Tải bản đầy đủ (.docx) (33 trang)

NHI THUC NEWTON Dang Viet Dong File word

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (289.88 KB, 33 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có: n. (a  b) n  Cnk a n  k b k k 0. 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) Cnk Cnn  k. 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn0 Cnn 1 , Cnk  1  Cnk Cnk1 5) * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: 0 n 1 n 1 n 0 1 n n n = Cn x  Cn x  ...  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 2 (1+x) 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1)n = Cn x  Cn x  ...  ( 1) Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau C 0  Cn1  ...  Cnn 2n * n 0 1 2 n n * Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn 0. B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: n. n.  ax p  bx q   Cnk  ax p  k 0. n k. k. n.  bx q   Cnk a n k b k x np  pk qk k 0. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk m . m  np k p q Từ đó tìm k n k k m Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. m Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. m. m Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x trong khai triển. P  x   a  bx p  cx q . n. 2n. được viết dưới dạng a0  a1 x  ...  a2 n x .. Ta làm như sau: n. * Viết. n. P  x   a  bx p  cx q   Cnk a n  k  bx p  cx q . Trang 1. k 0. k. ;.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11.  bx * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng. p.  cx q . k. thành một đa thức theo luỹ thừa. của x. m. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: a * Tính hệ số k theo k và n ; a ak * Giải bất phương trình k  1 với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên..  2a  b  Câu 1: Trong khai triển. 5. , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: A.  80 . B. 80 . C.  10 . D. 10 . n 6  a  2  ,  n   . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng: Câu 2: Trong khai triển nhị thức A. 17 . B. 11. C. 10 . D. 12 ..  3x Câu 3: Trong khai triển. 2.  y. 10. , hệ số của số hạng chính giữa là: 3 .C  3 .C104 35.C105 A. . B. . C. . 8  2 x  5 y  , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là: Câu 4: Trong khai triển A.  22400 . B.  40000 . C.  8960 . 6 2   3  x  x  , hệ số của x ,  x  0  là: Câu 5: Trong khai triển  A. 60 . B. 80 . C. 160 . 7  2 1 a   b  , số hạng thứ 5 là: Câu 6: Trong khai triển  6 4 6 4 4 5 A. 35.a .b . B.  35.a .b . C. 35.a .b . 4. 4 10. Câu 7: Trong khai triển 6 5 4 A. 2a  6a  15a .. 4.  2a  1. D..  35.C105. .. D.  4000 .. D. 240 .. 4 D.  35.a .b .. 6. , tổng ba số hạng đầu là: 6 5 4 B. 2a  15a  30a . 6 5 4 D. 64a  192a  240a .. 6 5 4 C. 64a  192a  480a ..  x y Câu 8: Trong khai triển. 16. , tổng hai số hạng cuối là:. 15 8 A.  16 x y  y .. 15 4 15 4 B.  16 x y  y . C. 16 xy  y . 6  2 1   8a  b  2  , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: Câu 9: Trong khai triển  9 3 9 3 9 3 A.  80a .b . B.  64a .b . C.  1280a .b .. 15 8 D. 16 xy  y .. 6 4 D. 60a .b .. 9. 8   x 2  x  , số hạng không chứa x là: Câu 10: Trong khai triển  A. 4308 . B. 86016 . C. 84 .. Câu 11: Trong khai triển A.  11520 . Trang 2.  2 x  1. D. 43008 .. 10. 8 , hệ số của số hạng chứa x là: B. 45 . C. 256 .. D. 11520 ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. a Câu 12: Trong khai triển. 2b . 8. 4 4 , hệ số của số hạng chứa a .b là: A. 1120 . B. 560 . C. 140 . 7  3x  y  , số hạng chứa x 4 y3 là: Câu 13: Trong khai triển 4 3 4 3 4 3 A.  2835 x y . B. 2835x y . C. 945x y .. Câu 14: Trong khai triển A. 0, 0064 ..  0,2 + 0,8 . D. 70 . 4 3 D.  945 x y .. 5. , số hạng thứ tư là: B. 0, 4096 . C. 0, 0512 . 6 6 3 3  1  x   1  y  là: Câu 15: Hệ số của x y trong khai triển A. 20 . B. 800 . C. 36 . 4 3x  2 y   Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển là: 2 2 2 2 2 2 2 2 6  3x   2 y  . A. C4 x y . B. C. 6C4 x y . 11 8 3 x  y  Câu 17: Trong khai triển , hệ số của số hạng chứa x . y là 3 3 5 A. C11 . B.  C11 . C.  C11 .. D. 0, 2048 . D. 400 . 2 2 2 D. 36C4 x y .. 8 D. C11 .. 10 x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1  2 x) Câu 18: Tìm hệ số của A.  15360 B. 15360 C.  15363 D. 15363 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x)  x(2  3 x) Câu 19: Tìm hệ số của A. 489889 B. 489887 C.  489888 D. 489888 7 8 9 7 x trong khai triển biểu thức sau: g ( x) (1  x)  (1  x)  (2  x) Tìm hệ số của Câu 20: A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 10 7 x trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3  2 x) Câu 21: Tìm hệ số của A. 103680 B. 1301323 C. 131393 D. 1031831 9 7 x trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1  2 x) Câu 22: Tìm hệ số của A.  4608 B. 4608 C.  4618 D. 4618 2 10 8 Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (3x  1) A. 17010 B. 21303 C. 20123 D. 21313 8 2  f ( x)   5 x 3  8 x  Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: Câu 24: A. 1312317 B. 76424 C. 427700 D. 700000 12  3 x f ( x)    8  x 2 Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: Câu 25: 297 29 27 97 A. 512 B. 51 C. 52 D. 12 2 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) (1  x  2 x ) Xác định hệ số của Câu 26:. A. 37845. B. 14131 C. 324234 D. 131239 8 8 f ( x )  8(1  8 x )  9(1  9 x )9  10(1  10 x)10 x trong các khai triển sau: Xác định hệ số của Câu 27: Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A.. 8.C80 .88  C91.98  10.C108 .108. B.. C80 .88  C91.98  C108 .108. 8.C80 .88  9.C91.98  10.C108 .108 D. 8 9 10 x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1  x )  9(1  2 x)  10(1  3x ) Tìm hệ số của Câu 28: C.. C80 .88  9.C91.98  10.C108 .108. A. 22094. B. 139131. C. 130282. D. 21031. 15. 25 10  x3  xy  là: Câu 29: Hệ số đứng trước x . y trong khai triển A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . 18  3 1  x  3  x  là: Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  9 A. C18 .. 1 x Khai triển. Câu 31: A. 330 .. B.. C10 18 .. 8 C. C18 .. D.. C. –72 .. D. –792 .. 7 , hệ số đứng trước x là: B. – 33 .. B. 213012. f ( x) ( x . 2 12 ) x. (x 0). C. 12373 g ( x ) (. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Câu 33: A. 24310. C183 .. 12. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Câu 32: A. 59136. D. 3200 .. B. 213012. D. 139412 1 3. x. 2.  4 x 3 )17. C. 12373. ( x  0). D. 139412 n.  1 5   3 x  8  biết Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  x n 1 n Cn 4  Cn 3 7  n  3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 n. 1    x  x2     với n là số Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức  x nguyên dương thoả mãn Cn3  2n  An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). A.  98 B. 98 C.  96 D. 96 40. 1   f  x   x  2  x  , hãy tìm hệ số của x31  Câu 36: Trong khai triển A. 9880 B. 1313 C. 14940. D. 1147. 18.  3 1 x  3 x  số hạng độc lập đối với x  Hãy tìm trong khai triển nhị thức Câu 37: A. 9880 B. 1313 C. 14940  x 3    Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3 x . D. 48620. 12. 4. Câu 38: 55 A. 9 Trang 4. 13 B. 2. 621 C. 113. 1412 D. 3123.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 25 10  x3  xy  Tính hệ số của x y trong khai triển. Câu 39: A. 300123. B. 121148 C. 3003 2 20 P  x   1  x   2  1  x   ...  20  1  x . Câu 40: Cho đa thức P  x  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 Hãy tính hệ số A. 400995. a15. D. 1303 có dạng khai triển là. .. . B. 130414.  Câu 41: Tìm số hạng của khai triển. C. 511313. 33 2. . D. 412674. 9. A. 8 và 4536. Câu 42:. 15. B. 1 và 4184 1 f ( x ) (2 x  ) 20 x Xét khai triển. là một số nguyên C. 414 và 12. 1. Viết số hạng thứ k  1 trong khai triển k T C20 .220  k .x 20 k A. k 1 k 20  4 k 20  2 k .x C. Tk 1 C20 .2. B.. D. 1313. Tk 1 C10k .220 k .x 20 2 k. k 20  k 20  2 k D. Tk 1 C20 .2 .x. 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x C1 .210 A10 .210 C10 .24 C 10 .210 A. 20 B. 20 C. 20 D. 20 2 10 4 Câu 43: Xác định hệ số của x trong khai triển sau: f ( x) (3x  2 x 1) . A. 8089 B. 8085 C. 1303 D. 11312 2n 7 Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2  3 x) , biết n là số nguyên dương thỏa C1  C23n 1  C25n 1  ...  C22nn11 1024 mãn : 2 n 1 . A. 2099529 B.  2099520 C.  2099529 9 10 14 x 9 trong khai triển f ( x) (1  x)  (1  x)  ...  (1  x) Tìm hệ số của Câu 45: A. 8089 B. 8085 C. 3003 5 10 5 x  1  2 x   x 2  1  3x  Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: Câu 46: A. 3320 B. 2130 C. 3210 8 8 f ( x)  1  x 2  1  x   x Tìm hệ số cuả trong khai triển đa thức Câu 47: A. 213 B. 230 C. 238 Câu 48: Đa thức. P  x   1  3 x  2 x. 2 10. . a0  a1 x  ...  a20 x. 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10 .3  C10 .C9 .3  C10 .C8 .3. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10 .2  C10 .C9 .2  C10 .C8 .2. C.. a15 C1010 .C105 .35.25  C109 .C96 .33.26  C108 .C87 .27. 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 D. a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2. Trang 5. 20. . Tìm. a15. D. 2099520 D. 11312. D. 1313. D. 214.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. ( x3 . 2 n ) n 1 n 2 x , biết rằng Cn  Cn 78 với. Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau x 0 A.  112640 B. 112640 C.  112643 D. 112643 3n  3 a3n  3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ( x 2  1) n ( x  2) n . Tìm n để a3n  3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 n  1 7  x  4  26  , biết Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  x C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1 220  1 . A. 210. B. 213 C. 414 D. 213 n n Câu 52: Cho n   * và (1  x) a0  a1 x  ...  an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n  1 ) sao ak  1 ak ak 1   2 9 24 . Tính n ? . cho A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 1 2 10 (  x) Câu 53: Trong khai triển của 3 3 thành đa thức a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9  a10 x10. a , hãy tìm hệ số k lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 210 210 210 a10 3003 15 a5 3003 15 a4 3003 15 a9 3003 15 3 3 3 3 A. B. C. D. n 2 n a  a  ...  an 729 . Tìm n và số lớn Câu 54: Giả sử (1  2 x) a0  a1 x  a2 x  ...  an x , biết rằng 0 1 a , a ,..., an . nhất trong các số 0 1 max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 A. n=6, B. n=6, max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 C. n=4, D. n=4, n n Câu 55: Cho khai triển (1  2 x) a0  a1 x  ...  an x , trong đó n   * . Tìm số lớn nhất trong các số an a1  ...  4096 a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: 2 2n . A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127 a0 . Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG. k n. a C b k. k 0. k. .. Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a  b) n Cn0 a n  a n 1bCn1  a n 2b2Cn2  ...  b nCnn . Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Cnk Cnn  k * Cn0  Cn1  ...  Cnn 2n * n. k.  ( 1) C. k n. 0. k 0. * n. n. k 0. k 0.  C22nk  C22nk  1 . 1 2n k  C2 n 2 k 0. * n. k n. C a. k. (1  a ) n. * k 0 . Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. T  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn Câu 1: Tổng bằng: n n n A. T  2 . B. T  2 – 1 . C. T  2  1 . 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S  C6  C6  ..  C6 bằng: A. 64 . Câu 3: Khai triển. B. 48 ..  x  y. 5. C. 72 .. C. 1 . C  2C  4C  ...  2n Cnn 243 Tìm số nguyên dương n sao cho: Câu 4: B. 64 .. 0 n. A. 4. B. 11. Câu 5: Khai triển.  x  y. D. 12 .. 2 n. C. 12. D. 5. S C  C51  ...  C55 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng. 1 x  x Khai triển. B. 64 . 2. C. 1 .. D. 12 .. 5.  x 3  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15. a a) Hãy tính hệ số 10 . 0 4 4 3 A. a10 C5 .  C5  C5 C5 0 5 2 4 4 3 C. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5. Trang 7. 1 n. 0 5. A. 32 . Câu 6:. D. 100 .. 0 1 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5  C5  ...  C5. A. 32 .. 5. n D. T  4 .. 0 5 2 4 4 3 B. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5 0 5 2 4 4 3 D. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 b) Tính tổng A. 131. T a0  a1  ...  a15. và. B. 147614 2 10. Câu 7:. S a0  a1  a2  ...  a15. Khai triển. a) Hãy tính hệ số a C100 .24 A. 4.  1  2 x  3x . C. 0 2. a0  a1 x  a2 x  ...  a20 x. D. 1 20. a4 B.. a4 24 C104. C.. a4 C100 C104. D.. a4 C100 .24 C104. S a1  2a2  4a3  ...  220 a20. b) Tính tổng 10 A. S 17. Câu 8:. 10 20 B. S 15 C. S 17 1 1 1 1 ( 1) n n S  Cn0  Cn1  Cn3  Cn4  ...  Cn 2 4 6 8 2( n  1) Tính tổng sau:. 10 D. S 7. 1 A. 2( n  1). 1 D. (n  1). B. 1 C. 2 2 n 2 3 n 3 S C 3  2Cn 3  3Cn 3  ...  nCnn Tính tổng sau: Câu 9: 1 n 1 n. n 1 A. n.4. n 1 D. 4. B. 0. C. 1 1 1 1 S1 Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2 3 n 1 Câu 10: Tính các tổng sau: n 1 n 1 2 1 2 1 2n 1  1 1 A. n  1 B. n  1 C. n  1. 2n 1  1 1 D. n  1. S2 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính các tổng sau: Câu 11: n 1 A. 2n.2. n 1 B. n.2. n 1 C. 2n.2. n 1 D. n.2. S 2.1.Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  ...  n(n  1)Cnn Câu 12: Tính các tổng sau: 3 . n 2 n 2 n 3 A. n(n  1)2 B. n(n  2)2 C. n(n  1)2 32  1 1 3n 1  1 n S Cn0  Cn  ...  Cn 2 n 1 Tính tổng Câu 13: 4n 1  2n 1 4n 1  2n 1 S S 1 n 1 n 1 A. B. C.. S. Câu 14: A.. 4n 1  2n 1 1 n 1. Tính tổng. S. S Cn0 . 3n 1  2n 1 n 1. D. 2. 4n 1  2n 1 1 n 1. S. 3n 1  2n n 1. n 1. 2 1 1 2 1 n Cn  ...  Cn 2 n 1. B.. S. 3n  2n 1 n 1. Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : A. n 1001 B. n 1002 Trang 8. S. n 2 D. n(n  1)2. C. 1 2 n 1. C.  2.2C. 2 2 n 1. 2.  3.2 C. 3 2 n 1. C. n 1114. S. 3n 1  2n 1 n 1. D.  ...  (2n 1)2n C22nn11 2005 D. n 102.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 16: Tính tổng. 1.30.5n  1 Cnn 1  2.31.5n 2 Cnn  2  ...  n.3n  150 Cn0. n 1 n B. (n  1).8 C. (n  1).8 S 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  ...  n(n  1)Cnn Tính tổng Câu 17: n 1 A. n.8. n 2 A. n(n  1)2. n 2 B. n(n  1)2 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C  C  C  Câu 18: Tính tổng.  ...   Cnn . n C. n(n  1)2. n D. n.8. n 2 D. (n  1)2. 2. n A. C2 n. n 1 n B. C2 n C. 2C2 n S1 5n Cn0  5n  1.3.Cnn  1  32.5n  2 Cnn  2  ...  3n Cn0 Tính tổng sau: Câu 19: n n n 1 A. 28 B. 1  8 C. 8. n 1 D. C2 n  1. n D. 8. 0 2 2010 S 2 C2011  2 2 C2011  ...  2 2010 C2011. Câu 20: 32011  1 2 A.. 3211  1 2 B. S3 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính tổng Câu 21: n 1 A. 4n.2. Trang 9. n 1 B. n.2. 32011  12 2 C.. 32011  1 2 D.. n 1 C. 3n.2. n 1 D. 2n.2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có: n. ( a  b) n  Cnk a n  k b k k 0. 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) Cnk Cnn  k. 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn0 Cnn 1 Cnk  1  Cnk Cnk1 , 5) * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: C 0 x n  Cn1 x n  1  ...  Cnn Cn0  Cn1  ...  Cnn 2n n = n  (1+x) 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1)n = Cn x  Cn x  ...  ( 1) Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau 0 1 n n * Cn  Cn  ...  Cn 2 0 1 2 n n * Cn  Cn  Cn  ...  (  1) Cn 0. B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp:.  ax. p. n. n.  bx q   Cnk  ax p  k 0. n k. q k. n.  bx   C a k n. n k. b k x np  pk qk. k 0. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk m . m  np k p q Từ đó tìm k n k k m Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. m. m Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. m Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x trong khai triển. P  x   a  bx p  cx q . Ta làm như sau:. Trang 10. n. được viết dưới dạng. a0  a1 x  ...  a2 n x 2 n. ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. n. * Viết. P  x   a  bx p  cx q   Cnk a n  k  bx p  cx q  k 0. k. ;.  bx * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng. p.  cx q . k. thành một đa thức theo luỹ thừa. của x. m. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: a * Tính hệ số k theo k và n ; a ak * Giải bất phương trình k  1 với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên..  2a  b  Câu 1: Trong khai triển. 5. , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: B. 80 . C.  10 .. A.  80 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 5 5 4 3  2a  b  C50  2a   C51  2a  b  C52  2a  b2  ... Ta có: 2 Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C5 .8 80 .. D. 10 .. n 6.  a  2  ,  n   . Có tất cả17 số hạng. Vậy n bằng: Câu 2: Trong khai triển nhị thức A. 17 . B. 11. C. 10 . D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn C. n 6  a  2  ,  n   có tất cả n  7 số hạng. Trong khai triển Do đó n  7 17  n 10 ..  3x Câu 3: Trong khai triển 4. 4 10.  y. 10. , hệ số của số hạng chính giữa là: 4 5 5 B.  3 .C10 . C. 3 .C10 . 4. A. 3 .C . Hướng dẫn giải: Chọn D..  3x Trong khai triển. 2. 2.  y. 5 5 D.  3 .C10 .. 10. có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 . 5 5 Vậy hệ số của số hạng chính giữa là  3 .C10 ..  2x  5 y  Câu 4: Trong khai triển A.  22400 . Hướng dẫn giải: Chọn A.. 8. 5 3 , hệ số của số hạng chứa x . y là: B.  40000 . C.  8960 .. D.  4000 .. Tk 1 ( 1) k C8k .(2 x)8 k (5 y) k (  1) k C8k .28 k 5k .x8 k . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 5 3 Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là:  22400 . 6 2   3 x  x  , hệ số của x ,  x  0  là: Câu 5: Trong khai triển  A. 60 . Trang 11. B. 80 .. C. 160 .. D. 240 ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. k 6. Tk 1 C .x Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 1 6  k  k 3  k 3 2 Yêu cầu bài toán xảy ra khi .. 6 k. k. 2 .x. 1  k 2. 3 C 3 .23 160 Khi đó hệ số của x là: 6 . 7  2 1 a   b  , số hạng thứ 5 là: Câu 6: Trong khai triển  6 4 6 4 4 5 A. 35.a .b . B.  35.a .b . C. 35.a .b . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tk 1 C7k .a14 2 k .b  k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T5 C74 .a 6 .b  4 35.a 6 .b  4 Vậy số hạng thứ 5 là 6 2a  1  Câu 7: Trong khai triển , tổng ba số hạng đầu là: 6 5 4 6 5 4 2 a  6 a  15 a A. . B. 2a  15a  30a . 6 5 4 C. 64a  192a  480a . Hướng dẫn giải: Chọn D. 6  2a  1 C60 .26 a6  C61 .25 a5  C62 .24 a 4  ... Ta có: 6 5 4 Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a  192a  240a ..  x y Câu 8: Trong khai triển 15. 8.  16 x y  y A. . Hướng dẫn giải: Chọn A..  x y. 16. B.. 4 D.  35.a .b .. 6 5 4 D. 64a  192a  240a .. 16. , tổng hai số hạng cuối là:.  16 x y15  y 4. 15 4 C. 16 xy  y .. .. C160 x16  C161 x15 . y  ...  C1615 x.  y. 15.  C1616.  y. 15 8 D. 16 xy  y .. 16. Ta có: 6.  2 1   8a  b  2  , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: Câu 9: Trong khai triển  9 3 9 3 9 3 A.  80a .b . B.  64a .b . C.  1280a .b . Hướng dẫn giải: Chọn C. k Tk 1   1 C6k .86 k a12 2k .2 k b k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 9 3 9 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa a b là:  1280a .b .. 6 4 D. 60a .b .. 9. 8   x 2  x  , số hạng không chứa x là: Câu 10: Trong khai triển  A. 4308 . B. 86016 . C. 84 .. Trang 12. D. 43008 ..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. Tk 1 C9k .x9 k 8k .x  2k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9  k  2k 0  k 3 . 3 3 Khi đó số hạng không chứa x là: C9 .8 43008 . Câu 11: Trong khai triển A.  11520 . Hướng dẫn giải: Chọn D..  2 x  1. 10. 8 , hệ số của số hạng chứa x là: B. 45 . C. 256 .. Tk 1 C10k .210 k .x10 k .   1. k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10  k 8  k 2 . 8 C 2 .28 11520 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là: 10 . 8  a  2b  , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là: Câu 12: Trong khai triển A. 1120 . B. 560 . C. 140 . Hướng dẫn giải: Chọn A. k Tk 1 C8k .a8 k .   2  .bk Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 4 . 4 4 4 4 Khi đó hệ số của số hạng chứa a .b là: C8 .2 1120 . Câu 13: Trong khai triển 4 3 A.  2835 x y ..  3x  y . D. 11520 .. D. 70 .. 7. 4 3 , số hạng chứa x y là: 4 3 4 3 B. 2835x y . C. 945x y .. 4 3 D.  945 x y .. Hướng dẫn giải: Chọn A. k. Tk 1 C7k .37  k x 7  k .   1 . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 3 4 4 3 4 4 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là:  C7 .3 .x . y  2835.x . y . Câu 14: Trong khai triển A. 0, 0064 ..  0,2 + 0,8 . 5. , số hạng thứ tư là: 0, 4096 B. . C. 0, 0512 .. D. 0, 2048 .. Hướng dẫn giải: Chọn D. Tk 1 C5k .(0, 2)5 k .(0,8) k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T4 C53 .(0, 2) 2 .(0,8)3 0, 2028 Vậy số hạng thứ tư là 6 6 3 3  1  x   1  y  là: Câu 15: Hệ số của x y trong khai triển A. 20 . B. 800 . C. 36 . Hướng dẫn giải: Chọn D.. Trang 13. D. 400 ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Tk 1 C6k .x k .C6m . y m. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k m 3 . 3 3 3 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là: C6 .C6 400 .. 4.  3x  2 y  là: Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6  3x   2 y  . A. C4 x y . B. C. 6C4 x y . D. 36C4 x y . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 C 2  3 x   2 y  6  3 x   2 y  Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: 4 . 11  x  y  , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là Câu 17: Trong khai triển 3 3 5 8 A. C11 . B.  C11 . C.  C11 . D. C11 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k. Tk 1 C11k .x11 k .   1 . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 3 8 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là:  C11 .. 10 x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1  2 x) Tìm hệ số của Câu 18:. A.  15360 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 15360. 10. 10. k 0. k 0. C.  15363. D. 15363. f ( x )  Cnk 110 k ( 2 x) k  C10k (  2) k x k Ta có 7 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 7 7 7 7 Vậy hệ số của x là: C10 ( 2)  15360 . 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x)  x(2  3 x) Tìm hệ số của Câu 19:. A. 489889 Hướng dẫn giải: Chọn D.. B. 489887 9. 9. k 0. k 0. C.  489888. D. 489888. (2  3x)9  C9k 29 k (3x )k  C9k 29 k 3k .x k Ta có 9.  h( x)  C9k 29 k 3k xk 1 k 0. .. 7. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa k  1 7  k 6 6 3 6 7 Vậy hệ số chứa x là: C9 2 3 489888 . Câu 20: Tìm hệ số của A. 29 Hướng dẫn giải: Trang 14. 7 8 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x ) (1  x)  (1  x)  (2  x) B. 30 C. 31 D. 32.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn A. 7. Hệ số của. x 7 trong khai triển. (1  x )7  C7k x k k 0. 7 là : C7 1. 8. Hệ số của. x 7 trong khai triển. (1  x )8  C8k ( 1)k x k k 0. 7 7 là : C8 ( 1)  8. 9. (1  x)9  C9k x k. 9 7 k 0 Hệ số của x trong khai triển là : C7 36 . 7 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 29 . Chú ý: 1 a n  n a với n   . * Với a 0 ta có: m. a m a n với m, n  ; n 1 . 10 7 Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3  2 x) n. * Với a 0 ta có: Câu 21: A. 103680 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 1301323. 10. 10. k 0. k 0. C. 131393. D. 1031831. f ( x)  Cnk 310 k (2 x) k  C10k 310 k ( 2) k x k Ta có 8 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 8 8 2 8 8 Vậy hệ số của x là: C10 .3 .(  2) 103680 . 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1  2 x) Tìm hệ số của Câu 22:. A.  4608 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 4608 9. 9. k 0. k 0. C.  4618. D. 4618. (1  2 x )9  C9k 19 k ( 2 x) k  C9k (  2) k .x k Ta có 9.  h( x)  C9k ( 2) k x k 1 k 0. .. 8. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa k  1 8  k 7 7 7 8 Vậy hệ số chứa x là: C9 ( 2)  4608 . 2 10 8 Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (3x  1) A. 17010 B. 21303 C. 20123 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 21313. 10. Ta có:. f ( x )  C10k 3k x 2 k. Trang 15. k 0. 4 4 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số x là: C10 .3 17010 ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 2  f ( x)   5 x 3  8 x  Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:. Câu 24: A. 1312317 Hướng dẫn giải: Chọn D.. B. 76424. 8. C. 427700. D. 700000. 8. f ( x)  C8k 28 k ( 5) k x 4 k  8. k 0 Ta có: C84 .24.( 5) 4 700000 .. 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số của x là:.  3 x f ( x )    8  x 2 Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:. Câu 25: 297 A. 512 Hướng dẫn giải: Chọn A.. 29 B. 51. 12. 27 C. 52. 97 D. 12. 12. Ta có:. f ( x)  C12k 312 k .2 k .x 2 k  12 k 0. C1210 .32.2 10 . 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 10 nên hệ số của x là:. 297 512 .. 2 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) (1  x  2 x ) Xác định hệ số của Câu 26:. A. 37845 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 14131. 10. C. 324234 10. D. 131239. k. f ( x)  C10k (2 x 2 )10  k (1  x) k  C10k Ckj .210  k x 20 2 k  j k 0. k 0 j 0. Ta có:. Số hạng chứa. 0  j k 10  x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa:  j 2k  12. 8 Nên hệ số của x là: C106 C60 .2 4  C107 C72 23  C108 C84 22  C109 C96 2  C1010C108 37845 8 9 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) 8(1  8 x)  9(1  9 x)  10(1  10 x) Xác định hệ số của Câu 27: 0 8 1 8 8 8 A. 8.C8 .8  C9 .9  10.C10 .10 0 8 1 8 8 8 C. C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10. Hướng dẫn giải: Chọn D. 8. (1  8 x )8  C8k 88 k x8 k k 0. Ta có: 9. (1  9 x)9  C9k 99  k x9  k k 0. Trang 16. 0 8 1 8 8 8 B. C8 .8  C9 .9  C10 .10 0 8 1 8 8 8 D. 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 10. (1  10 x)10  C10k 1010  k x10 k k 0. 0 8 1 8 8 8 x 8 là: 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10 Nên hệ số chứa 8 9 10 x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1  x)  9(1  2 x) 10(1  3 x) Câu 28: Tìm hệ số của A. 22094 B. 139131 C. 130282 D. 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A. n. Ta có:. n.  1  ax   Cnk a k x k. k k n k nên ta suy ra hệ số của x trong khai triển (1  ax ) là Cn a . Do đó: 8 8 x8 trong khai triển (1  x) là : C8 i 0. Hệ số của. 8 8 9 x8 trong khai triển (1  2 x) là : C9 .2 Hệ số của 8 8 10 8 Hệ số của x trong khai triển (1  3 x ) là : C10 .3 . 8 8 8 8 8 8 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8  9.2 .C9  10.3 .C10 22094 . 15. 25 10  x3  xy  là: Câu 29: Hệ số đứng trước x . y trong khai triển A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k 45  3 k .x k . y k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C15 .x. D. 3200 .. Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 .. x trong khai triển. 3.  xy. . 15. 10 là: C15 3003 . 18  3 1  x    x 3  là: Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  9 8 C10 A. C18 . B. 18 . C. C18 .. 25. 10. Vậy hệ số đứng trước x . y. D.. C183 .. Hướng dẫn giải: Chọn A. k 54  3 k .x  3k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C18 .x Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54  3k  3k 0  k 9 . 9 Khi đó số hạng không chứa là: C18 .. 1 x Khai triển. Câu 31: A. 330 . Hướng dẫn giải: Chọn D.. 12 7 , hệ số đứng trước x là: B. – 33 .. C. –72 .. D. –792 .. k. Tk 1 C12k .   1 .x k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 7 . 7 7 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là:  C12  792 .. Câu 32:. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Trang 17. f ( x) ( x . 2 12 ) x. (x 0).

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 59136 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 213012. C. 12373. D. 139412. 12. f ( x) ( x  2.x  1 )12  C12k x12  k .( 2 x  1 )k k 0. Ta có: 12. k 12. C. ( 2) k x12  2 k. k 0. Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12  2k 0 6 6  k 6  số hạng không chứa x là: C12 .2 59136 . g ( x ) ( Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: Câu 33: A. 24310 B. 213012 C. 12373 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 3  1 x 3 ; 4 x3 x 4 3 2 Vì x nên ta có 17  k. 1 3. x. 2.  4 x 3 )17. ( x  0). D. 139412. k. 17 k  136 17  2  3 f ( x)  C  x 3  .  x 4   C17k .x 12 k 0 k 0     Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k  136 0  k 8 17. k 17. 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 24310 . n.  1 5   3 x  8  biết Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  x n 1 n Cn 4  Cn 3 7  n  3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cnn41  Cnn3 7  n  3   Cnn3  Cnn31   Cnn3 7  n  3 Ta có:  n  2   n  3 7 n  3  Cnn31 7  n  3    2!  n  2 7.2! 14  n 12 . n. 12  k. 5 60  11k 12 12  1 5  k 3 k  2  k  C12 x 2  3  x   C12  x  .  x  x   k 0 k 0   Khi đó: . 60  11k 8  k 4 8 2 Số hạng chứa x ứng với k thỏa: . 12! C124  495 8 4! 12  4  ! x Do đó hệ số của số hạng chứa là: . n. 1 2   x   x  x   Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức với n là số nguyên dương thoả mãn. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Cn3  2n  An21. .(. Cnk , Ank. A.  98 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 n. 2 n 1. C  2n  A. tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). B. 98 C.  96 D. 96.  n 3    n  n  1  n  2   2n  n  1 n  6 . Ta có: n 3  2  n 8 n  9n  8 0 . Theo nhị thức Newton ta có: 8 8 1 1  2   x  x   x 1  x    x    C80 x18  C81 x16  1  x    x  1 1 2 3 4 8 C82 4  1  x   C83 2  1  x   C84  1  x   ...  C88 x8  1  x  x x Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4  C83 2  1  x  C84  1 x  x và . 3 2 4 0 x là:  C8 .C3 và C8 .C4 Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào 3 2 4 0 Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là:  C8 .C3  C8 .C4  98 . 40. 1   f  x   x  2  x  , hãy tìm hệ số của x31  Câu 36: Trong khai triển A. 9880 B. 1313 C. 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 1147. 18.  3 1  x  3 x  số hạng độc lập đối với x  Hãy tìm trong khai triển nhị thức Câu 37: A. 9880 B. 1313 C. 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D. C189 48620  x 3    4 x Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển  3 x . Câu 38: 55 A. 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 55 ( 3) 4 C124  8 3 9. Trang 19. 13 B. 2. 621 C. 113. D. 48620. 12. 1412 D. 3123.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 25 10  x3  xy  Tính hệ số của x y trong khai triển. Câu 39: A. 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C. C1510 3003. B. 121148. 15. C. 3003. 2. P  x   1  x   2  1  x   ...  20  1  x . Câu 40: Cho đa thức P  x  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20. a Hãy tính hệ số 15 . A. 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 1303. 20. có dạng khai triển là. .. B. 130414. C. 511313. D. 412674. 20. a15   kCk15 400995 k 15.  Câu 41: Tìm số hạng của khai triển A. 8 và 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A.. . 33 2. 9. 33 2. . B. 1 và 4184 9. k.   C  3   2  k 9. 3. 9. là một số nguyên C. 414 và 12. D. 1313. 9 k. k 0. Ta có Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa: k 2m  9  k 3n  k 0, k 6 k 0,...,9  C90.  2 3. 9. 8. Các số hạng là số nguyên:. Câu 42:. và. C96. 6.  3  2  3. 1 f ( x) (2 x  ) 20 x Xét khai triển. 1. Viết số hạng thứ k  1 trong khai triển k 20  k 20  k A. Tk 1 C20 .2 .x k 20  4 k 20  2 k .x C. Tk 1 C20 .2. 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x 1 10 10 10 A. C20 .2 B. A20 .2. k 20  k 20 2 k B. Tk 1 C10 .2 .x k 20  k 20  2 k D. Tk 1 C20 .2 .x. 10 4 C. C20 .2. Hướng dẫn giải:. 1.. Ta có:. 3. Tk 1 C20k (2 x )20 k. 1 C20k .220  k .x 20 2 k k x. 2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20  2k 0  k 10 Trang 20. 10 10 D. C20 .2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Số hạng không chứa x:. 10 10 C20 .2. 2 10 4 Câu 43: Xác định hệ số của x trong khai triển sau: f ( x) (3x  2 x 1) . A. 8089 B. 8085 C. 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B. 10. 10. f  x   1  2 x  3x 2   C10k  2 x  3x 2 . D. 11312. k. k 0. 10. k. 10. k. k 0. i 0. k 0. i 0.  C10k  Cki (2 x) k  i .(3 x 2 )i  C10k  Cki 2 k  i.3i x k i với 0 i k 10 . Do đó k  i 4 với các trường hợp i 0, k 4 hoặc i 1, k 3 hoặc i k 2 . 4 4 0 2 1 3 1 2 2 2 4 Vậy hệ số chứa x : 2 C10 .C4  2 3 C10 .C3  3 C10 .C2 8085 . 2n 7 Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2  3 x) , biết n là số nguyên dương thỏa 1 3 5 2 n 1 mãn : C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 1024 . A. 2099529 B.  2099520 C.  2099529 Hướng dẫn giải: Chọn B.  2 n 1 k 2 n 1   C2 n 1 2 n  k 0  C22ni 11 22 n 1024  n 5  n  n i 0  C 2i 1  C 2i   2 n 1 2 n 1  i 0 i 0 Ta có:. D. 2099520. 10. (2  3 x ) 2 n  C10k 210 k .(  3) k x k k 0. Suy ra 7 3 7 7 Hệ số của x là C10 .2 .( 3)  2099520 . 9 10 14 x 9 trong khai triển f ( x) (1  x)  (1  x)  ...  (1  x) Tìm hệ số của Câu 45: A. 8089 B. 8085 C. 3003 D. 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C. 9 9 9 9 9 9 9 Hệ số của x : C9  C10  C11  C12  C13  C14 3003 . 5. 5 x  1  2 x   x 2  1  3x  Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của:. Câu 46: A. 3320 B. 2130 Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 10 f ( x ) x  1  2 x   x 2  1  3x  Đặt 5. k. 10. f ( x ) x  C5k   2  .x k  x 2  C10i  3x  k 0. i 0. Ta có : 5. k. 10.  C5k   2  .x k 1   C10i 3i.x i 2 k 0. Trang 21. i 0. C. 3210. i. 10. D. 1313.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 5 Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x) ứng với k 4 và i 3 là: 4 C54   2   C103 .33 3320 . 8 8 f ( x)  1  x 2  1  x   x Tìm hệ số cuả trong khai triển đa thức Câu 47: A. 213 B. 230 C. 238 Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1 8 2 3  1  x 2  1  x   C80  C81 x 2  1  x   C82 x 4  1  x   C83 x 6  1  x  4. 5. 8. D. 214. C84 x8  1  x   C85 x10  1  x  ...  C88 x16  1  x  Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối 8 C 3 .C 2 , C 4 .C 0 lớn hơn 8. Do đó x chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: 8 3 8 4 . 8. 8  1  x 2  1  x   x Vậy hệ số cuả trong khai triển đa thức là: 3 2 4 0 a8 C8 .C3  C8 .C4 238 .. Cách 2:. Ta có: 8. 8. n. 8. n. n 0. k 0. k.  1  x 2  1  x    C8n x 2 n  1  x   C8n  Cnk   1 x 2 n k n 0. với 0 k n 8 . 8 Số hạng chứa x ứng với 2n  k 8  k 8  2n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được k 0; n 4 và k 2, n 3 . 3 2 4 0 8 Vậy hệ số của x là C8 .C3  C8 .C4 238 . 10. P  x   1  3 x  2 x 2  a0  a1 x  ...  a20 x 20. Câu 48: Đa thức 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10 .3  C10 .C9 .3  C10 .C8 .3.. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10 .2  C10 .C9 .2  C10 .C8 .2 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 C. a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .2. a C1010 .C105 .35.25  C109 .C96 .33.26  C108 .C87 .3.27 D. 15 Hướng dẫn giải: Chọn D. 10. 10. P  x   1  3x  2 x 2   C10k  3x  2 x 2 . k. k 0. Ta có: 10. k. 10. k. k 0. i 0. k 0. i 0.  C10k  Cki (3x) k  i .(2 x 2 )i  C10k  Cki .3k  i.2i x k i với 0 i k 10 . Do đó k  i 15 với các trường hợp k 10, i 5 hoặc k 9, i 6 hoặc k 8, i 7 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 Vậy a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2 .. Trang 22. . Tìm. a15.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. ( x3 . 2 n ) n 1 n 2 x , biết rằng Cn  Cn 78 với. Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau x 0 A.  112640 B. 112640 C.  112643 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! n! Cnn  1  Cnn  2 78   78 (n  1)!1! (n  2)!2! Ta có: n(n  1)  n 78  n 2  n  156 0  n 12 2 .. D. 112643. 12. 12 2  f ( x )  x 3    C12k ( 2) k x36  4 k x  k 0. Khi đó: Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k 0  k 9 9 9 x là: ( 2) C12  112640 Số hạng không chứa 3n  3 a3n  3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ( x 2  1) n ( x  2) n . Tìm n để a3n  3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1:Ta có :. x. 2. n.  1 Cn0 x 2 n  Cn1 x 2n  2  Cn2 x 2 n  4  ...  Cnn.  x  2. n. Cn0 x n  2Cn1 x n  1  22 Cn2 x n 2  ...  2n Cnn. Dễ dàng kiểm tra n 1 , n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x 3 n  3  x 2 n .x n  3  x 2 n  2 . x n  1 3n 3 Do đó hệ số của x trong khai triển thành đa thức của. x. 2.  1. n.  x  2. n. 3 0 3 1 1 là : a3n  3 2 .Cn .Cn  2.Cn .Cn . 2n  2n 2  3n  4  7 26n  26n  n  3 2 hoặc n 5. a3n  3 Suy ra Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cách 2:.  x 2 1. n. n. 1 2 n  x  2  x3n  1  2   1   x   x . n. Ta có: n  1 x3n  Cni  2  x  i 0. i. k. n n  k  2 3n  i  2i C  x C x Cnk 2k x  k     n  n    x k 0 k 0  i 0  Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n  3 khi  2i  k  3  2i  k 3 .. Trang 23. n.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0, k 3 hoặc i 1, k 1 (vì i, k nguyên). 2 x 3n  3 trong khai triển thành đa thức của  x  1. n.  x  2. n. Hệ số của 0 3 3 1 1 Là : a3n 3 Cn .Cn .2  Cn .Cn .2 . a3n  3 26n . 2n  2n 2  3n  4 . 3 Do đó Vậy n 5 là giá trị cần tìm.. 26n  n . 7 2 hoặc n 5 n.  1 7  4 x  26  , biết Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  x 1 2 n 20 C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 2  1 . A. 210 B. 213 C. 414 D. 213 Hướng dẫn giải: Chọn A. C2kn 1 C22nn11 k k 0,1, 2,..., 2n 1 Do  C20n 1  C21n 1  ...  C2nn 1 C2nn11  C2nn21  ...  C22nn11. C21n 1  C22n 1  ...  C22nn11 22 n 1. Mặt khác:  2(C20n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1 ) 2 2 n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1 22 n  C20n 1 22n  1.  22 n  1 220  1  n 10 . 10. 10 10  1 7 4 7 10 k  4 10 k 7 k  C10k x11k  40  x  x  x  C ( x ) . x     10  4  x  k 0 k 0. Khi đó: 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k  40 26  k 6 . 6 26 Vậy hệ số chứa x là: C10 210 .. (1  x)n a0  a1 x  ...  an x n Câu 52: Cho n   * và . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n  1 ) sao ak  1 ak ak 1   9 24 . Tính n ? . cho 2 A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! 1 n! 1  2 (k  1)!(n  k  1)! 9 (n  k )!k !   n! 1 n! 1  k ak Cn , suy ra hệ  9 (n  k )!k ! 24 (n  k  1)!(k  1)! Ta có: 9k 2(n  k  1) 2n  11k  2    n 10, k 2  24(k  1) 9(n  k ) 9n  33k 24 .. 1 2 (  x)10 Câu 53: Trong khai triển của 3 3 thành đa thức Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9  a10 x10. , hãy tìm hệ số 210 a5 3003 15 3 B.. ak. lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 a4 3003 15 3 C.. 210 315 A. Hướng dẫn giải: Chọn A. 15 15  k k k 15 15 1 2  2  k 1 k 2 k  x  C x  C  15        15 15 x 3 3 3   3  3  k 0 k 0 Ta có: 1 ak  15 C15k 2k k 3 Hệ số của x trong khai triển k1 k1 k k ak  1  ak  C15 2  C15 2  C15k  1  2C15k Ta có: 32  k   k 10. a  a1  ...  a10 3 Từ đó: 0 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 ak  1  ak  k   a10  a11  ...  a15 3 210 210 a10  15 C1510 3003 15 3 3 . Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 3003. D.. a9 3003. 210 315. n 2 n a  a  ...  an 729 . Tìm n và số lớn Câu 54: Giả sử (1  2 x) a0  a1 x  a2 x  ...  an x , biết rằng 0 1 a , a ,..., an . nhất trong các số 0 1 max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 A. n=6, B. n=6, max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 C. n=4, D. n=4, Hướng dẫn giải: Chọn A. a0  a1  ...  an (1  2.1)n 3n 729  n 6 Ta có: ak C6k 2k suy ra max  ak  a4 240 .. (1  2 x) n a0  a1 x  ...  an x n. , trong đó n   * . Tìm số lớn nhất trong các số an a1 a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0  2  ...  2n 4096 . A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127. Câu 55: Cho khai triển. Hướng dẫn giải: Chọn A. f ( x) (1  2 x) n a0  a1 x  ...  an x n Đặt a a 1  a0  1  ...  nn  f   2 n 2 2  2  2n 4096  n 12 k   0,1, 2,...,11 ak 2k C12k , ak 1 2k 1 C12k 1 ta có: Với mọi a 2k C k k 1 23  k  1  k 1 12k 1  1  1  k  ak 1 2 C12 2(12  k ) 3. Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Mà. k  Z  k 7 . Do đó a0  a1  ...  a8 ak  1  k  7  a8  a9  ...  a12 ak 1. Tương tự: Số lớn nhất trong các số. Trang 26. a0 , a1 ,..., a12. 8 8 là a8 2 C12 126720 ..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG. k n. a C b k. k 0. k. .. Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a  b) n Cn0 a n  a n 1bCn1  a n 2b2Cn2  ...  b nCnn . Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Cnk Cnn  k * Cn0  Cn1  ...  Cnn 2n * n. k.  ( 1) C. k n. 0. k 0. * n. n. k 0. k 0.  C22nk  C22nk  1 . 1 2n k  C2 n 2 k 0. * n. k n. C a. k. (1  a ) n. * k 0 . Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. T  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn Câu 1: Tổng bằng: n n n A. T  2 . B. T  2 – 1 . C. T  2  1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn. 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S  C6  C6  ..  C6 bằng: A. 64 . B. 48 . Hướng dẫn giải: Chọn A. S = C06 +C16 +...+C66 2 6 64.  x  y Khai triển. 5. C. 72 .. Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho:. Trang 27. D. 100 .. 0 1 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5  C5  ...  C5. Câu 3: A. 32 . B. 64 . C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 (1  1) 32 . A. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D.. n D. T  4 .. B. 11. D. 12 .. Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn 243 C. 12. D. 5.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Xét khai triển:. (1  x )n Cn0  xCn1  x 2Cn2  ...  x nCnn. 0 1 2 n n n x 2 ta có: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn 3 Cho n 5 Do vậy ta suy ra 3 243 3  n 5 .. Câu 5: Khai triển.  x  y. 5. S C50  C51  ...  C55 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng. A. 32 . B. 64 . C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 (1  1) 32 . Câu 6:. 1 x  x Khai triển. 2. 5.  x 3  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15. a a) Hãy tính hệ số 10 . 0 4 4 3 A. a10 C5 .  C5  C5 C5 C.. 0 5 2 4 4 3 B. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5 a C50 .C55  C52C54  C54C53 D. 10. a10 C50 .C55  C52C54  C54C53. T a0  a1  ...  a15 và S a0  a1  a2  ...  a15 b) Tính tổng A. 131 B. 147614 C. 0 Hướng dẫn giải: f ( x) (1  x  x 2  x3 )5 (1  x)5 (1  x 2 )5 Đặt 0 5 2 4 4 3 x10 bằng: a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5 a) Do đó hệ số T  f (1) 45 ; S  f ( 1) 0 b) 2 10. Câu 7:.  1  2 x  3x  Khai triển. a) Hãy tính hệ số 0 4 A. a4 C10 .2. D. 12 .. D. 1. a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20. a4 4 4 B. a4 2 C10. 0 4 C. a4 C10C10. 0 4 4 D. a4 C10 .2 C10. 20 C. S 17. 10 D. S 7. S a1  2a2  4a3  ...  220 a20. b) Tính tổng 10 A. S 17 Hướng dẫn giải:. 10 B. S 15 10. f ( x) (1  2 x  3x 2 )10  C10k 3k x 2 k (1  2 x)10  k k 0. Đặt 10. 10  k. k 0. i 0.  C10k 3k x 2 k  C10i  k 210  k  i x10  k  i 10 10  k.   C10k C10i  k 3k 210 k  i x10k  i k 0 i 0. a) Ta có:. Trang 28. a4 C100 .24 C104 .

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 b) Ta có. Câu 8:. S  f (2) 1710. 1 1 1 1 ( 1) n n S  Cn0  Cn1  Cn3  Cn4  ...  Cn 2 4 6 8 2( n  1) Tính tổng sau:. 1 A. 2(n  1) B. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 0 1 1 1 2 (  1) n n  S   Cn  Cn  Cn  ...  Cn  2 2 3 n 1 . C. 2. 1 D. (n  1). Ta có: n 1 ( 1) k k ( 1) k k 1 S  (  1) k Cnk11 Cn  Cn 1  2(n  1) k 0 k 1 n 1 nên: Vì  1  n 1 1   ( 1) k Cnk1  Cn01     2( n  1)  k 0  2( n  1) . S Cn1 3n  1  2Cn2 3n  2  3Cn3 3n  3  ...  nCnn Tính tổng sau: Câu 9: n 1. A. n.4 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 0. n  1 S 3n  kCnk    3 k 1. C. 1. n 1 D. 4. k. Ta có: k. k. 1  1 kC   n   Cnk11  3  3 k 1 nên Vì k n. n. k. k. n 1  1 1 S 3 .n   Cnk11 3n  1.n   Cnk 1 3n  1.n(1  1 ) n  1 n.4n  1 3 k 1  3  k 0  3  . 1 1 1 S1 Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2 3 n 1 Câu 10: Tính các tổng sau: n. 2n1  1 2n 1  1 2 n 1  1 1 A. n  1 B. n  1 C. n  1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 1 1 n! 1 (n  1)! Cnk   k 1 k  1 k !(n  k )! n  1 (k  1)![(n  1)  ( k  1))! 1  Cnk11 n 1 (*) 1 n k 1 1  n 1 k 2n 1  1 0   S1  Cn 1  Cn 1    Cn1  n 1   n  1 k 0 n 1 . k 0  S2 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính các tổng sau: Câu 11: Trang 29. 2n 1  1 1 D. n  1.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n 1 A. 2n.2. n 1 B. n.2. n 1 C. 2n.2. n 1 D. n.2. Hướng dẫn giải: Chọn D.. kCnk k .. n! n!  k !(n  k )! ( k  1)![(n  1)  (k  1)]!. Ta có:. n. (n  1)! nCnk11 (k  1)![(n  1)  (k  1)]! , k 1 n. n 1.  S 2  nCnk11 n  Cnk 1 n.2n  1. . 2 3 4 n Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n(n  1)Cn . n 2 n 2 n 3 A. n(n  1)2 B. n(n  2)2 C. n(n  1)2 k 1. k 0. Hướng dẫn giải: Chọn A.. k (k  1)Cnk . n! n(n  1)Cnk 22 (k  2)!(n  k )!. Ta có n.  S3 n(n  1)  Cnk 22 n( n  1)2 n  2 k 2. Câu 13: A.. Tính tổng. S. S Cn0 . 4n 1  2n 1 n 1. Trang 30. 4. n 1. 3 1 1 3n 1  1 n Cn  ...  Cn 2 n 1. B.. S. 4n 1  2n 1 1 n 1. 2 4n 1  2n 1 1 S 1 n 1 n 1 C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D. S S1  S 2 , trong đó Ta có 32 33 3n 1 n S1 Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cn 2 3 n 1 1 1 1 S 2  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2 3 n 1 n 1 2 1 S2  1 n 1 Ta có S1 ? Tính 3k 1 k n! 3k 1 (n  1)! 3k 1 k 1 Cn 3k 1   C k 1 (k  1)!(n  k )! n  1 (k  1)![(n  1)  (k  1)]! n  1 n 1 Ta có: S. n 1. .. 2. n 2 D. n(n  1)2.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 1  n 1 k k 1 n k 1 k 1 0 0 4n 1  1 0  3 C  C  2 C 3 C  2 C   2 n  1 n n   n 2 n n  1  k 0 n  1 k 0  n 1 . n 1 n 1 4 2 S 1 n 1 Vậy . 22  1 1 2n 1  1 n S Cn0  Cn  ...  Cn 2 n 1 Tính tổng Câu 14: 3n1  2n 1 3n  2 n1 3n 1  2n S S S n 1 n 1 n 1 A. B. C. Hướng dẫn giải: Chọn A. S S1  S 2 Ta có: k 1 n n Cnk 2n1  1 k 2 S1  Cn ; S 2   1 k 1 n 1 k 0 k 0 k  1 Trong đó 2k 1 k 2k 1 k 1 3n 1  1 Cn  Cn 1  S1  1 k 1 n 1 n 1 Mà 3n 1  2n 1 S n 1 . Suy ra:  S1 . D.. S. 3n 1  2n1 n 1. C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  ...  (2n 1)2n C22nn11 2005 Tìm số nguyên dương n sao cho : Câu 15: A. n 1001 Hướng dẫn giải: Chọn B.. B. n 1002. C. n 1114. D. n 102. 2 n 1. S   ( 1) k  1.k .2k  1 C2kn 1 k 1. Đặt k1 k1 k k1 k1 k1 Ta có: (  1) .k .2 C2 n 1 ( 1) .(2n  1).2 C2 n S (2n  1)(C20n  2C21n  22 C22n  ...  22 n C22nn ) 2n  1 Nên Vậy 2n  1 2005  n 1002 . 1.30.5n  1 Cnn 1  2.31.5n 2 Cnn  2  ...  n.3n  150 Cn0 Tính tổng Câu 16: n 1 n n 1 A. n.8 B. (n  1).8 C. (n  1).8 Hướng dẫn giải: Chọn A. n. VT  k .3k  1.5n  k Cnn  k k 1. Ta có: k .3k  1.5n k Cnn k n.3k  1.5n k.Cnk11 Mà VT n(30.5n  1 Cn0 1  31.5n  2 Cn1 1  ...  3n  150 Cnn11 ) Suy ra: n(5  3)n  1 n.8n  1 Trang 31. n D. n.8.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 17: Tính tổng. S 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  ...  n(n  1)Cnn. n 2. n 2 B. n(n  1)2. A. n(n  1)2 Hướng dẫn giải: Chọn B.. n C. n(n  1)2. n 2 D. ( n  1)2. n. S  k (k  1)Cnk k 2. Ta có: k (k  1)Cnk n(n  1)Cnk 22 Mà S n(n  1)(Cn0 2  Cn1 2  Cn2 2  ...  Cnn 22 ) n(n  1)2n  2 Suy ra 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C  C  C  Câu 18: Tính tổng.  ...   Cnn . 2. n n 1 n A. C2 n B. C2 n C. 2C2 n Hướng dẫn giải: Chọn A. n n 2n  x  1  1  x   x 1 . Ta có: Vế trái của hệ thức trên chính là:  Cn0 xn  Cn1 xn 1  ...  Cnn   Cn0  Cn1 x  ...  Cnn x n . n 1 D. C2 n 1. n Và ta thấy hệ số của x trong vế trái là 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C  C  C  x n trong vế phải  x  1 Còn hệ số của 0 2 n. Do đó. 1 2 n. 2 2 n.  C  C  C . 2n.  ...   Cnn . 2. n là C2 n. 2.  ...   Cnn  C2nn. S1 5n Cn0  5n  1.3.Cnn  1  32.5n  2 Cnn  2  ...  3n Cn0 Tính tổng sau: Câu 19: n n n 1 n A. 28 B. 1  8 C. 8 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. S1 (5  3) n 8n Ta có: 0 2 2010 S2 C2011  22 C2011  ...  2 2010 C2011 Câu 20: 32011  1 3211  1 32011  12 32011  1 2 2 2 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D. Xét khai triển: 0 1 2 2010 2011 (1  x )2011 C2011  xC2011  x 2C2011  ...  x 2010C2011  x 2011C2011 Cho x 2 ta có được: 0 1 2 2010 2011 32011 C2011  2.C2011  22 C2011  ...  22010 C2011  22011 C2011 (1) x  2 Cho ta có được: 0 1 2 2010 2011  1 C2011  2.C2011  22 C2011  ...  22010 C2011  22011 C2011 (2). Trang 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Lấy (1) + (2) ta có: 0 2 2010 2  C2011  22 C2011  ...  22010 C2011  32011  1. Suy ra:. S 2 C. 0 2011. 2. 2 C. 2 2011.  ...  2. 2010. C. 2010 2011. 32011  1  2 .. S3 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính tổng Câu 21: n 1. n 1 B. n.2. A. 4n.2 Hướng dẫn giải: Chọn B.. kCnk k . Ta có:. n 1 D. 2n.2. (n  1)! n! n!  n nCnk11 k !(n  k )! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! , k 1. n. n 1. k 1. k 0.  S3  nCnk11 n Cnk 1 n.2n  1. Trang 33. n 1 C. 3n.2. ..

<span class='text_page_counter'>(34)</span>

×