Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (760.87 KB, 26 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đây là trích 1 phần tài liệu gần 1000 trang của cuốn “Công Phá Toán Tập 2” Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word “Công Phá Toán Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT a Cho các véc tơ tùy ý , b, c và k , l .. 1. Cộng véc tơ:. O Lấy điểm tùy ý trong không gian, vẽ OA a, AB b, thì OB a b Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K bất kỳ thì MN MK KN a b a ( b ) 2. Trừ véc tơ: Quy tắc ba điểm: MN KN KM . . Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD . . . . . Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABC D ta có AC AB AD AA . 3. Tích véc tơ: a k . a k Tích của véc tơ với một số thực là một véc tơ. Kí hiệu là +) Cùng hướng với a nếu k 0 . . +) Ngược hướng với a nếu k 0 . +). k .a k . a. . . . . Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B, O tùy ý thì OA OB 2OI . 4. Tích vô hướng của hai véc tơ. a.b a . b .cos a, b. .. +) Định nghĩa: . . . +) Hệ quả: a b a.b 0 . +). 2 2 a a.a a. .. +) Với ba điểm A, B, C ta có. AB. AC . AB 2 AC 2 BC 2 2 ..
<span class='text_page_counter'>(3)</span> . . . +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b . Gọi a là hình chiếu vuông góc của a trên đường . . thẳng chứa b thì: a.b a.b .. a 5. Định nghĩa: Ba véc tơ , b, c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một. mặt phẳng. 6. Các định lý: . . . . . a) Cho a, b không cùng phương: a, b, c đồng phẳng m, n : c ma nb ( với m, n xác định duy nhất). a b) Nếu ba véc tơ , b, c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng: x ma nb kc với m, n, k xác định duy nhất.. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD . . . . . . . Đặt AB b, AC c, AD d . Phân tích véc tơ MG theo d , b, c . . 1 1 1 MG b c d 6 3 3 . A. 1 1 1 MG b c d 6 3 3 C. .. 1 1 1 MG b c d 6 3 3 . B. . 1 1 1 MG b c d 6 3 3 . D.. Lời giải Đáp án A.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> . 1 1 1 1 1 MG MB MC MD . AB MA AC MA AD 3 3 2 3 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 AB MA AC AD AB . AB AC AD 6 3 3 3 6 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 AB AC AD b c d 6 3 3 6 3 3 Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào. . . . . . sau đây sai?. . . 1 MN AD BC B. 2 . D. MC MD 4MN 0 .. . AD BC . A. AC BD AC BD AD BC 4 NM . C.. . . Lời giải: Đáp án D. . AC BD AD DC BC CD AD BC A.Đúng vì: . AC BD AM MN ND BM MN NC B. Đúng vì: 2MN AM BM ND NC 2MN AC BD AD BC 2 AN 2 BN 2 AN BN 2 NA NB 4 NM. . C.Đúng vì: Vậy D sai. . . . . . . . . . . Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD AC . Giá tri của. . cos AB, CD. . .. là:.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 A. 2 .. B. 0 .. . C.. 1 2.. 3 D. 2 .. Lời giải: Đáp án B. Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN CD . Tam giác ACD cân tại A nên AN CD ta có: AB.CD AB.CD AN NB .CD AN .CD NB.CD 0 cos AB, CD 0 AB . CD. . Ví dụ 4.. . . . .. Cho tứ diện đều ABCD có AB CD a; BC AD b; CA BD c . Giá trị của a2 c2 2 A. b .. b2 c 2 2 B. a .. c2 a2 2 C. b .. cos BC , DA. . là:. a 2 b2 2 D. c .. Lời giải Chọn A. BC.DA BC DC CA CB.CD CB.CA. . . 1 1 CB2 CD2 BD 2 CB2 CA2 AB 2 2 2 1 1 AB 2 CD 2 BD 2 CA2 2a 2 2c 2 a 2 c 2 2 2 2 2 a c a 2 c2 cos BC , DA 2 . b BC . DA . . . Vậy. a cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng? Ví dụ 5. Trong mặt phẳng A. AC BD AB CD . B. SA SC SB CD (VớiS là điểm tùy ý). C. Nếu tồn tại điểm S mà SA SC SB SD thì ABCD là hình bình hành. D. OA OB OC OD 0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD . Lời giải. Đáp án C.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> . . . . . . . . . A. Sai vì AC BD AB CD AC AB DC DB 0 B C (Vô lí). AC và BD . Ta có B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của . SA SC 2SO và SB SD 2SO ' SO SO ' O O ' điều này không đúng nếu ABCD. không phải là hình bình hành. C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.. Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm của hình bình hành ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng? , AB và A ' D ' . A. MO, AB và B ' C . B. MO MO , DC ' MO , A ' D B ' C C. và . D. và B ' C ' . Lời giải Đáp án A. MO // CDA ' B ' ; AB / / A ' B ' AB // CDA ' B ' , B ' C ' nằm trong mặt phẳng CDA ' B ' nên các vecto MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng. Cách 1: Ta có. CDA ' B ' . Cách 2: Ta có. . MO . 1 1 1 1 1 A ' B ' B ' C A ' B ' B ' C ' AB B ' C A'C 2 2 2 2 .. . . . . Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng. Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng? BC , BD , AD . ; AD; MN . A. B. AC C. BC ; AD; MN . D. AC ; DC ; MA. Lời giải Đáp án C.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> . AD AM MN ND BC BM MN NC 1 1 AD BC 2MN MN AD BC 2 2 Vậy ba vecto BC ; AD; MN . đồng phẳng. Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB 2MA . N là điểm trên đường thẳng CD mà CN kCD . Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là: 2 3 4 1 k k k k 3. 2. 3. 2. A. B. C. D. Lời giải Đáp án A. M vẽ mặt phẳng song song với AD và BC .. Qua. cắt. Các. AC tại P , BD tại Q và CD tại Ta có MP //PN //AD . vecto MN , AD, BC có giá song song hay. nằm. trong mặt phẳng. N.. . nên đồng phẳng.. 2 2 CN CD k 3 3. Ta có . Vậy 1 AM AD. N là điểm 2 Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho trên đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng. MN NP Tính. 1 A. 3 .. .. 2 B. 3 .. 1 C. 2 . Lời giải. 3 D. 4 ..
<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đáp án B. Đặt. AB a, AD b, AA1 c. BN xBD1 ; CP yCC1 yc. và. .. STUDYTIP MN , NP a Ta biểu thi hai vecto theo các vecto , b, c. MN .NP 1 M , N , P Ba điểm thẳng hàng nên . Ta có: MN MA AB BN 1 1 b a xBD1 b a x BA BC BB1 3 3 1 1 b a x a b c 1 x a x b xc 2 3 3 . . . . . Ta lại có:. . NP NB BC CP xBD b yc x b a c b yc 1 NP xa 1 x b y x c 3. . . Thay (2), (3) vào (1) ta được:. 1 x x 1 x 1 x 2 3 3 3 ,x ,y x y x 3 5 2. . Giải hệ ta được MN 2 NP 3. Vậy. .. Ví dụ 10. Equation Chapter 1 Section 1Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của. các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ MG Khi đó cos có giá trị là: 2 A. 2. 2 B. 3. Đáp án: C Lời giải: . AB a ; AC b; AD c; Đặt. 2 C. 6. 1 D. 2. . và. NP ..
<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 1 AG (a b c) MG AG AM ( a 2b 2c) 3 6 1 PN AN AP (a b c) 2 Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1 1 0 a b c 1 a.b b.c c.a 1.1.c os60 2 và MG.PN cos cos( MG , PN ) (*) MG . PN 1 MG.PN ( a 2b 2c )(a b c) 12 Ta có: 2 2 2 1 1 ( a ab ac 2ab 2b 2bc 2ac 2bc 2c ) 12 12 1 1 1 2 MG ( a 2b 2c) 2 ; PN (a b c)2 6 2 2 2. Thay vào (*) ta được 1 1 2 cos 12 . (*) 6 1 2 3 2 . 2 2. C.Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1:. ABCD. A1 B1C1 D1 Cho là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 AK AB AD AA1 AK AB BC AA1 2 A. B. 1 1 AK AB AD AA1 2 2 C. AK AB AD AA1 D. Hướng dẫn giải . 1 1 AK AC CK ( AB AD ) AA1 AB AD AA1 2 2 Có.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> B. A. C. D. K. A1. B1. C1. D1. Chọn A. Câu 2:. ABCD. A1 B1C1 D1 M CD1 C1 D Cho hình hộp với . Khi đó: 1 1 1 1 1 AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 2 2 2 2 2 A. B. 1 1 1 AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 2 2 2 C. D. Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1) 1 1 1 AM AD DM AD DC1 AD ( DC DD1 ) AD AB AA1 2 2 2 Ta có: Chọn B. Câu 3:. Cho hình hộp A. 1800. ( D1 A1 , C C1 ) (C1 B, DD1 ) ( DC1 , A1 B). ABCD. A1 B1C1 D1. . Khi đó: tổng 3 góc B. 2900 C.3600 Hướng dẫn giải. B. A. C. D. A1. D1. K. B1. C1. Ta có: ( D1 A1 , C C1 ) 900 (C1 B, DD1 ) (C1 B, CC1 ) 1350 ( DC1 , A1 B ) ( DC1 , D1C ) 900 ( D1 A1 , C C1 ) (C1 B, DD1 ) ( DC1 , A1 B) 90 0 1350 900 3150. D. 315. 0. là:.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chọn D Câu 4:. Cho hình lập phương Khi đó: là : A. 3600. ABCD. A1 B1C1 D1 B. 3750. ( AC , DC1 ); ( DA1 , BB1 ); ( AA1 , C1C ) , đặt. C. 3150 Hướng dẫn giải. D. 2750. ( hình câu 3) ( AC , DC1 ) ( AC , AB1 ) 600 ( DA1 , BB1 ) ( DA1 , A1 A) 1350 ( AA1 , C1C ) ( AA1 , A1 A) 1800. 600 1350 1800 3750 Chọn B. Câu 5:. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB. AD 12 . Tính ( SC. SA) 2 . A. 76. B. 28. C. 52 Hướng dẫn giải. D. 40. S. A 6 B. 4. D. 4 7.42 cm C. 2 2 2 ( SC. SA) 2 . AC ( AB AD) AB AD 2 AB. AD. 62 42 2( 12) 28 Chọn B Câu 6:. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng a , b , c c ma n b , với m, n là các số duy nhất B. Ba vectơ đồng phẳng thì có C. Ba vectơ đồng phẳng khi có d ma n b pc với d là vec tơ bất kỳ D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai Hướng dẫn giải -Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó a Phương án B: Sai , b phải không cùng phương. Phương án C sai.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> Vậy chọn D Câu 7:. Chọn D Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 OG (OA OB OC ) 4 A. B. GA GB GC 0 2 1 AG ( AB AC AD) AG ( AB AC AD) 3 4 C. D. Hướng dẫn giải. A. M G D. B N C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củaAB, CD G là trung điểm của MN GM GN 0 GA GB GC 0 B đúng OA OB OC OD OG GA OG GB OG GC OG GD Ta có: 4OG (GA GB GC GD ) 4OG A đúng Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C. Chọn C Câu 8:. a , b , c x 2 a b ; y 4 a 2 b ; z 3 a 2 c Cho ba vectơ không đồng phẳng xét các vectơ Chọn mênh đề đúng trong các mệnh đề sau: , z cùng phương A.Hai vec tơ y x , B. Hai vec tơ y cùng phương C.Hai vec tơ x, z cùng phương D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng. Hướng dẫn giải. . y 2 x Ta thấy nên x, y cùng phương. Chọn B Câu 9. :. ABCD. A1 B1C1 D1 Cho hình lập phương , Tìm giá AB B1C1 DD1 k AC1 ) A.k=4 B. k=1 C. k=0. trị. của. k. thích. D. k=2. hợp. để.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> Hướng dẫn giải. A1. D1. B1. C1. B. A. C. D. AB B1C1 DD1 AB BC CC1 AC1 k 1. Có Chọn B. ABC. A1 B1C1. Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.. a A. b c d 0 b C. c d 0. . Đặt. AA1 a; AB b; AC c; BC1 d. a B. b c d a D. b c. Hướng dẫn giải. C. A B1 B. 1. B. C1 A1 B1. b c d AB AC BC CB BC 0. Ta có: Chọn C Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A.Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng. trong các.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> a 0 thì ba vectơ đồng phẳng B.Nếu ba vectơ , b, c cómột vec tơ a , b C.Nếu giá của ba vectơ , c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng D.Nếu trong ba vectơ a, b, c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Hướng dẫn giải Chọn A. ABCD. A1 B1C1 D1 Câu 12: Cho là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai: 1 A1C 2 AC 1 CA1 2CC1 0 A. AC B. AC C. AC1 A1C AA1 D. CA1 AC CC1 Hướng dẫn giải. A. D. B. C A1. D1. . B1. C1. AC1 A1C AA1 AC1 AA1 AC1 A1C C1 A1. Ta có: Chọn C Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:. . . . . . A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA 0. . AB CD B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD Hướng dẫn giải Chọn C ' ' ' ' ' ' Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A B C D Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB A và BCC ' B ' . Khẳng định nào sau đây là sai? A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng 1 1 IK AC A' C ' 2 2 B. C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng. . . . D. BD 2 IK 2 BC.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> Hướng dẫn giải Chọn C Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? , AC , MN không đồng phẳng A.Các vec tơ BD , DC , PQ đồng phẳng B. Các vec tơ MN C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng D. Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng Hướng dẫn giải. A. P M E. B. F Q. N. D. C. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD 1 NE / / AB, NE 3 AB NE / / MF , NE / / MF MF / / AB, MF 1 AB 3 NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MFNE) BA, DC , MN đồng phẳng BD, AC , MN không đồng phẳng. Chon A Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: a2 3 AB. AC 2 A. AD CD BC DA 0 B.. C. AC. AD AC.CD. D. AD.CD 0. Hướng dẫn giải.
<span class='text_page_counter'>(16)</span> ( sử dụng hình câu 7) Phương án A: AD CD BC DA ( AD DA) ( BC CD) 0 BD 0 A sai 2 a AB. AC a.a.c os600 = B 2 Phương án B: sai 2 Phương án B AC. AD AC.CD AC ( AD DC ) 0 AC 0 C sai Chọn D. ABCD. A1 B1C1 D1 Câu 17: Cho hình lập phương . Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng: 1 C1 M C1C C1 D 1 C1 B1 B1 M B1 B B1 A 1 B1C1 2 A. B. 1 1 C1 M C1C C1 D 1 C1 B1 BB B A B1C 1 2 B1 D 1 1 1 2 2 C. D. Hướng dẫn giải. A. a. B a. M D. C A1. B1. C1. D1. 1 C1 M C1 D1 D1 D DM C1 D1 C1C C1 B1 2. Ta có Chọn B. GA GB GC 0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?. . . 2OG A. GA C. GA 3OG. . . 4OG B. GA D. GA 2OG.
<span class='text_page_counter'>(17)</span> A. N G B. M. O. H. D. C. Hướng dẫn giải Gọi M, N là trung điểm của BC, AD G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD NH là đường trung bình của AOD và OG là đường trung bình của MNH 1 1 1 1 1 OG NH . AO OG NH . AO 2 2 2 2 4 hay GA 3OG Chọn C Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau, khẳng định nào sai? AB , , MN đồng phẳng A.Các vec tơ DC , AB, AC không đồng phẳng B. Các vec tơ MN C. Các vec tơ AN, CM , MN đồng phẳng D. Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A. M P B. Q. D. N C. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD Ba vec tơ AB, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ A đúng này đồng phẳng AB, AC , MN không đồng phẳng B đúng Ba vec tơ Ba vec tơ AN , CM , MN có giá không thể song song với mặt phẳng nào C sai Chọn C.
<span class='text_page_counter'>(18)</span> ' ' ' ' Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. A B C D , có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:. . A. AD '.CC ' a. . 2. B. AD '. AB ' a AC a 3 D. Hướng dẫn giải. C. AB '.CD ' 0. A. a. 2. Xết phương án A có:. B a. D. C A'. B'. C'. D'. AD '.CC ' AD '.AA ' AD ' . AA ' cos450 a 2 Chọn A Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c AB). Gọi là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN c 2 AB 2 c 2 AB 2 A. 2(1 cos ) B. 2(1 cos ) c 2 AB 2 2(1 cos ) C.. c 2 AB 2 D. 2(1 cos ) Hướng dẫn giải.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> x M A. B N. 2 c 2 MN 2 MN ( MA AB BN ) 2 Ta có: AM 2 AB 2 BN 2 2 AM .BN AM 2 AB 2 BN 2 2 AM .BN .c os. AB 2 2 AM .BN .(1 cos ). AM .BN . . c 2 AB 2 2(1 cos ). c 2 AB 2 Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng 2(1 cos ). Chọn A. Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc 1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau tạo nên. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b . Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ). 2. Phương pháp Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác..
<span class='text_page_counter'>(20)</span> Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức u.v cos cos u , v . u.v. . Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . 0. 0 B. 30 .. A. 45 . Đáp án A.. 0 C. 60 .. 0 D. 90. Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và. MN //AC nên:. , AP AC, MN AP . Ta tính góc PAC .. Vì ADP vuông tại D nên 2. a 5 a AP AD DP a 2 . 2 2. 2. 2. 2. a 5 3a AP AA AP a 2 2 AAP vuông tại A nên . 2. CC P vuông tại C nên. 2. 2. CP CC 2 C P 2 a 2 . a2 a 5 . 4 2. Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có: CP 2 AC 2 AP 2 2 AC. AP.cos CAP 1 cos CAP 2 cos CAP 45 90 Nên. Phương pháp 2: Ta có. 45 AC; AP CAP. hay. AP 45 MN; . Chọn A.. MN . AP cos MN , AP * MN . AP MN . AP .cos MN , AP MN . AP. Ta có:. . MN . AP MB BN. . . . AA AD DP . .
<span class='text_page_counter'>(21)</span> MB. AA MB. AD MB.DP BN .AA BN . AD BN .DP a a a 3a 2 0 0 . 0 .a 0 1 2 2 2 4 . a 2 3a 3 2a 2 MN . AP . 2 2 2 4. 3a 2 1 cos MN , AP 4 2 MN , AP 450. 3 2a 2 1 , 2 4 Thay vào ta được:. . . Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng MN a 3. Tính góc của AB và CD . 0. A. 45 .. 0 B. 30 .. 0 C. 60 .. 0 D. 90 .. Đáp án C. Lời giải. Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM IN a . Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: IM 2 IN 2 MN 2 a 2 a 2 3a 2 1 cos MIN MIN 1200 2.IM .IN 2.a.a 2 . Vì. IM / / AB, IN / / CD AB, CD IM , IN 1800 1200 600. .. Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A ,. AB a , AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA , BC . Lời giải Chọn D.
<span class='text_page_counter'>(22)</span> Phương pháp 1: Gọi H là trung điểm của BC , là góc giữa AA và BC . Ta có AA / / BB và BC / / BC nên góc giữa. , BC AA, BC BB .. Ta tính góc BBH 2 2 2 2 ABC vuông tại A nên ta có: BC AB AC a 3a 2a .. 1 AH BC a AH AA2 AH 2 4a 2 a 2 a 3 2 .. Vì. AH ABC . nên ABH vuông tại A. BH AH 2 AB2 a 2 3a 2 2a . BB 2 BH 2 BH 2 4a 2 a 2 4a 2 1 cos B BH 2 BB.BH 2.2a.a 4 Chọn A Phương pháp 2: Ta có AH HA .BC AA.BC AH .BC HA.BC AH .BC cos cos AA; BC 2a.2a 4a 2 4a 2 AA . BC . . . . . 1 1 1 AB AC AC AB AC 2 AB 2 3a2 a2 1 2 2 2 4a 2 4a 2 4a 2 4.. . . . Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM . 3 3 3 2 A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B ; BM AC ; BM MN N MN // AC AD Cách 1. Gọi là trung điểm ta có: . Ta tính góc. . a 3 BM BN BMN 2 (trung tuyến tam giác đều). . Ta có: AC a MN 2 2.. Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được: cos BMN . BM 2 MN 2 BN 2 MN 3 0 2 BM .MN 2 BM 6 .. 3 cos AC; BM . 6 Vậy. . . . .
<span class='text_page_counter'>(23)</span> AC. CM CB AC.BM cos cos AC , BM a 3 AC . BM a. 2 Cách 2.. . AC.CM AC.CB . a2 3 2. . . . a2 a2 a a2 a. cos120 0 a.a.cos120 0 4 2 2 4 3 6 a2 3 a2 3 a2 3 2 2 2 .. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1. Định nghĩa. Nếu đường thẳng. a P. P bằng 900 . thì góc giữa đường thẳng a và. P thì góc giữa đường thẳng a và P là góc giữa Nếu đường thẳng a không vuông góc với a và hình chiếu a của a trên P . a. a'. P. 2. Phương pháp tính.. SA ABCD Ví dụ 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , và SA a 6 . SAB , là góc giữa AC và SBC . Giá trị tan sin bằng? Gọi là góc giữa SC và 1 7 A. 7 .. 1 19 7 . B.. C.. Hướng dẫn giải Chọn C.. 7 21 7 .. 1 20 7 D. ..
<span class='text_page_counter'>(24)</span> SAB ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB . Ta Để xác định góc giữa SC và BC AB SAB , B là hình chiếu của C trên SAB vì BC SA . có: S là hình chiếu của S trên SAB SC , SAB B SC . Vậy SB là hình chiếu của SC trên a 1 SC BC tan tan B SB 7. SA2 AB 2 SBC vuông tại B. BC SAB Kẻ AH SB tại H mà nên AH BC .. AH SBC HC SBC là hình chiếu vuông góc của AC trên AC , SBC ACH . 1 1 1 a 6 2 AH 2 2 AS AB 7 . SAB vuông nên AH AH 21 sin sin ACH ACH vuông tại H AC 7 .. Vậy. tan sin . 7 21 7 .. Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S . ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung. ABCD bằng 60 . Tính góc giữa MN và SAO . điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và arcsin A.. arcsin C.. 1 2 5.. arcsin B.. 3 2 5.. arcsin D. Lời giải. Chọn A.. 1 5. 1 4 5..
<span class='text_page_counter'>(25)</span> Gọi P là trung điểm của AO MP là đường trung bình của SAO MP / / SO MP ABCD Góc giữa MN và ABCD bằng góc MNP 60 . Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: 2. NP 2 CN 2 CP 2 2CN .CP.cos 45 . a2 3 a 3 1 a 2 2. . a 2. 4 4 2 4 2 . 2. a 2 9a 3 2a 2 11a 2 3a 2 5a 2 + 4 8 8 4 8 4 2 Trong tam giác vuông MNP ta có : PN 5 15 15 MN .a PM NP.tan 60 a SO 2 MP .a cos 60 2 và 8 2 . Gọi H là trung điểm CO NH / / BD NH AC . MN , SAC NMH NH SO NH SAC Mà do đó . 1 a 2 MN 5a HN OB 2 (tính trên) 2 4 , Ta có : . NH 1 MN 2 5 . Nên nếu gọi là góc giữa MN và SAO thì: Vậy trong MHN ta có : 1 1 arcsin sin 0 2. 2 5 2 5 hay sin NMH . Đây là trích 1 phần tài liệu gần 1000 trang của cuốn “Công Phá Toán Tập 2” Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word “Công Phá Toán Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy.
<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM.
<span class='text_page_counter'>(27)</span>