Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 16 PHUONG TRINH DUONG VA MAT Le Hoanh Pho

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (707.93 KB, 27 trang )

(1)Chuyên đề 16: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương trình tổng quát của mật phẳng:. r Mặt phẳng qua M 0  x0 ; y0  và vecto pháp tuyến n   A, B, C  . Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0. Hay A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn x y z    1 khi cắt 3 trục Ox, Oy, Oz tại 3 điểm khác gốc O là a b b. A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  Phương trình của đường thẳng: đi qua M 0  x0 , y0 , z0  và có vectơ chỉ phương r u   a, b, c  , a 2  b2  c 2  0.  x  x0  at  Phương trình tham số: d:  y  y0  bt , t  R  z  z  ct 0  Phương trình chính tắc khi a, b, c  0 : x  x0 y  y0 z  z0   a b c. - Đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau: r uur uur Nếu d     thì chọn VTCP n   n , n .  Ax  By  Cz  D  0 Hoặc từ hệ  ta chọn ra A' x  B ' y  C ' z  D '  0 hai bộ nghiệm  x;y;z  tương ứng tọa độ của hai điểm thuộc giao tuyến. - Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau: uur Đường thẳng d1 qua M1 và có VTCP u1 uur Đường thẳng d 2 qua M 2 và có VTCP u 2 r ur uur Cách 1: Đường vuông góc chung d có VTCP u  u1 ; u2  Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d 2 .. Trang 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(2) Tìm. giao điểm A của di. và (P) thì d đi r u. qua A và có VTCP. Cách 2: Gọi đoạn vuông góc chung là AB, A  d1 và B  d 2 dạng tham số theo t và t' . Tìm t và t' bằng hệ điều kiện: uuur ur  AB.u1  0 . Đường vuông góc chung d là đường thẳng AB.  uuur uur  AB.u2  0 Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I  a,b,c  bán kính R.  x  a   y  b   z  c 2. 2. 3.  R 2 hay:. x2  y 2  y 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0, A2  B2  C 2  D  0. Có tâm I   A,  B, C  và bán kính R  A2  B2  C 2  D Phương trình đường tròn giao tuyến.  x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0   Ax  By  Cz  D  0 Giao tuyến của mặt cầu (S) tâm I bán kính R và mặt phẵng (P) là đường tròn giao tuyến (C) có tâm H là hình chiếu tâm mặt cầu I lên mặt phẳng (P) và bán Kính r  R 2  d 2  t;  P   2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 16.1: Lập phương trình mặt phẳng: a) Đi qua hai điểm A 1;1;-1 ,B  5;2;1 và song song với trục Oz b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng x  y  z  4  0,3x  y  z 1  0 và đi qua. K  2;1; 1 Hướng dẫn giải. Trang 2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(3) a) Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: A ' x  B ' y  D '  0 với D '  0, A '2  B '2  0.  A ' B ' D '  0 (P) đi qua A và B nên:   4 A ' B '  0 5 A ' 2 B ' D '  0 Chọn A '  1, B '  4 và do đó D '  3 và được phương trình của (P) là: x  4y  3  0. b) Các điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng có toạ độ  x; y; z  thoả mãn hệ. x  y  z  4  0  3x  y  z  1  0. 3  x    x  z  4  3 11  2 Cho y=0 thì    M   ;0;  2  2 3x  z  1  z  11  2 3   x   2 x  y  4  3 11  Cho z=0 thì    M   ;  ;0   2 2  3x  y  1  z   11  2 Ta lập được phương trình (MNK): 15x-7y+7z-16=0 Bài toán 16.2: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua điểm G 1;2;3 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. b) Đi qua điểm H  2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Hướng dẫn giải a) Giả sử A  a;0;0  ,B  0;b;0  và C  0;0;c  . Vì G 1;2;3 là trọng tâm của tam giác ABC nên:. a00 0b0 00c  1;  2; 3 3 3 3. Suy ra a  3, b  6, c  9 Vậy phương trình theo đoạn chắn:. x y z   1 3 6 9. Trang 3 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(4) b) Nếu mặt phẳng đi qua H  2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại A, B, C thì tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, do đó H là trực tâm của tam giác ABC thì OH  mp  ABC  .. uuur Vậy mp(ABC) đi qua H và có vectơ pháp tuyến OH=  2;1;1 nên có phương trình:. 2  x  2   y  1   z  1  0 hay 2 x  y  z  6  0 . Bài toán 16.3: Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M  5;4;3 và cắt ba trục toạ độ ở ba điểm khác O, cách đều gốc toạ độ. Hướng dẫn giải Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn: x y z    1, a  b  c  0 a b c. Điểm M  5;4;3 thuộc mặt phẳng nên: Với b  a, c  a, (1) . 5 4 3    1 (1) a b c. 5 4 3    1  a  12 a a a. Với b  a, c  a, (1) . 5 4 3   1 a  6 a a a. Với b  a, c  a, (1) . 5 4 3   1 a  4 a a a. Với b  a, c  a, (1) . 5 4 3    1  a  2 a a a. Do đó bốn mặt phẳng cần tìm là: x y z x y z x y z x y z    1;    1;   ;    1. 12 12 12 6 6 6 4 4 4 2 2 2. Bài toán 16.4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng a) 2 x  y  4 z  5  0 và 3x  5 y  z  1  0 . b) x  2 y  z  1  0 và x  2 y  z  5  0 Hướng dẫn giải a) Điểm M  x;y;z  cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:. 2x  y  4z  5. . 3x  5 y  z  1. 4  1  16 9  25  1 Trang 4 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(5)  5 2 x  y  4 z  5  3x  5 y  z  1  5  2 x  y  4 z  5   3  3x  5 y  z  1 Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng phân giác:. 2 2.   5  5 3  y  4 5  3  z  5 5  3  x-  5-5 3  y+  4 5  3  z+5 5- 3=0. 5 3 3 x  5-3. b) Điểm M  x;y;z  cách đều hai mặt phẳng :. 3 0. x  2 y  z 1 1 4 1. . x  2y  z  5 1 4 1.  x  2 y  z 1  x  2 y  z  5  x  2 y  z 1  x  2 y  z  5   x  2 y  z  1    x  2 y  z  5  2x  4 y  2z  4  0  x  2 y  z  2  0. Vậy tập hợp các điểm M là mặt phẳng song song cách đều có phương trình: x  2y  z  2  0. Bài toán 16.5: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua các điểm. M  0;0;1 ,N  3;0;0  và tạo với mặt phẳng Oxy góc. π . 3. Hướng dẫn giải r uuuur Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là n= 1;a;b  . Ta có MN=  3;0;  1 r uuuur r Vì n.MN=3.1+0-b=0 nên b=3 . Do đó n= 1;a;3 r Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k=  0;0;1 rr n .k  1 3 Ta có: cos  r r    a   26 2 3 n.k 2 a  10. PT mặt phẳng (P) là: 1.  x  0   26  y  0   3.  z  1  0  x  26. y  3z  3  0. Bài toán 16.6: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp (  ) có phương trình: 2 x  y  5z  0 một góc 600. Hướng dẫn giải. Trang 5 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(6) Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng: uur uur Ax  By  0  n p   A; B;0  , n  2;1;  5. . . . uur uur Ta có: cos n p , n . 2A  B A2  B 2 . 4  1  5. .  cos 600 . 1 2.  2 2 A  B  10. A2  B 2  6 A2  16 AB  6B 2  0 1  A1   Lấy B=1 ,ta có: 6 A  16 A  6  0  3  A   2 3 2. Vậy có hai mặt phẳng (P) phải tìm:. 1 x  y  0; 3x  y  0 3. Bài toán 16.7: Cho tứ diện ABCD với A  3;5;-1 ,B  7;5;3 ,C  9;-1;5 ,D  5;3;-3 . Viết phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó. Hướng dẫn giải Một mặt phẳng cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách đều bốn đình A, B, C, D của hình tứ diện thì: - Hoặc mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện. Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với một mặt. - Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đối chung mút. Từ đó tìm được bảy mặt phẳng thoả mãn yêu cầu đầu bài là:. x  z  6  0; x  y  10  0; x  2 y  z  8  0;2 x  y  z  14 x  y  z  2  0;2 x  y  z 16  0;5x  y  2 z  28  0. Bài toán 16.8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm M1 1;0;1 , M 2  2; 1;0  và M 3  0;0;1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M 3 mà khoảng cách từ M1 và M 3 đến (P) đều bằng. 2 . 2. Hướng dẫn giải. Trang 6 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(7) Mặt phẳng (P) đi qua M  0;0;1 nên có phương trình. A  x  0  B  y  0   C  z  1  0 Hay Ax  By  Cz  0  A2  B 2  C 2  0  Ta có khoảng cách. AC C A  B C 2. 2. 2. . 2A  B  C A  B C 2. 2. 2. . 2 2. Do đó A  2 A  B  C hay  A  2 A  B  C Suy ra C  A  B hoặc C  3 A  B - Với C  3 A thì từ. A 2. 2. A +B +C. 2. . 2 ta suy ra 2. 2 A2  A2  B2   3 A  B   8 A2  64B  2B 2  0 2. 2. 3  7B2    2A  B    0  A  0, B  0 nên C  0 : loại 4  16  Bài toán 16.9: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 4 x  3 y 12 z  1  0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: 4 x  3 y 12 y  D  0. với. D  1.. Hướng dẫn giải Mặt cầu đã cho có tâm là I 1;2;3 và có bán kính. R  12  22  32  2  4 Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 4 x  3 y 12 z  1  0 nên có phương trình: với 4 x  3 y  12 y  D  0 với D  1. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi.. d  I ,  P    R  26  D  52  D  78 hoặc D  26 Vậy có hai mặt phằng thoả mãn yêu cầu là: 4x  3y  12z  78  0 và 4x  3y  12z  26  0. Bài toán 16.10: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d: x  13 y  1 z   và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  67  0 1 1 4. Hướng dẫn giải. Trang 7 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(8) Tâm của (S) là I 1;2;3 , bán kính R  12  22  32  67  9 Đường thẳng d đi qua M 13; 1;0  và N 12;0; 4  Phương trình(P): Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0. 13 A  B  D  0  A  B  4C (P) qua M, N nên:   12 A  4C  D  0  D  12 B  52C Do đó (P):  B  4C  x  By  Cz  12B  52C  0. (*). Điều kiện (P) tiếp xúc (S): d  I,  P    R. . B  4C  2 B  3C  12 B  52C.  B  4C . 2.  B C 2. 9. 2.  B+5C = 2B2 +8BC+17C2  B2  2B  8C 2  0  B  4C hoặc B  2C .. Thế vào (*) và rút gọn C  0 , ta được 2 mặt phẳng: 2 x  2 y  z  28  0,8x  4 y  z  100  0 .. Bài toán 16.11: Lập phương trình mặt cầu a) Có đường tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với. A  0;  2;1 ,B  1;0;1 ,C  0;0;  1 b) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A 1;2;  4 ,B 1;  3;1 ,C  2;2;3 ,D 1;0;4 Hướng dẫn giải: a) Gọi I  x; y; z  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. uuur uuur uur Ta có: AB   1;2;0  , AC   0;2; 2  , AI   x; y  2; z  1. uuur uuur   AB, AC    4; 2; 2 . uuur uuur uur Nên I   ABC   AB,AC AI=0  2x-y+z-3=0. Trang 8 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(9)  x  1  AI  BI 2 x  4 y  -3   1   Ta có  AI 2  CI 2   y  z  1  y   4  I  ABC  2 x  y  z  3  3    z  4 2. 2. 33 1 3  Nên tâm I  t ,  ,  và bán kính R  AI  8 4 4  2. 2. 1  3  33  Vậy PT mặt cầu là  x  1   y     z    4  4 8  2. b) Gọi I  a;b;c  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện..  IA2  IB 2  IA  IB  y  z  1  x  2  2    2  IA  IC   IA  IC   x  7 y  2   y  1  IA  ID  IA2  ID 2 2 x  8 y  -2 z  0     Do đó. I  2;1;0  và R  IA  26 Vậy (S):  x  2    y  1  z 2  26 2. 2. Bài toán 16.12: Cho bốn điểm A  3;2;0 ,B  -1;3;2 ,C 1;0;1 ,D  0;-1;3 Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn: uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur MA  MB  MC  MD  MA  MB  2MC Hướng dẫn giải 3 3  5  Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, I là trung điểm AB thì: G  ;1;  ,I 1; ;1 4 2  2  uuur uuur uuuur uuuur uuuur Ta có MA  MB  MC  MD  4MG uuur uuur uuuur uuur uuuur uur MA  MB  2MC  2MI  2MC  2CI uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur Do đó MA  MB  MC  MD  MA  MB - 2MC  4MG  2CI  MG . CI 5  : không đổi 2 4. Vậy tập hợp những điểm M  x;y;z  là mặt cầu tâm. Trang 9 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(10) 2. 2. 3 3 25 2    x     y  1   x    4 2  16   Bài toán 16.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu:.  x  2t x -1 y z    (S): x  y  z  2 x  2 y  4  3  0 cà đường thẳng 1 :  y  1  t ,  2 :  1 1 1 z  t  2. 2. 2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1 và  2 . Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) tâm I 1; 1; 2  , R  3. r 1 đi qua điểm A  0; 1; 0 có vectơ chỉ phương u =  2;  1 ; 1 r  2 đi qua điểm B 1; 0; 0 có vectơ chỉ phương v   1; 1;  1 . r r r Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n   u, v    0; 1; 1   P  : y  z  m  0 . Điều kiện tiếp xúc: d  l ,  P    R. . m3 2.  3  m  3 3 2 .. Vậy có 2 mặt phẳng  P1  : y  z  3  3 2  0,  P2  y  z  3  3 2  0 Các điểm A, B không thuộc hai mặt phẳng nên đó là 2 mặt cần tìm. Bài toán 16.14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến d của 2 mặt phẳng: x  y  z  3  0 , 2 x  y  z  4  0 và hợp với mp(Oxy) góc 60°.. Hướng dẫn giải Giao tuyến d của mặt phẳng: x  y  z  3  0, 2 x  y  z  4  0 đi qua M(1; 1; 1). r ur uur và có VTCP: u  n1 , n2   (0 ;1 ; 1 ) ( P) : A( x 1)  B( y 1)  C( z 1)  0; A2  B2  C 2  0 r r Ta có VTPT n=  A,B,C  vuông góc với u nên: B  C  0  C  B.. Do đó (P): Ax  By  Bz  A  2B  0. Trang 10 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(11) r Mặt phắng (Oxy) có VTPT k  (0; 0; 1).  . r r 1 Ta có:   600  cos n, k   2. B A2  2 B 2. . 1 2.  A2  2B2  A   B 2 Từ đó tìm được 2 mặt phẳng (P): 2 x  y  z  2  2  0,. 2x  y  z  2  2  0. Bài toán 16.15: Lập phương trình m ặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng.  :. x  2 y 1 z 1 và tiếp xúc với hai mặt phẳng   3 2 2. (P): x  2 y  2 z  2  0, (Q) : x  2 y  2 z  4  0 Hướng dẫn giải Ta có (P), (Q) song song nên tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn AB với A, B là giao điểm của    và 2 mặt phẳng đó (A) cắt (P) tại A(2; 1; 1) , cắt (Q) tại l(-1 ; 3; 3). B(4;5;5) nên tâm. Ta có R  d (l , ( P)) . 1  2.3  2.3  2 1 4  4. 1. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là  x  1   y  3   z  3  1 2. 2. 2. Bài toán 16.16: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I  2; 3;  1 , cắt đường thẳng  x  2t  11  d:  y    t tại 2 điểm A, B mà AB = 40 2   z  14  2t. Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm dây AB thì IH vuông góc với AB. Mặt phẳng (P) qua I, vuông góc với d có phương trình: 2 x  y  2 z  9  0 , suy ra giao điểm d và d (P) là: H  -3;-7;-11 . Ta có R2  IA2  AH 2  IH 2  202  152  225 Vậy (S):  x  2    y  3   z  1  225 2. 2. 2. Trang 11 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(12) uuuur r  M 0 I .u    Cách khác IH = d(l, d) = r u Bài toán 16.17: Cho  P  : 5x  4 y  z  6  0,  Q  : 2 x  y  z  7  0 và d là giao tuyến của 2 mặt phẳng: x  y  2 z  3  0 , x  3 y  z  0 . Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I là giao điểm của d với (P), cắt (Q) theo đường tròn có chu vi 4 . Hướng dẫn giải Tâm I  x; y; z  có toạ độ là nghiệm của hệ:. 5 x  4 y  z  6  0 x  1    x  y  2 z  3  0   y  0 nên I(1; 0; 1) x  3y  z  0 z  1   Ta có d = d(I, (Q)) =. 2.1  0  1  7 4 11. . 10 6. Đường tròn giao tuyến có chu vi 4 5  2 r nên có bán kính r  2 5 do đó R2  d 2  r 2 . 110 . 3. Vậy phương trình (S):  x  1  y 2   z  1  2. 2. 110 . 3. Bài toán 16.18: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d: a) Giao tuyến của hai mặt phẳng:  P  : 2 x  y  z  5  0 ;  P ' : 2 x  z  3  0 . b) Vuông góc với mp(ABC) có A 1; 0; 1 , B  2; 3; 1 , C 1; 3; 1 tại trực tâm H của tam giác ABC. Hướng dẫn giải r ur a) (P), (P') có VTPT n  (2; 1; 1); n '  (2; 0; 1). r r r ur Gọi VTCP của giao tuyến d là: u thì u  n,n'. r r ur  1 1 1 2 2  1  ; ; Chọn u   n, n '     (1; 4; 2)  0  1 1 2 2 0  Các điểm thuộc giao tuyển d có toạ độ thoả mãn hệ:. 2 x  y  z  5  0 . Cho x = 0 thì y=8,z=3  2 x  z  3  0. Trang 12 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(13) r Do đó d qua M  0; 8; 3 , có VTCP u= (1; 4; 2) nên có phương trình tham số x  t x y 8 z 3  và chính tắc là:  y  8  4t z;   1 4 2  z  3  2t  2x-y+z+5  y=z+2x+5 Cách khác: ta có   2x-z+3=0 z=2x+3 x  t  Đặt x  t thì y  8  4t , z  3  2t nên phương trình:  y  8  4t  z  3  2t  Ngoài cách tìm một điểm và VTCP, cách tạo tham số, ta có thể tìm 2 điểm trên giao tuyến. b) Phương trình mặt phẳng   qua c vuông góc với AB là: 1( x 1)  3 ( y  3)  0  x  3 y 10  0.. Phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC là:. 3( y  3)  2( z  1)  0 3 y  2 z  7  0 Đường thẳng d qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là giao tuyến của   và    .. r uur uur Đường thẳng d qua N 1; 3;  1 và có vectơ chỉ phương u  n , n    6; 2;3.  x  1  4t  nên có phương trình là:  y  t  z  1  3t  Bài toán 16.19: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm.  x  1  4t  M  0; 1; -1 vuông góc và cắt đường thẳng  :  y  t  z  1  4t  Hướng dẫn giải r Đường thẳng  VTCP u  (4; 1; 4). Gọi H là hình chiếu của M lên  thì H (1  4t; t; 1  4t ).. Trang 13 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(14) uuuur Ta có MH  (1  4t; t  1 ; 4t ) nên MH  Δ r uuuur u.MH  0  4(1  4 t )  1(t  1)  4(4t )  0.  33t = 5  t =. 5  13 -28 20  .Do đó H  ; ;  hay (13; -28 ; 20) 33  33 33 33 . Vậy phương trình chính tắc của d là. x y 1 z 1   3 28 20. Cách khác: Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (M , ) : 4 x  4 y  3z 1  0 và mặt phẳng qua M, vuông góc với  : 4 x  y  4 z  3  0.. Bài toán 16.20: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của. x  5  t  a) Đường thẳng d:  y  3  2t trên mỗi mặt phẳng toạ độ. z  4  t  x  t  b) Đường thẳng d:  y  8  4t lên mặt phẳng (P): x  y  z  7  0.  z  3  2t  Hướng dẫn giải a) Điểm M  x; y; z  thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) là M'  0; y; z  thuộc d', d' là hình chiếu lên mp(Oyz).. x  5  t  Vậy phương trình tham số của d' là:  y  3  2t . Tương tự thì hình chiếu lên z  0  x  5  t x  5  t   mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số:  y  3  2t ,  y  0 z  0 z  4  t  . Trang 14 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(15) b) Ta viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d và vuông góc với mp(P). r r Vectơ pháp tuyến của của (Q) vuông góc với cả u và n p nên ta có thể lấy r r uur n  u, n p    2; 1;  3 . Và (Q) đi qua d nên đi qua M  0; 8; 3 . Vậy (Q) có phương trình: 2( x  0)  ( y  8)  3( z  3)  0 hay 2 x  y  3z  1  0.. Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d'. Đường thẳng d' là giao tuyến của (Q) và (P) nên d' chứa các điểm có toạ độ  x, y, z . x  y  z  7  0 thỏa mãn :  2 x  y  3z  1  0.  x  8  4t  Đặt z = t thì x  8  4t , y = 15 – 5 t .Vậy d'  y  15  5t z  t  Cách khác: Tìm giao điểm A của d và (P). Thế toạ độ x, y, z vào 4  4 40 13   A ; ;  7  7 7 7 ur r uur Mặt phẳng (Q) qua d, vuông góc với (P) có VTPT: u '  u.n p   (2; 1; 3).  P :. t  8  4t )  (3  2t )  7  0  t . r r uur Đường thẳng d' của VTCP u '  n, n p   (4; 5; 1) Từ đó suy ra phương trình của hình chiếu d'. Bài toán 16.21: Viết phương trình hình chiếu của   2  : theo phương (  1  :. x 7 y 3 z 9   1 2 1. x  3 y 1 z 1 lên mặt phẳng ( ) : x  y  z  3  0.   7 2 3 Hướng dẫn giải. Hình chiếu A là giao tuyến của  α  với  β  , trong đó  β  là mặt phẳng chứa   2  , song song với  1  Vì  β  chứa   2  nên đi qua A  7; 3; 9  và có VTPT. r ur uur n  u1 u2   8; 4;16  hay  2; 1; 4  . Do đó.  β  : 2( x  7).  1( y  3)  4( z  9)  0 hay 2 x  y  4 z  53  0.. Trang 15 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(16) x  y  7  3  0 Các điểm thuộc giao tuyến   2  có toạ độ thoả mãn:  2 x  y  4 z  53  0 Đặt z  t thì x  56  3t , y  59  2t.  x  56  3t  Vậy phương trình tham số của hình chiếu:  y  59  2t z  t  Bài toán 16.22: Cho đường thẳng  và mp(P) có phương trình: x  1 y  2 z3   ( P) : 2 x  z  5  0. 1 2 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A của A và (P), nằm trong (P) và vuông góc với  . Hướng dẫn giải  dạng tham số: x  1  1, y  2  2t , z  3  2t.. Thế x, y, z vào (P) thì được t = 0 nên A 1; 2; 3 . Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với  . Khi đó, vectơ chỉ r r phương u ' của d phải vuông góc với vectơ chỉ phương u'= 1; 2; 2  của  , đồng thời r vuông góc với vectơ pháp tuyến n=  2; 0; , 1 của (P), nên ta chọn:. r r r u   u, n    2;3; 4  . Vậy đường thẳng d:. x 1 y  2 z  3   2 2 4. Cách khác: Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với  thì (Q) có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của A nên có phương trình:. x  1  2  y  2   2  z  3  0 hay x  2 y  2 z  11  0. Giao tuyến d của (P) và (Q) là đường. thẳng đi qua A, nằm trong (P) và d  Δ (vì d nằm trong (Q) mà Δ   Q  ). 1 2  x   3  3 t  Suy ra phương trình tham số của d là:  y  1  17 4 z   t 3 3 . Trang 16 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(17) Bài toán 16.23: Viết phương trình đường thẳng đi qua A 1; -1; 1 và cắt cả hai đường.  y  1  2t x  t '   thẳng: d:  y  t và d ' :  y  1  2t ' z  3  t z  2  t '   Hướng dẫn giải Ta có A không thuộc d và d'.Đường thẳng d' đi qua điểm M 1; 0; 3 và có vectơ chỉ r phương u=  2; 1;-1 . Đường thẳng d' đi qua điểm M'  0; -1; 2 và có vectơ chỉ phương u'= 1;-2; 1 . Đường thẳng  cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng: mp (A; d) và mp (A; d'). Mp(A; d) có vectơ pháp tuyến r uuuur r n   AM , u   (3; 4; 2), mp(A; d') có vectơ pháp tuyến r uuuuur ur n '   AM ', u '  (2;2;2) hay (1; 1; 1). r ur Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là  n, n '   6; 1;  7  đi qua A nên có.  x  1  6t  phương trình tham số là:  y  1  t  z  1  7t  rr Ta có u.n  2  1  1  2  0 nên d cắt mp(A; d'), do đó d cắt  r r Tương tự, vì u'.n  3  9  2  13  0 nên d' cắt mp(A; d), do đó d' cắt  . Vậy  là đường thẳng đi qua A, cắt cả d và d'. Cách khác: Ta tìm giao điểm B của d' và (A; d), đường thẳng  là đường thẳng qua A và B. Lấy điểm M 1 + 2t; t;3-1 nằm trên d và điểm M '  t '; 1  2t '; 2  t ' nằm trên d'. uuuuur uuuur Ta tìm giá trị của t và t' sao cho điểm A, M, M' thẳng hàng, tức là AM và AM ' cùng phương. Bài toán 16.24: Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AC và BD biết. A  4; 1; 4 , B  3; 3; 1 , C 1; 5; 5 , D 1; 1; 1 . Hướng dẫn giải r PT đường AC là  d1  : x  4  3t , y  1  4t , z  4  t có VTCP u  (3; 4; 1).. Trang 17 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(18) uur PT đường BD là  d 2  : x  3  2k , y  3  2k , z  1 có VTCP u2  (2; 2; 0) Gọi đường vuông góc chung là    qua E thuộc d1 ,F thuộc d 2 : E(4  3t; 1  4t; 4  t ); F (3  2k; 3  2k; 1) uuur FE  (1  3t  2k ; 2  4t  2k ; 3  t ). Ta có. 5  uuur ur t  17  FE.u1  0 26t  2k  8  0    uuur uur t  4 k  1  0 FE . u  0   k  3 2  17  53 37 73   45 45 17  Suy ra E  ; ;  , F  ; ;   17 17 17   17 17 17  Đường vuông góc chung    có vectơ chỉ phương. uur  8 8 56  FE   ;  ;  hay 1; 1;7   17 17 17  nên có PT là: x . 45 45  t, y   t , z  1  7.t 17 17. Bài toán 16.25: Cho 2 đường thẳng:  1  :.  2  :. x  3 y 1 z 1 và   7 2 3. x 7 y 3 z 9 . Lập phương trình đường thẳng  3  đối xứng với   1 2 1.  Δ 2  qua  Δ1  . Hướng dẫn giải Lấy điểm M   2   M (t  7;2t  3; t  9) Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với  1  :. 7  x  1  7   2  y  2 t  3  3  z  t  9   0 Ta có  1  : x  7k  3, y  2k  1, z  3k  1 nên giao điểm của  1  và (P) là 3t 6t 9t   21t  3   1   1 ứng với k   31 3 31   31. Gọi M' đối xứng với M qua  Δ1  thì I là trung điểm đoạn MM' nên có. Trang 18 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(19) 74t 13t  11t  M'   1,   1,  7 . 31 31  31 . Vậy đường thẳng  3  cần tìm chứa các điểm M' nên có phương trình là:.  x  1  11t   y  1  74t  z  7  17t  Bài toán 16.26: Viết phương trình đường thẳng đi qua M 1; -5; 3 và tạo với hai đường thẳng Ox, Oy các góc bằng 60°. Hướng dẫn giải r Gọi u   a; b; c  , a 2  b2  c 2  0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm. Các r r đường thẳng Ox, Oy có các vectơ chỉ phương là i  1; 0; 0  , j   0; 1; 0  . Theo giả thiết của bài toán thì:. a a b c 2. 2. 2.  a 2  b2 . . b a b c 2. 2. 2.  cos 600 . 1 2. 1 2  a  b2  c2   4a2  4b2  a2  b2  c2 4.  2a 2  2b2  c2 . Chọn C= 2 thì a  1, b  1.. Vậy có 4 trường hợp xảy ra nên có 4 đường thẳng có phương trình:. x 1 y  5 z  3 x 1 y  5 z  3   ;   1 1 1 1 2 2 x 1 y  5 z  3 x 1 y  5 z  3   ;   1 1 1 2 1 2 Bài toán 16.27: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm. A 1; 5; 3 , B  4; 2; -5 , C  5; 5 ;-1.  và D 1; 2; 4. a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm đó. Tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S). c) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng toạđộ. Hướng dẫn giải uuur uuur uuuur Ta có AB  (3; 3; 8), AC  (4;0; 4), AD  (0; 3;1). Trang 19 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(20) uuur uuuur uuur uuur uuur [ AB, AC ]  (12; 20; 12) nên [ AB, A C ]. AD  72  0 .. Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0.. Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có:. 1  25  9  2a  10b  6c  d  0 a  1 16  4  25  8a  4b  10c  d  0 b  2      5  25  1  10a  10b  2c  d  0 c  1 1  4  16  2a  4b  8c  d  0 d  19 Vậy mặt cầu (S) là: x2  y 2  z 2  2 x  4 x  2 z  19  0 Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;  1 và bán kính R = 5 Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến. r uuur uuur n   AB, AC   (12; 20; 12) hay (3; 5; 3) và đi qua điểm A 1; 5; 3 nên có phương trình: 3(x - 1) - 5(y - 5) + 3(z - 3) = 0 hay 3x - 5y + 3z + 13 = 0.. 13.1  5.2  3.4  13. 18 43 32  52  32 uuuur b) Mặt phẳng   vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến CD   4; 3; 5 nên có Khoảng cách d ( D;( ABC )) . . phương trình: 4 x  3 y  5z  d  0. Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi:. 4.1  3 .2  5 .1  d 16  9  25. 5. 15  d 50.  d  15  2. Vậy ta có hai mặt phẵng cần tìm với phương trình: 4 x  3 y  5z  15  25 2  0. c) Tâm mặt cầu (S) là I 1; 2;  1 . Khoảng cách từ I tới (Oxy) là d1 = -1 =1 nên (S) cắt mp(Oxy) theo đường tròn có bán kính r1 = R 2 -d12 = 25-1=2 6 Khoảng cách từ I tới mp(Oyz) là d 2 =1 nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính r2  R2  d22  25  1  2 6 Khoảng cách từ I tới mp(Oxz) là d3 =2 nên (S) cắt mp(Oxz) theo đường tròn có bán kính r3  R2  d32  25  4  21. Trang 20 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(21) Bài toán 16.28: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 3 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích bé nhất. Hướng dẫn giải Giả sử A  a; 0; 0 , B  0; b; 0 , C  0; 0; c  với a > 0, b > 0, c > 0..  P :. 1 2 3 x y z    1. Vì M nằm trên (P) nên    1 a b c a b c. Ta có: 1 . 1 2 3 31 2 3 6 27 abc   3 . .  33 1   27 a b c a b c abc abc 6. Dấu "=" xảy ra khi. 1 2 3 = = =1 hay a = 3; b = 6; c = 9. a b c. 1 abc Thể tích tứ diện OABC là V  OA.OB.OC   27 . 6 6. Vậy thể tích nhỏ nhất là 27. Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:. x y z   1 6 6 9. Bài toán 16.29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  2 z  5  0 và hai điểm A  3; 0; 1 , B(1; 1; 3) . Trong các đường thẳng. đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Gọi A là đường thẳng cần tìm; A nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Phương trình (Q): x  2 y  2 z  1  0. K, H là hình chiếu của B trên  , (Q). Ta có BK  BH nên AH là đường thẳng cần tìm. Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn:  x 1 y 1 z  3     1 11 7  2 2  H  ; ; .  1  9 9 9  x  2 y  2z 1  0. uuur  26 11 2  x  3 y z 1   AH=  ; ;-  . Vậy phương trình  : 26 11 2  9 9 9. Bài toán 16.30: Lập phương trình mặt phắng (P) chứa đường thẳng d:. Trang 21 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(22)  x  t   y  1  2t và hợp với mặt phẳng  Q  : 2 x  y  2 z  2  0 một góc bé nhất. z  2  t  Hướng dẫn giải Gọi  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 .Vì (P) chứa d nên đi qua. M (0; 1; 2), N (1; 1; 3) :.  B  2C  D  0  A  2B  C    A  B  3C  D  0  D  B  2C Do đó (P): (2B  C) x  By  Cz  B  2C  0 r Mp(Q) có VTPT n '   2; 1; 2  . Gọi φ là góc giữa 2 mặt phẳng thì:. . . r ur cos   cos n, n ' . B 5B2 + 4BC + 2C2. Xét B = 0 thì φ  90 . Xét B  0 , đặt m= cos  . 1 2m 2  4m  5. . 1 2  m  1  3 2. C thì: B. . 1 3. Dấu "=" xảy ra khi m = -1 nên B  C , khi đó φ< 90° là góc cần tìm. Vậy  P : x + y - z + 3 = 0. Bài toán 16.31: Trong không gian Oxyz cho tập hợp các mặt phẳng  α m  có phương trình là mx  2  m  1 y   m  1 z  1  0 . a) Chứng tỏ các mặt phẳng (ctm) đi qua một đường thẳng cố định  ..  x  1  2t  b) Cho đường thẳng d với phương trình tham số  y  3t  z  2  t  Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và  chéo nhau. c) Lập phương trình 2 mặt phẳng lần lượt chứa một đường thẳng d hoặc  và chứa đường vuông góc chung của chúng. Hướng dẫn giải a) Phương trình các mặt phẳng (am) có thể viết thành:. Trang 22 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(23) 2 y  z 1  m( x  2 y  z)  0. 2 x  z  1  0 Đẳng thức này đúng với mọi m nên ta suy ra:  x  2 y  z  0 Hệ phương trình này xác định một đường thảng A cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng 2 y  z 1  0, x  2 y  z  0. r uur uur  có VTCP n= n1 ,n 2  =  4;4;-2  và đi qua B  1;0;1 Vậy các mặt phẳng  m  đi qua đường thăng cô định  :. x  1 y z 1   4 1 2. r b) d qua A 1; 0; -2  và có VTCP u   2; 3;  1. uuur uur r Ta có u , v  . AB  0 nên d và  chéo nhau. r r r c) Đường vuông góc chung IJ có VTCP a  u , v    5; 8; 14  Mặt phẳng (P) chứa d và IJ có VTPT r r r n p  u , a    50; 23; 31 và đi qua A 1; 0; -2  nên có phương trình:. 50  x  1  23  y  0   31 2  2   0 hay 50 x  23 y  31z 112  0.. uur r r Mặt phẳng (Q) chứa  nên IJ có VTPT n Q =  v, a    30; 66; 27  và đi qua. B  -1; 0; 1 nên có phương trình: 10  x  1  22  y  0   9  z  1  0 hay 10 x  22 y  9 z  1  0.. Bài toán 16.32: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A có phương trình : x 1 y  1 z   2 1 3. a) Viết phương trình hình chiếu của A trên các mặt phẳng ( Oyz). b) Chứng minh mặt phẳng x + 5y + z + 4 = 0 đi qua đường thẳng  . c) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả  và  '. Hướng dẫn giải. x  0  a) Đường thẳng A có phương trình tham số là:  y  1  t  z  3t . Trang 23 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(24) r b) Mặt phẳng   đã cho có vectơ pháp tuyến n= 1; 5; 1 uur uur r Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u   2; 1; 3 Ta có n . u  0 nên  song song hoặc nằm trên mặt phẳng   . Vì điểm M 1; -1; 0 của A   (a) nên A nằm trên   . c) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hình chiếu d1 của đường thẳng  có phương trình: x + 2y + 1 = 0 và hình chiếu d'1 của  ' có phương trình x - y = 0 . Giao điểm của hai.  1 1  đường thẳng d1 và d'1 là I   ; ;0  Khi đó đường thẳng đi qua I, song song với Oz  3 3 . sẽ cắt cả hai đường thẳng . 1  x   3  1  và  '. Phương trình đường thẳng đó là:  y   3  z  t   3. BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 16.1: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua hai điểm A  0; 1; 1 , B  1; 0; 2 và vuông góc với mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0.. b) Chứa trục Oz và đi qua điểm E  2; 1; 2  Hướng dẫn. r uuur uur a) Chọn n  AB; n p Kết quả y  z  2  0. b) Kết quả 2y + z = 0. Bài tập 16. 2: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua điểm M  2; -1; 2 , song song với trục Oy và  P  : 2 x  y  3z  1  0 . b) Đi qua điểm M  3; -1; -5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng 3x  2 y  2 z  7  0 và 5x  4 y  3z  1  0.. Hướng dẫn. Trang 24 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(25) r r uur a) Chọn VTPT n  j;n p Kết quả 3x  2 z  2  0 . b) Kết quả 2 x  y  2 z 15  0 Bài tập 16. 3: Cho tứ diện với các đỉnh A  2; 0; 0 , B  0; 4; 0 , C  0; 0; 6 , D  2; 4; 6 .. uuuur uuur uuur uuuur Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA+MB+MC+MD =4 . Hướng dẫn Gọi M  x;y;z  . Kết quả mặt cầu  x  1   y  2    z  3 2. 2. 2.  1. Bài tập 16. 4: Lập phương trình mặt cầu: a) Đi qua ba điểm A  0; 8; 0 , B  4; 6; 2 , C 0; 12; 4 và có tâm nằm trên mp(Oỵz). b) Cầu có tâm là hình chiếu H của gốc O lên đường thẳng AB và bán kính R = 3 , với. A  3; 0; 0  , B  0; 4; 0  . Hướng dẫn a) Tâm I nằm trên mp(Oyz) nên I  0;b;c  . Kết quả x 2   y  7    z  5  26 2. 2. 2. 2. 48   36   b) Kết quả  x     y    z 2  9 25   25   Bài tập 16. 5: Lập phương trình mặt cầu: a) Có tâm thuộc trục Oy và tiếp xúc với hai mặt phẳng: x  2 y  2 z  3  0, x  2 y  2 z  5  0 x . b) Đi qua A  2; 0; 1 , B 1; 0; 0 , C 1; 1; 1 và có tâm thuộc mặt phẳng.  P :. x  y  z  2  0. Hướng dẫn. a) Tâm I thuộc trục Oy nên I  0;b;0  . 1 2 Kết quả x 2   y  2   z 2  . 9. b) Kết quả  x  1  2  y 2 .  z 1 2.  1. Bài tập 16. 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 :. x 1 y  2 z  5 x  7 y  2 z 1 và d 2 :     2 3 4 3 3 2. Trang 25 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(26) Chứng to răng hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng đó. Hường dẫn Chứng minh 2 đường thẳng cắt nhau. Kết quả 2 x 16 y 13z  31  0. Bài tập 16. 7: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x  2 y  5z  6  0, (Q) : x  y  3 z  3  0 vuông góc với mặt phẳng  R  : 3x  2 y  z  5  0. Hướng dẫn Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt.  P : x+ 2y + 5z + 6 = 0,  Q : x - y - 3z + 3 = 0 nên có VTPT. r uur uur n  n p ; nQ. Kết quả 7 x  4 y 13z  24  0. Bài tập 16. 8: Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: 2  x  3  t  11  d  y    t , ( P) : x  3 y  4 z  1  0. 3  z  t  . Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) và phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. Hướng dẫn Tìm giao điểm A của d trên mp(P).. 2  13  x  3  t x  t   3 1 2   Kết quả  y    t ;  y  t 9 3   10 z  t  z    2t 3    Bài tập 16. 9: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng. Trang 26 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(27)  d1  :. x 7 y 3 z 9 x  3 y 1 z 1 và  d 2  :     7 1 2 2 1 3. Hướng dẫn Gọi đoạn vuông góc chung là AB với A thuộc di tham số t và B thuộc d 2 tham số t’. Kết quả. x 7 y 3 z 9   2 2 4. Bài tập 16. 10: Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y  2 z  0 và cắt 2 đường thẳng:. x  1 t x  2  t '   d1 :  y  t , d 2  y  4  2t '  z  4t z  1   Hướng dẫn Tìm 2 giao điểm A, B của 2 đường thẳng d < d2 với mp(P)..  x  1  4t  Kết quả  y  2t z  t  Bài tập 16. 11: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d1 và cắt cả hai đường thẳng d 2 và d 3 , biết phương trình :. x  1  x  4  5t x 1 y  2 z  2   d1  y  2  4t ; d 2 :   ; d3  y  7  9t ' 1 4 3 z  1 t z  t '   Hướng dẫn Đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d 2 và d 3 tại BC với B thuộc d1 tham số t và c thuộc d 3 tham số t’.. x  1  Kết quả d:  y  2  4 z  2  t . Trang 27 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

(28)

Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 16 PHUONG TRINH DUONG VA MAT Le Hoanh Pho

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về