UNG DUNG CUA TICH PHAN

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
Tiết thứ : 59 - 60
-----  -----
A. MỤC TIÊU.
 Kiến thức: Giúp cho HS nắm được các kiến thức cơ bản sau:
- Nắm được cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn hữu hạn của một số đường trong mp.
- Nắm được cơng thức tính thể tích của vật thể và khối tròn xoay trong khơng gian khi xoay chúng xung
quanh trục
Ox
.
 Kỹ năng: Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cơ bản như:
- Biết vận dụng các cơng thức tính vào tính diện tích của một số hình phẳng được giới hạn bởi các đường
cho trước.
- Biết ứng dụng tích phân vào tính thể tích của các khối quen thuộc: khối chóp-chóp cụt, khối cầu và các
khối tròn xoay khác.
 Tư duy, thái độ:
- Có khả năng tư duy sáng tạo. Thái độ tích cực vào bài học.
- Biết quy lạ về quen. Cẩn thận chính xác trong tính tốn, và vận dụng cơng thức và các trường hợp.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.
 GV: Bảng phụ, SGK, máy chiếu Projector.
 HS: Đồ dùng học tập, thước kẻ, các kiến thức về ngun hàm.
C. PHƯƠNG PHÁP.
 Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, phát hiện và giải quyết vấn đề.
D. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG.
 Ổn định lớp:
- Kiểm tra sĩ số:
- Nắm tình hình chuẩn bị bài – chuẩn bị SGK của học sinh.
 Nội Dung Bài Mới.
I.> Tính Diện Tích Hình Phẳng.
1./ Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh:

Hoạt Động 1: Chiếm lĩnh cơng thức tính tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đường.
Hoạt Động Của GV Hoạt Động Của HS
 GV tổ chức cho HS thực hiện hoạt động 1 SGK.
 GV treo hình vẽ và hướng dẫn HS hình thành
cơng thức tính diện tích.
- u cầu HS nhắc lại cơng thức tính diện tích
hình thang cong đã học ở bài 2 trong trường hợp
hàm
( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈
.
- Qua hình vẽ cho HS nhận xét về diện tích của
hình thang cong khi
( )
[ ]
0, ;f x x a b≤ ∀ ∈
.
 HS lắng nghe và thực hiện theo u cầu của GV
để tiếp thu kiến thức mới.
- Tính diện tích của hình thang vng dựa vào
cơng thức ở bài trước.
- Quan sát hình vẽ và nhận biết được hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
( ) ( )
[ ]
0, ;y f x voi f x x a b= ≤ ∀ ∈
có diện tích
bằng diện tích của hình thang cong trong trường
hợp

( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈
như bài trước đã học và
tính bằng cách lấy
( )
( )
b
a
f x dx−
∫
- Hình thành và tiếp thu cơng thức diện tích hình
phẳng,,, tổng qt.
( )
b
a
f x dx
∫
.
- Củng cố kiến thức trên qua ví dụ:
Ta có bảng xét dấu của
( )
3
:C y x=
trên
[ ]
2;1−
x
x
3

- 2
10
0
+
–
y
x
a
x
b
O
- Vậy để tính diện tích trên ta cần phải làm gì? khi
công thức ta đã học là
( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈
.
- Từ đó GV giới thiệu HS đi tới công thức tính
diện tích trong trường hợp cho hàm
( )
y f x=
bất
kỳ thỏa mãn đk là liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
.
 GV cho HS củng cố kiến thức trên qua ví dụ sau:
"Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị
( )

3
:C y x=
với trục hoành và hai đường
thẳng
2; 1x x= − =
."
Diện tích của hình phẳng cần tìm:
1 0 1
3 3 3
2 2 0
0 1
4 4
2 0
1 1 17
4 4 4
S x dx x dx x dx
x x
− −
−
= = − +
= − + =
∫ ∫ ∫
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
với trục
Ox
và hai đường thẳng
,x a x b= =
( )

b
a
S f x dx=
∫
.
2./ Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Hoạt Động 2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Hoạt Động Của GV Hoạt Động Của HS
 GV vẽ hình và hướng dẫn HS cách tìm công thức
của diện tích.
Giả sử hình phẳng giới hạn bỏi hai đường cong là:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: à : , ,C y f x v C y g x x a x b= = = =
( ) ( )
[ ]
à , ;v f x g x x a b> ∀ ∈
như hình vẽ.
- Yêu cầu HS hãy cho biết quan hệ giữa hình cần
tìm với các hình phẳng giới hạn bởi từng mỗi
đường với trục hoành.
- Nhận xét cách phát biểu của HS và giới thiệu
công thức tính diện tích và chú ý cho HS nắm
cách tính tích phân trong trường hợp này.
 GV cho HS củng cố kiến thức trên qua nghiên
cứu cách giải của ví dụ SGK 2 và ví dụ sau: "Tính
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
của hai hàm số
2
2 2, 4y x x y x= + + = +

.
 HS lắng nghe và thực hiện theo yêu cầu của GV
để tiếp thu kiến thức mới.
- HS suy nghĩ và nhận ra được công thức cần tìm
là:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
- Nghiên cứu cách giải của ví dụ SGK và vận dụng
vào giải bài toán GV nêu ra:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

2
2
2 2 4
2
2 0
1
x x x
x
x x
x
+ + = +
= −

⇔ + − = ⇔

=


Vậy diện tích của hình phẳng cần tìm là:
( ) ( )
1
2
2
1 1
2 2
2 2
1
3 2
2
2 2 4
2 2 4 2
1 1
2
3 2
S x x x dx
x x x dx x x dx
x x x
−
− −
−
= + + − −
= + + − − = + −
 
= + − =
 ÷
 
∫

∫ ∫
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số
( ) ( )
,y f x y g x= =
với hai đường
thẳng
,x a x b= =
là:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
.
Nếu trên đoạn
[ ]
;a b
phương trình
( ) ( )
f x g x=
các nghiệm là
, àc d v c d<
thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
b c d b

a a c d
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx= − = − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
g(x)
f(x)
y
x
O
Tieát thöù 2:
II.> Tính Thể Tích.
1./ Tính thể tích của vật thể:
Hoạt Động 3: Chiếm lĩnh công thức tính tính thể tích của vật thể.
Hoạt Động Của GV Hoạt Động Của HS
 GV đặt vấn đề như SGK và thông báo công thức
tính thể tich vật thể (treo hình vẽ đã chuẩn bị lên
bảng).
( )
b
a
V S x dx=
∫
 GV hướng dẫn HS giải vd4 SGK
 HS lắng nghe và giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự
định hướng của giáo viên.
Thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên
2./ Thể tích của khối chóp và khối chóp cụt:
Hoạt Động 4: Chiếm lĩnh công thức tính tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đường.
Hoạt Động Của GV Hoạt Động Của HS
 GV xét khối chóp đỉnh A và diện tích đáy là S,
đường cao

OI h
=
. Tính diện tích
( )
S x
của thiết
diện của khối chóp cắt bởi mp song song với đáy?
Tính tích phân trên.
 GV đối với khối chóp cụt giới hạn bởi mp đáy
có hoành độ AI
0
= h
0
và AI
1
= h
1
(h
0
< h
1
). Gọi S
0
và S
1
lần lượt là diện tích 2 mặt đáy tương ứng.
Viết công thức tính thể tích của khối chóp cụt
này.
 GV củng cố công thức:
Tính thể tích của vật thể nằm giữa 2 mp x = 3 và

x = 5, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mp vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x,
[ ]
3;5x∈
là một hình chữ nhật có độ dài các cạnh
là 2x,
2
9x −
.
- GV cho HS làm việc theo nhóm, yêu cầu HS lên
trình bày kết quả và cho các nhóm đánh giá bài
giải của nhóm bạn.
-
2
2
( ) .
x
S x S
h
=
Do đó, thể tích của khối chóp (khối nón) là:
2
2
0
.
.
3
h
x S h
V S dx

h
= =
∫
- HS tiến hành giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự
định hướng của giáo viên.
Thể tích của khối chóp cụt là:
( )
0 0 1 1
.
3
h
V S S S S= + +
.
- HS giải bài tập dưới sự định hướng của giáo
viên theo nhóm.
Diện tích của thiết diện là:
( )
2
2 . 9S x x x= −
Do đó thể tích cảu vật thể là:
5
2
3
128
2 . 9. ...
3
V x x dx= − = =
∫
- Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên.
- Các nhóm nhận xét bài làm trên bảng.

III.> Thể Tích Khối Tròn Xoay.
Hoạt Động 5: Chiểm lĩnh công thức tính thể tích của khối tròn xoay.
Hoạt Động Của GV Hoạt Động Của HS
 GV nhắc lại khái niệm khối tròn xoay đã học ở
chương II cho HS nắm và đặt vấn đề vào nội
dung mới.
 HS lắng nghe và trả lời các câu hỏi của GV để
hoàn thiện kiến thức mới.
- Nhớ lại kiến thức về khối tròn xoay đã hoc để
tưởng tượng ra hình vẽ.
- Nhận biết được thiết diện là hình tròn có bán
kính là
( )
f x
và diện tích là
( )
2
S f x
π
=
.
- Thể tích cần tìm là:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=
∫

 HS củng cố các kiến thức trên qua cách giải các
ví dụ 5,6:
 GV nêu bài toán và hướng HS tìm lời giải cho
bài toán:
Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
số
( )
y f x=
với trục
Ox
và hai đường thẳng
,x a x b= =
quay xung quanh trục
Ox
tạo thành
một khối tròn xoay. Tính thể tích khối trên.
- Hãy cho biết thiết diện thu được khi cắt khối
tròn xoay bằng mp vuông góc với trục
Ox
là hình
gì?
- Hình tròn trên có bán kính và diện tích là bao
nhiêu?
- Vậy theo kết quả phần trên thì thể tích của khối
trên được tính theo công thức nào?
 GV nhận xét và giới thiệu công thức tính thể tích
của khối tròn xoay.
 GV củng cố kiến thức cho HS qua nghiên cứu
cách giải của các ví dụ 5, 6 SGK.
VD5:

( )
2
0 0
sin 1 cos2
2
V xdx x dx
π π
π
π
= = −
∫ ∫

2
0
1
sin 2
2 2 2
x x
π
π π
 
= − =
 ÷
 
VD6:
( ) ( )
2
2 2 2 2
R R
R R

V R x dx R x dx
π π
− −
= − = −
∫ ∫

3
2 3
1 4
3 3
R
R
R
R x x
π
π
−
 
= − =
 ÷
 
.
E. CỦNG CỐ.
- Nhắc lại các công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đường, hai đường cong,,, và chú
ý cách tính diện tích, khử dấu trị tuyệt đối.
- Công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi xoay hình phẳng quanh trục hoành.
- Về nhà giải các bài tập 1, 2, 4 trong SGK.
F. RÚT KINH NGHIỆM: