Ứng dụng của tích phân - Lê Bá Bảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.6 MB, 31 trang )
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
TÍCH PHÂN
CHUYÊN Đ :
Ch đ 3:
NG D NG
NG D NG C A TÍNH PHÂN TRONG HÌNH H C
ng d ng 1:
TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG
I. LÝ THUY T
f x liên t c trên đo n
Bài toán 1: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th c a hàm s
a; b , tr c hoành và hai đ
ng th ng x a , x b đ
b
c tính theo công th c:
S f x dx
a
(1)
Minh h a các d ng th
ng g p:
f x không mang 1 d u trên
f x 0, x a; b .
f x 0, x a; b .
a; b .
y
f(x)
y
y
x
O
a
(H)
(H)
b
c
a
x
(H)
f(x)
b
a
b
O
x
O
f(x)
b
S f x dx
b
S f x dx
c
b
a
c
S f x dx f x dx
a
a
L u
B ng cách xem x là hàm c a bi n y , t c là x g y , di n tích S
y
c a hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s x g y liên t c trên
đo n a; b , tr c tung và hai đ
ng th ng y a, y b đ
b
g(y)
c tính
b
theo công th c:
S g y dy
(H)
(2)
a
a
x
O
f x , g x liên t c
Bài toán 2: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i các đ th c a hàm s
trên a; b và hai đ
ng th ng x a , x b đ
b
c tính theo công th c:
S f x g x dx
(3)
a
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Minh h a các d ng th
Lê Bá B o
ng g p:
f x g x , x a; b .
f x g x , x a; b .
f x g x , x a; c ;
f x g x , x c ; b ; a c b .
y
y
f(x)
(H)
(H)
g(x)
x
x
a
O
a
(H)
f(x)
g(x)
O
f(x)
y
g(x)
x
b
b
a
O
c
b
b
S g x f x dx
b
S f x g x dx
c
b
a
c
S f x g x dx g x f x dx
a
a
L u
B ng cách xem x là hàm c a bi n y , di n tích S c a hình ph ng
y
x f y , x g y liên t c trên
b
gi i h n b i các đ th hàm s
đo n a; b và hai đ
ng th ng y a, y b đ
c tính theo công
g(y)
f(y)
(H)
b
th c:
S f y g y dy
(4)
a
a
O
Hình ph ng gi i h n b i nhi u h n hai đ
Bài toán 3:
Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i các đ th đ
x
ng cong
c chia thành nhi u ph n di n tích, mà m i
ph n ta có th tích theo công th c (1), (2), (3) và (4).
Minh h a các d ng th
ng g p:
f x h x , x a; c ;
f y g y , y a; c ;
g x h x , x c ; b ; a c b .
f y h y , y c ; b ; a c b .
g(x)
y
y
b
f(x)
g(y)
(H 1 )
f(y)
c
(H 1 )
(H 2 )
h(x)
h(y)
(H 2 )
O
O
a
c
c
b
a
c
b
S f x h x dx g x h x dx
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
x
a
x
c
b
a
c
S f y g y dy f y h y dy
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
II. PH
NG PHÁP
Ph ng pháp: S d ng tính ch t c b n c a tích phân (thêm c n trung gian đ tính tích phân
ch a d u giá tr tuy t đ i GTTĐ .
+) Tính ch t: Hàm s y f x liên t c trên K (kho ng đo n, n a kho ng) và a , b , c là ba s b t
kì thu c K Khi đó ta có
b
c
a
a
b
f x dx f x dx f x dx
c
b
Chú ý: Khi áp d ng công th c (3):
S f x g x dx
, ngoài vi c kh
d u GTTĐ nh
a
ph
ng pháp đã trình bày trên, ta có th kh d u GTTĐ theo ph ng pháp sau
B c 1: Gi i ph ng trình f x g x 0 trên a; b , gi s có các nghi m
c , d a; b ; a c d b . Khi đó f x g x không đ i d u trên các đo n a; c ; c; d ; d; b .
T c là:
B
b
c
d
b
a
a
c
d
c 2: S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
c
d
b
a
c
d
f x g x dx f x g x dx f x g x dx .
Ph
ng pháp 2: Phác th o d ng đ th và đ a ra k t qu .
III. BÀI T P TR C NGHI M MINH H A
Câu 1: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i
h n b i đ th hàm s
và hai đ
y
y f x , tr c hoành
f(x)
ng th ng x a , x b nh hình v
bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
a
(H)
x
b
A. S f x dx.
B. S f x dx.
b
O
b
a
a
b
a
D. S f x dx.
C. S f x dx.
a
b
L i gi i:
b
nghĩa c a tích phân ta có k t qu : S f x dx.
D a vào n i dung
a
Ch n đáp án D.
Câu 2: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i đ
th hàm s y f x , tr c hoành và hai đ ng th ng
y
f(x)
x a , x b nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây
đúng
b
A. S f x dx.
B. S
f x dx .
b
c
b
O
a
x
(H)
a
a
c
b
c
b
a
c
a
c
C. S f x dx f x dx. D. S f x dx f x dx.
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
D a vào n i dung
Lê Bá B o
nghĩa c a tích phân và chia đo n a; b
c
b
a
c
thành hai đo n thành ph n
a; c ; c ; b , ta có k t qu : S f x dx f x dx.
Ch n đáp án C.
Câu 3: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
th hàm s y f x , y g x và hai đ ng th ng x a , x b
y
f(x)
nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
A. S
b
b
g x dx f x dx .
a
a
b
b
a
a
b
(H)
b
B. S f x dx g x dx.
a
a
b
b
a
a
g(x)
x
D. S f x dx g x dx.
C. S g x dx f x dx.
L i gi i: (Ch n B)
G i S1 là di n tích hình ph ng đ
a
O
b
c gi i h n b i y f x , Ox và hai đ
ng th ng
c gi i h n b i y g x , Ox và hai đ
ng th ng
b
x a; x b S1 f x dx.
a
G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b
x a; x b S2 g x dx.
a
b
b
a
a
V y S S1 S2 f x dx g x dx.
Câu 4: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y f x , y g x và
ng th ng x a , x b nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
hai đ
c
b
a
c
A. S g x f x dx f x g x dx.
f(x)
y
g(x)
b
B. S f x g x dx .
a
c
(H)
b
C. S f x g x dx g x f x dx.
a
D. S
c
c
a
x
b
f x dx g x dx .
O
c
L i gi i:
G i S1 là di n tích hình ph ng đ
a
c
b
c gi i h n b i y f x , y g x và hai đ
ng th ng
c gi i h n b i y f x , y g x và hai đ
ng th ng
c
x a; x c S1 f x g x dx.
a
G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b
x c; x b S2 g x f x dx.
c
c
b
a
c
V y S S1 S2 f x g x dx g x f x dx.
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
Ch n đáp án C.
Câu 5: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y f x x 4 2 x 2 và
tr c hoành nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây sai?
2
y
B. S 2 f x dx.
f x dx.
A. S
2
2
f(x)
0
2
C. S 2 f x dx.
D. S
0
2
0
f x dx
2
O
- 2
f x dx.
2
x
0
L i gi i:
Hình ph ng đ i x ng qua Oy nên S
2
f x dx 2
2
0
2
2
f x dx 2 f x dx.
0
Ch n đáp án B.
Câu 6: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y
x g y , tr c tung và hai đ
b
ng th ng y a, y b nh hình v bên.
Kh ng đ nh nào sau đây đúng
g(y)
(H)
b
a
b
a
b
a
A. S g y dx. B. S g y dy. C. S g y dy. D. S
b
g y dx .
a
a
x
O
L i gi i:
D a vào n i dung
b
nghĩa c a tích phân ta có k t qu : S g y dy.
a
Ch n đáp án C.
Câu 7: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i
x f y , x g y
h n b i các đ th hàm s
và hai đ
ng th ng y a, y b nh
b
a
c
b
hình v
bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
c
y
A. S g y f y dx f y g y dx.
g(y)
f(y)
c
a
x
O
b
B. S f y g y dy .
a
c
b
a
c
C. S g y f y dy f y g y dy.
b
D. S f y g y dy .
a
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
G i S1 là di n tích hình ph ng đ
c gi i h n b i x f y , x g y và hai đ
ng th ng
c gi i h n b i x f y , x g y và hai đ
ng th ng
c
y a; y c S1 g y f y dy.
a
G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b
y c; y b S2 f y g y dy.
c
c
b
a
c
V y S S1 S2 g y f y dy f y g y dy.
Ch n đáp án C.
x
x
Câu 8: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y e ; y e ; x 1.
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
e
e
e
e
L i gi i:
Ph ng trình hoành đ giao đi m: e x e x x 0.
1
S e e
x
x
dx
0
1
e
x
e x dx e x e x
0
1
0
e e 1 2
e 2 2e 1
.
e
Ch n đáp án B.
Câu 9: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y x2 4x 1 , y m, (m 3) , x 0, x 3 là:
B. 3m 6 .
A. 3m 6 .
C. 3m 6 .
D. 3m 6 .
L i gi i:
Ta có: x2 4x 1 x 2 3 3, x
2
3
x3
Do đó S x 4 x 1 m dx 2 x2 x mx 6 3m .
3
0
0
Ch n đáp án D.
3
2
Câu 10: G i S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y x2 2x 1 , y m, (m 2) ,
x 0, x 1 . Tìm m sao cho S 48 :
A. m 4 .
B. m 6 .
C. m 8 .
D. m 10 .
L i gi i:
Ta có: x2 2x 1 x 1 2 2, x
2
3
x3
Do đó S m x 2x 1 dx mx x2 x 3m 24 .
3
0
0
S 48 3m 24 48 m 8
Ch n đáp án C.
3
2
Câu 11: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
x m , 0 m 3 b ng:
A.
m 3 3m 2
.
3
2
B.
m 3 3m 2
.
3
2
C.
ng y x2 2x 1 , y x 1 , x 0,
m3 m2
2m .
3
2
D.
m3 m2
2m .
3
2
L i gi i:
Ta có: x 2 3x 0, x 0; m . Vì 0 m 3
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
m
m
Do đó S x 3x dx
2
0
0
m
x 3 3x 2
3m2 m3
.
x 3x dx
2 0
2
3
3
2
Ch n đáp án B.
Câu 12: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
x m , m 0 b ng
A. 3 .
5
Khi đó giá tr m b ng:
6
B. 2 .
ng y x2 2x 1 , y x 1 , x 0,
D. 4 .
C. 1 .
L i gi i:
Ta có: x 2 x 0, x m; 0 .
0
0
Do đó S x x dx
2
m
m
0
x3 x2
m2 m3
.
x x dx
2
3
3 2 m
2
m2 m3 5
5
m 1
6
2
3
6
Ch n đáp án C.
S
Câu 13: Hình ph ng gi i h n b i đ
A.
ng elip ( E) : x2 16 y2 16 có di n b ng.
B. 2
D. 4
C. 3
L i gi i:
4
S 4
0
y
16 x 2 dx
16 x 2 dx
4
0
4
Đ t x 4 sin t , t ; dx 4 cos tdt .
2 2
Đ i c n: x 0 t 0; x 4 t
2
S
0
4
16 x2
y
1
4
x
4
1
2
1
2
16 16 sin t .4 cos tdt 16 cos tdt 8 1 cos 2 t dt 8 t sin 2t 4 .
2
0
0
0
2
2
2
2
Ch n đáp án C.
Câu 14: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x3 , tr c Ox và đ
ng th ng x 2 có di n
tích là
C. S 4 .
A. S 1 .
B. S 16 .
L i gi i:
Ph ng trình x3 0 x 0 .
0
Di n tích hình ph ng: S
2
0
x dx x 3dx
3
2
D. S 4 .
x4 0
4.
4 2
Ch n đáp án C.
Câu 15: Hình ph ng gi i h n b i đ
x
th hàm s
y 1
1
, tr c Ox và hai đ
x2
ng th ng
1
, x 2 có di n tích là
2
A. S 5 .
B. S
5
.
2
C. S 2 .
D. S 1 .
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
2 x2 1
1 2
2 2
x 1
x 1
1
d
d
dx
x
x
Di n tích hình ph ng: S 1 2 dx
2
2
x
x
x
x2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1 2
1 2 dx 1 2 dx x 1 x 1 .
x
x 1
x
x
1
1
2
2
Ch n đáp án D.
1
Câu 16: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x3 2x và đ
ng th ng 2x y 0 có di n tích
là
A. S 8 .
B. S 4 .
C. S 2 .
L i gi i:
Gi i ph ng trình x3 2x 2x x 0 x 2 x 2.
2
Di n tích hình ph ng: S
x
3
2
4 x dx
0
x
3
2
D. S 16 .
2
4 x dx 4 x x3 dx 4 4 8 .
0
Ch n đáp án A.
Câu 17: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y
x khi x 1
10
x x 2 và y
, có di n tích
3
x 2 khi x 1
là
A. S 13 .
B. S
15
.
2
C. S
13
.
2
D. S 7 .
L i gi i:
Tìm hoành đ các giao đi m:
10
10
x x 2 x x 0;
x x 2 x 2 x 3.
3
3
D a vào đ th (hình bên) di n tích hình ph ng c n tìm
1
3
10
10
2
là S x x x dx x x 2 x 2 dx
3
3
0
1
13
(đ v d t)
2
Ch n đáp án C.
3x 1
, Ox , Oy là
x 1
4
4
C. S 4 ln 1 .
D. S 4 ln 2 .
3
3
Câu 18: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
4
4
A. S 4 ln 1 .
B. S 4 ln .
3
3
L i gi i:
3x 1
1
0x . V y S
Xét ph ng trình
x 1
3
ng y
0
1
3
3 x 1
4
dx 4 ln 1 (đ v d t).
x 1
3
Ch n đáp án C.
Câu 19: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
a; b
a
ng y x2 4 x 3 , y x 3 là S ;
b
; a 0 ;
a
là phân s t i gi n. Kh ng đ nh nào sau đây là đúng
b
b2
25
A. b a 103 0.
B. ba 654 0.
C.
D. b a3 107 0.
a 109
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
L i gi i:
x 3 0
ng trình x 4 x 3 x 3 x 2 4 x 3 x 3 x 0 x 5.
x2 4x 3 x 3
Xét ph
2
5
V y S x 2 4 x 3 x 3 dx
0
x
5
2
4 x 3 x 3 dx
0
109
a 109; b 6 b a 3 107 0.
6
Ch n đáp án D.
x2
x2
Câu 20: Hình ph ng (H) gi i h n b i các đ th y 4 , y
(hình v bên). Kh ng đ nh nào sau
4
4 2
đây đúng
y
x
x
x
x
dx.
B.
d
2
S
4
4
.
x
0 4 2
4 2
4
4
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
x
x
x
x
dx.
C. S
4 dx. D. S 4
4
4 4 2
2
2
2 2 4 2
A. S 2
2 2
2
0
2
2
(P)
2
2
2
(E)
x
-4
O
-2 2
2 2
L i gi i:
Ta có:
4
2 2
x2
x2
x2
x2
dx.
; x 2 2; 2 2 S 4
4 4 2
4
4
2
2 2
Ch n đáp án D.
Câu 21: (Đ th nghi m 2017) Ông An có m t m nh v n hình
elip có đ dài tr c l n b ng 16m và đ dài tr c bé b ng 10m .
Ông mu n tr ng hoa trên m t d i đ t r ng 8m và nh n tr c bé c a
elip làm tr c đ i x ng nh hình v ). Bi t kinh phí đ tr ng hoa
là 100.000 đ ng/ 1m2 . H i ông An c n bao nhiêu ti n đ tr ng
8m
hoa trên d i đ t đó S ti n đ c làm tròn đ n hàng nghìn).
A. 7.862.000 đ ng.
B. 7.653.000 đ ng. C. 7.128.000 đ ng. D. 7.826.000 đ ng.
L i gi i: (Ch n B)
x2 y 2
Gi s elip có ph ng trình 2 2 1 . T gi thi t ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5
a
b
5
y
64 y 2 E1
2
2
y
x
8
1
V y ph ng trình c a elip là
64 25
y 5 64 y 2 E
1
8
Khi đó di n tích d i v n đ c gi i h n b i các đ ng E1 ; E2 ; x 4; x 4 và di n tích c a
d iv
4
4
5
5
64 x2 dx 64 x2 dx.
8
20
4
n là S 2
Tính tích phân này b ng phép đ i bi n x 8 sin t ta đ
3
c S 80
.
6 4
3
Khi đó s ti n là T 80
.100000 7652891,82 7.653.000 .
6 4
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
4
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
IV. BÀI T P TR C NGHI M T
LUY N Đăng k
ngochuyenlb.gr8.com đ nh n Đáp án
Câu 1: Cho hai hàm s y f x , y g x liên t c trên đo n a; b có đ th l n l t là C1 , C 2
Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i hai đ th C1 , C 2 và hai đ ng th ng
x a , x b a b b ng
b
b
a
b
b
a
a
a
C. S g x dx f x dx .
Câu 2: Cho hai hàm s
b
B. S f x dx g x dx .
A. S f x g x dx .
D. S
a
b
1
f x g x dx .
2 a
y f x , y g x liên t c trên đo n a; b , c a; b . G i S là di n tích
c a hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y f x , y g x và hai đ
ng th ng x a , x b
Công th c nào sau đây sai?
b
A. S g x f x dx .
B. S
b
f x g x dx .
a
a
b
c
b
a
c
D. S f x g( x) dx f x g( x) dx .
C. S f ( x) g( x) dx .
a
Câu 3: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th 3 bàm s hàm s y f x , y g x , y h x
ph n g ch chéo hình bên d
b
iđ
c tính b i công th c là:
c
A. S g x f x dx h x f x dx .
a
b
b
c
y g x
y
a
O
y f x
B. S f x h x dx f x g x dx .
a
b
b
c
C. S g x h( x) dx g x f ( x) dx .
a
b
b
c
a
b
b
c
x
y h x
D. S f x g( x) dx f x h( x) dx .
Câu 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y ln x, y 0, x e
1
1
1
(đ v d t).
B. (đ v d t).
C. (đ v d t).
D. 1 (đ v d t).
2
3
4
Câu 5: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y x2 2x 2 , y m, m 1 , x 0, x 3 là
A.
A. 3m 6 (đ v d t).
B. 3m 6 (đ v d t).
Câu 6: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
C. 3m 6 (đ v d t).
D. 3m 6 (đ v d t).
2
y x , tr c Oy , tr c Ox và đ ng th ng x 3
có di n tích là
A. S 1 (đ v d t).
B. S 16 (đ v d t).
C. S 9 (đ v d t).
D. S 4 (đ v d t).
Câu 7: Cho Parabol P : y x 2 và ti p tuy n c a P t i đi m
A 1;1 có ph
ng trình y 2x 1. Di n tích c a ph n bôi đ m
nh hình v là
1
5
A.
đ v d t B.
đvdt
3
3
C. 2 đ v d t D.
8
đvdt
3
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
f x liên t c trên đo n a; b . Di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ
f x , tr c hoành và hai đ ng th ng x a , x b a b b ng
Câu 8: Cho hàm s
th hàm s
b
A.
b
f x dx.
B.
b
a
a
b
C. f 2 x dx.
f x dx .
D.
Câu 9: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
f x dx.
a
a
y x , tr c Oy , tr c Ox và đ
ng th ng x 2
3
có di n tích là
A. S 1 (đ v d t).
B. S 16 (đ v d t).
C. S 4 (đ v d t).
D. S 4 (đ v d t).
Câu 10: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s y x 2 x và tr c Ox . Kh i tròn xoay
t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox có th tích là
16
4
512
đvtt
B. V
đvtt
C. V
đ v t t D. V
đvtt
15
3
15
5
Câu 11: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y x3 6x và
A. V
y x2 (hình bên) b ng
0
x
A. S
3
2
C. S
3
6x x dx. B. S
2
Câu 12: Cho hàm s
x
3
6x x2 dx.
2
x2 x3 6x dx. D. S
2
3
0
x 3 6 x x 2 dx
2
3
x
6 x x 2 dx .
3
0
f x liên t c trên đo n a; b , f x 0, x a; b . G i
S là di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s
f x , tr c hoành
ng th ng x a , x b a b . Kh ng đ nh nào sau đây sai?
và hai đ
b
A. S f x dx.
b
B.
f x dx .
a
a
b
b
C. S f x dx.
D.
a
f x dx.
a
Câu 13: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y x x 3 và y 2 x 1 là
2
1
1
5
3
(đ v d t).
B. S (đ v d t).
C. S (đ v d t).
D. S (đ v d t).
7
6
8
6
Câu 14: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y sin x, y 0, x 0 và x là
A. S
A. S 4 (đ v d t).
B. S 2 (đ v d t).
C. S 4 (đ v d t).
D. S (đ v d t).
Câu 15: Cho hàm s f x liên t c trên đo n a; b . Di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ
th hàm s f x , tr c hoành và hai đ ng th ng x a , x b a b b ng
b
A.
b
f x dx.
B.
f x dx .
a
a
b
C. f
2
x dx.
D.
f x dx.
a
a
Câu 16: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s
hình bên đ
b
1
y ln x , x , x e và tr c hoành
e
c tính theo công th c
e
1
e
1
e
1
B. ln xdx ln xdx.
A. ln xdx.
1
e
1
e
1
e
1
C. ln xdx ln xdx.
e
D.
ln xdx .
1
e
Câu 17: Di n tích c a hình ph ng ph n g ch chéo trong hình d
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
iđ
c tính b i công th c:
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
c
A.
a
d
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
c
B.
Lê Bá B o
c
d
d
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a
c
d
c
d
b
a
c
d
C. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
b
D.
f ( x)dx.
a
Câu 18: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y e x , y e x , x 1 .
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
.
.
.
.
B.
C.
D.
e
e
e
e
Câu 19: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y x2 2x 1 , y x 1 , x 0, x k , k 0
A.
5
Khi đó giá tr k b ng:
6
A. 3 .
B. 2 .
Câu 20: Hình ph ng gi i h n b i đ
b ng
C. 1 .
D. 4 .
2
2
ng elip ( E) : x 4 y 4 có di n b ng.
A. .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 21: Di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s y x2 2, tr c hoành và hai đ
ng
th ng x 0 và x 1 là
2
A.
x
2
2 dx .
0
B.
0
x
2
1
2 dx .
C.
x
2
2 dx .
D. 2.
0
1
Câu 22: Hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y 2x x2 , y x khi quay quanh tr c Ox t o
thành kh i tròn xoay có th tích là
1
1
B. 2x x
A. x dx .
2
0
2
2
1
dx .
C. x x
2
2
1
dx .
0
0
0
D. 2 x x
2
1
dx x dx.
2
2
0
Câu 23: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y x 2 và y 3x là:
2
7
.
2
Câu 24: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i y ln x, y 0, x e là
A. 2 .
B. 3 .
C.
A. 2
B. 1 .
Câu 25: Gi s hình ph ng t o b i các đ
S1 . Còn hình ph ng t o b i các đ
D.
1
.
6
C. 5 .
D. 4 .
ng cong y f ( x), y g( x), x a, x b có di n tích là
ng cong y 2 f ( x), y 2 g( x), x a, x b có di n tích là S2 .
Trong các kh ng đ nh sau, kh ng đ nh nào đúng
A. S2 4S1 .
B. S2 S1 .
C. 2S2 S1 .
Câu 26: Cho đ th hàm s y f x . Di n tích hình ph ng
D. S2 2S1 .
(ph n tô đ m trong hình bên) là
4
A.
1
f x dx .
B.
0
C.
3
3
3
0
3
4
0
f x dx f x dx . D.
4
f x dx f x dx .
1
4
f x dx f x dx .
0
Câu 27: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
ng cong y x3 và y x5 b ng
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
1
.
6
Câu 28: Di n tích hình ph ng n m trong góc ph n t th nh t, gi i h n b i đ
B. 4 .
A. 0.
C.
D. 2.
ng th ng y 4 x
và đ th hàm s y x3 là:
A. 4.
B. 5.
Câu 29: Cho đ
C. 3.
D. 3,5.
ng cong C : y x . G i d là ti p tuy n c a C t i đi m M 4, 2 Khi đó di n
tích c a hình ph ng gi i h n b i C ; d và Ox là
22
8
2
16
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 30: Vi t công th c tính di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th c a hai hàm s
y f ( x), y g( x) và các đ ng th ng x a, x b là
A.
b
b
B. S f ( x) g( x) dx.
A. S f ( x) g( x) dx.
a
a
b
b
C. S f ( x) g( x) dx.
D. S f ( x) g( x) dx.
a
2
a
Câu 31: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x2 và đ
ng th ng y 2 x là:
4
3
5
23
.
.
B. .
C. .
D.
2
3
3
15
Câu 32: Di n tích mi n D đ c gi i h n b i hai đ ng: y 2x2 và y 2 x 4 là
A.
3
.
B. 9.
13
Câu 33: Di n tích hình ph ng đ
A.
1
13
.
D. .
9
3
2
c gi i h n b i đ th c a hàm s y x , tr c hoành và hai đ
C.
ng
th ng x 1, x 3 là
28
28
1
1
dvdt .
dvdt .
A.
B.
C. dvdt .
D. dvdt .
9
3
3
5
2
Câu 34: Di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i đ ng y x x 3 và đ ng th ng y 2 x 1 là
7
1
1
dvdt .
B. dvdt .
C. dvdt .
D. 5 dvdt .
6
6
6
Câu 35: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i C : y x 2 và d : x y 2 b ng
A.
7
9
11
13
.
.
.
B. .
C.
D.
2
2
2
2
Câu 36: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i C1 : y x 2 và C2 : y x b ng
A.
2
4
5
.
B. .
C. .
3
3
3
Câu 37: Tính di n tích hình ph ng S gi i h n b i đ th hàm s
A.
1
.
3
y x3 3x 2 và đ th hàm s
D.
y x 2 .
A. S 8
B. S 4
C. S 16
D. S 2
Câu 38: Xét hai phát bi u:
(1) cho y1 f1 x và y2 f2 x là hai hàm s liên t c trên đo n a; b . Gi s :
và , v i a b , là các nghi m c a ph ng trình f1 x f2 x 0 Khi đó di n tích c a
hình ph ng gi i h n b i đ
ng th ng và đ th đ
b
a
c cho b i công th c:
S f1 x f2 x dx f1 x f 2 x dx f1 x f 2 x dx
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
C)ng v i gi thi t nh
S
nh ng
b
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
1
2
1
2
1
2
a
Ch n đáp án đúng
A.
đúng nh ng
sai.
B.
đúng nh ng
sai.
C. C
và
đ u đúng.
D. C
và
đ u sai.
Câu 39: Tính di n tích hình ph ng S gi i h n b i đ th hàm s y x3 3x 2 và đ th hàm s
y x 2 .
A. S 8
B. S 4
C. S 16
D. S 2
Câu 40: Vi t công th c tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x2 1 , tr c hoành,
tr c tung và đ
ng th ng x 2 .
2
A. S x 2 1 dx .
B. S
0
x
2
0
2
1 dx .
2
C. S x 2 1 dx .
1
1
D. S x 2 1 dx .
1
Câu 41: Di n tích gi i h n b i đ th hai hàm s : y x2 1, y x 3 b ng:
A. 3.
B. 4.
C.
9
.
2
D. 5.
Câu 42: G i là di n tích c a hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y
cos x sin x
3 sin 2 x
; x 0; x
2
và
tr c Ox. Tìm giá tr c a cos .
3
2
.
C. 0.
D.
.
2
2
nghĩa hình h c c a tích phân, hãy tìm kh ng đ nh sai trong các kh ng đ nh
1
.
2
Câu 43: D a vào
sau:
A.
B.
1
1
0
0
A. ln 1 x dx
x 1
dx
e 1
4
4
0
0
B. sin 2 xdx sin 2 xdx .
2
2
3
1 x
dx .
C. e x dx
D. e x dx e x dx .
1 x
0
0
0
0
Câu 44: Kí hi u S là di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th c a
hàm s liên t c y f x , tr c hoành và hai đ ng th ng x a , x b
1
1
1
1
nh trong hình v bên. Kh ng đ nh nào sai?
b
A. S f x dx.
a
b
C. S f x dx.
a
b
B. S f x dx.
a
D. S
b
f x dx .
a
Câu 45: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x3 , tr c Oy , tr c Ox và đ
ng th ng x 2
có di n tích là S . Kh ng đ nh nào sau đây đúng
1
A. tan 1.
B. sin .
C. tan 1.
D. tan 3.
S
S
S
S 2
Câu 46: Kí hi u S là di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th c a hàm s liên t c y f x ,
tr c hoành và hai đ
ng th ng x a , x b nh trong hình v bên. Kh ng đ nh nào đúng
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
b
b
b
C. S f x dx.
B. S f x dx.
A. S f x dx.
a
a
a
Câu 47: Di n tích S c a hình ph ng H gi i h n b i đ th c a hàm s
t c và hai đ
ng th ng x a , x b đ
b
A. S f x g x dx .
B. S
b
a
a
b
f x dx .
D. S
a
y f x , y g x liên
c tính theo công th c
b
b
b
a
a
a
f x g x dx .C. S f x g x dx . D. S f x dx g x dx .
Câu 48: Di n tích hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s
y
1
, tr c hoành và hai đ
x2
ng
th ng x 1, x 2 b ng
1
1
A. .
B. 4 .
C. .
D. 2 .
6
2
Câu 49: Di n tích hình ph ng H gi i h n b i các đ ng y x2 ; y x 2 b ng
9
15
9
15
.
B.
.
C. .
D. .
2
2
2
2
x
Câu 50: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y e , tr c Oy , tr c Ox và đ ng th ng x 1
A.
có di n tích là
A. S 1 . B. S e 1 .
C. S e .
D. S e 1 .
Câu 51: Hình ph ng B gi i h n b i đ th hàm s đ c cho b i hình bên d
ph ng B b ng
A. S
1
2x
2
B. S
1
2
2
3
4
i. Di n tích hình
4 x 6 dx 2 x 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
3
2
3
4
2 x2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
1
3
3
4
C. S 2 x 4 x 6 dx 2 x 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
2
D. S
1
2
2
1
3
2
3
4
2 x2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
3
Câu 52: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x3 3x 2 , tr c Oy , tr c Ox và đ
x 1 có di n tích là
7
A. S .
4
B. S
1
.
4
C. S
5
.
4
D. S
ng th ng
7
.
4
Câu 53: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th (hình bên) b ng
9
3
9
9
A. S 1.
B. S ln 3 . C. S ln 3 4. D. S ln 3 2.
2
2
2
2
Câu 54: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x sin x và y x 0 x 2 b ng
A. 4.
B. 4.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
C. 0.
D. 1.
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
Câu 55: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x2 4x 3 và y x 3 có k t qu
a
(là phân s t i gi n Khi đó a 2b b ng
b
A. 67.
B. 121.
C. 136.
D. 217.
Câu 56: (Đ th nghi m 2017) Cho hình thang cong H gi i h n b i các
d ng
đ
H
ng y e x , y 0 , x 0 , x ln 4 Đ
y
ng th ng x k (0 k ln 4) chia
thành hai ph n có di n tích là S1 và S2 nh hình v bên. Tìm k đ
S1 2S2 .
2
8
ln 4 .
B. k ln 2 .
C. k ln .
D. k ln 3 .
3
3
Câu 57: (Chuyên Qu c H c_Hu L n 1) Trong m t ph ng t a đ Oxy xét
A. k
hai hình H 1 , H 2 đ
c xác đ nh:
S2
S1
x
O
k
ln 4
H1 M( x; y )|log 1 x 2 y 2 1 log( x y) , H 2 N ( x; y )|log 2 x 2 y 2 2 log( x y) .
G i S1 , S2 l n l
t là di n tích c a các hình H 1 , H 2 . Tính t s
S2
.
S1
A. 99.
B. 101.
C. 102.
D. 100.
Câu 58: (Đ minh h a 2017) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x3 x và
đ th hàm s y x x2 .
37
9
81
.
B. .
C.
.
D. 13 .
12
12
4
Câu 59: (T p chí THTT Đ 04/2017) Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i các đ
ln x
x 1, x e , y 0, y
b ng:
2 x
A.
ng
A. 3 e .
B. 2 e .
C. 2 e .
D. e 3 .
Câu 60: (T p chí THTT Đ 03/2017) Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y 2x2 x4
và tr c hoành là:
A.
8 2
.
15
Đáp án s đ
B.
c g i vào
16 2
.
15
h ngày
C. 4 2.
D. 2 2.
các em vui lòng đăng k t i đ nh n)
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
ng d ng 2:
TÍNH TH TÍCH V T TH
I. LÝ THUY T
Bài toán 1: Tính th tích c a v t th
Cho m t v t th trong không gian v i h t a đ Oxyz
G i B là ph n c a v t th gi i h n b i hai m t ph ng
vuông góc v i tr c Ox t i các đi m a và b . G i S x
là di n tích thi t di n c a v t th b c t b i m t ph ng
vuông góc v i tr c Ox t i đi m có hoành đ
x a x b (hình bên). Gi s S S x là m t hàm
liên t c trên a; b .
b
V S x dx
Khi đó th tích V c a B là
(5)
a
* S d ng công th c
ta tìm đ c công th c m t s v t th quen thu c trong hình h c nh
1) Th tích kh i chóp c t: Cho kh i chóp c t có chi u cao h , di n tích đáy nh và đáy l n theo th
h
t là S0 , S1 . Th tích V là: V S0 S0S1 S1
.
3
2) Nh n xét: Kh i chóp đ c coi là kh i chóp c t có S0 0. Vì v y, th tích kh i chóp có chi u cao
hS
.
3
3) Th tích kh i lăng tr : Kh i lăng tr có chi u cao h và di n tích đáy S có th tích là: V hS
.
Bài toán 2: Tính th tích kh i tròn xoay
M t hình ph ng quay quanh m t tr c nào đó t o nên m t kh i tròn xoay.
D ng 1: (Hình ph ng quay quanh Ox) Cho hình ph ng đ c
y
f(x)
gi i h n b i đ th hàm s y f x liên t c trên a; b , tr c
h và di n tích đáy S là:
Ox và hai đ
V
ng th ng x a , x b quanh tr c Ox ta đ
b
kh i tròn xoay có th tích là:
Vx f
2
x dx
c
x
O
(6)
a
b
a
D ng 2: (Hình ph ng quay quanh Oy) Cho hình ph ng đ
gi i h n b i đ th hàm s
Oy và hai đ
c
x g y liên t c trên a; b , tr c
ng th ng y a, y b quanh tr c Oy ta đ
y
b
c
g(y)
b
kh i tròn xoay có th tích là:
Vy g 2 y dy
(7)
a
a
x
O
D ng 3: Th tích kh i tròn xoay có đ
c khi quay nhi u đ th hàm s quanh m t tr c.
Ta ti n hành chia ph n th tích V thành các ph n th tích thành ph n V1 , V2 ,... mà m i
ph n đ
c tính b ng các công th c (6), (7).
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
Minh h a các d ng th
ng g p:
g x f x , x a; b .
f x g x , x a; b .
y
y
f(x)
g(x)
g(x)
O
f(x)
x
a
O
b
x
a
b
b
x g x dx
V g 2 x f 2 x dx
f y g y , y a; b .
g y f y , y a; b .
b
V f
2
2
a
a
y
y
b
b
f(y)
f(y)
g(y)
g(y)
a
a
x
x
O
O
b
y g y dy
V g 2 y f 2 y dy
f x g x , x a; c ;
f x h x , x a; c ;
g x f x , x c ; b .
g x h x , x c ; b .
b
V f
2
2
a
a
y
y
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
h(x)
x
O a
c
x
b
O
a
c
b
c
b
c
b
a
c
a
c
V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx V f 2 x h 2 x dx g 2 x h 2 x dx
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
II. BÀI T P TR C NGHI M MINH H A:
Câu 1: Th tích kh i tròn xoay do ph n hình ph ng S trong hình v d
b ng công th c:
i quanh tr c Ox đ
b
c tính
A. V f1 ( x) f2 ( x) dx
2
a
b
B. V f1 ( x) f2 ( x) dx
2
a
b
C. V f12 ( x) f22 ( x)dx
a
b
D. V f1 ( x) f2 ( x)dx
a
L i gi i
b
Ta có: f1 x f2 x 0; x a; b V f12 ( x) f22 ( x) dx.
a
Ch n đáp án C.
Câu 2: Cho hình ph ng gi i h n (H nh hình v bên. Th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay
hình ph ng (H) quanh tr c Ox là
b
A. V f
2
b
B. V g 2 x f 2 x dx.
x g x dx.
2
f(x)
y
a
a
(H)
g(x)
c
b
C. V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx.
a
x
O
c
c
D. V g x f
2
a
c
b
b
2
a
x dx f x g x dx.
2
2
c
L i gi i
Ta có: f x g x 0; x a; c ; g x f x 0; x c ; b
c
b
a
c
V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx.
Ch n đáp án C.
Câu 3: Cho hình ph ng gi i h n (H nh hình v bên. Th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay
hình ph ng (H) quanh tr c Oy là
b
A. V g 2 y f 2 y dx.
a
b
B. V f 2 y g 2 y dy.
y
b
f(y)
a
g(y)
a
C. V g y f
2
2
y dy.
b
b
D. V f
2
y g y dy.
a
x
2
O
a
L i gi i
a
Ta có: g y f y 0; y a; b V g 2 y f 2 y dy.
b
Ch n đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
Câu 4: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s
y x 2 x và tr c Ox . Kh i tròn xoay
t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox có th tích là
A. V
4
.
3
B. V
16
.
15
512
.
15
C. V
D. V
5
.
L i gi i
Ph ng trình x 2 x 0 x 0 ho c x 2 .
2
2
Th tích kh i tròn xoay: V x 2 x dx x2 x 2 4x 4 dx
2
2
0
0
2
x5
4 x 3 2 16
.
x 4 4 x 3 4 x 2 dx x 4
3 0 15
5
0
Ch n đáp án B.
Câu 5: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s
1
, tr c Ox và hai đ ng th ng
x
x 1, x 2 . Kh i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox có th tích là
A. V
7
.
3
C. V
B. V ln 2 .
2
y
D. V .ln 2 .
.
L i gi i
2
Th tích kh i tròn xoay: V
1
Ch n đáp án C.
Câu 6: Cho hàm s
1
2
dx
.
2
x1
2
2
x
C , kh
y 4 x4 có đ th
i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng gi i
h n b i C và tr c Ox , quanh tr c Oy có th tích là
A. V
C. V
32
.
3
16
.
3
16 2 4 2
V
D.
3
B. V
1024 2
.
45
3
2
.
L i gi i:
Do tính đ i x ng nên th tích c n tìm b ng th tích kh i tròn xoay t o
thành khi quay hình ph ng gi i h n b i đ
tr c Oy và hai đ
ng cong x 4 4 y ,
ng th ng y 0, y 4 quanh tr c Oy .
4
4
0
0
1
V 4 y dy 4 y 2 dy
3
4 16
2
4 y2
.
0
3
3
Ch n đáp án B.
Câu 7: Cho hàm s y x 2 có đ th
2
h n b i C , tr c Ox , tr c Oy và đ
33
.
5
32
C. V
.
5
A. V
C , kh
i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng gi i
ng th ng x 3 có th tích là
34
.
5
33
D. V
.
5
B. V
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
L i gi i:
Ta có:
2
33
đvtt
V x 2 dx
5
0
3
2
Ch n đáp án D.
Câu 8: Th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s
y 2x x2 , y x quanh tr c Ox là
A. V
1
.
5
B. V
5
C. V
.
1
.
6
D. V
6
.
L i gi i:
x 0
ng trình 2 x x2 x x 2 x 0
; 2 x x 2 x , x 0;1 .
x 1
Xét ph
1
V 2x x2
0
2
x2 dx
đvtt
5
Ch n đáp án B.
Câu 9: Cho hình thang cong H gi i h n b i các đ
y e x , y 0 , x 0 , x ln 4 Đ
ng
ng th ng x k; (0 k ln 4)
chia H thành hai hình ph ng là S1 và S2 nh hình v bên.
Quay S1 , S2 quanh quanh tr c Ox đ
th tích l n l
c các kh i tròn xoay có
t là V1 và V2 . V i giá tr nào c a k thì V1 2V2 ?
1 32
A. k ln .
2
3
L i gi i:
k
Ta có: V1 e
x
1
ln 11.
2
B. k
C. k
k
2
0
1 11
ln .
2
3
ln 4
e2x
e2k
và V2 e x
dx
2
2
2 0
k
Theo gi thi t: V1 2V2
e2k
2
D. k ln
32
.
3
ln 4
2
e2x
e2k
.
dx
8
2
2 k
e2k
1
2k
2 8
e 11 2 k ln11 k ln11.
2
2
2
Ch n đáp án B.
Câu 10: Th tích kh i tròn xoay khi cho hình ph ng gi i h n b i đ
quanh Ox b ng
A. .
ng elip ( E) : x2 9 y2 9 quay
C. 3 .
B. 2 .
D. 4 .
L i gi i:
Ta có: x2 9 y 2 9 y 2
9 x2
9 x2
V y 2 dx
dx 4 .
9
9
3
3
3
3
Ch n đáp án D.
Câu 11: Th tích c a kh i tròn xoay khi quay hình ph ng D gi i h n b i các đ
ng y x và
y x quanh tr c Ox b ng
1
A.
0
x x dx.
1
B. x x dx.
0
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
1
C. x x 2 dx.
0
1
D. x 2 x dx.
0
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
L i gi i:
Xét ph
x 0
x 0; x 1
x x
2
x x
ng trình
1
và
1
2
x x x 0;1 V x x 2 dx. x x 2 dx.
0
0
Ch n đáp án C.
Câu 12: Trên m t ph ng Oxy , cho hình ph ng ( H) gi i h n b i các đ
ng y 3x x2 và tr c
hoành. Th tích c a kh i tròn xoay khi quay ( H) quanh tr c Ox b ng
9
81
7
A.
B.
C.
D. 9 .
.
.
.
2
10
6
L i gi i:
3
2
x 0
81
Xét ph ng trình 3x x2 0
V 3x x2 dx
.
10
x 3
0
Ch n đáp án B.
Câu 13: Kh i tròn xoay do hình gi i h n b i các đ ng y f ( x), y 0, x a, x b,(a b) quay
quanh tr c Ox có th tích là V1 . Kh i tròn xoay do hình gi i h n b i các đ
x a, x b,(a b) quay quanh tr c Ox có th tích là V2 . Ch n ph
B. 6.V1 V2 .
A. V1 9V2 .
ng y 3 f ( x), y 0,
ng án đúng
D. 9.V1 V2 .
C. V1 V2 .
L i gi i:
b
b
a
a
b
Ta có: V1 f 2 x dx; V2 3 f x dx 9 f 2 x dx 9V1 .
2
a
Ch n đáp án D.
Câu 14: Th tích v t th tròn xoay khi quay hình ph ng gi i h n b i các đ
a
; a; b
b
B. 17.
;
quanh tr c Ox có k t qu d ng
A. 11.
L i gi i:
1
a
là phân s t i gi n Khi đó a b có k t qu là:
b
C. 31.
D. 25.
2
Ta có: 1 x 0 x 1 x 1. V y V 1 x2 dx
2
1
16
a 16; b 15 a b 31.
15
Ch n đáp án C.
Câu 15: M t Bác th g m làm m t cái l có d ng kh i tròn xoay đ
ph ng gi i h n b i các đ
có đ
ng kính l n l
A. 8 dm 3 .
3
t là dm và dm khi đó th tích c a l là:
14
15
B. dm 3 .
C. dm 3 .
3
2
2
x 1 dx
0
c t o thành khi quay hình
ng y x 1 và tr c Ox quay quanh tr c Ox bi t đáy l và mi ng l
L i gi i:
Do đ ng kính đáy l là 2 dm bán kính đáy l là 1 dm. T
y 1 x 0; y 2 x 3.
V y V
ng y 1 x2 , y 0
D.
15
dm 3 .
2
ng t , bán kính mi ng l là 2 dm.
15
dm3 .
2
Ch n đáp án B.
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
Câu 16: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s y 2x 5 , y x2 2 . Tính th tích kh i
tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox . M t h c sinh trình bày bài gi i
nh sau
x 1
c 1: x2 2 2 x 5
x 3
2
3
2
c 2: VOx x 2 2 2 x 5 dx
1
B
B
3
x5
576
B c 3: VOx 10 x2 21x
đvtt
5
5
1
H i l i gi i trên đúng hay sai, n u sai thì sai t b c nào?
A. L i gi i đúng
B. Sai t b c 1.
C. Sai t b c 2.
D. Sai t b c 3.
L i gi i:
3
2 x 5 2 x 2 2 2 dx.
1;
3
V
Ta có: 2 x 5 x 2 2; x
Ox
1
Ch n đáp án C.
Câu 17: Quay hình ph ng H nh hình đ c tô đ m
trong hình v bên quanh tr c Ox ta đ
có th tích là
y
c kh i tròn xoay
y=1
A. V 4 3 .
B. V 6 3 .
1
C. V 5 3 .
D. V 2 3 .
O
1
2
x
L i gi i:
x 2 y 2 4
x 2 3
x 3 x 3.
ng trình
y 1
y 1
Do H đ i x ng nhau qua Oy nên
Xét h ph
V 2
3
3
4 x 1 dx 2
2
0
2
0
y=1
1
2
3
x3
3 x 2 dx 2 3 x 4 3 .
3 0
y
O
x
Ch n đáp án A.
Câu 18: Quay hình ph ng H nh hình đ
c tô đ m trong hình
v bên quanh tr c Ox ta đ c kh i tròn xoay có th tích là
46
46
.
.
A. V
B. V
9
15
23
.
C. V
D. V 13 .
9
y
y= 3x2
2
x
1
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Xét h ph
H
Do
V 2
3
x 2 y 2 4
ng trình
x 1 x 1.
y 3x
đ i
x ng
3 x dx 2
2
4 x
0
Lê Bá B o
nhau
2
y
qua
3
4 x
2
Oy
y= 3x2
nên
3 x 4 dx
2
1
x
0
3
x3 3x5
46
.
2 4 x
3
5 0
15
Ch n đáp án B.
Câu 19: Quay hình ph ng H nh hình đ
c tô đ m trong
y
3
hình v bên quanh tr c Ox ta đ c kh i tròn xoay có th
tích là
A. V 3 2 .
B. V 2 .
2 2
.
C. V
D. V 2 2 .
3
2
1
1
x
O
L i gi i:
y 1 1 x2
Ta có: x y 1 1 y 1 1 x
.
y 1 1 x2
2
2
2
2
Ta có: V 2 1 1 x2 1 1 x2
0
Đ t x sin t ; t ;
2 2
1
y
2
2
3
2
2
dx 8 1 x dx .
0
1
1
O
1
sin 2t 2
V 8 cos2 tdt 4 1 cos 2t dt 4 t
2 2 .
2 0
0
0
2
2
Ch n đáp án D.
Câu 20: Trên m t ph ng Oxy , cho hình ph ng ( H) gi i h n b i các đ
ng
( P) : y x , ( P ) : y 4x và (d): y 4 . Th tích c a kh i tròn xoay khi quay ( H) quanh tr c
2
/
2
Ox b ng
A.
9
.
5
B.
4
5
C.
7
.
5
D. 2 .
L i gi i:
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
x
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
Xét ph
ng trình hoành đ giao đi m c a (P) và (d):
x 2
x2 4
x 2
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a (P ) và (d):
x 1
4x2 4
x 1
Đ t V là th tích c n tìm.
(P)
(P') y A
-1
VOAC
VOAB
y 4x2
là th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay H'' : y 4 quanh Ox.
Oy
2
d
C
x
1
-2
y x2
là th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay H' : y 4 quanh Ox.
Oy
2
B
4
2
O
1
2
2
2
Lúc đó V VOAC VOAB 4 x2 dx 4 4 x2 dx 4 x4 dx 4 16 x4 dx
0
0
0
0
32
16 4
x5 2
x5 1
4 x 4 x 16. 8 4
5 0
5 0
5
5 5
®.v.t.t .
Ch n đáp án B.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
