BAI 3 UNG DUNG HINH HOC CUA TICH PHAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN. Tiết 60 BÀI 3: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.. Ta có : 5. . 2. . 5. S x  1hãy )dx   x diện 30tích  2 28 Các so xsánh hai (2em 1 1 hình S và S1, cho nhận xét.. trong khi đó : 5. 1.  x. 1.  30  2  28. S1. –. ( 2 x  1)dx   x. 2. S. y=. . 5. y=. S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28. 2x. +. 1. HOẠT ĐỘNG 1 : Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5. 1. 1. –. nên ta có viêt : S1 S (2 x  1)dx 28. 2x. 5. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b]. f(x)≥0 trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức : b. S f ( x)dx a. Trường hợp f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] thì : b S = SaABb= SaA’B’b =. [ f ( x)]dx a. .. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tổng quát Cho (C) : y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức :. b. S  f ( x) dx a. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> VD 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và 2 đường thẳng x=-1 ; x=2 Giải : Vì x3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0] và x3 ≥ 0 trên đoạn [0;2] nên: 2. 0. 2. S  x 3 dx  ( x 3 )dx  x 3dx 1. 1. 4 0. x S  4. .. 0. 4 2. x  4 1. 0. 17  4. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đuờng cong. Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b] Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là: b. S S1  S 2 [ f ( x)  g ( x)]dx. a. Trong trường hợp tổng quát ta có công thức b. S  f ( x)  g ( x) dx a. .. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b. S  f ( x)  g ( x) dx a. Chú ý : Nếu x[;],f(x)–g(x)≠0 thì : . . S  f ( x)  g ( x) dx  [ f ( x)  g ( x)]dx . . Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách : • Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các nghiệm c , d (a < c < d < b). • Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu. • Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Vd 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng : x = 0, x =  và đồ thị của 2 hàm số : y = sinx , y = cosx . Giải : Pthđgđ : sinx = cosx  x = /4  [0; ] Vậy diện tích hình phẳng là : . S sin x  cos x dx 0. . 4. . S  sin x  cos x dx  0. . sin x  cos x dx   4. 4. . S  (sin x  cos x)dx  0. S  (cos x  sin x ). (sin x  cos x)dx   4.  4 0. .  (cos x  sin x)  2 2 4. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = x3 – x và y = x – x2. Giải : Pthđgđ : x3 – x = x – x2  x3 + x2 – 2x = 0  x = -2 ; x = 0 ; x = 1. y = x3. 1. S  x 3  x 2  2 x dx 1. S  ( x 3  x 2  2 x)dx  ( x 3  x 2  2 x)dx 2. y=. 0. x–. 2. x 2.. -x. Vậy diện tích hình phẳng là :. 0. 4. 3. 0. 4. 3. 1. x x x x 2 2 S    x      x   4 3  2  4 3 0 8 5 37 S   3 12 12. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối). S2. S1. 5. S1  f ( x)dx. 1. 5. S 2  [ f ( x)]dx. 1. a. 2. b. c. S [-f(x)]dx f(x)dx  [-f(x)]dx f(x)dx 0. a. 2. b. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> y. f( x) = y. y. =. f( x). Củng cố: Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối). =. y g( x). b. S [ f ( x)  g ( x)]dx a. a. =. g( x) b. S [ g ( x)  f ( x)]  [ f ( x)  g ( x)]dx 0. a. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ***Một số công thức cần nhớ a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: b. S  f ( x ) dx a. b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b. b. S  f ( x )  g( x ) dx a. Quay lại….

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài tập tham khảo BT1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. y Lời giải: Đặt f(x) = x3 – 1.. y = x3 - 1. Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x) ≥ 0 trên [1; 2] Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2. S x 3  1dx 0 1. 2. 1  x 3 dx   x 3  1dx 0. 3 11 7    4 4 2. 1. x.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> BT2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x là: 3 y f1(x) =x –  x  2 3x  3 3. x  3x x  x  4 x 0   x 0  x 2. Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2. S  x 3  4 x dx 2. 0. x. 2 3. 3.  ( x  4 x )dx  (4 x  x )dx 2. 0. 4 0  x4   2 x 2 2    2 x    2 x  4 0  4  2 . 4  4 8. f2(x) =x.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 3. Bài tập vận dụng BT3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x2, đường thẳng x = 3, trục tung và BT4 :Tính diện tíchtrục hìnhhoành. phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2 và Parabol y = x2 + x - 2. BT3:. Giải:. Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên 3 2 [2; 3] nên:3 23. S 4  x 2 dx ( 4  x 2 )dx  ( x 2  4)dx  0. 0. 2. BT4:. 3. Giải:. PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x = -2;2 x = 22. Vậy: 32. S  4  x dx  2. 3.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> y. 2x =. 2. . y. x+. . S x 2  4 x  3  (  2 x  2) dx. -6. -2. 2. y=. BT5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và y = 2x – 6.. y = x2 - 4x +3. 1. 3. . .  x 2  4 x  3  ( 2 x  6) dx 2. 2  3. x.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>