Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 10 So phuc va ung dung Le Hoanh Pho File word

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Số phức và các phép toán , đơn vị ảo i với i 2  1 .. Tập hợp số phức. - Số phức (dạng đại số): z  a  bi  a, b . . a là phần thực, b là phần ảo của z. Kí hiệu Re z  a, lm z  b .. - Số phức liên hiệp của số phức: z  a  bi,  a, b . . là z  a  bi. z là số thực  phần ảo của z bằng 0  z  z z là số ảo  phần thực của z bằng 0  z   z. z  0 là số phức duy nhất vừa là số thực vừa là số ảo. - Môđun của số phức: z  a  bi,  a, b . . z  a 2  b2  zz - Phép toán:.  a  bi    a ' b ' i    a  a '   b  b ' i  a  bi    a ' b ' i    a  a '   b  b ' i  a  bi  a ' b ' i    aa ' bb '   ab ' ba ' i z  0 : z 1 . ( a, b, a ', b ' . ). 1 1 z' z'z z'z .  2 z;  z '.z 1  2  z z z zz z. Chú ý: 1) i 4 m  1; i 4 m1  i; i 4 m2  1; i 4 m3  1 . 2) z  z; z  z '  z  z '; zz '  z.z '. z'  z' z' z'  .  , z z z z. 3) zz '  z . z ' ; z  z 2 ;  2. Số phức dạng lượng giác - Cho số phức: z  a  bi với a, b  , z  0 , ta có r  cos   i sin   với r  0 là dạng lượng giác của số phức: z  a  bi  r  a 2  b 2 ,cos  . a b ,sin   r r. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  là một acgumen của z với số đo rađian. Góc lượng giác  Ox, OM     k 2 tức là các acgumen sai khác k 2 với k. i  3   cos 12  i.sin 12  1 i. z.. Khi z  0 không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định. - Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  '  thì có:. zz '  rr ' cos    '  i sin    ' . z r  cos    '  i sin    '  , z '  0 z' r' Công thức Moa-vrơ Với n là số nguyên, n  1 thì r  cos   i sin    r n  cos n  i sin n  n. Đặc biệt:  cos  i sin    cos n  i sin n n. Căn bậc hai, bậc n của số phức - Số phức z là một căn bậc hai của số phức w  z 2  w . Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai của w . - Số phức z là một căn bậc n của số phức w  z n  w . Đặc biệt căn của đơn vị:  cos   i sin    1 n.  cos n  i sin n  cos 0  i sin 0   . k 2 , k  0,1, 2,..., n  1 n. Do đó phương trình z n  1 có n nghiệm phức (là các căn bậc n của đơn vị). zk  cos. k 2 k 2  i sin , k  0,1, 2,..., n  1 n n. Kết quả tổng của các căn của đơn vị bằng 0. Phương trình bậc hai, bậc n Phương trình bậc hai Az 2  Bz  C  0 với A  0, B, C là các số phức. Lập biệt thức:   B 2  4 AC Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép z . B 2A. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nếu   0 ta tìm các căn bậc hai  của  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1,2 . B   . 2A. Định lý Viet: Nếu  và  là hai nghiệm của phương trình bậc hai:. Ax 2  Bx  C  0 thì: S      . B C và P   .  A A. Đảo lại, hai số phức  và  là các nghiệm của phương trình bậc hai:. x 2      x   .  0 - Phương trình bậc n: A0 z n  A1 z n 1  ...  An 1 z  An  0 trong đó A0 , A1,..., An là n  1 số phức cho trước,. A0  0 , n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức, không nhất thiết phân biệt. Hệ phương trình - Dùng các biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… như trong hệ phương trình đại số để giải. - Đặt z  x  yi,  x, y .  và. z '  x ' y ' i ,  x ', y ' .  rồi thế vào hệ, đồng nhất để tìm. x, y, x ', y ' .. Biểu diễn số phức: - Biểu diễn hình học: Số phức z  x  yi,  x, y . . được biểu diễn bởi điểm M  x; y  hay bởi vectơ. 4i  x; y  trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức. Trục thực là trục i 1 hoành và trục ảo là trục tung. - Nếu z, z ' biểu diễn bởi M , M ' thì z  z ' được biểu diễn bởi OM  OM ', z  z ' được biểu diễn bởi. OM  OM '  M ' M . Tập điểm biểu diễn số phức: - Gọi điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi  x , y . . - Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập điểm cần tìm.. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 10.1: Thực hiện các phép tính sau:. 1 10 1 i  A   1  i    2  3i  2  3i   i  1 i  33. B  1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i  2. 3. 20. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Hướng dẫn giải. 1  i 1  i  1  i 2  2i 1  1  2i    i Ta có: 1  i 1  i2 11 2 2. 2 1 i  33 2 16 2 Nên:    i   i  .i  i . Và 1  i   1  i  2i  2i 1 i  33. Nên 1  i    2i   32i . Từ đó tính được C  13  32i 10. 5. 1  1  i  1  1  i  1  q 21 Ta có D  u1.  1.  1 q 1  1  i  i 21. 21. mà 1  i   1  i  .1  i   1  i  2i  21. 20. 10.   1  i  .210  210  i.210 Vậy: D . 1   210  i.210  i.  210   210  1 .i. Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn: a). z 1 z i  z  3 . Tính z2 z  2i. b) z . 4  i . Tính 1  1  i  z z 1. Hướng dẫn giải a) Ta có. z 1  z  3  z  1   z  3 z  2  , z  2 z2.  z  2  i  z2  4z  5  0    z  2  i Với z  2  i,. z  i 2  2i 2 10 z i 2 26    i  13 z  2i 2  3i 13 13 z  2i. Với z  2  i,. z i 2 4 2 z i 2 5    i  5 z  2i 2  i 5 5 z  2i. b) Đặt z  a  bi,  a, b  Ta có: z . . 4  i  a 2  b 2  a  4  bi  b   a  1 i z 1. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a 2  b 2  a  4  b  a  1, b  2    a  2, b  1 b  a  1 Với a  1, b  2 , thì 1  1  i  z  1  1  i 1  2i   3i  3 Với a  2, b  1 , thì 1  1  i  z  1  1  i  2  i   3i  3 . Bài toán 10.3: Cho số phức z. Hỏi mỗi số sau là số thực hay số ảo. . a) z 2  z. zz. 2. b). . z3  z. 3. Hướng dẫn giải Ta tính các số phức liên hiệp:. . a) z 2  z b). 2. zz. . zz.    z. z  z 3. . 2. 3. . 2.  z  z 2  z 2  z . Vậy z 2  z. 3. z.  3. zz. . z  z 3. 3. . Vậy. 2. là số thực.. zz. . z  z 3. 3. là số ảo.. Bài toán 10.4: Tìm các căn bậc hai của số phức a) 1  4 3i. b) 17  20 2i Hướng dẫn giải. . Giả sử:  x  yi   1  4 3i. a) x, y . 2. . .  x 2  y 2  1  2 xy  2 3 i  0  2 12 x  2  1  x2  4  x  y  1  x      3 y  2 3 y  2 xy  4 3 x   x 2. 2. Từ đó có 2 căn bậc hai là: z1  2  3i, z2  2  3i b) x, y . . Giả sử:  x  yi   17  20 2i 2. . .  x 2  y 2  17  2 xy  10 2 i  0. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2 2  x  5, y  2 2   x  y  17  0     x  5, y  2 2  xy  10 2  0. Vậy có hai căn bậc hai là 5  2 2i, 5  2 2i . Bài toán 10.5: Tìm các căn bậc hai của w  a  bi  a , b . .. Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi,  x, y .  là căn bậc hai của. w  a  bi  a , b . .  x2  y 2  a 2   x  yi   x 2  y 2  2 xyi  a  bi    * 2 xy  b .  x2  y 2  a  x2  y 2  a  2 2   4 x 2 y 2  b 2   x 2  y 2    x 2  y 2   b 2  xyb  0    xyb  0  2 a 2  b2  a x  2   x2  y 2  a   2 a 2  b2  a 2 2 2 2  x  y  a  b   y  2  xyb  0    xyb  0   Vậy các căn bậc hai cần tìm của w  a  bi là:.     Hay    . a 2  b2  a i 2 a 2  b2  a i 2. a 2  b 2  a   2  a 2  b 2  a   2 . Bài toán 10.6: Tìm các căn bậc ba của số phức. khi b  0. khi b  0. 1 i . 2 Hướng dẫn giải. Đặt z  x  iy, x, y . là căn bậc ba của. 1 i 3 1 i :z  2 2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x3  3xy 2  i  3x 2 y  y 3  .  3 2  x  3xy   3x 2 y  y 3  . 1 i 2. 1  x  y   x 2  y 2  4 xy   2 2   2 2 1  x  y   x  y  4 xy   0 2. - Xét x  y  0  y   x nên x3  3 x 3 . 1 2. 3. 1  1  1 x   .  x 2 2  2 2 3. 1 1  i . Ta có được: z1  . 2 2. Do đó: y . - Xét x 2  y 2  4 xy  0 ..  2  x  y   x  y 2  6 xy   2 x y       2 Ta có hệ:   2  x  y   2 xy  0  xy  1  4 Từ đó có 3 căn bậc ba là: z1 . .  i 2. 2  3 1. z3 . 4. . . . . 2 3 1 2 3 1 1  i ; z2  i 4 4 2. . 3 1 4. Bài toán 10.7: Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:. . . a) z.z  3 z  z  4  3i . b) z  5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. Hướng dẫn giải a) Đặt z  x  iy, x, y . . . Ta có: z.z  3 z  z  x2  y 2  3.2iy  x2  y 2  6 yi. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  15 x    x  y  4  2 Do đó: z.z  3 z  z  4  3i    6 y  3 y   1  2. . Vậy z . . 2. 2. 15 i 15 i  hoặc z    . 2 2 2 2. b) Giả sử z  a  bi, a, b .  z 5   a 2  b2  5   a  2b a  2b . . Ta có: . a  2 5 a  2 5 a  2b hay    b   5 b  5 b   5 Vậy có hai số phức cần tìm: z  2 5  i 5, z  2 5  i 5 . Bài toán 10.8: Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:. . . a) z  z  1  i  5 và có  2  z  i  z là số ảo.. . . b)  z  i   z  2  2 z  3i . 2. 2. 2. Hướng dẫn giải a) Đặt z  x  yi, x, y . . Khi đó: z  z  1  i  5. 3  y   2 2  1   2 y  1 i  5  1   2 y  1  5   y   1  2. .   2  x   yi   x  1  y i . mà:  2  z  i  z .   x  2  x   y 1  y      2  x 1  y   xy  i. . . nên  2  z  i  z là số ảo khi phần thực: x  2  x   y 1  y   0. 1  x  3 3 2 Với y  , ta có x 2  2 x   0   2 4 x   3  2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1  x  1 3 2 Với y   , ta có x 2  2 x   0   2 4 x   3  2 Vậy z . 1 3 3 3 1 1 3 1  i, z    i , z   i , z    i . 2 2 2 2 2 2 2 2. b) Đặt z  x  yi  x, y .  . Khi đó:  z  12  z  2 2  2  z  3i .   x   y  1 i    x  2  yi  2  x   y  3 i  2. 2. 2. 2.  x2   y  1  2 x  y  1 i   x  2  y 2  2 x 2  2  y  3  4 x  y  3 i 2. 2. 2. 2 2 2 2 2 2   x   y  1   x  2   y  2 x  2  y  3   2 x  y  1  4 x  y  3 2 2 2 2 2 2   x   y  1   x  2   y  2 x  2  y  3   2 x  3 y  7   0. 7 7   y y   x  0    3 3  2 hay   2 y  10 y  21  0    0   497  4 x  x  497 36  9  Vậy z . 497 7  i. 36 3. Bài toán 10.9: Viết dưới dạng lượng giác các số phức:. . . a) 1  i 3 1  i . b). 1 i 3 1 i. Hướng dẫn giải.           i sin     ,1  i  2  cos  i sin  4 4  3  3  . . a) 1  i 3  2  cos  . . . . .  . .  .  . nên 1  i 3 1  i   2 2 cos      i sin       3 4    3 4.         2 2 cos     i sin      12     12 . Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> b). 1 i 3 2          cos      i sin       1 i 2  3 4  3 4    7  2 cos     12.   7   i sin     12.   . Bài toán 10.10: Tìm acgumen của số phức a) z  1 . . . 2 1 i. b) z  2  3  i Hướng dẫn giải. a) Ta có: z  1 . .  1 2 1 2 1 i  2 2  2  i  2. 2  2 2. 2  2 . .    .  2 2 2 2    2. 2  2  i   2 2   1  cos 2a 1  cos 2a , sin 2 a  2 2. Dùng công thức hạ bậc: cos 2 a . Ta tính được: cos.  8. . 2 2  và sin  2 8. Vậy acgumen của số phức là.  8. 2 2 2.  2 k , k . . . b) Biểu diễn hình học số phức z  2  3  i thì số phức z tương ứng với điểm A 2  3,1 . Đặt   AOH . ta có tan  .  sin 2 . . AH 1   2 3 OH 2  3.  .  . 2 2 3 2 tan   1  tan 2  1  2  3. . 2.   22  3  1 3 42  3 2. 2 2 3 84. Tương tự cos 2 . 1  tan 2  3  . 2 1  tan  2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Suy ra: 2 .  6. 2   .  12.   . Chọn  . Vậy acgumen của z  2  3  i bằng.  12.  12.  k 2 ..  k 2  k . .. Bài toán 10.11: Viết dưới dạng lượng giác của các số phức a). 1   cos   i sin   1  cos   i sin . b) 1   cos   i sin    1  cos   i sin   Hướng dẫn giải. a). 1   cos   i sin   1  cos    i sin   1  cos   i sin  1  cos    i sin  . 2sin 2. . . cos. . sin. .  i cos. . 2  tan  2 2  i.tan     2 cos   i.sin  2 2cos 2  i.sin cos 2 2 2 2 2. - Khi tan. - Khi tan. - Khi tan b).  i.sin. 2.  2. 2.  0 dạng lượng giác là: tan. .      cos     i sin      2  2  2 . .     0 dạng lượng giác là:  tan  cos  i sin  2 2 2 2.  2.  0 thì không có dạng lượng giác.. 1  cos   i sin  1  cos   i sin          2sin  sin  i cos  .2cos  cos  i sin  2 2 2 2 2 2        2sin  cos      i sin      2 2     - Khi sin   0 : nó có dạng lượng giác không xác định.. . . . .  . - Khi sin   0 : dạng lượng giác là 2sin  cos      i sin      2 2    . .  . - Khi sin   0 : dạng lượng giác là  2sin   cos   . . .      i sin      2 2  . Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài toán 10.12: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng z  1  z  3i và iz có một acgumen là.  . 6. Hướng dẫn giải Đặt z  r  cos   i sin   , r  0, . thì: z  r  cos   i sin  .       iz  r  sin   i cos    r cos      sin       2   2 Theo giả thiết ta có.  2.   . Khi đó z  1  z  3i .  6.  .  3. r 3r r r  1 i   3   1 2 2 2 2 . 2. 2. 2. 2 r2  r  3r r  r     1    3   1  r 2  4   1  r  1 4 4 2  2  2 . Vậy z  cos. .  i sin. 3.  3. ..  i  Bài toán 10.13: Tính: a)   1 i . 2016. 1000.  5  3i 3  b)    1  2i 3 . Hướng dẫn giải a) Ta có:. i 1 i 1       cos  i sin  1 i 2 4 4 2.  i    1 i . 2016. . . b). 1  2016 2016   i.sin  cos  2  4 4  1008. 1 1008. 2. .  cos3  i.sin 3   . . 1 1008. 2. . 5  3i 3 1  2i 3 5  3i 3 13  13i 3 2 2      1  i 3  2  cos  i.sin  1  12 13 3 3  1  2i 3  1000.  5  3i 3     1  2i 3 . 2000 2000    21000  cos  i sin  3 3  . 2 2  1000  1  3    21000  cos  i sin    2  i 3 3  2    2 Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài toán 10.14: Tìm các căn bậc hai của các số phức: b) z  1  i 3. a) z  2  i 2 3. Hướng dẫn giải.  1 3 2 2   i  i sin   4  cos  2  3 3    2. a) Ta có: z  2  i 2 3  4  .  . Vậy z có hai căn bậc hai là: z1  2  cos.  3.  i sin. .   1  i 3 và 3.          z2  2  cos  i sin   2 cos      i sin      3 3 3 3     . 4 4   2  cos  i sin 3 3  1. b) Ta có: z  1  i 3  2 . 2.    1  i 3  3 5 5    i sin   2  cos  2  3 3  . i. Vậy z có hai căn bậc hai là: z1  . 6 2 6 2  i, z2    i. 2 2 2 2. Bài toán 10.15: Tìm số phức z thỏa mãn: a) 1  2z  i  z và. z3  có một acgumen bằng . z 3 4. b) 2 z  i  2  z  z và. 1  3i 2 có một acgumen là  . 3 z Hướng dẫn giải. a) Đặt z  x  yi  x, y . . Khi đó 1  2 x  i  2 z   2 x  1  yi  2 x   y  1 i.   2 x  1  y 2   2 x    y  1  2 x  y 2. Và:. 2. 2. z  3  x  3  yi   x  3  yi    x  3  yi    2 z  3  x  3  yi  x  3  y 2 . x2  9  y 2.  x  3. 2. y. 2. . 6 y.  x  3. 2.  y2. i. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Vì. z3  có một acgumen bằng nên z 3 4. z 3   r r   r  cos  i sin    , i, r  0 z 3 4 4 2 2   x2  9  y 2 r   2 2 2 y  0   x  3  y  2 Do đó  2 6 y r  x  9  y  6 y   , r  0   x  3 2  y 2 2  2 x  y  0. x  3  . Vậy z  3  6i . y   6 5 x  12  9  0  . Nên ta có . 2. b) Giả sử z  r  cos   i sin   , r  0 .. 1. Ta có 1  3i  2 . 2. nên. . 3      i   2  cos  i sin  2  3 3  . 1  3i 2          cos       i sin       z r  3   3 . Theo giả thiết .  3.   . r 3r 2     . Do đó z   i 3 3 2 2. Theo giả thiết 2 z  i  2  z  z  r .  r2 . . 3r  2. . 2.  4.  3r . 2. . . 3r  2 i  2  3ri.  r 2  4 3r  0.  r  4 3 , vì r  0 . Vậy z  2 3  6i . Bài toán 10.16: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau a) z  1 . b). zz  3 , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 2. 1  i  z  2  1 i. 3 , hãy tìm số phức có môđun lớn nhất. Hướng dẫn giải. a) Đặt z  x  yi  x, y . . Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Khi đó z  1 . zz  3   x  1  yi  x  3 2.   x  1  y 2   x  3  y 2  4 x  8 2. Ta có z . 2. x2  y 2  x2  4x  8 .  x  2. 2. 4 2. Dấu = xảy ra khi x  2  y  0 . Vậy số phức z  2 . b) Đặt z  x  yi  x, y . 1  i  z  2  1 i.  . Ta có. 3  i  x  yi   2  3.   2  y   xi  3  x 2   y  2   3 2. 2. 2.  x   y2     1  3  3  Đặt x  3 sin  , y  3 cos  thì tìm được z. . . . lớn nhất khi z  2  3 i và z nhỏ nhất khi. . z  2 3 i. Bài toán 10.17: Xét các số phức z1  6  i 2; z2  2  2i, z3  Viết z1 , z2 , z3 dưới dạng lượng giác, suy ra cos. z1 . z2. 7 7 và sin 12 12 Hướng dẫn giải. Ta có z1  2. .       3  1  2 2 cos     i sin      6    6. .   3 z2  2  1  i   2 2 cos     4. z3 .   3   i sin     4.   . z1 7 7   3    3   cos    i sin   i sin      cos z2 4  12 12  6  6 4 . Mặt khác:. z1 6 i 2   z2 2  2i. . . 6  i 2  2  2i  8. .  6 2 6 2  i 4 4. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> So sánh đồng nhất với kết quả trên, suy ra:. cos. 7  6  2 7 6 2  ,sin  . 12 4 12 4. Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos a.cos b.cos c  0 . Tìm phần ảo của số phức 1  i tan a 1  i tan b 1  i tan c  , suy ra tan a  tan b  tan c  tan a.tan b.tan c  a  b  c  k  k . .. Hướng dẫn giải Từ khai triển của 1  i tan a  . 1  i tan b . 1  i tan c  thì phần ảo của số phức. 1  i tan a 1  i tan b 1  i tan c  bằng tan a  tan b  tan c  tan a.tan b.tan c Vậy tan a  tan b  tan c  tan a.tan b.tan c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của  . Mặt khác, 1  i tan a . 1 .  cos   i sin   có acgumen là a   với cos a. là số nguyên bất kì. Tương tự cho 1  i tan b,1  i tan c Do đó: 1  i tan a 1  i tan b 1  i tan c  có acgumen là a  b  c   Vậy: tan a  tan b  tan c  tan a.tan b.tan c  a  b  c  k  k . .. Bài toán 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức: a) 2ix 2  3x  4  i  0 b) z 2   cos   i sin   z  i sin  cos   0 Hướng dẫn giải a)   9  8i  4  i   9  32i  8i 2  17  32i Ta tìm các căn bậc hai a  bi, a, b . của    a  bi   17  32i 2.  2 256 a  a 2  17 a  b  17   2ab  32 b   16  a 2. 2. Từ đó, phương trình cho có 2 nghiệm phức:. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1313  17 1   3 2 4 . 1 4 . 1313  17  i ;  2 . 1313  17 1   3 2 4 . 1 4. 1313  17  i  2 . b)    cos   i sin    4i sin  cos  2.  cos2    i sin    2i.sin  cos   cos  i sin   2. 2. Nên  có hai căn bậc hai là   cos   i sin   Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1  cos , z2  i sin  Bài toán 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức b)  x  i  2   x 2   2  i  x  7i  1  0. a) x3  8  0. Hướng dẫn giải. . . a) Ta có: x3  8  0   x  2  x 2  2 x  4  0  x  2 hay x 2  2 x  4  0 Phương trình bậc hai có  '  1  4  3  3i 2 nên có các căn bậc hai là i 3 . Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x  2; x  1  i 3 b).  x  i  2  x 2   2  i  x  7i  1  0  x  2  i hoặc. x2   2  i  x  7i  1  0. Phương trình bậc hai có biệt thức.    2  i   4  7i  1  7  24i   4  3i  nên  có các căn bậc hai là   4  3i  . 2. 2. Từ đó giải cho 2 nghiệm x  3  i, x  1  2i Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x  2  i, x  3  i, x  1  2i Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức: a) z 4  2 z 3  z 2  4 z  4  0 b) z 3   3  i  z 2   3  4i  z  1  mi  0 biết 1 nghiệm z  i . Hướng dẫn giải a) Ta có z  0 không là nghiệm của phương trình, chia z 2 ta được: 2. 4 4 2 2   z  2z  1   2  0   z    2  z    3  0 z z z z   2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 2   1 7 z  z  1 z2  z  2  0 z  i    2  2 2   z  2  3  z  3z  2  0  z  1; z  2  z Vậy nghiệm của phương trình là z  1; z  2; z . 1 7  i. 2 2. b) Thay z  i vào phương trình ta có m  3 . Khi đó PT: z 3   3  i  z 2   3  4i  z  1  3i  0.   z  i   z 2  3z  3  i   0  z  i hoặc z 2  3z  3  i  0 Giải phương trình bậc hai Ta có  : 9  4  3  i   3  4i  1  2i . 2. Suy ra z  2  i, z  1  i Vậy 3 nghiệm của phương trình là z  i, z  2  i, z  1  i Bài toán 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:. iz  3  iz  3  40 b)   3 z  2i  z  2i  2. a)  z  3  i   6  z  3  i   13  0 2. Hướng dẫn giải a) Đặt z  3  i  w thì phương trình trở thành w2  6w  13  0 . Biệt thức   36  52  16 nên w . 6  4i  3  2i 2. do đó z  3  i  3  2i hay z  i  2i Vậy z  3i và z  i là các nghiệm cần tìm. b) Đặt. iz  3  w thì phương trình: w2  3w  4  0 z  2i. Biệt thức   9  16  25 nên w  Với w  1, ta có Với w  4 , ta có. 35 suy ra w  1 hay w  4 2. iz  3 1  5i  1  z  z  2i 2. iz  3 4  35i 4 z z  2i 17. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Bài toán 10.23: Giải các phương trình và biểu diễn tập nghiệm: a) z 4  16  0. b) 8 z 4  8 z 3  z  1 Hướng dẫn giải. . . . a) Ta có z 4  16  0  z 2  4 z 2  4  0.   z  2  z  2   z 2  4   0  z1,2  2 hay z3,4  2i Vậy phương trình có 4 nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình vuông ở hình 1.. .   2 z  1  0. b) 8 z 4  8 z 3  z  1   z  1 8 z 3  1  0.   z  1 2 z  1  4 z 2.   z  1 2 z  1  0 hay 4 z 2  2 z  1  0 Nghiệm của z  1  0 là z1  1 , nghiệm của 2 z  1  0 là z2 . 1 2. 2. 1 3 1 3 1 3  i . Vậy phương i và z4    Nghiệm của 4 z  2 z  1  0   2 z     0 là z3    2 4 4 4 4 4  2. trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2.. Bài toán 10.24: Giải phương trình nghiệm phức:  z  1   z  1  0, n  n. n. *. .. Hướng dẫn giải Phương trình tương đương:  z  1   z  1 , n. n.  z 1 vì z  1 không thể là nghiệm, do đó ta có thể viết:   1  z 1  n. Gọi 0 , 1 ,...,n1 là các căn số bậc n của 1:. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> m  cos. 2m 2m  i sin n n. Phương trình trên trở thành:. z 1  m với m  0,1,..., n  1 z 1.  z  1  m  z  1 với m  0,1,..., n  1. z. m 1  m với m  1, 2,..., n  1  z  cot  i  n 1  m. (Vì m  0  0  1  z không xác định nên ta loại bỏ 0 ) Vậy phương trình có n  1 nghiệm: z  i cot. m với m  1,2,..., n  1 . n. Bài toán 10.25: Giải các hệ phương trình nghiệm phức:.  z 3  w5  0  b)  2 4 z w 1 . z  w  4  i a)  3 3  z  w  7  28i.  . 1  2. Hướng dẫn giải a) Ta có z  w  4  i. . . Và z 3  w3  7  28i   z  w  z  w  3zw  7  28i. 4  i. 2. 2. 7  28i  zw  5  5i 4i.  3zw . Vì z  w  4  i nên w  4  i  z . Thế vào thì có phương trình z 2   4  i  z  5  5i  0 Ta có:   5  12i   2  3i  . Suy ra z  3  i hoặc z  1  2i 2. Vậy  z , w    3  i;1  2i ,  z; w   1  2i;3  i .  . b) Từ (2) suy ra z 6 w.  . Do đó: w10 w. 12. Suy ra z 6  w. 10. 12.  1 . Từ (1) suy ra z 6  w10.  1 nên w. 22.  1 tức là w  1.  1 tức là z  1 . Từ w .  . 1 và w10 w w. 12.  .  1 suy ra w. 2.  1 nên w bằng 1 hoặc bằng. −1.. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>  . Từ w. 2.  1 và (2) suy ra z 2  1 tức z bằng 1 hoặc bằng −1.. Mà (1): z 3  w5  0 nên: z  1  w  1 và z  1  w  1. Vậy hệ có hai nghiệm  z , w  là: 1; 1 và  1;1 Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:.    b)   .  x  iy  2 z  10  a)  x  y  2iz  20 ix  3iy  1  i z  30   . z 1 1 z i z  3i 1 2i. Hướng dẫn giải.  x  iy  2 z  10  x  iy  2 z  10   a) Ta có:  x  y  2iz  20   x  y  2iz  20 ix  3iy  1  i z  30  x  3 y  i  1 z  30i      .   i  1 y  2 1  i  z  10  4 y  1  i  z  20  30i. Khử x ta có hệ: .  x  3  11i  Từ đó có x  3  11i . Vậy hệ có nghiệm:  y  3  9i  z  1  7i  b) Ngoài cách giải đại số, bằng cách viết z  x  yi,  x, y .  rồi tính toán. Ta có cách giải hình học biểu. diễn như sau: Ta có tập hợp các điểm M của mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn. z  z0  1  z  z0  z  z1 z  z1. là đường trung trực của đoạn thẳng A0 A1 với A0 , A1 theo thứ tự biểu diễn số phức z0 , z1 . Do đó. z 1  1 nên điểm M biểu diễn số z  x  yi, với x, y  z i. Còn điều kiện. phải nằm trên đường phân giác y  x .. z  3i  1 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1. Vậy z  1  i . z i. 2 2 4 4 Bài toán 10.27: Không giải phương trình z 2   2  i  z  3  5i  0 . Hãy tính: z1  z2 , z1  z2 .. Hướng dẫn giải Theo hệ thức Viet ta có: S  z1  z2  2  i, P  z1z2  3  5i. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Do đó z12  z22  S 2  2P   2  i   2  3  5i   3  14i 2. z14  z24   z12  z22   2 z12 z22   3  14i   2  3  5i  2. 2. 2.  155  24i Bài toán 10.27: Cho các số phức z1 , z2 thõa mãn điều kiện 2. 4. z  z  z1  z2  z1  z2  0 . Tính T   1    2  .  z2   z1  Hướng dẫn giải Đặt. z1  w ta được z2 w  z2  z2 w  z 2  0 z2. Hay w  1  w  1 Giả sử w  a  bi  a, b . . Khi đó ta có  a  1  b 2  a 2  b 2  1  a  2. - Với w . 1 3 ,b   2 2. 1 3    i  cos  i sin 2 2 3 3. 4 4 4 4 1  i sin  i sin thì w  cos và    cos 3 3 3 3  w 4. 4. 2. 4. z  z  4 1 Do đó T   1    2   w4     2cos  1 3  w  z2   z1  4. 2. 4. z  z  1 3 1 i , tương tự T   1    2   w4     1. - Với w   2 2  w  z2   z1  4. Bài toán 10.29: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) z  2  3i  4. b). z i 1 z i. Hướng dẫn giải a) Giả sử: z  x  yi,  x, y . ,. Ta có: z  2  3i  4   x  2   y  3 i  4 2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>   x  2   y  3  16 2. 2. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  2;3 , bán kính R  4 . b) Giả sử: z  x  yi,  x, y .  , ta có:. z i  1  z  i  z  i  x   y  1 i  x   y  1 i z i.  x2   y  1  x 2   y  1  y  0 2. 2. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox. Bài toán 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:.  . b) z 2  z z. a) 2 z  i  z  z  2i. 2. 4. Hướng dẫn giải a) Gọi z  x  yi, x, y . . Ta có: 2 z  i  z  z  2i.  2 x   y  1 i  2  y  1 i  x 2   y  1   y  1 2. y. 2. x2 x2 . Vậy tập hợp cần tìm là parabol y  4 4. b) Gọi z  x  yi, x, y . . . Ta có: z 2  z. 2.  4  4 xyi  4.  xy  1  xy  1 hoặc xy  1. Vậy tập hợp cần tìm là hai hyperbol y . 1 1 và y   . x x. Bài toán 10.31: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) z là các căn bậc hai của a  i, a thay đổi b). z2  có một acgumen bằng . z2 3 Hướng dẫn giải. a) Viết z  x  yi  x, y .  thì. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 1   x2  y 2  a y  z  ai    2x 2 xy  1 2  x  y2  a  2. Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hyperbol y . 1 . Vì với mỗi điểm  x, y  của hyperbol này, tìm 2x. được a  x 2  y 2 nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hyperbol đó. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol y . . z  2 z  2 z  2 zz  4  2 z  z  .  2 z2 z2 z2 z2. b) Ta có số phức. .  1  i 3  ,. zz  4  2 z  z . Viết z  x  yi  x, y . . . 1 . 2x.  khi và chỉ khi 3. có một acgumen bằng. là số thực dương.. . . .  1  i 3  ,. thì: z.z  4  2 z  z  x 2  y 2  4  4 yi nên z z  4  2 z  z . (  0 ).. 3i   0 .  x 2  y 2  4  4 yi  . . 2 2  x  y  4    4 y  3. . Mà: 4 y  x 2  y 2  4.  0. .  4 y   x 2  y 2  4  3, y  0. 3. 2. 2  16   x  y   3 0 3  2. Vậy M chạy trên cung tròn có tâm là điểm biểu diễn. 2 4 i và có bán kính bằng nằm ở phía trên trục 3 3. thực. Bài toán 10.32: Chứng minh rằng: a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì b) Nếu z1 khác z2 : z1  z2 khi và chỉ khi. w  z. z1  z2 là số ảo. z1  z2 Hướng dẫn giải. a) Nếu z là một căn bậc hai của w thì z 2  w. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Nên z 2  z  w . Vậy: z . z  2. 2. b) Với điều kiện z1  z2 ,. w. z  z2  z1  z2  z1  z2 là số ảo  1   z1  z2  z1  z2  z1  z2.   z1  z2  z1  z2    z1  z2  z1  z2   0. . .  2 z1 z1  z2 z2  0  z1  z2 Bài toán 10.33: Tìm số nguyên dương n: a) z n là số thực, số ảo với số phức z  3  i n. n2  3 i   5i  b) Nhỏ nhất sao cho z1    là số thực và z2    là số ảo. 2  3 i 1  3 i    . Hướng dẫn giải.  . a) Ta có: z  3  i  2  cos.  6.  i sin.   6  . Áp dụng công thức Moivre thì z n  2n  cos. z n là số thực  z n là số ảo  b) Ta có:. n  k  n  6 k , k  6. n n   i sin  6 6  *. n    2k  1  n  3  2k  1 , k  6 2. 3 i 3 1     i  cos  i sin 2 2 6 6 1  3i n. n  3 i     n n nên z1    i sin    cos  i sin   cos 6 6 6 6  1  3i  . z1 là số thực  sin. n  0  n  6 k , với k nguyên dương. 6. 5i    5i   Ta có  1  i  2  cos  i sin  nên z2    2  3i 4 4  2  3i  . n2. n 2   n  2   i sin  n  2          2  cos  i sin    2  cos  4 4  4 4     Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 n 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> z2 là số ảo  cos.  n  2 4.  0  n  2  4l  2.  n  4l , với l nguyên dương. Bài toán 10.34: Tính sin 4 và cos4 theo các lũy thừa của sin  và cos  Hướng dẫn giải Ta tính  cos   i sin   theo 2 cách: 4.  cos  i sin   và.  cos  i sin  . 4. 4.  cos 4  i sin 4.  cos4   4  cos3    i sin    6  cos2   i 2 sin 2    4  cos    i3 sin 3    i 4 sin 4 .  cos 4   6cos 2  sin 2   sin 4    4cos3  sin   4cos  sin 3   i Từ đó có: cos 4  cos 4   6cos 2  sin 2   sin 4 . sin 4  4cos3  sin   4cos  sin 3  Bài toán 10.35: Cho z  cos   i sin    a) z n .  . Chứng minh rằng:. 1 1  2cos n ; z n  n  2i.sin n với mọi số nguyên n  1. n z z. b) cos 4  . 1 1  cos 4  4cos 2  3 ,sin 5    sin 5  5sin 3  10sin   8 16 Hướng dẫn giải. a) Ta có z  cos   i sin    nên z n  cos n  i sin n , Do đó z n . . 1  cos n  i sin n nên: zn. 1 1  2cos n , z n  n  2i sin n n z z. b) Khi n  1 ta có: z . 1 1  2cos  , z   2i sin  z z. 1 1 1 1  cos    z   ;sin    z   nên 2 z 2i  z. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 4. 1   1  1  1 1  cos     z     4  z 4  4  C41  z 2  2   C42  z  2  z z   2  4. . 1 1 2cos 4   4.2cos 2   6     cos 4  4cos 2  3 24 8 5. 1 1  1  1 1 1    và sin     z     5  z 5  5   C51  z 3  3   C52  z    z   i 2  z  z  z     2i  . . 1 1 2sin 5  2C51 sin   2C52 sin     sin 5  5sin 3  10sin   5  2 16. Bài toán 10.37: Cho các số thực a, b sao cho sin. a 0 2. Với mỗi số nguyên n  1, tính các tổng. S  cos b  cos  a  b   cos  2a  b   ...  cos  na  b  T  sin b  sin  a  b   sin  2a  b   ...  sin  na  b  Hướng dẫn giải Đặt   cos a  i sin a,   cos b  i sin b thì:. S  iT   cos b  i sin b   cos  a  b   i sin  a  b    cos  2a  b   i sin  2a  b    cos  na  b   i sin  na  b .       2  ...   n   1     2  ...   n  a 1   n1 (để ý rằng   1 do sin  0 )  2 1. . . 1  cos  n  1 a  i sin  n  1 a 1  cos a  i sin a. n 1 a  na   na  2 cos   b   i sin   b   . Từ đó suy ra:  a   2   2  sin 2. sin. S. n 1 n 1 a sin a  na   na  2 2 cos   b  , T  sin   b  a a  2   2  sin sin 2 2. sin. Bài toán 10.38: Tính các tổng hữu hạn:. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> A  1  Cn2  Cn4  Cn6  ... và B  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ... Hướng dẫn giải n. C i. Ta có: 1  i   n. k k n. k 0.  1  Cn1i  Cn2  Cn3i  Cn4  Cn5i  Cn6  Cn7i  ....  1  Cn2  Cn4  Cn6  ...  i  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ....  A  Bi . Mặt khác:. 1  i . n. n.      n n     2  cos  i sin    2n /2  cos  i sin  4 4  4 4    .  . Vậy A  2n/2  cos. n  n n /2   và B  2  sin 4  4 .  . . Bài toán 10.39: Chứng minh:. 1 n  1  Cn4  Cn8  ...   2n1  2n/2 cos  2 4  1 n  Cn1  Cn5  Cn9  ...   2n1  2n/2 sin  2 4  Hướng dẫn giải Ta có 1  i   n. n. C i. k k n. k 0. 1  i . n. n.  1  Cn1  Cn2  Cn3i  Cn4  Cn5i  Cn6  Cn7i  ....    1 Cnk i k  1  Cn1i  Cn2  Cn3i  Cn4  Cn5i  Cn6  Cn7i  ... n. k 0. Và 2n  1  1  n. n. C. k n. k 0. n.  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn. 0  1  1    1 Cnk  Cn0  Cn1  Cn2  ...   1 Cnn . n. n. n. k 0. 0 2 4 1 3 5 n 1 Do đó Cn  Cn  Cn  ...  Cn  Cn  Cn  ...  2. . . 1 5 9 n 1 n /2 Suy ra 2 Cn  Cn  Cn  ...  2  2 cos. n  đpcm. 4. Bài toán 10.40: Các vectơ u , u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z ' . Chứng minh:. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> a) Tích vô hướng u.u ' thỏa mãn: u.u ' . . 1 zz ' z z ' 2. b) Nếu u  0 thì u , u ' vuông góc khi và chỉ khi. . z' là số ảo; z. Hướng dẫn giải a) Viết z  x  yi , z '  x ' y ' i  x, y, x ', y ' .  thì: u.u '  xx ' yy '. và: zz ' z z '   x  yi  x ' y ' i    x  yi  x ' y ' i   2  xx ' yy '  Nên: u.u ' . . 1 zz ' z z ' 2. . b) u.u '  0  zz ' zz '  0 . Do ddos:. u.u '  0 . z' z' z'  z' z'  0    0  là số ảo. z z z z z. Bài toán 10.41: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 . a) Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào? b) Giả sử z1  z2  z3 . Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi:. z1  z2  z3  0 . Hướng dẫn giải a) G là trọng tâm của tam giác ABC khi: OG . . 1 OA  OB  OC 3. . Vì OA, OB, OC theo thứ tự biểu diễn z1 , z2 , z3 nên G biểu diễn số phức. 1  z1  z2  z3  3. b) Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn tâm O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G  0 hay z1  z2  z3  0 . Bài toán 10.42: Giải hệ phương trình: 3 2   x  3xy  1 a)  3 2   y  3x y   3. 2 x  5 y  xy  2. b) . 2 2  x  4 y  21  y  10 x. Hướng dẫn giải a) Điều kiện x 2  y 2  0 . Xét số phức z  x  yi,  x, y .  thì:. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> z 3  x3  3xy 2   3x 2 y  y 3  i.  x3  3xy 2  1  Hệ   x3  3xy 2   3x 2 y  y 3  i  1  i 3 3 2   y  3x y   3 2 2    z 3  1  i 3  2  cos  i sin  3 3  . 2 2   z  3 2  cos  i sin 9 9 . 8 8  3   i sin  ; 2  cos 9 9  . 14 14   3   i sin  ; 2  cos  9 9   . Suy ra nghiệm hệ:. 2 8 14    3 3 3  x  2 cos 9  x  2 cos 9  x  2 cos 9 hay  hay   2  8  3 3  y  2 sin  y  2 sin  y  3 2 sin 14  9 9 9   b) Xét số phức z  x  yi,  x, y .  thì. z 2  x 2  y 2  2 xyi .. 2 x  5 y  xy  2.  xy  2 x  5 y  2  0   2 2 2 2  x  4 y  21  y  10 x  x  y  10 x  4 y  21  0. Hệ .   x 2  y 2  10 x  4 y  21  2  xy  2 x  5 y  2  i  0   x 2  y 2  2 xyi   10  4i  x  yi   21  4i  0.  z 2  2  5  2i  z  21  4i  0. .  . . .  . .  z  5  2 2  2  2 2 i hay z  5  2 2  2  2 2 i  x  5  2 2. Suy ra nghiệm hệ phương trình: .  y  2  2 2.  x  5  2 2. hay .  y  2  2 2. Bài toán 10.43: Phân tích thành a) Nhân tử bậc nhất của: f  x   cos  n arccos x . x2 b) Tổng các phần tử đơn của: P  x   4 x 1 Hướng dẫn giải. . 2k  1 . 2 2n Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 a). f  x   cos  n arccos x   0  n arccos x . k  x  cos.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Theo định nghĩa hàm số lượng giác ngược. 1 1  2k  1  0     hay  2  k  n  2 tức là k  0,1.,,,.n  1  2n  n 1 n 2k  1  2k  1    f  x   cos  n arccos x   a0   x  cos    a0   x  cos  2n 2n   k 0  k 1 . Đặt arccos x  v thì từ công thức MOIVRE ta có:. cos  nv   cos nv  Cn2 cos n 2v sin 2 v  Cn4 cos n 4v sin 4 v...  ...  x n  Cn2 x n2 1  x 2   Cn4 x n4 1  x 2   ... 2. Nên hệ số cao nhất a0  1  Cn2  Cn4  ...  Cnn  2n 1 . Vậy: cos  n arccos x   2. n 1. n. .  x  cos k 1. 2k  1   n . x2 x2 x2 b) Ta có: P  x   4   x  1  x 2  1 x 2  1  x  1 x  1 x  i  x  i  Áp dụng công thức nội suy Lagrăng cho f  x   x 2 và 4 số. x1  1, x2  1; x3  i, x4  i,  x     x  xi  : f  xi  f  x 4    x  i 1  '  xi  x  xi  Do đó P  x  . . 1 1 i i    trên C  x  4  x  1 4  x  1 4  x  i  4  x  i . 1 1 1   trên R  x  4  x  1 4  x  1 2  x 2  1. Bài toán 10.44: Chứng minh: a) x3m  x3n1  x3 p 2 x 2  x  1 với m, n, p nguyên dương. b) f  x   x ka1  x ka2 1  ...  x. kak  k 1. chia hết cho:. g  x   x k 1  x k 2  ...  1 . Hướng dẫn giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> a) Để chứng minh đa thức f  x  chia hết cho đa thức g  x  , ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của g  x  đều là nghiệm của f  x  . Nếu gọi w là nghiệm của x 2  x  1 thì w2  w  1  0 hay w2   w  1 nên w3   w2  w  w  1  w  1 Thay w vào đa thức thứ nhất ta có: w3m  w3n1  w3 p  2  1  w  w2  0 Vậy w cũng là nghiệm của đa thức x 2  x  1 (đpcm). b) Gọi  là nghiệm của g  x  , ta có:. g     k 1   k 2  ...  1  0 nên  chính là các giá trị của căn bậc k của đơn vị, nghĩa là ta có  k  1 . Do đó. f     ka1   ka2 1  ...   kak k 1  1    ...   k 1  0 Vì vậy, mọi nghiệm của g  x  đều là nghiệm của f  x  nên f  x  g  x  (đpcm). Bài toán 10.45: Cho n là số nguyên dương đa và đa thức P  x  với các hệ số thực như sau. P  x    m  1 x2  x  1. 2 n 2.   3m  2 x n . Tìm tất cả các giá trị thực m để x2  x  1| P  x  . Hướng dẫn giải. . . Xét x 2  x  1  0  x   ,  2 . Khi đó. P     m  1  2   1. 2 n 2.   3m  2   n   m  1  4n6  3m  2   n.   m  1  n   3m  2  n   4m  1  n Theo giả thiết, suy ra P    0  m . 1 . 4. Bài toán 10.46: Tìm tất cả các đa thức p  x   Z  x  là monic bậc hai sao cho tồn tại đa thức q  x   Z  x  mà các hệ số của đa thức r  x   p  x  q  x  đều thuộc 1;1 . Hướng dẫn giải Dễ thấy p  x   x 2  ax  1 , với a . . Giả sử. r  x   an x n  an1x n1  ...  a1x  a0 , ai  1;1 , i  0,1,..., n Gọi z là một nghiệm phức của r  x  và z  1 thì ta có. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> n 1. a z  z   i z i  i 0 an n. Suy ra z. n. n.  z  1  z. n. ai i n1 i n1 i z  1 z  z  z   z 1 i 0 an i 0 i 0 n. n 1. 1  z. n.  z  2  1  z  2 .. Vậy mọi nghiệm của r  x  đều có môđun nhỏ hơn 2. Từ đó nếu gọi z1 , z2 là các nghiệm của p  x  thì ta có z1  2 , z2  2 , ngoài ra ta còn có z1 z2  z1 z2  1 . Không mất tính tổng quát ta giả sử z1  z2  1  z1  2,0  z2  1 . Ta lại có:. a  z1  z2  z1  z2  1  2  3  a  2; 1;0;1;2 Với a  0 , ta có q  x   x  1. Với a  1, ta có q  x   1 . Với a  2 . Kiểm tra p  x   x 2  2 x  1 thì sẽ có q  x   x 1 , còn với p  x   x 2  2 x  1 thì không thỏa mãn vì có một nghiệm có môđun lớn hơn 2. Vậy có 8 đáp số của p  x  là x 2  1, x 2  x  1, x 2  2 x  1 . Bài toán 10.47: Cho đa thức P  x   rx3  qx 2  px  1 trong đó p, q, r là các số thực với r  0 . Xét dãy số  an  : a0  1; a1   p, a2  p 2  q. an 3   pan  2  qan 1  ran  n  0  Chứng minh rằng nếu đa thức P  x  chỉ có duy nhất một nghiệm thực và không có nghiệm bội thì dãy  an  có vô số số âm. Hướng dẫn giải Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân x3  px 2  qx  r  0 có 1 nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp. Giả sử ba nghiệm đó là a, R  cos   i sin   , R  cos   i sin   với a  0, R  0 , 0     thì. an  C1  a   C2 Rn  cos  i sin    C3 Rn  cos  i sin   trong đó C1, C2 , C3 là các hằng số nào n. n. n. đó, C2 , C3 là các số phức liên hợp. Đặt C2  R *  cos   i sin   với   0;2  , ta có. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> an  C1   a   R n  R *  cos   i sin   cos n  i sin n   n.  R*  cos   sin   cos n  i sin n   C1   a   2 R n R *  cos  n     n. Giả sử ngược lại tồn tại n sao cho an  0 với mọi n  n0 . Khi đó ta có 0  an1  aan. .   2R R *  R cos   n  1      a cos  n     2 R R *.C.cos  n    ( C  0,  0;2  ) với mọi n  n .  2Rn1R * cos   n  1     a2Rn R *  cos  n     n. n. *. *. 0. Điều này không xảy ra vì 0     nên tồn tại vô số n sao cho:. 3   n   *    k 2 ,  2k  2 2 . 3. BÀI LUYỆN TẬP. 1  i  7 1  i . 9. 1  i tan x Bài tập 10.1: Tính: a) 1  i tan x. b). Hướng dẫn a) Nhân số phức liên hiệp của mẫu. Kết quả cos 2 x  i sin 2 x b) Kết quả 2. Bài tập 10.2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức: a). zi với số phức z  x  iy  x , y  iz  1. .  . b) z  1  1  i 3  1  i 3. . 2. . .  ...  1  i 3. . 2017. Hướng dẫn a) Tính trực tiếp. Kết quả. 2 xy x 2   y  1. 2. và. y 2  x2  1 x 2   y  1. 2. 1  qn b) Dùng tổng n số hạng của cấp số nhân Sn  u1 1 q Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> . và tách lũy thừa về 1  i 3. . 3.  8 .. Bài tập 10.3: Cho z  x  yi,  x, y  Chứng minh z. .. 2  a  b . Khi nào thì đẳng thức xảy ra. Hướng dẫn. Tính trực tiếp. Kết quả b   a . Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a)   cos   i sin   ;cos   i sin  b) sin   i cos  ;sin   i cos  Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác. Kết quả cos      i sin     ;cos     i sin   .             i sin     ;cos      i sin     2 2 2  2   . b) Kết quả cos . Bài tập 10.5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm các số có acgumen dương nhỏ nhất. a) z  1  i  1. b) z  5i  3 Hướng dẫn. a) Gọi z  x  yi,  x, y .  và tìm tập điểm thỏa mãn.. Kết quả z  i b) Kết quả. 12 16  i 5 5. Bài tập 10.6: Giải phương trình trong tập số phức: a) z 2  1  3i  z  2 1  i   0. b) 3z 4  5 z 3  3z 2  4 z  2  0 Hướng dẫn. a) Lập  . Kết quả 2i, 1  i . b) Biến đổi tích nhờ nhẩm nghiệm, dự đoán nghiệm. Kết quả 1  i;1  i; . 1  13 13  1 ; 6 6. Bài tập 10.7: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> a). 1 là số ảo z i. b) z  i  2  z  i  9 Hướng dẫn. a) Gọi z  x  yi,  x, y .  và tính trực tiếp. 1 . z i. Kết quả trục ảo Oy trừ I  0;1 b) Gọi z  x  yi,  x, y .  và biến đổi tương đương. Kết quả Elip. Bài tập 10.8: Chứng minh rằng: a) Nếu phương trình an z n  an 1 z n 1  ...  a2 z 2  a1 z  a0  0 với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0 cũng là nghiệm của phương trình. b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số: 1  i; 1  i;2i;2  2i cùng nằm trên một đường tròn. Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D. Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD. Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:. . b) z 2  z. a) z 4  1. 2.  0 và. z 1 1 z 3. Hướng dẫn a) z 4  1  z 4  i 2  z 2  i hay z 2  i . Kết quả. 2 2 1  i  và  1  i  . 2 2. b) Kết quả z1  2 1  i  và z2  2 1  i  . Bài tập 10.10: Chứng minh rằng đa thức P  z  là hàm số chẵn của z  mãn: P  x   Q  z  Q   z  , z . khi và chỉ khi tồn tại Q  z  thỏa. . Hướng dẫn. Chứng minh bằng quy nạp theo m là số nghiệm khác 0 của đa thức P  z  , tức là tồn tại Q  z  thỏa mãn. P  z   Q  z Q z  .. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-1112, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(37)</span>