 Tính I1   x e dx Đặt t  x  I1   et dt  et  e  30 3 0 3 3 0 2 x3. 1. I2   0. 4. x. 1 x. 3. t4  2  dt  4     2 1 t  3 4 0. 1. dx Đặt t  4 x  I 2  4 . . dx. dx.  1 ln x  2 x 2  1 dx 2  x ln x. ln 3 x dx x 1  ln x  4. x 2 1. 1  x2. . x2  1. ln x  x 2  9  3x 3. 1. x 1. 1. 0. 4. . . 5. I . 6. I  . x ln  x 2  1  x 3.

(69) 1 Vậy I  e    3 3 2  4  x2 2. I   x  e x   x3 1 . 2. 2. I   xe dx   x. 1. 1.  dx  . 4  x2 dx x2. 2. Tính I1   xe x dx  e 2 1. 4  x2 dx x2. 2. Tính I 2   1.   Đặt x  2sin t , t  0;   2   cos2 t  dt   cot t  t   2  3  2 sin t 3 6. 2.  I2   . 6. Vậy I  e2  3  1. 3. I   0. x 4 x. 2. e. 2x. 1.  3. . 4  x 2  x 2 dx 1. I   xe dx  . x3. 2x. 0. 0. 4  x2. 1. Tính I1   xe2 x dx  0 1. Tính I 2   0. I  1. 4. I   0. x3 4  x2. dx  I1  I 2. e2  1 4. 2 dx Đặt t  4  x  I 2  3 3 . 16 3. e2 16 3 3 4 12. x2  1.  x  1. 2. e x dx. 2  t 2  2t  2 t 1 2 2  t 1 2  e2  Đặt t  x  1  dx  dt  I   e dt   1  2  e dt  e  1     e   1 2 t t t e 2  1 1 2.

(70) 3. 5. I . . x 3e. x 2 1. 1  x2. 0. dx 2. 2. Đặt t  1  x  dx  tdt  I    t  1 e dt   t 2et dt  et  J   e 2  e  2. 2. 2. t. 1. 1. 1. Vậy I  e2 6. I  . x ln  x 2  1  x 3 x2  1. Ta có f  x  . dx. x ln  x 2  1 x 1 2. . x  x 2  1  x x 1 2. . x ln  x 2  1. x. x 1 2. x x 1 2. 1 1 ln  x 2  1 d  x 2  1   xdx   d ln  x 2  1  2 2 1 1 1  ln 2  x 2  1  x 2  ln  x 2  1  C 4 2 2.  F  x    f  x  dx . 4. 7. I  . . . ln x  x 2  9  3x 3 dx. x2  9. 0. 4. I . . . ln x  x 2  9  3x 3 x2  9. 0. 4. Tính I1  . 4. dx   0. . . ln x  x 2  9  3x 3 x2  9. 0 ln 9. u2  I1   udu  2 ln 3 4. x3. Tính I 2  . x 9 2. 0. . ln x  x 2  9. ln 9.  ln 3. x2  9. dx  3. 4.  0. x3 x2  9. . . dx Đặt ln x  x 2  9  u  du . ln 2 9  ln 2 3 2. 2 dx Đặt x  9  v  dv . x x 9 2. dx, x 2  v 2  9. 5.  u3  44  I 2    u  9  du    9u    3 3 3 3 5. 2. 4. Vậy I   0 e. 8. I   1. x. 3. . . ln x  x 2  9  3x 3 x2  9.  1 ln x  2 x 2  1 dx 2  x ln x. dx  I1  3I 2. ln 2 9  ln 2 3 dx  I1  3I 2   44 2. 1 x2  9. dx.

(71) 1  ln x dx  I1  I 2 2  x ln x 1. e. e. I   x 2dx   1. e. x3 e3  1  Tính I1   x dx  31 3 1 e. 2. d  2  x ln x  e 1  ln x e2 dx    ln 2  x ln x 1  ln 2  x ln x 2  x ln x 2 1 1 e. e. Tính I 2   Vậy I  e3. 9. I   1. e3  1 e2  ln 3 2. ln 3 x dx x 1  ln x. Đặt t  1  ln x  1  ln x  t 2  2. I . t. 2. t. 1.  4. 10. I   0.  1. 3. 3 dx  2tdt Và ln3 x   t 2  1 x. t 6  3t 4  3t 2  1 1 15  dt    t 5  3t 3  3t   dt   ln 2 t t 4 1 1 2. dt  . 2. x sin x dx cos2 x . .  u  x du  dx x 4 4 dx  2 4 dx   Đặt      sin x 1 I  cos x 0 0 cos x 4 cos x dv  dx v  0 2  cos x cos x  .  4.  4. dx cos xdx  Đặt t  sin x  I1  cos x 0 1  sin 2 x 0. Tính I1   Vậy I .  2. 1 2 2  ln 4 2 2 2. 2 2. dt.  1 t 0. 2. . 1 2 2 ln 2 2 2.

(72) HT 2: Tính các tích phân sau. ln  5  x   x 3 5  x dx 1. I   x2 1. . 4. 2. . 2. 2. I    x  2  x   ln  4  x 2 dx  . 4.  4. 0. 8. 3. I   3. xcox dx sin 3 x. 6. I  . x sin x dx cos3 x. 7. I  . ln x dx x 1. 0.  2. 1  x2 4. I   3 ln xdx x 1.  x  sin x dx 2. 8. I  . 2. 1  sin 2 x. 0. x  cos3 x  cos x  sin x  dx 9. I   1  cos2 x 0 . x 2  x ln x  1 x 5. I   e dx x 1 e. 10. I . 2 3. . . x   x  sin x  sin x dx 1  sin x  sin 2 x. 3. Bài giải. ln  5  x   x 3 5  x dx 2 x 1 4. 1. I  . 4 ln  5  x  dx  x 5  xdx  K  H 2  x 1 1 4. Ta có: I  . u  ln  5  x  ln  5  x  3  Tính K    K  ln 4 dx Đặt  dx 2 5 x 1 dv  2 x  4. 4. Tính H   x 5  xdx Đặt t  5  x  H  1. 164 15. 3 164 Vậy I  ln 4  5 15 2. 2. I    x  2  x   ln  4  x 2 dx   0. 2. 2. 0. 0. Ta có I   x  2  x dx   ln  4  x 2 dx  I1  I1 2. 2. + I1   x  2  x dx   1   x  1 dx  2. 0. 0.  2. (sử dụng đổi biến: x = 1 + sint).

(73) 2. 2. x2 dx (sử dụng tích phân từng phần) 4  x2 0. + I 2   ln  4  x 2 dx  x ln  4  x 2   2  2. 0. 0. = 6ln2 + π – 4 (đổi biến x = 2 tant) Vậy I  I1  I 2  8. 3. I   3. 3  4  6ln 2 2. ln x dx x 1. dx  u  ln x 8 8 x 1  du  x Đặt    I  2 x  1 ln x  2 dx dx   3 dv  x 3  v  2 x  1 x 1   8. + Tính J   3. 2t 2dt 1  x 1  dx Đặt t  x  1  J   2  2 1  2 dt  2  ln 3  ln 2 t 1 t 1 x 2 2 3. 3.  I  6ln8  4ln3  2  2  ln3  ln 2   20ln 2  6ln3  4 1  x2 ln xdx x3 1 2. 4. I  . u  ln x 1 1   Ta có I    3   ln xdx Đặt   1 1 x x 1 dv   x 3  x  dx  2. 2. 1 63 1  1   1 1   I   4  ln x  ln x    5  ln x dx   ln 2   ln 2 2 4x x 64 4 2  4x   1 1 e. 5. I   1. 2. x 2  x ln x  1 x e dx x e. e. 1. 1. e. ex dx  H  K  J x 1. Ta có I   xe x dx   e x ln xdx   e. e. + H   xe x dx  xe x   e x dx  ee  e  1 e. 1. 1 e. 1 e. ex dx  e e  J x 1. + K   e x ln xdx  e x ln x   e. 1. 1. Vậy I  H  K  J  ee1  ee  ee  J  J  ee1.

(74)  2. 6. I   . xcox dx sin 3 x. 4. ' u  x du  dv ' 2 cos x 2 cos x    1   1  Ta có  2    Đặt   cos x 1    3 2 3 sin x sin x dv  dx v  sin x   sin x  3  sin x 2sin 2 x  . . . . 2 1 1 2 1 2 dx 1    1 1  I   x. 2   2       cot x   2 sin x  2  sin x 2 2 2  2 4 4.  4. 7. I   0. 4. 4. x sin x dx cos3 x .   u  x du  dx 4 4 x 1 4 dx  1  1   Đặt   I      tan x   sin x 1 2 2 2.cos x 0 2 0 cos x 4 2 4 2 dv  dx v  0  cos3 x 2.cos2 x  .  2. 8. I   0.  x  sin x dx 2. 1  sin 2 x . . 2 x sin 2 x dx   dx  H  K Ta có I   1  sin 2 x 1  sin 2 x 0 0 2. . . 2. 2 x dx   1  sin 2 x 0 0. +H  . x dx  2  2 cos x  x   4 . u  x du  dx    dx Đặt dv   1     v  tan  x   2   2 cos x  x   2 4    4   . . x   2 1 2     H  tan  x     ln cos  x     2 4 0 2 4  0 4   . . 2 sin x  cos2 x dx Đặt t   x  K   dx + K 1  sin 2 x 2 1  sin 2 x 0 0 2. 2.

(75) . . dx 1 2 1   2K    tan  x    1  K   2  4 0 2  0 2 cos 2 x    4  2. Vậy I  H  K .  4. . 1 2. x  cos3 x  cos x  sin x  dx 9. I   1  cos2 x 0 .     cos x 1  cos2 x   sin x  x.sin x Ta có I   x  dx  x .cos x . dx  dx  J  K  2     1  cos x 1  cos2 x 0 0 0  . . + Tính J   x.cos x.dx 0.   u  x  Đặt   J   x.sin x  0   sin x.dx  0  cos x 0  2 dv  cos xdx 0. . x.sin x dx Đặt x    t  dx  dt 2 1  cos x 0. + Tính K  .   t  .sin   t dt     t  .sint dt     x  .sin x dx 0 1  cos2 t 0 1  cos2 x 1  cos2   t  0   x    x  .sin xdx    sin x dx  K    sin x  2K  . K. .  1  cos. 1  cos2 x. 0. 2. 0. Đặt t  cos x  dt   sin x.dx  K . . 1. 2 0 1  cos2 x. x. dt. 2  1 t. 2. dx. . 1. . K. Vậy I . 10. I . 2 3.  2. 4. . . 1  tan u  du   2. 1  tan 2 u. 2. 4. 2 4.  4. . . du .  2. . .u. 4 . 4. . . 2 4. 4. 2. x   x  sin x  sin x dx 2 x.  1  sin x  sin  3. Ta có I . 2 3. x  x  sin x   sin x dx  2 x.  1  sin x  sin  3. 2. 2 3. x.   sin 3. 2. x. . , đặt t  tan u  dt  1  tan 2 u du. dx . 2 3. dx. H K   1  sin x 3.

(76) + H. 2 3. . . 3. + K. 2 3.  . u  x x du  dx   dx Đặt  H  dx   2 sin x dv  3 v   cot x  sin 2 x . dx  1  sin x. 3. Vậy I . 2 3.   3.  3. dx    1  cos x   x  2 . 2 3.   3. dx  32 x 2  cos x     4 2.  32. HT 3.Tính các tích phân sau . . x  sin x dx 1. I   1  cos 2 x 0 2. 3. 6. I . sin 4 xdx 2 x  1. 6. e. 2. I   x  1sin x  1dx. 7. I   cos  ln x dx. 0. . 1. . 1  sin x x e dx 1  cos x 0 2. 3. I  . 2. 8. I   esin x .sin x.cos3 xdx.  2. 2. 0. . cos x dx e 1  sin 2 x  0. 4. I  . 4. 9. I   ln 1  tan x dx. x.  4. . . . . 3. 5. I . 6. 0.  2. sin x  cos x dx 6x  1 6. 6. 10. I   sin x ln 1  sin x dx. 4. 0.  4. 11. I   0. tan x.ln  cos x  dx cos x. Bài giải . x  sin 2 x dx 1. I   1  cos 2 x 0 3. . . . 3 x  sin x x sin 2 x dx   dx  0 2cos2 xdx  H  K 1  cos 2 x 2cos2 x 0 0 3. Ta có I   . 2. 3. . u  x x 13 x du  dx dx   dx Đặt  + H  dx   2 2 2cos x 2 0 cos x dv  v  tan x 0  cos2 x  3.

(77)    3  1  1  H   x tan x 03   tan xdx    ln cos x 2 2 3 2 0  . . .  3 0. . . 1  ln 2 2 3 2. . 3 sin x 13 2 1 1  dx  tan xdx  tan x  x   3  + K   2  2cos x 20 2 2 3 0 0 2. 3. Vậy I  H  K . 1 1    ln 2   3    2 3 2 3 2. . . 1. 3 1 6. 2. . 3  ln 2. . 3. 2. I   x  1sin x  1dx 0. 2. 2. 2. 1. 1. 1. Đặt t  x  1  I   t sin t.2tdt   2t 2 sin t.dt   2 x 2 cos xdx 2 2 u  2 x 2 du  4 xdx Đặt    I  2 x 2 cos x   4 x cos xdx 1 dv  sin xdx v   cos x 1. u  4 x du  4dx Đặt  Từ đó suy ra kết quả  dv  cos xdx v  sin x . 1  sin x x e dx 1  cos x 0 2. 3. I  . . I. 2.  x. 2 1 e dx sin x x  e dx   2 0 cos2 x 0 1  cos x 2. . . 2. 2.  x x 2sin cos 2 sin x x 2 2 e x dx  tan x e x dx e dx   + Tính I1   0 2 x 1  cos x 0 0 2 cos2 2. u  e x  du  e x dx  2 x 2  x 1 e dx   2  I  e  tan e x dx + Tính I 2   Đặt dv  dx   x 2  2 2 0 cos2 x 2 x 0  v  tan 2 cos 2   2 . . Do đó I  I1  I 2  e 2  2. cos x dx e 1  sin 2 x  0. 4. I  . x.

(78) cos x    sin x  cos x  dx  u x du    e cos x   ex  I  x dx Đặt  2 dx sin x 0 e  sin x  cos x  dv  v  2 sin x  cos x    sin x  cos x  . 2. . . . 2. 2 cos x sin x sin x sin x I  x .   x dx   x dx e sin x  cos x 0 0 e e 0 2. . .  du1  cos xdx 1 2 2 cos x 1 2 cos x  Đặt   I  sin x x   x dx     x dx 1 e 0 0 e e v1  x  e2 0 e . u2  cos x du2   sin dx   Đặt  dx   1 dv1  x v1  x   e e   I . 1.  cos. . e2. . . 2. 2. . . . 1 sin x 1 e 2 1 2  dx   1  I  2 I   e  1  I    e x 0 0 e x 2 2 2 e. . 5. I . 4. . . sin 6 x  cos6 x dx 6x  1. 4. . Đặt t   x  dt  dx  I . . sin t  cos t  6 6t  1 dt  6. 4. t. . 4. . sin x  cos x  2 I    6  1 dx  6x  1  6. x. I . sin 6 x  cos6 x dx  6 6x  1 4. x. . 4.  6. 4. . 6. 4. .  sin 4. . 4. 6. x  cos x  dx  6. 4. . 4. 5 32. . 6. I . 6. . . sin 4 xdx 2 x  1. 6. . Ta có I . 6. . . 6.  x. 4. 2 sin xdx  2x  1. 0. . . 6. x. 4. 5 3. . 5.   8  8 cos 4 x  dx  16. 2 sin xdx 6 2 x sin 4 xdx   I1  I 2 2x  1 2x  1 0.

(79) 0. + Tính I1 . . . 2 x sin 4 xdx 2x  1. 6. 0. Đặt x  t  I1    . . . 0 0 2t sin 4  t  sin 4 t sin 4 x dt  dt  dx  t  2 t  1  2 1  2x 1. 6. 6.  4. 6. 6.  x. 4. . sin xdx 2 sin xdx 16 2 4 I  x    sin xdx   1  cos 2 x  dx x 2 1 0 2 1 40 0 0. . 6. 6.  6. 1 4  7 3  3  4cos 2 x  cos 4 x  dx   80 64. e. 7. I   cos  ln x dx 1. Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt .  I   et cos tdt   1. 1   e  1 dùng phương pháp tích phân từng phần 2.  2. 8. I   esin x .sin x.cos3 xdx 2. 0 1. 1 1 Đặt t  sin x  I   et 1  t  dt  e dùng phương pháp tích phân từng phần 20 2 2.  4. 9. I   ln 1  tan x dx 0. . Đặt t . . . . . 4. 4. 0. 0. 4. .   ln 2dt   ln 1  tan t dt  t.ln 2 04  I  2I   2.  4. ln 2  I . 10. I   sin x ln 1  sin x dx 0. . 4  1  tan t  2      x  I   ln 1  tan   t  dt   ln 1  tan dt  ln dt   4 4 1  tan t 1  tan t       0 0 0 4.  8. ln 2.

(80) 1  cos x  u  ln 1  sin x  du  dx  Đặt   1  sin x  dv  sin xdx  v   cos x  . 2.  I   cos x.ln 1  sin x  02   cos x 0.  4. 11. I   0. . . 2 cos x 1  sin x  dx  0   dx   1  sin x dx   1 1  sin x 1  sin x 2 0 0 2. 2. tan x.ln  cos x  dx cos x. Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I . 1 2.  1. 1. ln t dt  t2. . 1 2. ln t dt t2. 1  du  dt u  ln t  2   t Đặt   I  2 1  ln 2 1  2 dv  2 dt  1  v t   t . PHẦN VII: TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ HT 1: Tính các tích phân sau  ln x  1. I    dx 1  x 1  ln x  e ln 1  ln 2 x dx 2. I   x 1 e. . 10. I  . . 1 e. 11. I  . 1    x e  x    2 tan x  dx 6. I   2  x  2   cos x  3 x    4. 2 x ln x  ln x  1  3 dx x 1  ln x   2 e 3. e. 7. I   8. I   1. 1.  ln  x  1 x2. 3. dx.  1 ln x  2 x 2  1 dx 2  x ln x. . 2.  ln x  4. I     3x 2 ln x dx  1  x 1  ln x e  x  2  ln x  xdx 5. I   x 1  ln x  1. 2. x ln x  1. . e. x3 .3x. x. 1. ln x  2 3. I   dx x ln x  x 1 e. 2. x ln x  ln  x.e2 . e. dx. . 12. I   sin x cos x ln 1  sin 2 x dx 0 e. 13. I   1 e. 14. I .  2. e. 15. I   1 1. ln 2  2 dx x ln x  x x3 ln. x2 1 dx x2  1. x 2 ln x  x ln 2 x  x  1 dx x 2  x ln x. 16. I   x ln  x 2  x  1dx 0 2. 1  x  17. I    x  1   e x dx x 1 2. 1.

(81) e. 9. I   1. ln x dx x 1  ln x. Bài giải  ln x  1. I    dx 1  x 1  ln x  e. e 4 2 2  ln x  I1    dx Đặt t  1  ln x ,... Tính được I1  3  3 1  x 1  ln x  e. I 2    ln 2 x dx lấy tích phân từng phần 2 lần ta được I 2  e  2 1. 2 2 2 Vậy I  I1  I 2  e   3 3 e. 2. I   1. ln 1  ln 2 x  x. dx e. . . Đặt ln x  t , ta có I   ln 1  t 2 dt . Đặt u  ln 1  t 2 dv  dt 1. Ta có du . 2t dt , v  t 1 t2 e 1 t2 dt  dt  ln 2  2 dt    1 1  t 2  * 1 t2 1 0 e. Từ đó có I  t ln 1  t 2   2 1. 0. dt   2 1 t 4 1 1. Tiếp tục đặt t  tan u , ta tính được  Thay vào (*) ta có I  ln 2  2  e. 3. I   1.  2. ln x  2 ln x  2 dx dx   x ln x  1 x ln x  x   1 e. Đặt t  ln x  1  dt . 1 dx x. Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 2 t 3  3 dt   1  dt   t  ln t   1  ln 2 1 t t 1 1 2. Suy ra I  . 2.  ln x  4. I     3x 2 ln x dx  1  x 1  ln x e.

(82) e. e. ln x I  dx  3 x 2 ln xdx  I1  3I 2 x 1  ln x 1 1 e. + Tính I1   1. ln x dx x 1  ln x. Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x; 2tdt . 1 dx x. Khi x  1  t  1; x  e  t  2 2.  I1 . . t. 2.  1 t. 1. . 2 2 2 2  t3  2tdt  2   t  1dt  2   t   3  3 1 1 2. 2. . dx  du   u  ln x   x + Tính I 2   x 2 ln xdx . Đặt   2 3 dv  x dx v  x 1  3  e. e. e. x3 1 2 e3 1 x 3 e3 e3 1 2e3  1  I 2  .ln x   x dx   .     3 31 3 3 31 3 9 9 9 1. I  I1  I 2 . e. 5  2 2  2e3 3.  x  2  ln x  xdx x 1  ln x  1 e. 5. I  . e. I  1. x 1  ln x   2ln x x 1  ln x . e. Tính J   1. e. e. e ln x dx   dx  2 dx Ta có  dx  e  1 x 1  ln x  1 1 1. ln x dx x 1  ln x  t 1  1 dt   1  dt   t  ln t   1  ln 2 t t 1 1 2. Đặt t  1  ln x . Ta có J  . 2. Vậy I  e  1  2 1  ln 2   e  3  2ln 2.  1x  e  x    2 tan x  dx 6. I   2  x  2   cos x  3 x   4  . Ta có.

(83)  1x     1 e 1 x2  x   x I   2  x  2 tan x dx  e . dx  dx   2  x2 3 cos2 x 3 2 x tan xdx 1   cos x  3 x 3   4  4 4 4 . . . 1 1 1 1 +  e . 2 dx    e x .d    e x x  x 3 3 1 x. 4. 4. . + J. . 3 4. . 3. 1. 3 4.  e   e 4. x2 dx cos 2 x. u  x 2   du  2 xdx  2 Đặt    J   x tan x  3   2 x tan xdx 1 dx v  tan x 3 4 dv  2 cos x  4 . J. 9 2  2 x tan xdx 16 3 4. 3. 1. Thay vào (1) ta có I  e   e 4 . 9 2 16. 2 x ln x  ln x  1  3 dx x 1  ln x  e2 e3. 7. I  . e e e e   2 x ln x  ln x  1  3 1 1 e3 I dx  3  dx  2  ln xdx  3  d  ln x   2  x ln x e2   dx    x 1  ln x  x 1  ln x  1  ln x  e2 e2 e2 e2  e2   e3. 3. . 3. .  3ln  1  ln x  2  2 x ln x e2  x e2  3ln 2  4e3  2e 2 e3 e. e. I  1 e. I  1. e3. e3. x 2  x ln x  1 x e dx x x 2  x ln x  1 x ex e dx   xe x dx   ln xe x dx   dx x x 1 1 1 e. e. Đặt I1   xe dx  xe x. x e. 1. 1. e. e. e.   e x dx  ee  e  1 1. e. e. e. ex ex dx  ee   dx x x 1 1. Đặt I 2   e x ln xdx  e x ln x   e. 1. 1 e. e. e. ex ex ex I  I1  I 2   dx  ee1  ee  ee   dx   dx  ee1 x x x 1 1 1 2. 8. I   1. x3 .3x. 2. 1.  ln  x  1 x2. dx. 3. 3.

(84) 2. Ta có I   x .3 3. 2. dx  . x 2 1. 1. Tính J   x .3 3. 2. dx   3. x 2 1. 1. Tính K  . x2. 1. 2. 2. ln  x  1. 1. x2. 2. 3x 1 117 d  x  1   2 ln 3 1 ln 3 2. x 2 1. 1. ln  x  1. dx  J  K. 2. 1  u  ln  x  1 u '    x 1  dx Đặt  1 v '  2 v   1 x   x . Suy ra 2 2 ln  x  1 dx ln 3 1  2ln 2  ln 3 x 1 K     ln 2      ln dx  x x  x  1 2 x x 1  2 x 1 1 1 1 1 2. . 2ln 2  ln 3 2 1 3  ln  ln  3ln 2  ln 3 2 3 2 2. Vậy I  e. 9. I   1. 2. 117 3  3ln 2  ln 3 ln 3 2. ln x dx x 1  ln x. 1 Đặt t  1  ln x có 2tdt  dx ; x = 1 thì t = 1; x = e thì t  2 x e. ln x I  dx  1 x 1  ln x e. 10. I  . x ln x  ln  x.e2  x ln x  1. 1. 2.  1. . 2 2 2 2  t3  t 2 1 2tdt  2   t   t 3 3 1. . dx. d  x ln x  1 x ln x  1  ln x  1 ln x  1 e I  dx   dx   dx  x 1   x ln x  1 x ln x  1 x ln x  1 1 1 1 1 e. e. e. e.  e  1  ln x ln x  1 1  e  1  ln  e  1 e. e. 11. I  . x. 3. 1.  1 ln x  2 x 2  1 dx 2  x ln x. e. I  1. x. 3. e e  1 ln x  2 x 2  1 x2 1  ln x dx   dx   dx 2  x ln x 2  x ln x 2  x ln x 1 1.

(85) e.  x3  e3  1 Ta có  x dx     3  3 1 1 e. 2. e d  2  x ln x  1  ln x e2 1 2  x ln xdx  1 2  x ln x   ln 2  x ln x  1  ln  e  2  ln 2  ln 2 e. e. e3  1 e2  ln Vậy I  3 2 . . 2. . 12. I   sin x cos x ln 1  sin 2 x dx 0. I.  2. 1 sin 2 x ln 1  sin 2 x dx  20. . . Đặt u  ln 1  sin 2 x và dv  sin 2 xdx Suy ra du . sin 2 x dx và v  1  sin 2 x 2 1  sin x.     2 1  2 2 2 A  1  sin x  ln 1  sin x    sin 2 xdx  0 2 0  . .   1 2 2 2 1  sin x ln 1  sin x   sin 2 x  1  sin 2 x       0 2 . . ln 4  1 2. e. 13. I   1. ln 2  2 dx x ln x  x. Đặt t  ln x  1  dt . 1 dx x. Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 2 t 3  3 dt   1  dt   t  ln t   1  ln 2 1 t t 1 1 2. Suy ra I  . x2 1 14. I   x ln 2 dx x 1 2 e. 3. 2.

(86) 4x   du  4 dx x2  1  u  ln 2  x 1 Đặt  x  1 Ta có  4 dv  x 3dx v  x  1   4 x4  1 x2  1 I ln 2 4 x 1 e. 15. I   1. e. e4  1 e2  1 x 2 3 e2   xdx  ln 2   ln 3   1 4 e 1 2 4 2 2 e. 2. x 2 ln x  x ln 2 x  x  1 dx x 2  x ln x. 1 e d  x  ln x  e x I   ln xdx   dx  x  ln x  1 1   x  ln x x  ln x 1 1 1 e. e. x.   x  ln x  1  ln  x  ln x    ln  e  e  1  e. 1. 1. 16. I   x ln  x 2  x  1dx 0. 2x  1  u  ln  x 2  x  1 du  x 2  x  1 Đặt   2 v  x dv  xdx  2 1. x2 1 2 x3  x2 3 3 2 I  ln  x  x  1   2 dx  ln 3  J 2 2 0 x  x 1 4 4 0 1. Với J   0. 1. dx 2 1  3   x   2  2  . 2. . Đặt x . 1 3 2 33  3     tan t , t    ;   J  dt   2 2 2  9  2 2 6. 3  3 Vậy I  ln 3  4 12. 1  x  1x  17. I    x  1   e dx x 1 2. 2. 2. 2. 2. x 1  x 1  x   I    x  1   e x dx   e x dx    x   e x dx  I1  I 2 x x 1 1 1 2. 1. 2. 1. 2. 1.

(87) Tính I1 theo phương pháp từng phần I1  xe. x. 1 2 x 1 2. 2. 1  x  1x 3 25 3 25     x   e dx  e  I 2  I  e x 2 2 1 2. HT 2.Tính các tích phân sau. 1. I . 1. 3 2. 7. I  . dx. . 1 3. x 1  x2. 1 2. 3. I   0. 8. I . 2. 1. . 3. dx 1 1 x. 5. 9. I  . 2. 1. 6. dx 4. I   4x  1 2 2x  1 . 1. 0. x 3  3x 5. I   4 dx x  5x 2  6 0. 6. I . . 1 26. 1. I . 1. 3 2.  1 2. 2. 11. I  . 3x 4  x 2  1 dx x2 3 x3  x. x4 dx 1 2   x   x 1 x . x  e x  1 dx 2  x  1. 1  x5. x 1  x 5 . x 1  x2. Đặt t  1  x 2  t 2  1  x 2  2tdt  2 xdx . dx tdt  2 x x. dx tdt tdt   2 2 x 1 t t 1. + Đổi cận x . I. 3 2.  1 2. dt  2 t 1. 1 3 3 1 t  ;x  t  2 2 2 2 1 2. dt 1 t 1  t 2  1  2 ln 1  t 3 2. 1  4  x2  2. I   x 3 ln  dx 2  4 x  0. 2. dx. 4  3 x  12. I    x 2e x  dx 1 x  0 Bài giải 1. dx. . dx. x2  1 dx x 3x  1. 10. I  . 1. 1 7. 3x  9 x 2  1. 2 2. 4 x  2. I   x 3 ln  dx 2  4 x  0 1. x. 3 2 1 2. 1 74 3  ln   2  3 .

(88) 16 x   4  x 2  du  4 dx  u  ln   x  16  2  Đặt  4 x   4  v  x  16 3 dv  x dx   4 1. 1  4  x2  1 4 15  3  Do đó I   x  16  ln   4  xdx   ln    2 2  4 4 5 4 x 0 0 1. 3. I   0. dx 1  1  x2.    Đặt x = sintvới t    ;   2 2 Ta có dx = costdt và 1  x 2  1  sin 2t  cos2 t  cos t  cos t Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0; Với x = 1 thì t .  2. . Từ đó. t 2 cos2    1 dx cos tdt  2  dt I    2 1  cos t 0 t 0 1 1 x 0 2 cos2   2   t  2 2 d  2  2    t  tan  t      1   dt       t    2  0 2 0 0 cos 2   2 . . 2. 2. 1. 6. dx 4x  1 2 2x  1 . 4. I  . Đặt t  4 x  1  x  5. Khi đó I   3. tdt.  t  1. 2. t2 1 tdt  dx  ; t  2   3; t  6  5 4 2. 5 5 1 1  1  3 1     dt  ln t  1     ln  2    t  1  t  1  t 1 3 2 12  3. 5. 1  3 1    ln t  1    ln  t 1 3 2 12  1. 5. I   0. x 3  3x dx x 4  5x 2  6. 1 x 3  3x 1 x2  2  5 2 dx  dx 2   2 2 2 2 2 0  x  2  x  3 2 0  x  2  x  3 1. I. 1.

(89) 1. 1 1 1 dx 2 5  1 1  2 1 5 x2  3  2   2   2  2 dx  ln x  3  ln    2 0 x 3 2 0 x 3 x 2 2 x2  2  2 0. 5 5 3 1  1   ln 2  ln 2    ln 3  ln  2 2 2 2  2 5 2 5  3ln 2  3ln 3  ln 2  3ln  ln 2 2 3 2 6. I . 1 7. . 1 26. 3x 4  x 2  1 dx x2 3 x3  x. I. 1 7. . 3x  x  1 dx  x2 3 x3  x 4. 1 26. Tính I 2 . 2. 1 7. 1. 7. I   1 3. 2. x2 3 x3  x 1 7. . 1 26. 1 7. . dx . 1 26. 1 x2 3 x3  x. dx  I1  I 2. 1 3  1  d 1  2    3 1  2  x  4  x  1  3 1 2 x 1. 1. dx. 1. x 3x  9 x 2  1. 1. 1 3. 1. 3. 1 3. . . 1. 1. 1 3. 1 3. dx   x 3x  9 x 2  1 dx   3x 2dx   x 9 x 2  1dx. I1   3x 2dx  x 3 1 . 26 27. 1. 1. 1. 3. 3. 3 1 1 16 2 2 2 I 2   x 9 x  1dx   9 x 2  1d  9 x 2  1  9 x  1    18 1 27 27 1 1 2. 3. Vậy I  2 2. 8. I . . 3. 2. 322 91. 3x  9 x 2  1. 1 3. 1 26. 3x  x. 1 1 dx   3 2 1 x 3 1 2 x. x. I . . 4. 1. . 1 26. Vậy I . 1 7. 26  16 2 27. x4 dx 1 2  x  x  1   x  2 2. Ta có I .  x 3. x5. 2.  1 x 2  1. dx. 1 7.  1 26. 15 4.

(90) x. 2 Đặt t  x  1 Khi đó dt . x 1 2. dx và x 2  t 2  1. Đổi cận x  3  t  2; x  2 2  t  3 3. Khi đó I  . t. 2.  1. 2. 2. dt. t2  2. t 4  2t 2  1 1 dt   t 2dt   2 dt 2 t 2 t 2 2 2 2 3. 3. Ta có I   3. 3. 1 1  1 1   t3   dt   3 2 2 2 2  t  2 t  2  3. 19 1  19 2 4 2    ln t  2  ln t  2    ln   2 3 3 2 2 4 4 2  3. 5. 9. I   1. x2  1 dx x 3x  1. Đặt t  3x  1  dt . 3dx 2tdt  dx  3 2 3x  1. Khi x = 1 thì t = 2 vàkhi x = 5 thì t = 4 2.  t2  1  1 4  4 4 3  2tdt 2 dt 2  .    t  1 dt  2  2 Suy ra I   2 t 1 3 92 t 1 2 2 t 3. t  3x  1  dt . 3dx 2tdt  dx  3 2 3x  1. x  e x  1 10. I   dx 2 0  x  1 1. u  x  e x  1 du   e x  x  1  1 dx   Đặt  dx   1 2 dv  v   x  1 x 1  . I . x  e x  1.  x  1. Vậy I . 1. 2 0. 1 1  e 1 e 3     ex    e x  ln x  1    ln 2   dx   0 x 1 2 2 2 0 1. e 3  ln 2  2 2.

(91) 2. 11. I   1. 1  x5. x 1  x 5 . 1. dx. 1  x5. 2. I . 2. 2. x 1  x 5 . dx  I   2. 1  x5  2 x5 x 1  x 5 . 1. 2. 2. dx   1. 1. x 1  x 5 . 2. dx   2 1. 2 x4. 1  x5 . 2. dx  I1  I 2.  1 1 1  2  1 t4 1 1 t   x   I1   dt   5 dt   5 d  t 5  1 1 1 t 5 1 t 1 1 t 1 1 1  5  2 2 t t  1 2. 1. 1 1  ln t 5  1   6ln 2  ln 33 1 5 5 2. 2. 2. 2 1 2 1  31 I2   d 1  x 5       2 5 5 1 1  x 5  5  1  x  1 165 I. 1 31  6ln 2  ln 33  5 165. 4  3 x  12. I    x 2e x  dx 1 x  0 1. 1 1 1 4 4  3 x  x 2 x3 dx Đặt I    x 2e x  Ta có I  x e dx  dx    1  x 1  x 0 0 0  1. Ta tính I1   x 2e x dx Đặt t = x3 khi đó I1  3. 0. 1. Ta tính I 2   0. 4. x. 1 x. 1. 1. 1 t 1 1 1 e dt  et  e   30 3 0 3 3. dx Đặt t  4 x  x  t 4  dx  4t 3dt. t4 1    2  dx  4   t 2  1  dt  4     2 2  1 t 1 t   3 4 0 0. 1. Khi đó I 2  4 . 1. 1 Vậy I  I1  I 2  e    3 3 HT 3.Tính các tích phân sau  2. . . . 1. I   ecos x  sin x sin 2 xdx 0  2.  x  2sin x  3 cos x dx 2. I   sin 3 x  4. 2. . . 9. I   cos 2 x sin 4 x  cos4 x dx 0.  4. tan x dx 4cos x  sin x  cos x 0 . 10. I  .

(92)  2.  4. cos x  sin 2 x dx 1  cos 2 x 0. 3. I  . . . 11. I   ecos x  sin x sin 2 xdx 0.   6 tan  x   4  4. I   dx cos 2 x 0. . x dx 1  sin x 0. . 12. I    2. . 13. I  . 2. 5. I   1  3 sin 2 x  2cos2 xdx. .  x  2sin x  3 cos x dx sin 3 x. 4. . 0. . 2. cot x dx 4  1  sin x. 14. I  . x sin x  sin 2 x dx 6. I   2 cos x 0 4. 4. .  4. 3sin x  sin 2 x dx 2 0  cos 2 x  3cos x  1  3  2sin x . cos x  sin 2 x 7. I   1  cos 2 x 0. 3. 15. I   . . cot x  tan x 8. I   dx    sin 2 x cos  2 x   8 4 . 3. 4. cot x dx    sin x .sin x    6 4 . 16. I   . 17. I   x  cos x  sin5 x  dx 0. Bài giải  2. . . . . 2. 2. 0. 0. 1. I   ecos x  sin x sin 2 xdx  2  ecos x .cos x sin xdx   sin x sin 2 xdx 0.  2. J   ecos x .cos x sin xdx 0.  2. Đặt t = cosx có J   e .tdt  t.e t. 0. t 1 0. 1.   et .dt  1 0. . . . 12 1 1 2 2 K   sin x sin 2 xdx    cos x  cos3x  dx   sin x  sin3x   20 2 3 0 3 0 2.  2. . . Vậy I   ecos x  sin x sin 2 xdx  2  0.  2. 2. I   . 4.  x  2sin x  3 cos x dx sin 3 x. 2 8  3 3.

(93) . . 2. I. .  x  2sin x  3 cos x dx  2 x cos x dx  2  2sin x  3 cos x dx. .  sin. sin 3 x. . 4. 3. . x. 4. . sin 3 x. . 4. . . . . 2 x cos x 12  1  1 x 2 1 2 1  1   1 1 I1   dx   xd      2 dx       cot x   2  3 2   2   sin x  2 sin x  2   sin x  2 2 2  2 2  sin x 2. 4.  2. I2   . 4. 4. 4. 4. .  2sin x  3 cos x dx  2  2sin x  3 d.  . 3. sin x. 4. 3. sin x.  sin x   2. 2. 7 2. 4. Vậy I  I1  I 2  2 2  3.  4. cos x  sin 2 x dx 1  cos 2 x 0. 3. I  . . . . 4 cos x  sin 2 x sin 2 x cos x dx   dx   dx  I1  I 2 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 0 0 0 4. 4. I . . . 4. 4. sin 2 x 1 I1   dx   ln 1  cos 2 x 1  cos 2 x 2 0 . 0. 1  ln 2 2. . 4. cos x 1 4 cos x dx   dx 2 1  cos 2 x 2 1  sin x 0 0. I2  . Đặt u = sint I 2 . 1 2. 1 2. du.  1 u 0. . 1 Vậy I  ln 2  2 2 2. 2. . 1 4. 1 2.  1. 1 . 0. .   tan  x   4  dx 4. I   cos 2 x 0 . 6.    tan  x   6 tan 2 x  1 4  I  dx    dx 2 cos 2 x 0 0  tan x  1 . 6. Đặt t  tan x  dt . 1. u 1.   1  u  1  u du  4 ln u 1. 1 dx   tan 2 x  1 dx 2 cos x. 1 2 0. . 1  ln 1  2 2. .

(94) Đổi cận x  0  t  0, x  1 3. Suy ra I   . 6. t . 1 3. 1. dt.  t  1. 0. . 2. 1 3 1 3   t 1 0 2.  2. 5. I   1  3 sin 2 x  2cos 2 xdx 0. . . 2. 2. 0. 0. I   1  3 sin 2 x  2cos 2 xdx  . . . . 2. 2. sin x  3 cos dx   sin x  3 cos dx 0. sin x  3 cos x  0  tan x  3  x .     k Do x   0;  nên x  3 3  2. . . . . 3. 2. . 0. 0. 0. . 3. I   sin x  3 cos x dx   sin x  3 cos x dx . . sin x  3 cos x dx .   sin x  2. 3. .   cos x  3 sin x. .  3 0. .   cos x  3 sin x. .  3 0. 1 3 1 3    1   3    3 3 2 2 2 2.  4. 6. I   0. x sin x  sin 2 x dx cos2 x  4. + Ta có I   0.  4 x sin x sin x dx  2 dx 2  cos x cos x 0. . . 4. 4 x sin x sin x dx ; I  2 dx Đặt I1   2 2  cos x cos x 0 0. + Tính I1: Đặt u  x  du  dx; v   . . sin x 1 dx    cos2 xd  cos x   2 cos x cos x. . x 4 4 dx x 4 1 1  sin x  I1     ln cos x 0 0 cos x cos x 0 2 1  sin x  4. sin x dx  2ln cos x cos x 0. + I 2  2.  4 0.  2ln. 2 2.  4 0. .  2. 1 2 2  ln 4 2 2 2. . 3 cos x dx. .

(95) Vậy I  I1  I 2 .  2. 1 2 2 2  ln  2ln 4 2 2 2 2.  4. cos x  sin 2 x 1  cos 2 x 0. 7. I  . . . . 4 cos x  sin 2 x sin 2 x cos x  dx   dx  I1  I 2 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 0 0 0 4. 4. I . Đặt u = sint I 2 . 1 2.  0. . 1 2. du 1  2 1 u 4. 1 Vậy I  ln 2  2 2.  0. 1  1 u 1  1    du  ln 4 u 1  1 u 1 u . 1 2 0. . 1  ln 1  2 2. . . . cot x  tan x dx    sin 2 x cos  2 x   8 4  4. 8. I  . . . . cos 2 x  sin 2 x sin x.cos x. 4 4 cot x  tan x cot x  tan x dx   dx   dx           sin 2 x cos  2 x   sin 2 x cos  2 x   sin 2 x  cos 2 x.cos  sin 2 x.sin  8 8 8 4 4 4 4    4. I . . . 4. 4 cot 2 x cot 2 x 1  2 2 dx  2 2  dx 2  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x   1  cot 2 x sin 2 x 8. 8. Đặt t  cot 2 x  dt   Đổi cận x .  8. 2 1 1 dx   dt  2 dx 2 sin 2 x 2 sin 2 x.  t  1; x .  4. t 0. 1 t  1 t 1   I  2 2 dt  2  1     dt  2   dt  2  t  ln t  1  0  2 1  ln 2  1 t  t  1 t 1 t  1 0 0 0.  2. . 1. . 9. I   cos 2 x sin 4 x  cos4 x dx 0. 1.

(96) . . 1 2 1  1   I   cos 2 x 1  sin 2 2 x  dx   1  sin 2 2 x  d  sin 2 x  2 0 2  2   0 2. . . . . 2. 2 2 1 12 1 1   d  sin 2 x    sin 2 2 xd  sin 2 x   sin 2 x  sin 3 2 x  0 20 40 2 12 0 0.  4. tan x dx 4cos x  sin x cos x   0. 10. I  .  4. tan x dx 4 tan x  cos 2 x 0 . Ta có I  . Đặt tan x  4  t . dx  dt cos 2 x. Đổi cận: Với x  0  t  4; x  3. Suy ra I   .  4.  t  3.  t  4  dt  3 1  4  dt  . 4.  . t.  t. 4. t  4ln t . 3 4. 4  4ln  1 3.  2. . . 11. I   ecos x  sin x sin 2 xdx 0. . . . I    ecos x  sin x  sin 2 xdx  2  ecos x .cos x.sin x.dx   sin x.sin 2 xdx 2. 2. 2. 0. 0. 0.  2. I   ecos x .cos x.sin x.dx 0 1. 1. Đặt t = cosxcó I   t.et .dt  t.et   et .dt  1 1. 0. 0. . 0. . . 12 1 1 2 2 K   sin x.sin 2 xdx    cos x  cos3x  dx   sin x  sin 3x   20 2 3 0 3 0 2. . I    ecos x  sin x  sin 2 xdx  2  2. 0. . x dx 1  sin x 0. 12. I  . 2 8  3 3.

(97) . . . x x x dx   dx   dx 2 1  sin x x  x x 0 0  0 2 cos 2     sin  cos  2 4 2 2 . I . u  x du  dx    x    dx  x  Đặt dv    x    I  x tan      tan    dx x  2 4 0 0 2 4  v  tan  2  4  2 cos2      2 4  x   I    2 ln cos    2 4  2. 13. I  . . 0.  x  2sin x  3 cos x dx sin 3 x. . 4. . . 2. I . .  x  2sin x  3 cos x dx  2 x cos x dx  2  2sin x  3 cos x dx.  sin. sin 3 x. . . 4. 3. x. 4. . . sin 3 x. . 4. . x cos x 12  1  I1   dx   xd   3 2   sin 2 x   sin x 2. 4. 4. . . . 2 1 x 2 1 2 1  1    1 1     2 dx       cot x  2  2 sin x  2   sin x  2 2 2  2 2 4.  2. I2  . 4. 4. .  2sin x  3 cos x dx  2  2sin x  3 d.  . 3. sin x. . 4. 3. sin x.  sin x   2. 2. 7 2. 4. Vậy I  I1  I 2  2 2  3  2. cot x dx 4  1  sin x. 14. I   4. . . . 2 2 cot x cos x sin 3 x cos x Ta có I   dx  dx  dx 4   4 4 4  1  sin x  sin x 1  sin x   sin x 1  sin x  2. 4. Đặt t  sin 4 x Ta có x . 4. . 4. 1   t  , x   t  1 và dt  sin 3 x cos xdx 4 4 2.

(98) 1. 1. 4. 4. 1. 1 dt 1 1 1  1 1 1 5     ln  dt  ln  4 1 t  t  1 4 1  t t  1  4 t 1 1 4 2. Khi đó I . 4. . 3sin x  sin 2 x dx 2 cos 2 x  3cos x  1 3  2sin x     0 3. 15. I  . . . 3 sin x  3  2cos x  3sin x  sin 2 x dx  dx  2 2 0  cos 2 x  3cos x  1  3  2sin x  0  2cos x  3 .cos x. 1  2cos x  3. Ta có I   .  0.  3.  0. . sin x  3  2 cos x . 3.  2 cos x  3 .cos x. 1  2 cos cos x   sin x . cos2 x. 1  2 cos2 x .  sin x dx 2 0 cos x. 1  2 cos x  3. 2. x. dx  . dx. Đặt t  cos2 x  dt  4cos x   sin x  dx Đổi cận x  0  t  2 Khi x  1 2.  3. t . 1 2 1. 1. 1 dt 1 1 1  1 1 2 1 1 2 1 1 Khi đó I        ln  ln   ln  dt  ln 2 2 t 1  t  2 1  t t  1  2 t 1 2 2  3 3 2 2 2. 1 Vậy I   ln 2 2  3. cot x dx    sin x.sin  x   6 4 . 16. I  . . . 3. 3. . 3 cot x cot x cot x dx  2  dx  2  2 dx     sin x.  sin x  cos x   sin x. 1  cot x  sin x.sin  x   6 6 6 4 . Tính I  . Đặt 1  cot x  t  Khi x .  6. 1 dx  dt sin 2 x.  t  1  3; x .  3. t . 3 1 3.

(99) 3 1. t 1  t dt  2  t  ln t  3 1. Vậy I  2. 3 1 3 1 3.  2   2  ln 3   3 . 3. . 17. I   x  cos x  sin5 x  dx 0. . I   x  cos x  sin5 x  dx 0. . . . 0. 0. I   x  cos x  sin x  dx   x cos xdx   x sin 5 xdx  I1  I 2 5. 0. . . . . . I1   x cos xdx  x sin x 0   sin xdx  x sin x 0  cos x 0  2 0. 0. Với I2 ta đặt x   t  I 2 . . . 8 1  cos x  d   cos x     2 15 2. 2. 0. Vậy I . 8 2 15. HT 4.Tính các tích phân sau ln 6. 1. I . 3 0. ex 3  e x  2e x  7. 1. 3. I  . dx. 0.  x  1 e x  x  1dx. 1. 2. I  . 1 e. 0. ln 6. 3 0. 3  e x  2e x  7. dx. Đặt 3  e x  t Khi đó e x  t 2  3  e xdx  2tdt Khi x  0  t  2 , khi x  ln 6  t  3 3. 3. 2tdt t  2 2 dt Suy ra I   2 2t  3t  1 2 3t  2  t  3  7 2 3. 3. 1   1 dt  2     dt t  1 2 t  1 t  1 2 t  1      2 2.  2. t. 3. 3.  2 ln t  1 2  ln 2t  1 2   2 ln 4  2 ln 3   ln 7  ln 5  ln. 80 63.  x  ex. x  e x. e 0. ex. 2. ln 2. 4. I . x. Bài giải 1. I . x. x. dx. x dx  e x  2.

(100)  x  1 e x  x  1dx. 1. 2. I  . 1  ex. 0. 1 1 1 x  e x  1  1  e x   2e x xe x  e x  x  1 ex I  dx   dx    x  1dx  2 dx  I1  2 I 2 1  ex 1  ex 1  ex 0 0 0 0 1. 1.  x2  3 Tính I1    x  1dx    x    2 0 2 0 1. 1 d  e x  1 1 ex e 1 dx   dx  ln  e x  1  ln Tính I 2   x x 0 1 e 1 e 2 0 0 1. Vậy I . x. 1. 3. I  . 2. 3 e 1  2ln 2 2.  x  ex. x  e x. 0. dx. 1. Ta có I  . x.  x  ex. 2. x  e x. 0. xe x  x  1 e x dx   dx xe x  1 0 1. Đặt t  xe x  1  dt   x  1 e x dx; x  0  t  1; x  1  t  e  1 1. Suy ra I   0. e 1 e 1 xe x  x  1 e x t 1  1 dx  dt   1   dt x   xe  1 t t 1 1 . Vậy I   t  ln t  ln 2. 4. I . e 0. x. e 1 1.  e  ln  e  1. x dx  e x  2 ln 2. Ta có I .  0. e. xe x x.  1. 2. dx. Đặt u  x  du  dx, dv . e. ex x.  1. 2. dx  v  . 1 e 1 x. Theo công thức tính tích phân từng phần ta có ln 2. I . x  x e 1 0 ln 2. Tính I1 . e 0. ln 2.  0. dx ln 2   x e 1 3. ln 2. e 0. dx 1 1. x. dt dx Đặt e x  t ta có x  0  t  1; x  ln 2  t  2 và dx  2 1. x.

(101) 2. 2. 2 dt 1  2 1     dt  ln t 1  ln  t  1 1  2ln 2  ln 3 t t  1 1  t t  1  1 . Suy ra I1  . 5 Thay vào (1) ta được I  ln 2  ln 3 3. PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HT 1.Tính các tích phân sau  2. 2. 1. I . x. 2.  3x  2 dx. 3. 2. I   5  4cos x  4sin xdx 2. 0. Bài giải 2. 1. I . x. 2.  3x  2 dx. 3. Bảng xét dấu. 2. 3. I .   x  x  1  dx. 1.

(102) I. 1. 2. 3. 1. 2 2   x  3x  2  dx    x  3x  2  dx . 59 2.  2. 2. I   5  4cos2 x  4sin xdx 0. . . 2. 2. I   4sin x  4sin x  1dx   2sin x  1dx 2. 0. 0. Bảng xét dấu. . . 6. 2. . 0. . 6. I     2sin x  1dx    2sin x  1 dx  2 3  2  6 2. 3. I .   x  x  1  dx. 1. Cách 1: 2. I.   x  x  1  dx . 1 0. 2. 1. 0. 1. 2. . 1. 2. x dx   x  1 dx 1. 2.    xdx   xdx    x  1 dx    x  1 dx 1. 2 0. x  2. 2 2. x  2 1. Cách 2: Bảng xét dấu. 1 1. 2.  x2   x2     x    x  0  2  1  2 1 0.

(103) 0. I. 1. 2. 0. 1.    x  x  1 dx    x  x  1 dx    x  x  1 dx. 1.   x 1   x 2  x   x 1  0 1. 0. 2. 0. Vậy I = 0 HT 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = lnx, x = 1, x = e và Ox Bàigiải Do ln x  0x  1; e nên e. e. 1. 1. S   ln x dx   ln xdx  x  ln x  1 1  1 e. Vậy S = 1 (đvdt) HT 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y   x 2  4 x  3, x  0, x  3 và Ox Bài giải Bảng xét dấu. 1. 3. S      x  4 x  3dx     x 2  4 x  3dx 2. 0. 1 1. 1.  x3   x3  8      2 x 2  3x      2 x 2  3x    3 0  3 0 3. 8 Vậy S  (đvdt) 3 HT 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng: y  x3  11x  6, y  6 x 2 , x  0, x  2 Bài giải. . . Đặt h  x   x 3  11x  6  6 x 2  x 3  6 x 2  11x  6 h  x   0  x  1  x  2  x  3 (loại).

(104) Bảng xét dấu. 1. 2. S     x 3  6 x 2  11x  6 dx    x 3  6 x 2  11x  6 dx 0. 1 1. 2.  x4   x4  11x 2 11x 2 5     2 x3   6x     2 x3   6x   2 2  4 0  4 1 2. Vậy S . 5 (đvdt) 2. HT 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x3  11x  6, y  6 x 2 Bài giải. . . Đặt h  x   x 3  11x  6  6 x 2  x 3  6 x 2  11x  6 h  x  0  x  1 x  2  x  3. Bảng xét dấu. 2. 3. S    x 3  6 x 2  11x  6 dx    x 3  6 x 2  11x  6 dx 1. 2 2. 3. x   x4  11x 11x 2 1 3 3    2x   6x     2x   6x   2 2  4 1  4 2 2 4. Vậy S . 2. 1 (đvdt) 2. HT 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 3 , y  4 x Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm. x3  4 x  x  2  x  0  x  2 0. 2. x4  S    x  4 x  dx    x  4 x  dx   2x2 4 2 0 3. Vậy S  8 (đvdt). 3. 0. x4   2x2 4 2. 2. 8 0.

(105) HT 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  4 x  3 và trục hoành Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm.  x 1 t  1  x  1 x 2  4 x  3  0  t 2  4t  3  0, t  x  0     t  3  x  3  x  3 3. S. . 3. 3. x 2  4 x  3 dx  2  x 2  4 x  3 dx 3. 3 1   2    x 2  4 x  3 dx    x 2  4 x  3 dx   0  1 1   x3  2  2    2 x  3x    3 0 . Vậy S . 3  x3   16 2   2 x  3x     3  1  3. 16 (đvdt) 3. HT 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  4 x  3 và y  x  3 Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm. x  3  0 x  0  x2  4 x  3  x  3   x2  4 x  3  x  3    x2  4 x  3   x  3  x  5  Bảng xét dấu. 1. S. x. 3. 5. 5.  5 x  dx     x  3x  6  dx    x 5  5 x  dx 2. 0. 1 1. 3 3. 5.  x 3 5 x 2    x 3 3x 2   x3 5x 2  109      6 x        2 0  3 2 2 3 6  3 1  3. Vậy S . 109 (đvdt) 6. HT 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  1 , y  x  5 Bài giải.

(106) Phương trình hoành độ giao điểm. x 2  1  x  5  t 2  1  t  5, t  x  0 t  x  0 t  x  0    t 2  1  t  5    x  3 t  3  2   t  1  t  5 3. S. . 3. x  1   x  5 dx  2  x 2  1   x  5 dx 2. 3. 0. Bảng xét dấu. 1. 3.  S  2    x  x  4  dx    x 2  x  6  dx 2. 0. 1 1. 3.   x3 x2   x3 x2  73 2   4x      6x   2 3  3 0  3 2 1. Vậy S . 73 (đvdt) 3. HT 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x, y  0, y  2  x 2 Bài giải Ta có y  2  x 2  x  2  y 2 , x  0 Phương trình hoành độ giao điểm y  2  y 2  y  1 1.  S   2  y  y dy  2. 0. . . 1. 2  y 2  y dy. 0.  1. . 2  1 4 y   2 cos2 tdt   ydy   t  sin 2t   2  2 0 0 0 4. Vậy S .  4. 1.  0.  4. (đvdt). HT 11. Tính thể tích hình cầu do hình tròn  C  : x 2  y 2  R 2 quay quanh Ox Bài giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2  R2  x   R.

(107) Phương trình  C  : x 2  y 2  R2  y 2  R2  x 2 R.  x3  4 R3  V     R  x dx  2   R  x dx  2  R 2 x    3 0 3  R 0 R. R. 2. Vậy S . 2. 2. 2. 4 R 3 3. x2 y2 HT 12. Tính thể tích hình khối do ellipse  E  : 2  2  1 quay quanh Oy a b Bài giải Tung độ giao điểm của € và Oy là Phương trình  E  :. y2  1  y  b b2. x2 y 2 a2 y2 2 2   1  x  a  a 2 b2 b2 R. b  2 a2 y2    a2 y2  a2 y3  4 a 2b  V     a  2 dy  2   a 2  2 dy  2  a 2 y  2   b  b  b 0 3  b  0 b. Vậy V . 4 a 2b (đvdt) 3. HT13. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x 2 , y 2  x quay quanh Ox Bài giải x  0 x  0 Hoành độ giao điểm  4  x  1 x  x 1.  V    x 4  x dx   0. Vậy S . 1. 3 1 5 1 2 4 0  x  x  dx    5 x  2 x  0  10 1. 3 (đvdt) 10. HT14. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi cácđƣờng y   y 2  5, x  e  y quay quanh Oy Bài giải  y  1 Tung độ giao điểm y   y 2  5  e  y   y  2.

(108) 2.  V      y 2  5   3  y  dy   2. 2. 1. 2. y. 4.  11y 2  6 y  16  dy. 1. 2.  y 5 11y 3  153     3 y 2  16 y   3 5  5  1 Vậy V . 153 (đvtt) 5. HT 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng có phƣơng trình sau 1. y  sin x, y  0, x  0, x  2. 14.x . 2. y  x , y  0, x  1, x  2 3. 3. y  x 2  2 x, y   x 2  4 x. 2 1 ,x  , y  2  y  0 2 y 8  y2. 16. y   2  cos  sin x, y  0, x . 4. y  x , y  4 x, x  1, x  2 3. 5. y   x 2  5, y  6 x, x  0, x  1. 17. y  x 1  x , y  0, x  1. 6. y   x 2  2, y  3x, x  0, x  2. 18. y . 2. ,x . 3 2. 2. 7. y   x 2  2 x, y   x  2. ln x , y  0, x  1, x  e 2 x. 1  ln x , y  0, x  1, x  e x 20. y  0, y  ln x, x  2, x  e. 8. y  x3  2 x 2  x  2 vàtrụchoành. 19. y . 9. y  x  2 x 2  x  2 vàtrụchoành 3. 10. y  4 . . 1 1   ,y ,x  ,x  2 2 sin x cos x 6 3 2 2 22. y  x , y  4 x , y  4. x2 x2 ;y 4 4 2. 21. y . 11. y   4  x 2 , x 2  3 y  0 12. y  x 2  4 x  3 , y  3. 23. y  x  x  1 x  2  , y  0, x  2, x  2. 13. y  x 2  4 x  3 , y  0. 24. y  xe x , y  0, x  1, x  2. 14.x  y, x . 25. y 2  4 x, x  y  1  0, y  0. 3 4 y. 26.x  y 3  1  0, x  y  1  0, y  0. 2. Bàigiải 2. 1. S . . 2.  sin x dx   sin xdx   sin xdx   cos x 0.  0.   cos. 0. 2. 0. 2. x4 2. S   x dx   x dx   x dx  4 1 1 0 3. 3. 3. 3. x2  2 x   x2  4x  x  0  x  3. 0. x4  4 1. 2.  0. 17  dvtt  4. 2. .  4  dvtt .

(109) 3.  2 x3   S    x  2 x     x  4 x  dx    2 x  6 x  dx    3x 2   9  dvdt   3 0 0 0 3. 3. 2. 2. 2. 4. x3  4 x  0  x  0  x  2  x  2 (loại) 0. 2.  x4  x4  23 2  S   x  4 x dx    x  4 x  dx    x  4 x  dx    2 x     2 x 2   4  4  1  4 0 1 1 0 2. 0. 2. 3. 3. Vậy S . 3. 23 (đvdt) 4. 5. x2  6 x  5  0  x  1  x  5 (loại) 1.  x3   S   x  6 x  5    x  6 x  5     3x 2  5 x  3 0 0 0 1. 1. 2. 2. Vậy S . 7 (đvdt) 3. 6. x2  3x  2  0  x  1  x  2 2.  S   x 2  3x  2 dx  0. 1. x. 2.  3x  2  dx . 0. 2. x. 2.  3x  2  dx. 1. 1. 2.  x3 3x 2   x3 3x 2     2x      2x   1 2 2  3 0  3 1. 7. 7.  x2  2 x   x  2  x  2  x  1 1. S . . 2. 1.  x3 x 2  x  x  2 dx    x  x  2 dx     2 x  3 2  2 2 1. 2. 2. Vậy S . 9 (đvdt) 2. 8. 8.x3  2 x2  x  2  0  x  2  x  1 2. S. x. 1. 3.  2 x  x  2 dx  2. 1. x. 1 1. 2. 3.  2 x  x  2 dx   x3  2 x 2  x  2 dx 2. 1 2.  x 4 2 x3 x 2   x 4 2 x3 x 2      2x       2x  3 2 3 2  4  1  4 1. Vậy S . 37 (đvdt) 12.

(110) t  x  0 t  x  0  x  1    9. x  2 x  x  2  0   3 t  1   x  2 2  t  2t  t  2  0 t  2  3. 2. 2. S. 2. x3  2 x 2  x  2 dx  2  x3  2 x 2  x  2 dx. . 2. 2. 1.  2   x3  2 x 2  x  2  dx  2 0. 2. x. 3.  2 x 2  x  2  dx. 1 1. 2.  x 4 2 x3 x 2   x 4 2 x3 x 2  2    2x   2     2 x   3  dvtt  3 2 3 2  4 0  4 1. 10. 4 . x2 x2   x 4  8 x 2  128  0  x  2 2 4 4 2. 2 2. S. . 2 2 2 2. 2.  0. 2 2  x2 x2 x2 x2  4  dx    4   dx  4 4 2 4 4 2  2 2 .  x2 x2   4  dx   4 4 2  . . 2 2. . 16  x dx dx  2. 0.  4.  16  cos tdt  2. 0. 2 2. 1. . 2 2. 0. . 1 2 2. 2 2. . x 2 dx. 0. 1 x3  1 4 x dx  8  t  sin 2t    2 0 2 2 3. 2 2. 2. 0. 4 Vậy S  2  (đvdt) 3 11. x 2  3 y  0  y  .  x2 x2  dx  2   4  x 2  dx 3 3  3. 3. S. . x2 x2   4  x 2    x 4  9 x 2  36  0  x   3 3 3 3. 4  x2 .  3.  3. 2.  0. 1 4  x dx  3 2. Vậy S . 3.  0. . 3. 1 x dx  2 4  cos tdt  3 0 2. 2. 3.  0. 3  1 3 x x dx  2 2  t  sin 2t    2 0 9. 4  3 (đvdt) 3.  x2  4 x  3  3 x  0  12. x 2  4 x  3  3   2  x  4 x  3  3  x  4 Bảng xét dấu. 3. 2. 0.

(111) 4. 1. x.  S   x 2  4 x  3  3dx  0. 2.  4 x  dx . 0 1. 3. x. 2.  4 x  6 . 1 3. Bảng xét dấu. 3. S. . 3. 3. x 2  4 x  3 dx  2  x 2  4 x  3 dx 0.    2    x 2  4 x  3 dx    x 2  4 x  3 dx  1 0  1. 3. 1 3  x 3   x3   2 2  2   2 x  3x     2 x  3x    3 0  3  1 . Vậy S . 16 (đvdt) 3. 14. Tung độ giao điểm y . 3. S.  1. Vậy S  1 . y 1 ,0  y  2   4  y2 y  3 3.   3  y  1  4  y 2  dy   3. 3 4  y2.  y dy .  3 (đvdt) 6. 15. Tung độ giao điểm. 2 1   y2 2 y 8  y2. x 3. 4.  x3   x3   x3     2 x 2     2 x 2  6 x     2 x 2   8  dvdt   3 0  3 1  3 3.  x 1  x  1 13. x 2  4 x  3  0  x 2  4 x  3  0    x  3  x  3. 4. 2.  4 x  dx.

(112) 2. S .  2. 2 1  dy  2 y 8  y2. . Vậy S  2  1 . 16. S . 12.  2 1   y 2  8  y 2 2 2.  dy  ...  . (đvdt). 3 2. 3 2. .   2  cos x  sin x dx    2  cos x  sin xdx    2  cos x  sin xdx. . 2. 2. 3. 0. 1 1     2    2cos x  cos 2 x    2cos x  cos 2 x   3 4 4     2. Vậy S  3 (đvdt) 17. Hoành độ giao điểm x 1  x 2  0  x  0 1. S  0. Vậy S  e. 18. S   1. 1. 1. 1 1 x 1  x dx   x 1  x dx   1  x 2 d 1  x 2   20 3 0 2. 2. 2 2 1 (đvdt) 3. ln x ln x  ln x  dx   dx   0x  1; e  2 x 2 x  1 2 x e. Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt. x  1  t  0, x  e  t  1 1. S 0. 1. tet.   td. 2 et.  . 1. 0. 0. Vậy S  2  e e. 19) S   1. 1  ln x 1  ln x dx   dx x x 1 e. Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x  2tdt . x  1  t  1, x  e  t  2 2. 2. 2  S   t.2tdt   2t dt  t 3 3 1 1. 1. et  t et   et dt  e  2 et. 2. 2. 1. dx x. 0. 1 0. 1  x . 2 3. 1. 0.

(113) 4 2 2 (đvdt) 3. Vậy S  e. e. e. e. 2. 2. 2. 2. 20) S   ln x dx   ln xdx  x ln x   dx Vậy S  2  2ln 2 21). 1 1      2  x   ;  2 cos x sin x 4 6 3 . . . 3. 3 4 1 1 1 1 1 1  dx   dx   2 dx 2 2 2 2 2   cos x sin x sin x sin x  cos x  cos x. S  . 6. 6. 4. . . 3 1  1   1  1    2  dx     2  dx 2 2 sin x  sin x    cos x   cos x 4. 6. 4. .   tgx  cot gx . Vậy S . 4. .   tgx  cot gx . 3. . . 6. 4. 8 3  12 (đvdt) 3. x  y 2  y  x  22)Tọa độ giao điểm   1 2 y  y  4 x x   2. y3 1    S   y  y  dy  2 3  0 4. Vậy S . 4. 0. 8 (đvdt) 3 2. 23) S .  x  x  1 x  2 dx. 2 1. . 3 2   x  x  2 x  dx . 2.  x 4 x3      x2   4 3 . 1. 2. 0. 3 2   x  x  2 x  dx . 1.  x 4 x3      x2   4 3 . 2. x. 3.  x 2  2 x  dx. 0. 0. 1.  x 4 x3      x2   4 3 . 2. 0.

(114) 37 (đvdt) 6. Vậy S . 2. 2. 0. 2. 1. 0. 1. 0. 24) S   xe x dx   xe x dx   xe x dx   x  1 e x Vậy S .   x  1 e x. 0. 1. e3  2e  2 (đvdt) e. 1 2   y2  4x 1 2 x  y 25)   4  y  y 1  y  2 4 x  y 1  0  x  y 1 2. 1 2 1 y   y  1 dy  4 4. S  0. 2.  y 0. 2.  1  y3  4 y  4 dy    2 y 2  4 y  4 3 . 2. 0. 2 (đvdt) 3. Vậy S .  x  y3  1  0  x  y3 1 26)    y3  1  1  y  y3  y  2  0  y  1 x  y 1  0 x  1 y. 1 1   S    y  y  2  dy   y 4  y 2  2 y  2 4  0 1. 1. 3. Vậy S . 0. 5 (đvdt) 4. HT 16.Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 1) y  3x, y  x, x  0, x  1quay quanh Ox. x2 y 2   1 quay 16 9 x2 y 2  1 quay quanh Ox 7)ellipse ( E ) :  16 9 quanh Oy 8) y  x2  2, y  4  x 2 quay quanh Ox 6) ellipse ( E ) :. x2 , y  2, y  4, x  0 quay quanh Oy 2 3 3) y 2   x  1 , x  2 và y  0 quay quanh Ox 2) y . 4) y 2  4  x, x  0 quay quanh Oy 5) (C ) : x 2   y  4   4 quay quanh Oy 2. 9) y  x 2 , y  x quay quanh Ox 10) y   4  x 2 , x 2  3 y  0 quay quanh Ox Bài giải. 1. 1. 1) V     3x   x 2 dx  8 0 x 2 dx  2. 0. Vậy V . 8 (đvtt) 3. 0. 8 x3 3. 1. 0.

(115) 4. 4. x2  x 2  2 y  V    x 2 dy    2 ydy   y 2 2 2 2. 2) Ta có y . 4. 2. Vậy V  12 (đvtt) 2. 2. 3) Ta có  x  1  0  x  1  V    y dx     x  1 3. 2. 1. Vậy V .  4. 3.  x  1 dx   4. 1. 4 2. 1. (đvtt).  y2  4  x x  4  y2 4) Ta có    y  2 x  0 x  0. Vậy V . 512 (đvtt) 15. 5) Tung độ giao điểm (C ) : x 2   y  4   4 và Oy : 2.  y  4. 2. y 4  2 y  6 4   y  4  2 y  2. 6 6  y3  2 V    x 2 dy     4   y  4   dy      4 y 2  12 y     3  2 2. 6. 2. Cách khác :. 4 23 32 Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R  2 nên V  .Vậy V  (đvtt) 3 3 x2 y 2  1 và Ox là x  4 6) Hoành độ giao điểm ( E ) :  16 9 x2 y 2 9  1  y 2  16  x 2  Ta có :  16 9 16 9  V    y dx  16 4 4. 2. 9  x3   16  x  dx  8 16 x  3  4 4. 4. 2. 0. Vậy V  48 (đvtt) 7) Tung độ giao điểm ( E ) :. x2 y 2   1 và Oy là y  3 16 9. x2 y 2 16   1  x2  9  y 2  16 9 9.

(116) 4.  V    x 2 dy  4. 16 9. 32 y  9  y  dy  9  9 y  3  . 3. 2. 3. . 3.  . 3. 0. Vậy V  64 (đvtt) 8) Hoành độ giao điểm x2  2  4  x2  x  1 1 1 2 2  x3   V     x 2  2    4  x 2  dx  24  x 2  1 dx  24   x   3  1 0. 1. 0. Vậy V  16 (đvtt) 9) Hoành độ giao điểm x2  x  x4  x  x  0  x  1.  x5 x 2   V    x  x dx     x  x  dx      5 2 0 0 1. 1. 4. Vậy V . 0. 3 (đvtt) 10. 10) Hoành độ giao điểm  4  x 2  . x4 2  V    4  x   dx  9 9  3 3. 2. Vậy V . 1. 4. x2  x2  3  x   3 3. 3.  36  3x 0. 3.  x 4  dx . 2 9.  x5  3 36 x  3 x    5 . 3. 0. 28 3 (đvtt) 5. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này! Mọi sự góp ý xin gửi về : Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau: .

(117)

(118)

(119)

(120)

Tich phan co ban hay Luu Huy Thuong File word

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về