Ung dung cua tich phan Le Ba Bao File Word

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG. CHUYÊN ĐỀ: Chủ đề 3:. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC. Ứng dụng 1:. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. I. LÝ THUYẾT Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn.  a;b , trục. b. hoành và hai đường thẳng x = 1, x = b được tính theo công thức. S f  x  dx a. (1). Minh họa các dạng thường gặp:. f  x  0, x   a;b . f  x  0, x   a;b . b. b. S   f  x   dx. S f (x)dx. a. a. x g  y . , diện tích S. x g  y  của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên  a;b , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b được tính đoạn b. theo công thức. S g  y  dy a. (2). không mang 1 dấu trên.  a;b. b. b. S f (x)dx    f  x   dx a. Lưu ý:. Bằng cách xem x là hàm số của biến y, tức. f  x. c.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên.  a;b. và. b. hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức. S f  x   g  x  dx a. (3). Minh họa các dạng thường gặp:. f  x  g  x  , x   a;b . f  x  g  x  , x   a;b . f  x  g  x  , x   a;c  ; f  x  g  x  , x   c;b  ;  a  c  b . b. S  f  x   g  x   dx a. b. S  g  x   f  x   dx a. c. b. S  f  x   g  x   dx   g  x   f  x   dx a. c. Lưu ý:. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại. Bài toán 3: Hình phảng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong Diện tích S của hình phẳng giới hạn các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần ta có thể tích theo công thức (1), (2), (3) và (4). Minh họa các dạng thường gặp:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> f  x  h  x  , x   a;c . f  y  g  y  ; y   a;c  ;. g  x  h  x  , x   c;b  ;  a  c  b . f  y  h  y  ; y   c;b  ;  a  c  b . c. c. b. S  f  x   h  x   dx   g  x   h  x   dx a. c. b. S  f  y   g  y   dy   f  y   h  y   dy a. c. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại b. S f  x   g  x  dx. a Chú ý: Khi áp dụng công thức (3): , ngoài việc khử dấu GTTĐ như phương pháp đã trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau: f  x   g  x  0  a;b , giả sử có các nghiệm Bước 1: Giải phương trình trên đoạn. c,d   a;b  ;  a  c  d  b . . Khi đó,. f  x  g x. b. Bước2: c. d. không đổi dấu trên các đoạn c. c. b. S f  x   g  x  dx f  x   g  x  dx  f  x   g  x  dx f  x   g  x  dx a. a. b.   f  x   g  x   dx   f  x   g  x   dx   f  x   g  x   dx a. d.  a;c ,  c;d  ,  d;b  . Tức là:. d. Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đưa ra kết quả. c. d.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1:Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? a. A.. b. S f  x  dx. B.. b a. C.. S   f  x   dx a. b. S f  x  dx. D.. b. S f  x  dx a. Lời giải: b. S f  x  dx a. Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả:.  Chọn đáp án D. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại.  chọn đáp án C. Câu 2: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? b. A.. b. S  g  x  dx . f  x  sx. a. b. a. C. Lời giải: (Chọn B). B.. b. S g  x  dx  f  x  dx a. b. a. D.. b. S f  x  dx  g  x  dx a. a. b. b. S f  x  dx  g  x  dx a. a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b b.  S1 f  x  dx a. Gọi S. 2. là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b b.  S2 g  x  dx a. b. Vậy. b. S S1  S2 f  x  dx  g  x  dx a. a. Câu 3: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? c. A.. b. S  g  x   f  x   dx   f  x   g  x   dx a. c. b. B.. S   f  x   g  x   dx a. c. C.. b. S  f  x   g  x   dx   g  x   f  x   dx a. c. c. b. S  f  x  dx  g  x  dx. a D. Lời giải: (Chọn C). c. Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b c.  S1  f  x   g  x   dx a. Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b b.  S2  g  x   f  x   dx c. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gửi đến số điện thoại. Hình 2. S. 0.  f  x  dx 2.  2. phẳng. đối. 2.   f  x   dx 2   f  x   dx 0.  2. Câu 4: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm x g  y  số , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? b. A.. S g  y  dx a. a. S g  y  dy. B.. b. b. b. C.. S g  y  dy a. S  g  y  dx. D.. a. Lời giải: (Chọn C) b. S g  y  dy a. Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả Câu 5:. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị x f  y  x g  y  hàm số , và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? c. b. S  g  y   f  y   dx   f  y   g  y   dx a. c. A. b. B.. S   f  y   g  y   dy a. c. C.. b. S  g  y   f  y   dy   f  y   g  y   dy a. b. S   f  y   g  y   dy. a D. Lời giải: (Chọn C). c. xứng. qua. Oy. nên.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = c c.  S1  g  y   f  y   dy a. Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = b b.  S2  f  y   g  y   dy c. c. b. S S1  S2  g  y   f  y   dy   f  y   g  y   dy. Vậy. a. c. x x Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y e ; y e ; x 1 e2  2e  1 e 2  2e  1 e 2  2e  1 e 2  2e  1 e e e e A. B. C. D.. Lời giải: x x Phương trình hoành độ giao điểm: e e  x 0 1. 1 x. S e  e 0. x. dx   e  e x. x.  dx   e. x. e. 0. x. 1. |. 0. e 2  2e  1 e  e  2  e 1.  Chọn đáp án B y x 2  4x  1, y m,  m  3  , x 0, x 3. Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường A. 3m + 6 B.  3m  6 C. 3m – 6. là:. D. -3m – 6. Lời giải: 2. Ta có:. x 2  4x  1   x  2   3  3, x. 3  x3 3 S  x 2  4x  1  m  dx   2x 2  x  mx   6  3m  3 0 0 Do đó:. Chọn đáp án D. Câu 8: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Tìm m sao cho S = 48 A. m = 4 B. m = 6 C. m = 8 Lời giải: 2. Ta có:.  x 2  2x  1   x  1  2 2, x. y  x 2  2x  1, y m,  m  2  , x 0, x 1 D. m = 10. ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3  3 x3 S  m  x 2  2x  1 dx  mx   x 2  x  3m  24 3  0 0 Do đó: S 48  3m  24 48  m 8  Chọn đáp án C. Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường m3 3m 2 m3 3m 2    2 2 A. 3 B. 3. y x 2  2x  1, y x  1, x 0, x m,  0  m  3 3. 2. 3. m m   2m 2 C. 3. bằng:. 2. m m   2m 2 D. 3. Lời giải: Ta có;. x 2  3x 0, x   0;m. . Vì 0 < m < 3. m m  x 3 3x 2  m 3m 2 m3 S x 2  3x dx   x 2  3x  dx       0 3 2 2 2   0 0 Do đó:.  Chọn đáp án B y x 2  2x  1, y  x  1, x 0, x m,  m  0 . Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Khi đó giá trị m bằng: A. -3 B. -2 C. -1. D. -4. Lời giải: x 2  x 0, x   m;0 Ta có: 0. 0.  x 3 x 2  0 m 2 m3 S x  x dx  x  x  dx      3 2 m 2 3  m m Do đó 2. 2. 5 m 2 m3 5 S     m  1 6 2 3 6  Chọn đáp án C 2 2 Câu 11: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip (E): x  16y 16 có diện tích bằng: A.  B. 2 C. 3 D. 4. Lời giải:. 5 bằng 6.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 4. S 4  0. 4. 16  x 2 dx  16  x 2 dx 4 0.    t    ;   dx 4cos tdt  2 2 Đặt x = 4sint,   t 0; x 4  t  2 Đổi cận: x = 0  2.  2.  2.  2.   1  S  16  16sin t.4cos tdt 16 cos dt 8 1  cos2t  dt 8 1  cos2t  dt 8  t  sin 2t  2 4  2 0 0 0 0 0 2. 2.  Chọn đáp án C 3 Câu 12: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục Ox và đường thẳng x = -2 có diện tích là: A. S = 1 B. S = 16 C. S = 4 D. S = 4. Lời giải: Phương trình x3 = 0  x 0 0. 0 3. Diện tích hình phẳng:  Chọn đáp án C. S  x dx  x 3dx  2. 2.  x4 0 4 4 2. Câu 13: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số tích là: 5 S 2 A. S = 5 B.. y 1 . 1 1 x  , x 2 2 x , trục Ox và hai đường thẳng 2 có diện. C. s  2. D. S 1. Lời giải: 2 2 2 2 x2  1 1 x2  1 x 1 S 1  2 dx  2 dx   2 dx   2 dx x x x x 1 1 1 1 2. Diện tích hình phẳng:. 2. 1. 2. 2. 1  1      1  2  dx   1  2  dx  x  x  1 1 2. 2. 1 1 12    x   1   x   1 x x 1   2.  Chọn đáp án D 3 Câu 14: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x  2x, 2x  y có diện tích là: A. S = 8 B. S = 4 C. S = 2 D. S = 16.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Lời giải: 3 Giải phương trình x  2x 2x  x 0  x 2  x  2 2. 0. Diện tích hình phẳng:  Chọn đáp án A. 2. S  x  4x dx   x  4x  dx   4x  x 3  dx 4  4 8 3. 2. 3. 2. 0. khi x 1  x 10 y  y  x  x2  x  2 khi x  1 , có diện tích là: 3 Câu 15: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và 15 13 S 2 A. S = 13 B. S = 2 C. D. S 7. Lời giải: (Chọn C). Tìm hoành độ các giao điểm: 10 10 x  x 2  x  x 0; x  x 2 x  2  x 3 3 3 Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 3 13  10   10  2 S  x  x  x  dx   x  x 2  x  2  dx  3 3 2   0 1  3x  1 , x  1 Ox, Oy là: Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 4 4 4 S 4ln  1 S 4ln S 4ln  1 S 4ln  2 3 3 3 3 A. B. C. D. y. Lời giải: 0.  3x  1 1 0  x  3 . Vậy Xét phương trình x  1  Chọn đáp án C. S  . 1 3.  3x  1 4 dx 4ln  1 x 1 3 (đ.v.d.t). y  x 2  4x  3 , y x  3 Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là a a S  ;  a,b  Z;a 0  ; b b là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. b  a  103 0. B. ba  654 0. b 2 25  C. a 109. 3 D. b  a  107.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Lời giải: x  3 0   x 2  4x  3 x  3    x 2  4x  3 x  3  x 0  x 5  x 2  4x  3  x  3  Xét phương trình 5. Vậy. 5. 109 S  x  4x  3  x  3 dx   x 2  4x  3  x  3 dx   a 109;b 6  b  a 3  107 0 6 0 0. . 2. . . .  Chọn đáp án D y  4. x2 x2 ,y  4 4 2. Câu 18: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 0  x2 x2  x2 x2  S 2   4 S 2    4  dx  dx   4  4  0  4 2 2 2 4 2 A. B. 2 2  2 2  2 2  x x x2 x2  S 2    4 S 2   4    dx  dx   4  4 4 2  2 2 4 2 2 2 C. D. Lời giải:. 2 2  x2 x2  x2 x2 S  2 4     dx   4  ; x    2 2;2 2    4 4 2  4 4 2 2 2. Ta có:  Chọn đáp án D. Câu 19: (Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải dất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m 2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A. 7.862.000 đồng. Lời giải: (Chọn B). B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 triệu đồng. x 2 y2  2 1 2 b Giả sử elip có phương trình a . Từ giả thiết ta có 2a 16  a 8;2b 10  b 5.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 5  y  64  y 2  E1   x y 8  1   64 25  y 5 64  y 2  E  2  8 Vậy phương trình của elip là: 2. 2. Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E 1); (E2); x  4;x 4 và diện tích của dải vườn là 4. 4. 5 5 S 2  64  x 2 dx   64  x 2 dx 8 20 4  3 S 80    6 4   x  sin 8t Tính tích phân này bằng phép đổi biến ta được  3 T 80    .100000 7652891,82 7.653.000 6 4   Khi đó số tiền IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. Câu 1: Cho hai hàm số f = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.  C1  ;  C2 .  a;b có đồ thị lần lượt tại  C1  ;  C2  . Diện tích và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:. b. A.. B.. a. b. C.. b. S f  x   g  x  dx S g  x  dx  a. b. S f  x  dx  a. b. g  x  dx a. b. f  x  dx a. S D.. 1 f  x   g  x  dx 2 a.  a;b  ,c   a;b  . Gọi S là diện tích của hình Câu 2: Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b. Công thức nào sau đây sai? b. b. A.. S g  x   f  x  dx. B.. a. b. C.. S  f  x   g  x  dx a. c. S f  x   g  x  dx. D.. a. b. S f  x   g  x  dx  f  x   g  x  dx a. c. Câu 3: Diện tích S của hình phẳng bởi đồ thị 3 hàm số y = f(x), y = g(x), y = h(x) phần gạch chéo hình bên dưới được tính bởi công thức là: b. A. B. C.. c. S  g  x   f  x   dx   h  x   f  x   dx a. b. b. c. S  f  x   h  x   dx   f  x   g  x   dx a. b. b. c. S  g  x   h  x   dx   g  x   f  x   dx a. b.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> b. D.. c. S  f  x   g  x   dx   f  x   h  x   dx a. b. Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx, y = 0, x = e 1 1 1 A. 2 (đ.v.d.t) B. 3 (đ.v.d.t) C. 4 (đ.v.d.t). D. 1(đ.v.d.t) y x  2x  2, y m,  m 1 , x 0, x 3 2. Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là: A. 3m + 6 (đ.v.d.t) B. - 3m – 6 (đ.v.d.t) C. 3m – 6 (đ.v.d.t) D. – 3m + 6(đ.v.d.t) 2 Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = - 3 có diện tích là: A. S = 1 (đ.v.d.t). B. S = 16 (đ.v.d. t). C. S = 9 (đ.v.d.t). D. 4 (đ.v.d.t). 2. Câu 7: Cho Parabol (P): y x và tiếp tuyến của (P) tại điểm A(1;1) có phương trình y 2x  1 . Diện tích của phần bôi dậm như hình vẽ là: 1 5 A. 3 (đ.v.d.t) B. 3 (đ.v.d.t) C. 2 (đ.v.d.t). 8 D. 3 (đ.v.d.t).  a;b . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng: b. b. A.. f  x  dx. B.. a. b. f  x dx. C.. a. f. b 2.  x dx D.. a. f  x  dx a. 3 Câu 9: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = -2 có diện tích là: A. S = 1(đ.v.d.t) B. S = 16 (đ.v.d.t) C. S = 4 (đ.v.d.t) D. S 4 (đ.v.d.t). y x  2  x  Câu 10: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: 16 4 512  V V V V 15 (đ.v.t.t) 3 (đ.v.t.t) 15 (đ.v.t.t) D. 5 (đ.v.t.t) A. B. C. 3 2 Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x  6x, y x (hình bên) bằng:. 0. 3. S   x  6x  x  dx 3. A.. 2. 2. B.. S   x  x  6x  dx 2. 2. 2. 0. 3. C.. S   x 3  6x  x 2  dx 3. S   x  6x  x  dx  3. 3. D.. 2. 2.  x 0. 3.  6x  x 2  dx.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  a;b ,f  x  0, x   a;b  . Gọi S là diện tích của hình thang Câu 12: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Khẳng định nào sau đây sai? b. b. A.. S   f  x   dx. B.. b. S  f  x  dx. b. S f  x  dx. S f  x  dx. a C. D. 3 Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x  x  3, y 2x  1 là: a. S. 1 8 (đ.v.d.t). a. 5 3 S 6 (đ.v.d.t) 7 (đ.v.d.t) A. B. C. D. Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y sinx, y 0, x 0, x  là: S. 1 6 (đ.v.d.t). a. S. A. S 4 (đ.v.d.t). B. S 2 (đ.v.d.t) C. S = 4 (đ.v.d.t) D. S  (đ.v.d.t)  a;b . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số Câu 15: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng: b. b. S f  x  dx. B.. a. A. Câu 16: Diện. b. S  f  x  dx. C.. a. S f. b 2.  x  dx. a. D.. S f  x  dx a. tích. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y ln x, x  , x e e và trục hoành (hình bên được tính theo công thức: e. 1. S ln xdx. S ln xdx  ln xdx. 1 e. A.. 1 e. B. 1. 1 e. 1. e. e. S  ln xdx. S  ln xdx  ln xdx C.. e. 1. D.. 1 e. Câu 17: Diện tích của hình phẳng phần gạch chéo trong hình dưới được tính bởi công thức: c. A. B.. d. a. c. d. c. d. b. f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx a. c. c. C.. d. d. b.  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx a. b. D.. b. f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx. f  x  dx a. c. d. \.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> x x Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e , y e , x 1. e 2  2e  1 e A.. e 2  2e  1 e B.. e 2  2e  1 e C.. e2  2e  1 e D.. y x 2  2x 1, y  x 1, x 0, x k,  k  0 . Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Khi đó giá trị k bằng: A. – 3 B. – 2 C. – 1 2 2 Câu 20: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip (E): x  4y 4 có diện tích bằng: A.  B. 2 C. 3. 5 bằng 6 .. D. – 4 D. 4. 2. Câu 21: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là: 2. A.. 2   x  2  dx. 1. 0.   x.  2  dx. 2.  2  dx. C. 0 D. 2 2 Câu 22: Hình phẳng giới hạn bởi đồ hai thị hàm số y 2x  x , y x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: 0. B..   x. 2. 1. 1. 1.  x 2dx. B.. 0. A.. 1. 2.   2x  x 2  dx 0. C.. 1. 2.  x  x 2  dx 0. D.. 2. 1.  2x  x 2  dx   x 2dx 0. 0. 2 Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x  2, y 3x là: 7 1 A. 2 B. 3 C. 2 D. 6 Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x e là:. A. 2 B. 1 C. 5 D. 4 Câu 25: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y = f(x), y = g(x), x = a, x = b có diện tích là S 1. Còn hình phẳng tạo bởi các đường cong y = 2f(x), y = 2g(x), x = a, x = b có diện tích S 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. S2 4S1 B. S2 S1 C. 2S2 S1 D. S2 2S1 Câu 26: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình bên) là: 4. A.. f  x  dx. B.. 3 0. C.. 1. 0. f  x  dx  f  x  dx. 3. 4. f  x  dx  f  x  dx. 3. 3. D.. 4. 1. 4. f  x  dx  f  x  dx 0. 0. 3 Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x và y = x bằng:.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 1 A. 0 B. – 4 C. 6 D. 2 Câu 28: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 4x và đồ thị 3 hàm số y x là: A. 4. B. 3. C. 5. D. 3,5. Câu 29: Cho đường cong (C): y  x . Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4;2). Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C); d và Ox là: 8 2 16 22 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 Câu 30: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b là: b. A.. b. S  f  x   g  x   dx. B.. a. S f  x   g  x  dx a. b. C.. b. S f  x   g  x  dx. 2. S  f  x   g  x   dx. a D. 2 Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , y 2x là: 4 3 5 A. 3 B. 2 C. 3 a. 23 D. 15. 2 Câu 32: Diện tích miền D được giới hạn bởi hai đường: y  2x , y  2x  4 là: 3 13 1 A. 13 B. 9 C. 3 D. 9 2 Câu 33: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x trục hoành và hai đường thẳng x = - 1,. x=3 28 A. 9 (dvdt). 28 B. 3 (dvdt). 1 C. 3 (dvdt). 1 D. 5 (dvdt). 2 Câu 34: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y x  x  3 và đường thẳng y 2x  1 là: 7 1 1  A. 6 (dvdt) B. 6 (dvdt) C. 6 (dvdt) D. 5 (dvdt) 2 Câu 35: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (C): y x và d: x + y = 2 bằng:. 7 A. 2. 9 B. 2. 11 C. 2. 2 Câu 36: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1): y x và (C2): y  x bằng: 2 4 5 A. 3 B. 3 C. 3. 13 D. 2. 1 D. 3.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 3 Câu 37: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3x  2 và đồ thị hàm số y  x  2 A. S = 8 B. S = 4 C. S = 16 D. S = 2 Câu 38: Xét hai biểu thức: (1) cho y1 = f1(x) và y2 = f2(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn  a;b  . Giả sử: . , với a  b là nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thị được cho bởi công thức:. b. . . S f1  x   f 2  x  dx  f1  x   f 2  x  dx  f1  x   f 2  x  dx a. . . (2) cũng với giả thiết như (1) nhưng: b. . . S   f1  x   f 2  x   dx  a.  f  x   f  x   dx   f  x   f  x   dx 1. 2. . 1. 2. . Chọn đáp án đúng: A. (1) đúng nhưng (2) sai C. Cả (1) và (2) đều đúng. B. (2) đúng nhưng (1) sai D. Cả (1) và (2) đều sai 3 Câu 39: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3x  2 và đồ thị hàm số y  x  2 A. S = 8. B. S = 4. D. S = 2 2 Câu 40: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x  1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 2. 2. A.. C. S = 16. S x 2  1 dx. B.. 2. 2  x  1 dx. 1 2. S  x  1 dx. x. 2.  1 dx. 1 C. D.  1 2 Câu 41: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1, y  x  3 bằng: 9 A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 0. 0. y. Câu 42: Gọi a là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường Tìm giá trị của cos :. cosx+sinx  , x 0, x  2 và trục Ox. 3  sin 2 x. 1 3 2 A. 2 B. 2 C. 0 D. 2 Câu 43: Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: 1. A.. 1. x 1. ln  x  1 dx  e  1 dx 0. 1. 0. 1.  4. B.. 2.  1 x  e  x dx    dx  1  x   0 C. 0. sin 0. 1. D.. 2.  4. xdx  sin 2 xdx 0. 2. 1. 3. x x e dx  e dx 0. 0.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Câu 44: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ bên? Khẳng định nào sai? b. A.. S f  x  dx a. b. B.. S   f  x   dx a. b. b. C.. S  f  x  dx a. D.. S  f  x  dx a. 3. Câu 45: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = 2 có diện tích S. Khẳng định nào sau đây đúng:   1   tan 1 tan  tan 1 tan  3 S S 2 S S A. B. C. D. Câu 46: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoadnh và hai đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ. Khẳng định nào đúng?. b. S f  x  dx a. A.. b. B.. S  f  x  dx a. b. b. C.. S  f  x  dx. D.. a. S  f  x  dx a. Câu 47: Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: b. b. A.. S  f  x   g  x  dx. B.. a. S  f  x   g  x  dx a. b. C.. b. S  f  x   g  x   dx. D.. a. S f  x  dx . y. a. b. g  x dx a. 1 x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x. Câu 48: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số = 2 bằng: 1 1 A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 2 Câu 49: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x ; y  x  2 bằng: 15 A. 2. B.. . 9 2. 9 C. 2. D.. . 15 2.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> x Câu 50: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e , trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = 1 có diện tích là: A. S 1 B. S e  1 C. S e D. S e  1. Câu 51: Hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số được cho bởi hình bên dưới. Diện tích hình phẳng B bằng: 1. A. B.. 3. 4. S   2 x 2  4 x  6  dx   2 x 2  4 x  6  dx   2 x 2  4 x  6  dx 2. 1. 3. 1. 3. 4. S   2 x 2  4 x  6  dx   2 x 2  4 x  6  dx  2. 1. 1. S  C..  2 x.  4 x  6  dx . 2. S   2 x 2  4 x  6  dx  2. 1. 2.  4 x  6  dx   2 x 2  4 x  6  dx 3. 3. 1.  4 x  6  dx. 4.  2 x.  2 x. 2. 3. 3 2. 1. D..  2 x. 4 2.  4 x  6  dx   2 x 2  4 x  6  dx 3. 3. Câu 52: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x  3x  2 , trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = 1 có diện tích là: 7 1 5 7 S  S S S 4 4 4 4 A. B. C. D. Câu 53: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (hình bên) bằng: 9 3 9 9 S  ln 3  S  ln 3  4 S  ln 3  2 2 2 C. 2 2 A. S = 1 B. D.. Câu 54: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + sinx và y = x A. – 4 B. 4 C. 0 Câu 55: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số phân số tối giản). Khi đó a + 2b bằng: A. 67 B. 121. y  x2  4 x  3. D. 1. a và y = x+ 3 có kết quả dạng b (là. C. 136. D. 217. Câu 56: (Đề thử nghiệm 2017) Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y e x , y = 0, x = 0, x = ln4. Đường thẳng x = k (0 < k < lb4) chia (H). S ,S S 2S 2 thành hai phần có diện tích là 1 2 như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2 8 k  ln 4 k ln 3 3 D. k ln 3 A. B. k ln 2 C.. Câu 57: (Chuyên Quốc học Huế lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình H1, H2 được xác định:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> . . . H1  M  x; y  | log  1  x 2  y 2   1  log  x  y  , H 2  N  x; y  | log  2  x 2  y 2  2  log  x  y  S1 Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của các hình H1, H2. Tính tỉ số S2 A. 99 B. 101 C. 102. D. 100 3 Câu 58: (Đề thi minh họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  x và đồ thị 2 hàm số y  x  x 37 A. 12. 9 81 B. 4 C. 12 D. 13 Câu 59: (Tạp chí THTT Đề 01/2017) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 1, x = e, y = 0, y. ln x 2 x bằng:. A. 3  e. B. 2 . e. C. 2  e. D. e  3 2 4 Câu 60: (Tạp chí THPT Đề 03/2017) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x  x và trục hoành là: 8 2 A. 15. 16 2 B. 15. Ứng dụng 2:. C. 4 2. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ. I. LÝ THUYẾT Bài toán 1: Tính thể tích vật thể Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có  a x b  (hình bên). Giả sử S S  x  là một hàm hoành độ a; b  liên tục trên  b. Khi đó, thể tích V của B là. V S  x  dx a. (5). D. 2 2. .

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Sử dụng công thức (5), ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như: 1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S0, S1. Thể tích V là:. V. h S0  S 0 S1  S1 3. . . 2) Nhận xét: Khối chóp được coi là khối chóp cụt có S0=0. Vì vậy, thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là:. V. hS 3. 3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là: V = hS Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được giới hạn a; b  bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn  , trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: b. Vx  f 2  x  dx a. (6). Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng được giới hạn a; b  bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn  , trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta được khối tròn xoay b. có thể tích là:. Vy  g 2  y  dy a. Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục V , V ,.... Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần 1 2 mà mỗi phần được tính bằng các công thức (6), (7) Minh họa các dạng thường gặp:. f  x   g  x  , x   a; b . g  x   f  x  , x   a; b .

<span class='text_page_counter'>(22)</span> b. b.  x   dx. V   g 2  x   f 2  x   dx. f  y   g  y  , y   a; b . g  y   f  y  , y   a; b . V   f a. 2.  x . g. 2. a. b. V   g 2  y   f 2  y   dy. b. V   f 2  y   g 2  y   dy. a. a. f  x   g  x  , x   a; c  ;. f  x  h  x  , x   a; c  ;. g  x   f  x  , x   c; b . g  x  h  x  , x   c; b . c. c. b. V   f. 2.  x . g. a. 2. 2.  x   dx    g  x  . f. 2. c.  x   dx. b. V   f. 2.  x . a. 2. h  x   dx    g 2  x   h 2  x   dx c. II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1: Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh trục Ox được tính bằng công thức: b. A.. a. b. B.. 2. V   f1  x   f 2  x   dx 2. V   f1  x   f 2  x   dx a. b. C.. V   f12  x   f 22  x   dx a b. D.. V   f1  x   f 2  x   dx a.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Lời giải: b. f1  x   f 2  x   0; x   a; b   V   f12  x   f 22  x   dx. Ta có:  Chọn đáp án C. a. Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: b. A.. V   f 2  x   g 2  x   dx a. b. B.. V   g 2  x   f 2  x   dx a. c. C.. b. V   f 2  x   g 2  x   dx    g 2  x   f 2  x   dx a. c. c. b. V   g 2  x   f 2  x   dx    f 2  x   g 2  x   dx. a c D. Lời giải: f  x   g  x   0; x   a; c  ; g  x   f  x   0; x   c; b  Ta có: c. b. V   f 2  x   g 2  x   dx    g 2  x   f 2  x   dx a. c.  Chọn đáp án C. Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) qaunh trục Oy là: b. A.. V   g 2  y   f 2  y   dx a. b. B.. V   g 2  x   f 2  x   dy a. a. C.. V   g 2  x   f 2  x   dy b. b. V   f 2  x   g 2  x   dy. D. Lời giải:. a. a. g  y   f  y   0; y   a; b  . Ta có:  Chọn đáp án C. V   g 2  x   f 2  x   dy b.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> y x  2  x  Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: 4 16 512  V V V V 3 15 15 5 A. B. C. D. Lời giải:  x 0 x  2  x  0    x 2 Phương trình:. Thể tích khối tròn xoay: 2. 2. 1.  x5 4 x 3  2 16 V  x  2  x  dx  x  x  4 x  4  dx   x 4  4 x 3  4 x 2  dx    x 4    3  0 15  5 0 0 0  Chọn đáp án B 2. 2. 2. 2. 1 x , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Câu 5:Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số Khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox có thể tích là: 7  V V 3 2 A. B. V ln 2 C. D. V  ln 2 Lời giải: 2 1  2   V   2 dx      x 1 2 2 1 x Thể tích khối tròn xoay: y.  Chọn đáp án C. Câu 6:. 2 Cho hàm số y 4  x có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox, quanh trục Oy có thể tích là: 32 16 V V 3 3 A. B..   16  2 4  V  3 D.. . 1024 2 V 45 C.. Lời giải:. Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong x 4 4  y , trục Oy và hai đường thẳng y = 0, y = 4 quanh trục Oy 4. 4. 1. V   4  ydy   4  y  2 dy  0. 0. 3 4 2 16  4  y 2  0 3 3. 2. . 3 2.    .

<span class='text_page_counter'>(25)</span>  Chọn đáp án B. y  x  2 . 2. Câu 7: Cho hàm số có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = 3 có thể tích là: 33 34 32 33 V V V V 5 5 5 5 A. B. C. D. Lời giải: 3. 33 2 V    x  2   dx    5 2. 0 Ta có:  Chọn đáp án D. (đ.v.t.t). Câu 8: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y 2 x  x 2 , y x quanh trục Ox là: A.. V. 1 5. B.. V.  5. C.. V. 1 6. D.. V.  6. Lời giải:  x 0 2 x  x 2  x  x 2  x 0   ;2 x  x 2  x, x   0;1  x 1 Xét phương trình 1. 2   V    2 x  x 2   x 2  dx    5 0. (đ.v.t.t).  Chọn đáp án B x Câu 9: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y e , y 0, x 0, x ln 4 . Đường thẳng x = k  0  k  ln 4  chia (H) thành hai hình phẳng là S1 và S2 như hình vẽ bên. Quay S1, S2 quanh trục Ox V ,V V 2V2 được khối tròn xoay có thể tích lần lượt là 1 2 . Với giá trị nào của k thì 1 1 32 1 1 11 32 k  ln k  ln11 k  ln k ln 2 3 2 2 3 3 A. B. C. D.. Lời giải: k. Ta có. V1   e. x 2. . 0. ln 4  e2 x  k  e2 k   e 2 x  ln 4  e2k x 2 dx    ; V2   e  dx   8     2 2 2  2 0  2  k k. V1 2V2  Theo giả thiết:  Chọn đáp án B.   e2k   e2k  1 2k  2  8    e 11  k  ln11 2 2 2  2 .

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 2 2 Câu 10: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường elip (E) x  9 y 9 quay quanh Ox bằng:  A. B. 2 C. 3 D. 4. Lời giải: 3. x 2  9 y 2 9  y 2  Ta có:  Chọn đáp án D. 3. 9  x2 9  x2  V  y 2dx   dx 4 9 9 3 3. Câu 11: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x , y  x quanh trục Ox bằng: 1. A.. . .   x  x dx 0. 1. B.. . 0. 1. .  x . x dx C.. 1.   x  x 2  dx 0. D..   x 2  x  dx 0. Lời giải: Xét phương trình.  x 0 x x   x 0; x 1 2 x  x 1. . . 1. x  x x   0;1  V   ( x )  x dx   x  x 2  dx. Và  Chọn đáp án C. 0. 2. 2. 0. 2 Câu 12: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y 3x  x và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh tục Ox bằng: 9 81 7 A. 2 B. 10 C. 6 D. 9. Lời giải: 3  x 0 2 81 3x  x 2 0    V   3x  x 2  dx  10  x 3 0 Xét phương trình:  Chọn đáp án B. Câu 13: Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường. y  f  x  , y 0, x a , x b,  a  b . thể tích là V1. Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox có thể tích V2. Chọn phương án đúng? V 9V2 6V V2 V V2 A. 1 B. 1 C. 1. Lời giải:. quanh trục Ox có y  3 f  x  , y 0, x a, x b,  a  b  D.. 9V1 V2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> b. V1  f. b 2.  x  dx;V2    3xf  x  . a Ta có:  Chọn đáp án D. a. 2. b. dx 9 f 2  x  dx 9V1 a. 2 Câu 14: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1  x , y 0 quanh trục a a ;  a; b   ; b là phân số tối giản. Khi đó a + b có kết quả là: Ox có kết quả dạng b A 11 B. 17 C. 31 D. 25. Lời giải Ta có: 1. 2 16 V   1  x 2  dx   a 16, b 15  a  b 31 2 15 1  x 0  x 1  x  1 . Vậy 1  Chọn đáp án C. Câu 15: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích lọ là: 15  dm3 3 8  dm 3 A. B.. 14  dm3 3 C.. 15  dm3 2 D.. Lời giải Do đường kính đáy lọ là 2dm nên bán kính đáy lọ là 1 dm. Tương tự, bán kính miệng lọ là 2 dm y 1  x 0; y 2  x 3 3. 2 15 V   x  1 dx  dm3 2 0. . Vậy  Chọn đáp án C. . 2 Câu 16: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x  5, y  x  2 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox. Một học sinh trình bày bài giải như sau:  x  1 x 2  2 2 x  5    x 3 Bước 1: 3. Bước 2:. 2 2 VOx    x 2  2    2 x  5   dx   1.  x5  3 575 VOx     10 x 2  21x   5  5  1 Bước 3: (đ.v.t.t) Hỏi lời giải trên đúng hay sai từ bước nào? A. Lời giải đúng B. Sai từ bước 1 C. Sai từ bước 2 D. Sai từ bước 3.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Lời giải 3. 2 2 2 x  5 x  2; x    1;3  VOx    2 x  5    x 2  2   dx   1 2. Ta có:  Chọn đáp án C. Câu 17: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. V 4 3 B. V 6 3 C. V 5 3. D. V 2 3. Lời giải  x 2  y 2 4   y 1   Xét hệ phương trình: Do (H) đối xứng nhau qua Oy nên: 3.  x 2 3  x  3  x  3   y 1. 3. V 2   4  x 2   12  dx 2 0.  x3  3  3  x  dx 2  3x  3  0 4 3    0 2.  Chọn đáp án A. Câu 18: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích: 46 46 V V 9 15 A. B. 23 V 9 C. D. V 13. Lời giải 2 2   x  y 4  x  1  x 1  y  3 x   Xét hệ phương trình: Do (H) đối xứng nhau qua Oy nên 3. V 2   4  x 2    0  Chọn đáp án B. . 2. 3x  dx  2 . . 3.  4  x 0. 2.  x5 3x 5  3 46  3x 4  dx 2  4 x     3 5  0 15 .

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Câu 19: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 2 2 A. V 3 B. V  C.. V. 2 2 3. 2 D. V 2. Lời giải  y 1  1  x 2 x   y  1 1   y  1 1  x    y 1  1  x 2 Ta có: 2. 2. 1. 2.  V 2  1  1  x 2 0 Ta có:. . 2.  . 2.  1  1  x2. . 2. 1.  2  dx 8  1  x dx 0.     t 2 ; 2   Đặt x = sint;    2.  2.   sin 2t  2  V 8 cos tsdt  4  1  cos 2t  dt 4  t   2 2 2   0 0 0 2.  Chọn đáp án D. Câu 20: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox bằng: 9 4 7 A. 5 B. 5 C. 5. Lời giải Đặt V là thể tích cần tìm. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):  x 2 x2  4    x  2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P’) và (d):  x 1 4 x 2 4    x  1.  P  : y x 2 ;  P ' : y 4 x 2 ;  d  : y 4 . D. 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> VOAC. VOAB. là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay (H’):.  y x 2   y 4  Oy . là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay (H’’): 2. Lúc đó:. quanh Ox.  y 4 x 2   y 4  Oy . 2. quanh Ox 2. 1. 2 2 V VOAC  VOAB   4   x 2   dx    4   4 x 2   dx   4  x 2  dx    4  16 x 4  dx     0 0 0 0.   x5  2 x5  1 32 16  4    4 x    4 x  16  4        8  50 50 5 5 5    (đ.v.t.t)  Chọn đáp án B. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN 1 y  x 3 , y x 2 3 Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox tạo nen khối tròn xoay có thể tích bằng: 486 487 488 489     A. 35 B. 35 C. 35 D. 35 Câu 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1, x 4 và trục Ox. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: 7 6 5 3 V V V V 6 7 3 5 A. B. C. D. Câu 3: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x  2 , trục hoành, x = 3, x = 6 quanh trục Ox bằng: 6. A..  3. 6. x  2dx B..  x  2  dx 3. 6. C..   x  2  dx 3. 2. D.. 2.   y 2  2  dy 1. 2 Câu 4: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường y x  x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng: 5  A. 6 B. 30 C. 3 D. 2.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 3 Câu 5: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục Oy, trục Ox và đường thẳng x  2 khi quay quanh trục Ox có thể tích là V. Khẳng định nào sau đây đúng? 128 118 128 128 A. 5 B. 5 C. 7 D. 9. Câu 6: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục hoành, x = 2, x = 5 quanh trục Ox bằng: 5. A.. . 5. x  1dx B.. 2. 5.  x  1 dx. C.. 2. 2.   x  1 dx 2. D.. 2.   y 2  1 dx 1. 4 y  , y 0, x 1, x 4 x Câu 7: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh Ox là: A. V 6 B. V 12 C. V 4 D. V 8 2 Câu 8: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị số y  x  2 x  1, x 0, y 0, x 2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:. V. 2 5. V. 5 2. V. 8 2 3. V. 5 2. V. 8 2 3. C. D. V 2 2 Câu 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x  2 x 1, y 0, x 0, x 2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: A.. V. B.. 2 5. A. B. C. D. V 2 Câu 10: Trên mặt phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: 5  A. 6 B. 30 C. 3 D. 2 Câu 11: Cho hình phẳng (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: b. A.. V  f a. b 2.  x . g. 2.  x   dx. B.. b. C.. V  g 2  x   f 2  x   dx a. V   f 2  x   g 2  x   dx a. b. D.. V  f  x   g  x   dx a. a; b  Câu 12: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  . Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox bằng:.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> b. A.. V f. b 2.  x  dx B.. b. V  f. 2.  x  dx. V  f  x  dx. V  f  x  dx. a D. Câu 13: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y sinx, y 0, x 0, x  quay quanh trục Ox bằng: 2 2 2 2 A. 2 B. 4 C. 3 D. 4 a. a. C.. b. a. 2 Câu 14: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  2, y 1 trục Ox và đường thẳng x = 1 quay quanh trục Ox là: 1. A.. B.. 1 1. 2. 1. 2. 1. 1. 2. D.. 1.    x  1 dx   dx 2. 1. 1.    x 2  1 dx   dx 0. 1.    x  1 dx   dx 2. C.. 1. 2.    x 2  1 dx. 1. 0. 2 Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi đường y  x  x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay B xung quanh trục Ox bằng: 5  A. 6 B. 30 C. 3 D. 2 6 y  x  1; y  , x 1 x Câu 16: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường . Quay hình (H) quanh trục Ox ta được. khối tròn xoay có thể tích là: 13 125 A. 6 B. 6. 35 C. 3. D. 18. Câu 17: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  x quay quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox có thể tích là:  A. 0 B.   C.  D. 6 x Câu 18: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e , trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1. Thê tích khối tròn xoay khi quay hình đó quanh trục hoành được cho bởi công thức: 1. 1 2x. A..  e dx 0.  B.. 2. e. 2x. dx. 0.  1 2x    e dx   C.  0. 2.  1 2x    e dx   D.  0. 2. Câu 19: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  2 x  5 , trục hoành, x = 1, x = 3 quanh trục Ox bằng: 2. . 3. 2 x  5dx.  2 x  5 dx. 3.   2 x  5  dx. 3.  y 2dy. A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 Câu 20: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn 2 bởi đồ thị hàm số y 2  x , trục Ox và hai đường thẳng x = - 1, x = 0 xung quanh trục Ox:.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 0. V   2  x. 2 2. . 0. V   2  x. dx. 2 2. . 0. 0. V   2  x  dx 2. dx. V  2  x 2 dx. 1 1 1 1 A. B. C. D. Câu 21: Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = x, x = 1. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng: 8 8 2 2 A. 3 B. 3 C. 8 D. 8. Câu 22: Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1, x 4 , Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng: 7 5 7 2 5 2     A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 Câu 23: Công thức thể tích V của khối tròn xoay được tạo khi quay hình cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số x  f  y. , trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b (a < b) quay xung quanh trục Oy là: b. A.. V  f  y  dy. b. V  f 2  y  dy. b. V f  y  dy. a a C. D. Câu 24: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y 3x, y  x, x 0, x 1 . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh Ox: 8 8 2 2 A. 3 B. 3 C. 8 D. 8 a. B.. b. V f 2  y  dy a. Câu 25: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay quanh trục Ox:  e3  2  V    27   A..  5e3  2  V    27   B..  13e3  2  V    27   C. y. Câu 26: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox: 5 A. 5 3 B. 3 C. 5.  13e3  2  V    9   D.. 5  , y 0, x 0, x  cosx 3 . Tính thể tích.  D. 3. y  f  x  , y g  x  Câu 27: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Khi đó thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox ta có thể được tính bởi công thức: b. A.. V   f 2  x   g 2  x   dx a. b. B.. b. C.. V  f 2  x   g 2  x  dx a. 2. V   f 2  x   g 2  x   dx a. b. D.. V   g 2  x   f 2  x   dx a. 3 Câu 28: Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , x  1, x 1 , trục Ox một vòng quanh trục Ox là:.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 6 2 A.  B. 2 C. 7 D. 7 2 Câu 29: Thể tích khối tròn xoay hình giới hạn bởi các đường y  x  2 x, y  x quay quanh Ox có kết quả là:     A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2 Câu 30: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường y x  x và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng: 5  A. 6 B. 30 C. 3 D. 2 Câu 31: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường. y  3 x , y 0, x 1, x 8 xung quanh trục Ox. V. 2. 9 4. C. V 18,6. 93 D. 5. A. V  B. V ,V Câu 32: Kí hiệu 1 2 lần lượt là thể tích hình cầu đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình 2 phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  2 x  2 và đường cong y 2 1  x xung quanh trục Ox. Hãy V ,V so sánh 1 2 : V V V V2 V  V2 V 2V2 A. 1 2 B. 1 C. 1 D. 1 Câu 33: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường. y 4  x 2 , y 0 xung quanh trục Ox: A. V 2. B.. V. 71 82. V. 512 15. 8 2 D. 3. C. Câu 34: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x  4 x  4, y 0, x 0, x 3 . Khi đó thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox là: 33 33 A. 33 B. 5 C. 5 D. 33 2. Câu 35: Hình (S) giới hạn bởi y 3 x  2 , Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục Ox là: 8 4 2 16 A. 9 B. 3 C. 9 D. 3 2 Câu 36: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (P): y x  2 x  2 , tiếp tuyến của (P) tại điểm A(2;2) và đường thẳng x =1 bằng: 2 1 9 A. 2 B. 3 C. 3 D. 5.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> y. 2x  1 , y 0, x  1 x 1 . Thể tích của khối tròn xoay. Câu 37: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:  15   15   15     4ln 4     4ln 4    4ln 4     A.  2 B.  2 C.  2.  15    4ln 4   \ D.  2  1 x  , y 0, y  4 cosx . Thể Câu 38: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 0, tích của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:    A. 4 B. 2 C.  D. 8 2 Câu 39: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x và y 2 x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích bằng: 1 4 8 V  V  V  3 3 3 A. B. C. D. V 4 Câu 40: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Diện tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng. (H) quanh trục Ox là: b. c. b. S g  x   f  x  dx  f  x   g  x   dx   g  x   f  x   dx a. a. c. b. c. b. A. B. C. D.. S f  x   g  x  dx  f  x   g  x   dx   f  x   g  x   dx a. a. c. b. c. b. S f  x   g  x  dx  f  x   g  x   dx   g  x   f  x   dx a. a. b. c. c. b. S f  x   g  x  dx  f 2  x   g 2  x   dx   g 2  x   f 2  x   dx a. a. c. Câu 41: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  sinx  cosx , trục hoành,. A.. x 0, x .  2 quanh trục Ox bằng:.  2.  2. sinx+cosx dx.  sinx+cosx  dx. 0. B.. 0.  2.  2. C..   sinx+cosxdx 0. D..   sinx+cosx  dx 0. 2 Câu 42: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường y  x  4 x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng: 512 512 512 A. 15 B. 5 C. 3 D. 512. Câu 43: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x và trục y = 4 – x. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> A.. V. 4 3. 16 V 3 B.. C.. V. 32 3. 64 D. 3. Câu 44: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: b. A.. 2. V   f  x   g  x   dx a. b. B.. V   g  x   f  x   dx a. c. C.. V   f 2  x   g 2  x   dx a. b. D.. V   g 2  x   f 2  x   dx a. 2 Câu 45: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục hoành, x = - 2, x = 4 quanh trục Ox bằng:. 4. A..  x. 4 2.  1 dx. 2. 4.   x  1 dx 2. B.. 4 2. C.. 2.   x  1dx 2.   y 2  1 dy. D.  2 0  f  x   g  x  , x   a; b . a; b  Câu 46: Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn  và thỏa mãn . Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox. Khi đó thể tích được giới hạn bởi công thức: b. b. b. 2. b.  f  x   g  x   dx.   f  x   g  x   dx.  f  x   g  x  dx.   f 2  x   g 2  x   dx.   5e3  2 .   5e3  2 .   13e3  2 .   13e3  2 . A. a B. a C. a D. a Câu 47: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx, trục Ox và x = e. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích bằng: A.. 27. B.. 27. C.. 27. 27 D. y 2  x  1 e x. Câu 48: (Đề thi minh họa 2017) Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox: 2 V  e 2  5   V  4  2e   V  4  2 e V  e  5 A. B. C. D. Câu 49: (Tạp chí THPT đề 04/2017) Thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường. 2 cong y 3 x  x và trục hoành quanh trục hoành bằng: 81 85 41 A. 10 B. 10 C. 7. 8 D. 7.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Câu 50: (Tạp chí THPT đề 03/2017)Thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x tam giác đều có cạnh là A.. V 4 3  2ln 2  1. 4 ln  x  1 B.. V 4 3  2ln 2  1. C.. V 8 3  2ln 2  1. Câu 51: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:  3 V V 12 2 A. B. C.. V. 3 4.  0 x 1 là một. D. V . D.. V 16  2ln 2  1.

<span class='text_page_counter'>(38)</span>