giao an day themtinh don dieu cua ham so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ngày soạn: 10/09/2017 Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. Mục đích yêu cầu -Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số để xét tính đơn điệu -Biết vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số vào giải một số bài toán đơn giản. II. Bài giảng 1. Kiểm tra bài cũ (?) Phát biểu đinh lí và quy tắc xét tính đơn điệu của h/s 2. Bài mới Nêu các cách để xét tính đơn điệu của hàm số? I. DỰA VÀO ĐỒ THỊ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dựa vào đồ thị trên các hình vẽ, hãy xét tính đơn điệu của hàm số trên mỗi khoảng được chỉ ra?. Hình 1. Trên khoảng (0;2) Hình 2. Trên khoảng (1;3) Hình 3. Trên khoảng (-2;3) y. 1. y 3. x 1. 2. 2. -1 1. x -1. 1. 2. -2. 3. -1. Hình 1:. 4. -3. Hình 2:. y. 3 2 1. x -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. -1 -2 -3 -4. Hình 3. II. I.. -5. :. DỰA VÀO DẤU ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số. Định lí: Giả sử y=f ( x )  Nếu y ' > 0, ¿0  Nếu y ' ' ¿0  Nếu y. có đạo hàm trên khoảng I = (a; b). ∀ x ∈ I thì f đồng biến trên I . , ∀ x ∈ I thì f nghịch biến trên I . , ∀ x ∈ I thì f không đổi trên I .. 3. 4.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> * Chú ý: + Trong điều kiện đủ, nếu y ' = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì kết luận vẫn đúng. + Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I gọi là hàm số đơn điệu trên I. + Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. II. Quy tắc xét tính đơn điệu Cho hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên D: Để xét chiều biến thiên của hàm số y=f ( x ) , ta thực hiện các bước sau: B1: Tìm tập xác định của hàm số. ' x B2: Tính đạo hàm y . Tìm các điểm i ( i = 1,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Xét dấu y’ B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. Cách tính nhanh đạo hàm: ax+ b ' ad−bc = ; cx +d ( cx +d )2 Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu của đạo hàm. Như vậy ta cần nắm được  Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất. (. ).  Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai 2. Cho tam thức f  x  ax  bx  c 1. Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với a. x . b b x  2a và f(x) luôn cùng dấu với a khi 2a .. 2. Nếu  0 thì f(x) có nghiệm 3. Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a.  Quy tắc xét dấu của một biểu thức. Giả sử hàm. y g  x . không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x1 , x2 , …, xn đôi một khác nhau và. x1  x2    xn . Ký hiệu I là một trong các khoảng   ; x1  ,  x1 ; x2  , …,  xn  1 ; xn  ,  xn ;   . Khi nó nếu g liên tục trên I thì không đổi dấu trên đó.. 1: Xét sự biến thiên của hàm số 1 1 y  x3  x 2  2 x  2 3 2 VD1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: . Giải * Tập xác định: D=R .  x  1 y '  x 2  x  2; y ' 0    x 2 . Ta có: * Bảng biến thiên:  x  –1 2 y’ + 0 – 0 + 19 y 6. −4 3 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;  1) và (2; ) ; nghịch biến trên khoảng ( 1; 2) ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> VD2: Xét chiều biến thiên của hàm số:. 4 y= x 3−2 x 2+ x−3 3 Giải:. - Tập xác định: D=R Ta có: y ' =4 x2 −4 x +1=( 2 x−1 )2 ≥0 ∀ x ∈ R Vậy hàm số đồng biến trên R . x2  x 1 y x 1 . VD3: Xét sự biến thiên của hàm số y' . x2  2x 2.  \  1  x  1 . Ta thấy với mọi x  TXĐ, dấu của y ' là dấu của x 2  2 x . Giải. Ta có TXĐ , Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:.  ; 0  2;   0;1 1; 2 Kết luận. f đồng biến trên  và  , nghịch biến trên   và   .. VD4: Xét chiều biến thiên của hàm số:. 2. y=√−x + 3 x −2 Giải:. - Điều kiện −x 2+3 x−2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤2 ⇒ Tập xác định: D = [ 1; 2 ] Ta có:. '. y=. −2 x +3 2. 2 √ −x + 3 x −2 3 ' y =0 ⇔−2 x+3=0 ⇔ x = 2 - Bảng biến thiên: x 1 y’ + y. , Điều kiện: 1< x< 2. 3/2 0 1 2. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng. 2 -. (1 ; 32 ). , nghịch biến trên khoảng. ( 32 ; 2). BÀI TẬP : Xét chiều biến thiên của hàm số: 7 2 5 4 10 3 3 2 BT1: a ¿ y=2 x + 5 x + x − b ¿ y=2 x +3 x +1 c ¿ y=x− 3 3 x. d). 1 y  x 4  x3  x  5 2. 4 3 2 e) y  3 x  22 x  51x  36 x  1.  x2  2 x  4 x 2 h) i) k) 2 1 x −8 x +9 BT2 (BTVN): a ¿ y= x 3−2 x 2+ 4 x−5 b ¿ y = 3 x−5. y. 2 x 1 x. y. 3x  3 2x  3. y. l). f) y =. y. 3x x 1 2. c ¿ y =√ 2 x−x 2. x2  2x  3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> −4 3 2 x + 6 x2−9 x− e) 3 3 3 g ¿ y=x+ h ¿ y=x 3 −2 x 2 + x+1 i ¿ y=√ 4−x 2 x. d ¿ y=. y=¿. √ x2−2 x+3. f ¿ y=. 1 −2 x x +1. 2. Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. - Phương pháp: Dựa vào định lí. VD1: Chứng minh rằng hàm số: f ( x )= √1−x 2 nghịch biến trên đoạn [ 0 ; 1 ] Giải: 2 Ta có điều kiện 1−x ≥ 0 ⇔−1 ≤ x ≤1. −x ' <0 ∀ x ∈ ( 0 ; 1 ) Dễ thấy, hàm số liên tục trên đoạn [ 0 ; 1 ] và có đạo hàm: f ( x )= √1−x2 Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [ 0 ; 1 ] . VD2: Chứng minh rằng hàm số f ( x )=x +cos 2 x đồng biến trên R . Giải: Dễ thấy hàm số liên tục trên R và có đạo hàm : f ' ( x )=1−2 cos x sin x =1−sin 2 x Do −1≤ sin 2 x ≤ 1⇔ 1 ≥−sin 2 x ≥−1 ⇔ 2 ≥1−sin 2 x ≥ 0 nên f ' ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ R Vậy hàm số đồng biến trên R . Chứng minh rằng: x−2 BT1: a) Hàm số y= đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. x +2 b) Hàm số f (x)=x 3−6 x 2 +17 x+ 4. đồng biến trên. R.. BT2(BTVN): a) Hàm số f ( x )=cos 2 x−2 x +3 nghịch biến trên R . b) Hàm số. y=. −x 2−2 x+3 x +1. nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.. Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định hoặc trên từng khoảng xác định cho trước. y=f ( x , m ) có tập xác định D ,(mlà tham số ) . ' ' đồng biến trên D ⇔ y ≥0 ∀ x ∈ D⇔ min y ≥ 0. 1) Cho hàm đa thức . Hàm số f. . Hàm số f. x∈D. ' y' ≤ 0 nghịch biến trên D ⇔ y ≤0 ∀ x ∈ D⇔ max x∈ D. Từ đó định lý ta có : Cho hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên ( a ; b ) . Nếu y ' ≥ 0( hoặc y ' ≤ 0) với mọi x ∈ ( a ; b ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên ( a ; b ) thì hàm số y=f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ( a ; b ) . 2) Cho hàm số y= ax3+bx2+cx+d (a # 0) (1) Có đạo hàm y’ là tam thức B2 với biệt thức  + Nếu cơ số a chứa tham số ta xét trường hợp a = 0 + Khi a khác 0 ¿ y ' ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇔ a >0 ∗y ' ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ a< 0 △≤ 0 △≤0. {. 3).Cho hàm phân thức c '  Nếu y = g ( x , m). {. y=f ( x , m ) có tập xác định D ,(m là tham số ). đồng biến trên D ⇔ y ' >0 ( c là hằng số) thì hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y ' < 0. {.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nếu. . y'=. h ( x , m) g ( x , m). đồng biến trên D ⇔ y ' ≥0 ' nghịch biến trên D ⇔ y ≤ 0. {. ( c là hằng số) thì hàm số f. Các bài toán về ĐB, NB của h/s chứa tham số ( Dành cho HS khá) BT1: Tìm m để h/s sau NB trên R :y= x3-2mx2+ m BG: y’= 3x2-6mx+3(2m-1) H/s ĐB trên R  y’ 0, x  R   ' 0  9(m-1)2 0   m BT2. Cho h/s ĐA:. y = x3 +2mx2 + (3m2 +2)x (m là tham số). Tìm m để HS luôn đơn điệu y’ = 3x2 +4mx +(3m2 +2). có  ’ = - 5m2 – 6 < 0  m . Do đó y’ > 0  m Vậy h/s trên luôn ĐB trên khoảng (. BT3..  ; ). 1 y  x 3  mx 2  ( m  6) x  (2m  1) 3 Định m để hàm số: đồng biến trên tập xác định.. Giải - Tập xác định: D=R . 2 2 2 Ta có: y '  x  2mx  m  6 có  ' m  1.(m  6) m  m  6 1> 0 a>0 ⇔ 2 ⇔−2≤ m ≤3 Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì: y ' ≥ 0 ⇔ △'≤0 m −m−6 ≤ 0 Vậy giá trị cần tìm là: m ∈ [ −2 ; 3 ]. {. {. BT4: Tìm m để các h/s sau đồng biến trên TXĐ của chúng xm a. y = 2 x  1 b. y = x3 – (m+1)x2 +(2m+2)x-5 Bài làm  1  2m 1 2 a. TXĐ : D= R\{ 2 } y’= (2 x  1). 1 1 1 1 ( ; )và ( ; ) x    1  2m  0  m  2 2 2 2 Để h/s luôn ĐB trên khoảng thì y’>0 b. TXĐ : D=R y’ = 3x2 – 2(m+1)x +(2m+2) là tam thức bậc 2 có  ’ = m2 – 4m -5 Để h/s đồng biến trên R thì y’ 0 x  R   ’ = m2 – 4m -5  0   1 m 5 BT5: Tìm m để các h/s sau nghịch biến trên TXĐ của chúng a. y= - x3+mx2-3x+5 b. y = mx3 – mx2 - 3 x +1 Lời giải : TXĐ : D=R 2 y’ =-3x2+2mx-3 là TTB2 có  m  9 2 H/s trên nghịch biến trên R  y’  0 x  R   m  9 0  -3 m 3 a. y’= 3mx2 – 2mx - 3 H/s trên NB trên R  y’=3mx2–2mx -3  0 x  R  Với m=0 thì y’= -3 <0 . Vậy h/s luôn NB trên R  Với m # 0 thì y’ là h/s bậc 2 có  ’ = m2 +9m H/s trên NB trên R  y’=3mx2–2mx -3  0 x  R. . . 3 m 0 ’  m 2 9m 0. . . m 0  9  m 0 . Kêt Luận : Vậy -9 < m 0 thì h/s NB tren R. -9 < m < 0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> BT6.Định m để hàm số:. y. (2m  1) x  3 xm đồng biến trên tập xác định. Giải. ¿ D=R {−m ¿ ¿ . (2m  1)m  3 2m 2  m  3 y'   2 2  x  m  x  m. -Tập xác định:. Ta có:. .. Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì: Vậy giá trị cầm tìm là: m ∈ (−∞ ;−1 ) ∪. '. 2. y > 0 ⇔ 2 m −m−3>0 ⇔. [. m←1 3 m> 2. ( 32 ;+ ∞). ' ' y ≥ 0 vì tử số của y là một hằng số, ' đẳng thức y =0 xảy ra ở vô số điểm do đó nếu 2 m2 −m−3=0 thì , nên định lý 3 không áp dụng ' y =0 , ∀ x ∈ D¿ được). Lúc này hàm số y là một hàm hằng..  Chú ý: Ở đây ta không dùng. 1 3 2 a) Tìm các giá trị của tham số a để hàm số f ( x )= x +a x + 4 x +3 đồng biến trên 3 2mx  m b) Tìm m để hàm số y = x  m nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. BTVN:. R.. 3 2 c) Cho hàm số: y  x  ( m  2) x  ( m  1) x  2 (1) .Tìm m để Hs đồng biến trên tập xác định của nó.. (m  2) x  3 xm d) Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số.. PHẦN TRẮC NGHIỆM y. 2x  1 x  1 Kết luận nào sau đây là đúng?. Câu1 : Cho hàm số A. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên biến R ; B. Hàm số luôn luôn đồng biến trên biến R C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +); D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +). Câu 2: Trong các hàm số sau, những hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: 2 x 1 y ( I ) , y  x 4  x 2  2( II ); y  x 3  3 x  5 ( III ) x 1 A. ( I ) và ( II ) B. Chỉ ( I ) C. ( II ) và ( III ) D. ( I ) và ( III) Câu 3: Khoảng nghịch biến của hàm số A. (−∞ ; −1 ). B. (-1 ; 3). C.. Câu 4: Khoảng nghịch biến của hàm số A. C.. (−∞ ; −√ 3 )∪( 0 ; √ 3 ) ( √ 3 ; +∞ ). Câu 5: Khoảng đồng biến của hàm số A.. (−∞ ; 1 ). B. (0 ; 1). 1 y= x 3 −x 2−3 x 3. ( 3 ; +∞ ). là: D.. (−∞ ; −1 )∪( 3 ; +∞ ). 1 y= x 4 −3 x 2 −3 2 là: B.. (0 ; − √23 )∪( √23 ; +∞). D.. (−√ 3 ; 0 ) ∪( √ 3 ; +∞ ). y=√ 2 x−x 2. là:. C. (1 ; 2 ). D.. ( 1 ; +∞ ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Câu 6: Trong các hàm số sau , hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (1 ; 3) ? 2. x−3 y= x−1. A.. x −4 x +8 y= x−2. B.. 2. y=x −4 x +5. 2. y=2 x −x. C.. 4. D.. 3. Câu 7: Cho hàm số f (x )=x −3 x +2 . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng . A. f(x) giảm trên khoảng ( - 1 ; 1). B. f(x) giảm trên khoảng. 1 2. ( ) ( 12 ; 3) −1 ;. C. f(x) tăng trên khoảng (-1 ; 3) C. f(x) giảm trên khoảng 3 2 Câu 8 : Hàm số : y  x  3x  4 nghịch biến khi x thuộc khoảng nào sau đây: A. ( 2;0) B. ( 3;0) C. ( ;  2) D. (0; ) Câu 9 : Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R? A.. . 2. . x. y. 2. y  x  1  3x  2. 2. x 1. B.. C.. y. x x 1. D. y=tgx. 2. Câu 10 :Hàm số y  2  x  x nghịch biến trên khoảng A.  1 / 2;2  B.   1;1 / 2  C. (2; ). D.(-1;2). 2. x y 1  x đồng biến trên các khoảng Câu 11: Hàm số. A. (−∞ ; 0 ) và (1;2). B. (−∞ ; 0 ) và ( 2 ;+∞ ). D. (−∞ ;−1 ) và (1 ;+ ∞ ). C.(0;1) và (1;2). y x3  3x 2  4 đồng biến trên khoảng nào ?  ;0  và  2;  C.   ;1 và  2;  B. . Câu 12: Hàm số A..  0;2 . Câu 13: Hàm số A..   1;0 . D..  0;1. y x 4  2 x 2  1 đồng biến trên khoảng nào ? B..   1;0 . và.  1; . C..   ;1. và.  2;. D.. y x3  3 x 2 nghịch biến trên khoảng nào ?  ;  2  0;   2;0 A.  B.  C. .  0;1. Câu 14: Hàm số. x3 y   x2  x 3 Câu 15: Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?  ;1 1;  A. R B.  C. . y Câu 16: Các khoảng nghịch biến cuả hàm số A..   ;1. ¿(1 ;+ ∞). B..  1;. D.. D..   ;1. 2x 1 x  1 là:  2;0 C. . D..  0;4 . và.  1;.  0;4 . y x3  3x 2  9 x  12 . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai  ;  2  A. Hàm số tăng trên khoảng  B. Hàm số giảm trên khoảng (-1;2). Câu 17: Cho hàm số. C. Hàm số tăng trên khoảng.  5;. D. Hàm số giảm trên khoảng. x2  x  1 y x  1 là: Câu 18: Các khoảng đơn điệu của hàm số A. ĐB trên các khoảng (−∞ ; 1−√ 3 ) và ( 1+ √ 3 ;+ ∞) , NB trên các khoảng ( 1− √3 ; 1 ) và ( 1 ; 1+ √ 3 )  ;1 nghịch biến trên khoảng  0;2  B. Đồng biến trên khoảng .

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  2; nghịch biến trên khoảng  0;2  2;  nghịch biến trên khoảng  0;1 D. Đồng biến trên khoảng  C. `Đồng biến trên khoảng. Câu 19: Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên R: A.. y tan x. B.. 3. 2. y x  x  x. y C.. Câu 20: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng. x2 x 5. y D.. 1 2x.  1;3 :. 2 2x  5 1 y  x3  4 x 2  6 x  10 y y  x2  2 x  3 3 x 1 2 A. B. C.. x2  x  1 y x 1 D.. Câu 21: Hàm số nào sau đây chỉ đồng biến trên khoảng (-1;5):. 1 y  x3  3 x 2  5 x  2 3 A.. y B.. x 2 x2  x  1. y x  C.. 1 x. Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R : 3. 2. B. y  x  2x  10x. A. y cos x. 4. 2. C. y  x  x  1. D.. y x 2  2 x  5. D.. y. x 2 x 3. Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng (1; 3)? 2x  5 y x 1 A.. Câu 28. Hàm số. 1 y  x2  2x  3 2 B. y. 2x  5 x  3 đồng biến trên:. B.   ; 3. A. R. y  Câu 29: Hàm số A. m  1. 2 x2  x  1 y  x 3  4x2  6x  9 y 3 x 1 C. D.. C.   3;  . D. R \   3. 1 3 x   m  1 x  7 R 3 nghịch biến trên thì điều kiện của m là: B. m 2 C. m 1 D. m 2. 1 y  x 3  (m  1) x 2  (m  1) x  1 3 Câu 30. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó khi: m  4 −2≤ m ≤−1 A. B. C. m  2 D. m  4. Câu 14. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng (1; 3)? 2x  5 y x 1 A.. Câu 15. Hàm số m   1  A.  m  1. 1 y  x2  2x  3 2 B. y. 2 x2  x  1 y  x 3  4x2  6x  9 y 3 x 1 C. D.. x  m2 x  1 luôn đồng biến trên các khoảng   ;  1 và   1;   khi và chỉ khi:. B.  1 m 1. C. m. D.  1  m  1. 1 y  x 3  mx 2   m  6  x   2m  1 3 Câu 16. Tìm các giá trị của m để hàm số : luôn đồng biến trên R?. A. m  2. B. m 3. C.  2 m 3. D. m  2 hoặc m 3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Câu 17: Hàm số A. 1. y  x3  3mx  5 nghịch biến trong khoảng   1;1 thì m nhỏ nhất bằng: B. 2. y  Câu 18: Hàm số A. m  1. C. 3. 1 3 x   m  1 x  7 R 3 nghịch biến trên thì điều kiện của m là: B. m 2 C. m 1 D. m 2. Câu 19. Các giá trị nào của m để hàm số A. m  1. D. -1. y.  m 1 x  2m  2 x m. nghịch biến trên khoảng.  m 1  C.  m  2. B. m  2.   1;  . D. 1 m  2. mx2  x  m y mx  1 Câu 20. Cho hàm số (m là tham số). Giá trị của m để hàm số ĐB trên khoảng.  0;  là: A. m   1; 2. B. m    5; 5. D. m   0;1. C. m   0;1. Câu Đáp án. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Câu Đáp án. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên của hàm số để chứng minh BĐT Phương pháp: B1: Đưa BĐT về dạng f ( x ) ≥ M , x ∈ ( a ,b ) B2: Xét tính đơn điệu của hàm f ( x ) Tính chất 1: Giả sử hàm số y=f ( x ) tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng ( a , b ) ta có : f ( x )=f ( y ) ⇔ x= y ( với x , y ∈ ( a ,b ) ) -. Tính chất 2: Giả sử hàm số. y=f ( x ) tăngtrên khoảng ( a , b ) ta có :. f ( x ) <f ( y ) ⇔ x < y ( với x , y ∈ ( a , b ) ) -. Tính chất 3: Giả sử hàm số. y=f ( x ) giảm trên khoảng ( a ,b ) ta có :. f ( x ) <f ( y ) ⇔ x > y ( với x , y ∈ ( a , b ) ) -. Tính chất 4: Nếu hàm số. y=f ( x ) tăng trên khoảng ( a , b ) và y=g ( x ) là hàmhằng hoặc. là một hàm số giảm trênkhoảng ( a ,b ) thì phư. ơngtrình f ( x )=g ( x ) có nhiều nhất một. nghiệm thuộc khoảng ( a , b ) . Suy ra, nếu có f ( x )=g ( x ) có nghiệm duy nhất trên ( a , b ) .. x 0 ∈ ( a , b ) sao cho f ( x 0 ) =g ( x 0 ) thì phư. ơngtrình. Chú ý: 1) Đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng f ' ( x ) ≥ 0 hoặc f ' ( x ) ≤0 , ∀ x ∈ [ a ,b ] . Khi đó, chúng ta hãy liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x. 2) Bất đẳng thức Côsi : -. Với 2 số thực không âm: a+b ≥ 2 √ ab , Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a =b.. -. Với n số thực không âm: a1 +a 2+ …+an ≥ n √n a1 . a 2 . … . an Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi. a1=a2=…=a n .. VD1: Chứng minh rằng: a ¿ sin x< x , ∀ x >0 b ¿ sin x > x , ∀ x< 0 Giải π a) Xét hàm số f ( x )=sin x−x trên khoảng 0 ; 2 π ' Ta có f ( x )=cos x−1<0 , ∀ x ∈ 0 ; 2 π π ⇒ Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng 0 ; . Do đó f ( x ) <f ( 0 )=0 ⇒sin x < x , ∀ x ∈ 0 ; 2 2 Vậy sin x < x , ∀ x> 0 (đpcm).. ( ). ( ). ( ). ( ).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> b) Do x< 0 ⇔−x> 0 . Mà sin (−x ) ←x , ∀ (−x ) >0 ⇔−sin x ←x , ∀ x <0 ⇔ sin x > x , ∀ x< 0 (đpcm) x3 x− <sin x , ∀ x> 0 6. VD2: Chứng minh rằng:. Giải: 3. Xét hàm số f ( x )=x− Ta có: f ' ( x )=1−. x −sin x trên khoảng ( 0 ;+∞ ) . 6. x2 −cos x 2. '' f ( x ) =−x+ sin x Do sin x< x , ∀ x >0 ⇒−x +sin x< 0 , ∀ x >0 (theo VD1). Nên f ' ' ( x )< 0, ∀ x >0 ⇒ Hàm số f ' ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0 ;+ ∞ ) ⇒ f ' ( x ) <f ' ( 0 ) =0, ∀ x >0 Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0 ;+ ∞ ) ⇒ f ( x ) < f ( 0 )=0 x3 ⇒ x− −sin x <0, ∀ x>0 6 x3 Vậy x− <sin x , ∀ x> 0 (đpcm) 6 BT1: Chứng minh các BĐT sau: x3 x < x−¿ , ∀ x <0 6 2 x a ¿ cos x >1− , ∀ x ≠0 b ¿ sin ¿ 2 c¿. sinx + tanx. ¿. 2x , ∀ x. ¿. π (0 ; 2 ). d) tanx. ¿.  x , (0 < x < 2 ). BT2: Cho hàm số f ( x ) = 2sinx + tanx – 3x , chứng minh rằng:    0; 2  a) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2 sin x  tan x  3 x, x  (0; ) 2 b) BT3(BTVN): Cho hàm số f ( x ) t anx - x , chứng minh:   x3  0; tan x  x  , x  (0; )   2  3 2 a) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng b).

<span class='text_page_counter'>(12)</span>