Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (289.88 KB, 33 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có: n. (a b) n Cnk a n k b k k 0. 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) Cnk Cnn k. 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn0 Cnn 1 , Cnk 1 Cnk Cnk1 5) * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: 0 n 1 n 1 n 0 1 n n n = Cn x Cn x ... Cn Cn Cn ... Cn 2 (1+x) 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1)n = Cn x Cn x ... ( 1) Cn Cn Cn ... ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau C 0 Cn1 ... Cnn 2n * n 0 1 2 n n * Cn Cn Cn ... ( 1) Cn 0. B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: n. n. ax p bx q Cnk ax p k 0. n k. k. n. bx q Cnk a n k b k x np pk qk k 0. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m . m np k p q Từ đó tìm k n k k m Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. m Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. m. m Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x trong khai triển. P x a bx p cx q . n. 2n. được viết dưới dạng a0 a1 x ... a2 n x .. Ta làm như sau: n. * Viết. n. P x a bx p cx q Cnk a n k bx p cx q . Trang 1. k 0. k. ;.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. bx * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng. p. cx q . k. thành một đa thức theo luỹ thừa. của x. m. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: a * Tính hệ số k theo k và n ; a ak * Giải bất phương trình k 1 với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.. 2a b Câu 1: Trong khai triển. 5. , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: A. 80 . B. 80 . C. 10 . D. 10 . n 6 a 2 , n . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng: Câu 2: Trong khai triển nhị thức A. 17 . B. 11. C. 10 . D. 12 .. 3x Câu 3: Trong khai triển. 2. y. 10. , hệ số của số hạng chính giữa là: 3 .C 3 .C104 35.C105 A. . B. . C. . 8 2 x 5 y , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là: Câu 4: Trong khai triển A. 22400 . B. 40000 . C. 8960 . 6 2 3 x x , hệ số của x , x 0 là: Câu 5: Trong khai triển A. 60 . B. 80 . C. 160 . 7 2 1 a b , số hạng thứ 5 là: Câu 6: Trong khai triển 6 4 6 4 4 5 A. 35.a .b . B. 35.a .b . C. 35.a .b . 4. 4 10. Câu 7: Trong khai triển 6 5 4 A. 2a 6a 15a .. 4. 2a 1. D.. 35.C105. .. D. 4000 .. D. 240 .. 4 D. 35.a .b .. 6. , tổng ba số hạng đầu là: 6 5 4 B. 2a 15a 30a . 6 5 4 D. 64a 192a 240a .. 6 5 4 C. 64a 192a 480a .. x y Câu 8: Trong khai triển. 16. , tổng hai số hạng cuối là:. 15 8 A. 16 x y y .. 15 4 15 4 B. 16 x y y . C. 16 xy y . 6 2 1 8a b 2 , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: Câu 9: Trong khai triển 9 3 9 3 9 3 A. 80a .b . B. 64a .b . C. 1280a .b .. 15 8 D. 16 xy y .. 6 4 D. 60a .b .. 9. 8 x 2 x , số hạng không chứa x là: Câu 10: Trong khai triển A. 4308 . B. 86016 . C. 84 .. Câu 11: Trong khai triển A. 11520 . Trang 2. 2 x 1. D. 43008 .. 10. 8 , hệ số của số hạng chứa x là: B. 45 . C. 256 .. D. 11520 ..
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. a Câu 12: Trong khai triển. 2b . 8. 4 4 , hệ số của số hạng chứa a .b là: A. 1120 . B. 560 . C. 140 . 7 3x y , số hạng chứa x 4 y3 là: Câu 13: Trong khai triển 4 3 4 3 4 3 A. 2835 x y . B. 2835x y . C. 945x y .. Câu 14: Trong khai triển A. 0, 0064 .. 0,2 + 0,8 . D. 70 . 4 3 D. 945 x y .. 5. , số hạng thứ tư là: B. 0, 4096 . C. 0, 0512 . 6 6 3 3 1 x 1 y là: Câu 15: Hệ số của x y trong khai triển A. 20 . B. 800 . C. 36 . 4 3x 2 y Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển là: 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3x 2 y . A. C4 x y . B. C. 6C4 x y . 11 8 3 x y Câu 17: Trong khai triển , hệ số của số hạng chứa x . y là 3 3 5 A. C11 . B. C11 . C. C11 .. D. 0, 2048 . D. 400 . 2 2 2 D. 36C4 x y .. 8 D. C11 .. 10 x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1 2 x) Câu 18: Tìm hệ số của A. 15360 B. 15360 C. 15363 D. 15363 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(2 3 x) Câu 19: Tìm hệ số của A. 489889 B. 489887 C. 489888 D. 489888 7 8 9 7 x trong khai triển biểu thức sau: g ( x) (1 x) (1 x) (2 x) Tìm hệ số của Câu 20: A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 10 7 x trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3 2 x) Câu 21: Tìm hệ số của A. 103680 B. 1301323 C. 131393 D. 1031831 9 7 x trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1 2 x) Câu 22: Tìm hệ số của A. 4608 B. 4608 C. 4618 D. 4618 2 10 8 Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (3x 1) A. 17010 B. 21303 C. 20123 D. 21313 8 2 f ( x) 5 x 3 8 x Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: Câu 24: A. 1312317 B. 76424 C. 427700 D. 700000 12 3 x f ( x) 8 x 2 Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: Câu 25: 297 29 27 97 A. 512 B. 51 C. 52 D. 12 2 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) (1 x 2 x ) Xác định hệ số của Câu 26:. A. 37845. B. 14131 C. 324234 D. 131239 8 8 f ( x ) 8(1 8 x ) 9(1 9 x )9 10(1 10 x)10 x trong các khai triển sau: Xác định hệ số của Câu 27: Trang 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A.. 8.C80 .88 C91.98 10.C108 .108. B.. C80 .88 C91.98 C108 .108. 8.C80 .88 9.C91.98 10.C108 .108 D. 8 9 10 x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x ) 9(1 2 x) 10(1 3x ) Tìm hệ số của Câu 28: C.. C80 .88 9.C91.98 10.C108 .108. A. 22094. B. 139131. C. 130282. D. 21031. 15. 25 10 x3 xy là: Câu 29: Hệ số đứng trước x . y trong khai triển A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . 18 3 1 x 3 x là: Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển 9 A. C18 .. 1 x Khai triển. Câu 31: A. 330 .. B.. C10 18 .. 8 C. C18 .. D.. C. –72 .. D. –792 .. 7 , hệ số đứng trước x là: B. – 33 .. B. 213012. f ( x) ( x . 2 12 ) x. (x 0). C. 12373 g ( x ) (. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Câu 33: A. 24310. C183 .. 12. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Câu 32: A. 59136. D. 3200 .. B. 213012. D. 139412 1 3. x. 2. 4 x 3 )17. C. 12373. ( x 0). D. 139412 n. 1 5 3 x 8 biết Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của x n 1 n Cn 4 Cn 3 7 n 3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 n. 1 x x2 với n là số Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức x nguyên dương thoả mãn Cn3 2n An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). A. 98 B. 98 C. 96 D. 96 40. 1 f x x 2 x , hãy tìm hệ số của x31 Câu 36: Trong khai triển A. 9880 B. 1313 C. 14940. D. 1147. 18. 3 1 x 3 x số hạng độc lập đối với x Hãy tìm trong khai triển nhị thức Câu 37: A. 9880 B. 1313 C. 14940 x 3 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 x . D. 48620. 12. 4. Câu 38: 55 A. 9 Trang 4. 13 B. 2. 621 C. 113. 1412 D. 3123.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 25 10 x3 xy Tính hệ số của x y trong khai triển. Câu 39: A. 300123. B. 121148 C. 3003 2 20 P x 1 x 2 1 x ... 20 1 x . Câu 40: Cho đa thức P x a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 Hãy tính hệ số A. 400995. a15. D. 1303 có dạng khai triển là. .. . B. 130414. Câu 41: Tìm số hạng của khai triển. C. 511313. 33 2. . D. 412674. 9. A. 8 và 4536. Câu 42:. 15. B. 1 và 4184 1 f ( x ) (2 x ) 20 x Xét khai triển. là một số nguyên C. 414 và 12. 1. Viết số hạng thứ k 1 trong khai triển k T C20 .220 k .x 20 k A. k 1 k 20 4 k 20 2 k .x C. Tk 1 C20 .2. B.. D. 1313. Tk 1 C10k .220 k .x 20 2 k. k 20 k 20 2 k D. Tk 1 C20 .2 .x. 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x C1 .210 A10 .210 C10 .24 C 10 .210 A. 20 B. 20 C. 20 D. 20 2 10 4 Câu 43: Xác định hệ số của x trong khai triển sau: f ( x) (3x 2 x 1) . A. 8089 B. 8085 C. 1303 D. 11312 2n 7 Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2 3 x) , biết n là số nguyên dương thỏa C1 C23n 1 C25n 1 ... C22nn11 1024 mãn : 2 n 1 . A. 2099529 B. 2099520 C. 2099529 9 10 14 x 9 trong khai triển f ( x) (1 x) (1 x) ... (1 x) Tìm hệ số của Câu 45: A. 8089 B. 8085 C. 3003 5 10 5 x 1 2 x x 2 1 3x Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: Câu 46: A. 3320 B. 2130 C. 3210 8 8 f ( x) 1 x 2 1 x x Tìm hệ số cuả trong khai triển đa thức Câu 47: A. 213 B. 230 C. 238 Câu 48: Đa thức. P x 1 3 x 2 x. 2 10. . a0 a1 x ... a20 x. 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10 .3 C10 .C9 .3 C10 .C8 .3. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10 .2 C10 .C9 .2 C10 .C8 .2. C.. a15 C1010 .C105 .35.25 C109 .C96 .33.26 C108 .C87 .27. 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 D. a15 C10 .C10 .3 .2 C10 .C9 .3 .2 C10 .C8 .3.2. Trang 5. 20. . Tìm. a15. D. 2099520 D. 11312. D. 1313. D. 214.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. ( x3 . 2 n ) n 1 n 2 x , biết rằng Cn Cn 78 với. Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau x 0 A. 112640 B. 112640 C. 112643 D. 112643 3n 3 a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ( x 2 1) n ( x 2) n . Tìm n để a3n 3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 n 1 7 x 4 26 , biết Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của x C21n 1 C22n 1 ... C2nn 1 220 1 . A. 210. B. 213 C. 414 D. 213 n n Câu 52: Cho n * và (1 x) a0 a1 x ... an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n 1 ) sao ak 1 ak ak 1 2 9 24 . Tính n ? . cho A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 1 2 10 ( x) Câu 53: Trong khai triển của 3 3 thành đa thức a0 a1 x a2 x 2 ... a9 x9 a10 x10. a , hãy tìm hệ số k lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 210 210 210 a10 3003 15 a5 3003 15 a4 3003 15 a9 3003 15 3 3 3 3 A. B. C. D. n 2 n a a ... an 729 . Tìm n và số lớn Câu 54: Giả sử (1 2 x) a0 a1 x a2 x ... an x , biết rằng 0 1 a , a ,..., an . nhất trong các số 0 1 max ak a4 240 max ak a6 240 A. n=6, B. n=6, max ak a4 240 max ak a6 240 C. n=4, D. n=4, n n Câu 55: Cho khai triển (1 2 x) a0 a1 x ... an x , trong đó n * . Tìm số lớn nhất trong các số an a1 ... 4096 a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: 2 2n . A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127 a0 . Trang 6.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG. k n. a C b k. k 0. k. .. Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a b) n Cn0 a n a n 1bCn1 a n 2b2Cn2 ... b nCnn . Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Cnk Cnn k * Cn0 Cn1 ... Cnn 2n * n. k. ( 1) C. k n. 0. k 0. * n. n. k 0. k 0. C22nk C22nk 1 . 1 2n k C2 n 2 k 0. * n. k n. C a. k. (1 a ) n. * k 0 . Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. T Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn Câu 1: Tổng bằng: n n n A. T 2 . B. T 2 – 1 . C. T 2 1 . 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S C6 C6 .. C6 bằng: A. 64 . Câu 3: Khai triển. B. 48 .. x y. 5. C. 72 .. C. 1 . C 2C 4C ... 2n Cnn 243 Tìm số nguyên dương n sao cho: Câu 4: B. 64 .. 0 n. A. 4. B. 11. Câu 5: Khai triển. x y. D. 12 .. 2 n. C. 12. D. 5. S C C51 ... C55 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng. 1 x x Khai triển. B. 64 . 2. C. 1 .. D. 12 .. 5. x 3 a0 a1 x a2 x 2 ... a15 x15. a a) Hãy tính hệ số 10 . 0 4 4 3 A. a10 C5 . C5 C5 C5 0 5 2 4 4 3 C. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5. Trang 7. 1 n. 0 5. A. 32 . Câu 6:. D. 100 .. 0 1 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C5 ... C5. A. 32 .. 5. n D. T 4 .. 0 5 2 4 4 3 B. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 0 5 2 4 4 3 D. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 b) Tính tổng A. 131. T a0 a1 ... a15. và. B. 147614 2 10. Câu 7:. S a0 a1 a2 ... a15. Khai triển. a) Hãy tính hệ số a C100 .24 A. 4. 1 2 x 3x . C. 0 2. a0 a1 x a2 x ... a20 x. D. 1 20. a4 B.. a4 24 C104. C.. a4 C100 C104. D.. a4 C100 .24 C104. S a1 2a2 4a3 ... 220 a20. b) Tính tổng 10 A. S 17. Câu 8:. 10 20 B. S 15 C. S 17 1 1 1 1 ( 1) n n S Cn0 Cn1 Cn3 Cn4 ... Cn 2 4 6 8 2( n 1) Tính tổng sau:. 10 D. S 7. 1 A. 2( n 1). 1 D. (n 1). B. 1 C. 2 2 n 2 3 n 3 S C 3 2Cn 3 3Cn 3 ... nCnn Tính tổng sau: Câu 9: 1 n 1 n. n 1 A. n.4. n 1 D. 4. B. 0. C. 1 1 1 1 S1 Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2 3 n 1 Câu 10: Tính các tổng sau: n 1 n 1 2 1 2 1 2n 1 1 1 A. n 1 B. n 1 C. n 1. 2n 1 1 1 D. n 1. S2 Cn1 2Cn2 ... nCnn Tính các tổng sau: Câu 11: n 1 A. 2n.2. n 1 B. n.2. n 1 C. 2n.2. n 1 D. n.2. S 2.1.Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)Cnn Câu 12: Tính các tổng sau: 3 . n 2 n 2 n 3 A. n(n 1)2 B. n(n 2)2 C. n(n 1)2 32 1 1 3n 1 1 n S Cn0 Cn ... Cn 2 n 1 Tính tổng Câu 13: 4n 1 2n 1 4n 1 2n 1 S S 1 n 1 n 1 A. B. C.. S. Câu 14: A.. 4n 1 2n 1 1 n 1. Tính tổng. S. S Cn0 . 3n 1 2n 1 n 1. D. 2. 4n 1 2n 1 1 n 1. S. 3n 1 2n n 1. n 1. 2 1 1 2 1 n Cn ... Cn 2 n 1. B.. S. 3n 2n 1 n 1. Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : A. n 1001 B. n 1002 Trang 8. S. n 2 D. n(n 1)2. C. 1 2 n 1. C. 2.2C. 2 2 n 1. 2. 3.2 C. 3 2 n 1. C. n 1114. S. 3n 1 2n 1 n 1. D. ... (2n 1)2n C22nn11 2005 D. n 102.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 16: Tính tổng. 1.30.5n 1 Cnn 1 2.31.5n 2 Cnn 2 ... n.3n 150 Cn0. n 1 n B. (n 1).8 C. (n 1).8 S 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)Cnn Tính tổng Câu 17: n 1 A. n.8. n 2 A. n(n 1)2. n 2 B. n(n 1)2 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C C C Câu 18: Tính tổng. ... Cnn . n C. n(n 1)2. n D. n.8. n 2 D. (n 1)2. 2. n A. C2 n. n 1 n B. C2 n C. 2C2 n S1 5n Cn0 5n 1.3.Cnn 1 32.5n 2 Cnn 2 ... 3n Cn0 Tính tổng sau: Câu 19: n n n 1 A. 28 B. 1 8 C. 8. n 1 D. C2 n 1. n D. 8. 0 2 2010 S 2 C2011 2 2 C2011 ... 2 2010 C2011. Câu 20: 32011 1 2 A.. 3211 1 2 B. S3 Cn1 2Cn2 ... nCnn Tính tổng Câu 21: n 1 A. 4n.2. Trang 9. n 1 B. n.2. 32011 12 2 C.. 32011 1 2 D.. n 1 C. 3n.2. n 1 D. 2n.2.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có: n. ( a b) n Cnk a n k b k k 0. 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) Cnk Cnn k. 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn0 Cnn 1 Cnk 1 Cnk Cnk1 , 5) * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: C 0 x n Cn1 x n 1 ... Cnn Cn0 Cn1 ... Cnn 2n n = n (1+x) 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1)n = Cn x Cn x ... ( 1) Cn Cn Cn ... ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau 0 1 n n * Cn Cn ... Cn 2 0 1 2 n n * Cn Cn Cn ... ( 1) Cn 0. B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp:. ax. p. n. n. bx q Cnk ax p k 0. n k. q k. n. bx C a k n. n k. b k x np pk qk. k 0. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m . m np k p q Từ đó tìm k n k k m Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. m. m Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. m Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x trong khai triển. P x a bx p cx q . Ta làm như sau:. Trang 10. n. được viết dưới dạng. a0 a1 x ... a2 n x 2 n. ..
<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. n. * Viết. P x a bx p cx q Cnk a n k bx p cx q k 0. k. ;. bx * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng. p. cx q . k. thành một đa thức theo luỹ thừa. của x. m. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: a * Tính hệ số k theo k và n ; a ak * Giải bất phương trình k 1 với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.. 2a b Câu 1: Trong khai triển. 5. , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: B. 80 . C. 10 .. A. 80 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 5 5 4 3 2a b C50 2a C51 2a b C52 2a b2 ... Ta có: 2 Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C5 .8 80 .. D. 10 .. n 6. a 2 , n . Có tất cả17 số hạng. Vậy n bằng: Câu 2: Trong khai triển nhị thức A. 17 . B. 11. C. 10 . D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn C. n 6 a 2 , n có tất cả n 7 số hạng. Trong khai triển Do đó n 7 17 n 10 .. 3x Câu 3: Trong khai triển 4. 4 10. y. 10. , hệ số của số hạng chính giữa là: 4 5 5 B. 3 .C10 . C. 3 .C10 . 4. A. 3 .C . Hướng dẫn giải: Chọn D.. 3x Trong khai triển. 2. 2. y. 5 5 D. 3 .C10 .. 10. có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 . 5 5 Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 3 .C10 .. 2x 5 y Câu 4: Trong khai triển A. 22400 . Hướng dẫn giải: Chọn A.. 8. 5 3 , hệ số của số hạng chứa x . y là: B. 40000 . C. 8960 .. D. 4000 .. Tk 1 ( 1) k C8k .(2 x)8 k (5 y) k ( 1) k C8k .28 k 5k .x8 k . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 5 3 Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là: 22400 . 6 2 3 x x , hệ số của x , x 0 là: Câu 5: Trong khai triển A. 60 . Trang 11. B. 80 .. C. 160 .. D. 240 ..
<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. k 6. Tk 1 C .x Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 1 6 k k 3 k 3 2 Yêu cầu bài toán xảy ra khi .. 6 k. k. 2 .x. 1 k 2. 3 C 3 .23 160 Khi đó hệ số của x là: 6 . 7 2 1 a b , số hạng thứ 5 là: Câu 6: Trong khai triển 6 4 6 4 4 5 A. 35.a .b . B. 35.a .b . C. 35.a .b . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tk 1 C7k .a14 2 k .b k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T5 C74 .a 6 .b 4 35.a 6 .b 4 Vậy số hạng thứ 5 là 6 2a 1 Câu 7: Trong khai triển , tổng ba số hạng đầu là: 6 5 4 6 5 4 2 a 6 a 15 a A. . B. 2a 15a 30a . 6 5 4 C. 64a 192a 480a . Hướng dẫn giải: Chọn D. 6 2a 1 C60 .26 a6 C61 .25 a5 C62 .24 a 4 ... Ta có: 6 5 4 Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a 192a 240a .. x y Câu 8: Trong khai triển 15. 8. 16 x y y A. . Hướng dẫn giải: Chọn A.. x y. 16. B.. 4 D. 35.a .b .. 6 5 4 D. 64a 192a 240a .. 16. , tổng hai số hạng cuối là:. 16 x y15 y 4. 15 4 C. 16 xy y .. .. C160 x16 C161 x15 . y ... C1615 x. y. 15. C1616. y. 15 8 D. 16 xy y .. 16. Ta có: 6. 2 1 8a b 2 , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: Câu 9: Trong khai triển 9 3 9 3 9 3 A. 80a .b . B. 64a .b . C. 1280a .b . Hướng dẫn giải: Chọn C. k Tk 1 1 C6k .86 k a12 2k .2 k b k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 9 3 9 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa a b là: 1280a .b .. 6 4 D. 60a .b .. 9. 8 x 2 x , số hạng không chứa x là: Câu 10: Trong khai triển A. 4308 . B. 86016 . C. 84 .. Trang 12. D. 43008 ..
<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. Tk 1 C9k .x9 k 8k .x 2k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9 k 2k 0 k 3 . 3 3 Khi đó số hạng không chứa x là: C9 .8 43008 . Câu 11: Trong khai triển A. 11520 . Hướng dẫn giải: Chọn D.. 2 x 1. 10. 8 , hệ số của số hạng chứa x là: B. 45 . C. 256 .. Tk 1 C10k .210 k .x10 k . 1. k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10 k 8 k 2 . 8 C 2 .28 11520 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là: 10 . 8 a 2b , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là: Câu 12: Trong khai triển A. 1120 . B. 560 . C. 140 . Hướng dẫn giải: Chọn A. k Tk 1 C8k .a8 k . 2 .bk Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 4 . 4 4 4 4 Khi đó hệ số của số hạng chứa a .b là: C8 .2 1120 . Câu 13: Trong khai triển 4 3 A. 2835 x y .. 3x y . D. 11520 .. D. 70 .. 7. 4 3 , số hạng chứa x y là: 4 3 4 3 B. 2835x y . C. 945x y .. 4 3 D. 945 x y .. Hướng dẫn giải: Chọn A. k. Tk 1 C7k .37 k x 7 k . 1 . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 3 4 4 3 4 4 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là: C7 .3 .x . y 2835.x . y . Câu 14: Trong khai triển A. 0, 0064 .. 0,2 + 0,8 . 5. , số hạng thứ tư là: 0, 4096 B. . C. 0, 0512 .. D. 0, 2048 .. Hướng dẫn giải: Chọn D. Tk 1 C5k .(0, 2)5 k .(0,8) k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T4 C53 .(0, 2) 2 .(0,8)3 0, 2028 Vậy số hạng thứ tư là 6 6 3 3 1 x 1 y là: Câu 15: Hệ số của x y trong khai triển A. 20 . B. 800 . C. 36 . Hướng dẫn giải: Chọn D.. Trang 13. D. 400 ..
<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Tk 1 C6k .x k .C6m . y m. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k m 3 . 3 3 3 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là: C6 .C6 400 .. 4. 3x 2 y là: Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3x 2 y . A. C4 x y . B. C. 6C4 x y . D. 36C4 x y . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 C 2 3 x 2 y 6 3 x 2 y Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: 4 . 11 x y , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là Câu 17: Trong khai triển 3 3 5 8 A. C11 . B. C11 . C. C11 . D. C11 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k. Tk 1 C11k .x11 k . 1 . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 3 8 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là: C11 .. 10 x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1 2 x) Tìm hệ số của Câu 18:. A. 15360 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 15360. 10. 10. k 0. k 0. C. 15363. D. 15363. f ( x ) Cnk 110 k ( 2 x) k C10k ( 2) k x k Ta có 7 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 7 7 7 7 Vậy hệ số của x là: C10 ( 2) 15360 . 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(2 3 x) Tìm hệ số của Câu 19:. A. 489889 Hướng dẫn giải: Chọn D.. B. 489887 9. 9. k 0. k 0. C. 489888. D. 489888. (2 3x)9 C9k 29 k (3x )k C9k 29 k 3k .x k Ta có 9. h( x) C9k 29 k 3k xk 1 k 0. .. 7. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa k 1 7 k 6 6 3 6 7 Vậy hệ số chứa x là: C9 2 3 489888 . Câu 20: Tìm hệ số của A. 29 Hướng dẫn giải: Trang 14. 7 8 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x ) (1 x) (1 x) (2 x) B. 30 C. 31 D. 32.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn A. 7. Hệ số của. x 7 trong khai triển. (1 x )7 C7k x k k 0. 7 là : C7 1. 8. Hệ số của. x 7 trong khai triển. (1 x )8 C8k ( 1)k x k k 0. 7 7 là : C8 ( 1) 8. 9. (1 x)9 C9k x k. 9 7 k 0 Hệ số của x trong khai triển là : C7 36 . 7 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 29 . Chú ý: 1 a n n a với n . * Với a 0 ta có: m. a m a n với m, n ; n 1 . 10 7 Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3 2 x) n. * Với a 0 ta có: Câu 21: A. 103680 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 1301323. 10. 10. k 0. k 0. C. 131393. D. 1031831. f ( x) Cnk 310 k (2 x) k C10k 310 k ( 2) k x k Ta có 8 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 8 8 2 8 8 Vậy hệ số của x là: C10 .3 .( 2) 103680 . 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1 2 x) Tìm hệ số của Câu 22:. A. 4608 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 4608 9. 9. k 0. k 0. C. 4618. D. 4618. (1 2 x )9 C9k 19 k ( 2 x) k C9k ( 2) k .x k Ta có 9. h( x) C9k ( 2) k x k 1 k 0. .. 8. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa k 1 8 k 7 7 7 8 Vậy hệ số chứa x là: C9 ( 2) 4608 . 2 10 8 Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (3x 1) A. 17010 B. 21303 C. 20123 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 21313. 10. Ta có:. f ( x ) C10k 3k x 2 k. Trang 15. k 0. 4 4 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số x là: C10 .3 17010 ..
<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 2 f ( x) 5 x 3 8 x Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:. Câu 24: A. 1312317 Hướng dẫn giải: Chọn D.. B. 76424. 8. C. 427700. D. 700000. 8. f ( x) C8k 28 k ( 5) k x 4 k 8. k 0 Ta có: C84 .24.( 5) 4 700000 .. 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số của x là:. 3 x f ( x ) 8 x 2 Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:. Câu 25: 297 A. 512 Hướng dẫn giải: Chọn A.. 29 B. 51. 12. 27 C. 52. 97 D. 12. 12. Ta có:. f ( x) C12k 312 k .2 k .x 2 k 12 k 0. C1210 .32.2 10 . 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 10 nên hệ số của x là:. 297 512 .. 2 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) (1 x 2 x ) Xác định hệ số của Câu 26:. A. 37845 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 14131. 10. C. 324234 10. D. 131239. k. f ( x) C10k (2 x 2 )10 k (1 x) k C10k Ckj .210 k x 20 2 k j k 0. k 0 j 0. Ta có:. Số hạng chứa. 0 j k 10 x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa: j 2k 12. 8 Nên hệ số của x là: C106 C60 .2 4 C107 C72 23 C108 C84 22 C109 C96 2 C1010C108 37845 8 9 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) 8(1 8 x) 9(1 9 x) 10(1 10 x) Xác định hệ số của Câu 27: 0 8 1 8 8 8 A. 8.C8 .8 C9 .9 10.C10 .10 0 8 1 8 8 8 C. C8 .8 9.C9 .9 10.C10 .10. Hướng dẫn giải: Chọn D. 8. (1 8 x )8 C8k 88 k x8 k k 0. Ta có: 9. (1 9 x)9 C9k 99 k x9 k k 0. Trang 16. 0 8 1 8 8 8 B. C8 .8 C9 .9 C10 .10 0 8 1 8 8 8 D. 8.C8 .8 9.C9 .9 10.C10 .10.
<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 10. (1 10 x)10 C10k 1010 k x10 k k 0. 0 8 1 8 8 8 x 8 là: 8.C8 .8 9.C9 .9 10.C10 .10 Nên hệ số chứa 8 9 10 x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x) 9(1 2 x) 10(1 3 x) Câu 28: Tìm hệ số của A. 22094 B. 139131 C. 130282 D. 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A. n. Ta có:. n. 1 ax Cnk a k x k. k k n k nên ta suy ra hệ số của x trong khai triển (1 ax ) là Cn a . Do đó: 8 8 x8 trong khai triển (1 x) là : C8 i 0. Hệ số của. 8 8 9 x8 trong khai triển (1 2 x) là : C9 .2 Hệ số của 8 8 10 8 Hệ số của x trong khai triển (1 3 x ) là : C10 .3 . 8 8 8 8 8 8 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8 9.2 .C9 10.3 .C10 22094 . 15. 25 10 x3 xy là: Câu 29: Hệ số đứng trước x . y trong khai triển A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k 45 3 k .x k . y k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C15 .x. D. 3200 .. Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 .. x trong khai triển. 3. xy. . 15. 10 là: C15 3003 . 18 3 1 x x 3 là: Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển 9 8 C10 A. C18 . B. 18 . C. C18 .. 25. 10. Vậy hệ số đứng trước x . y. D.. C183 .. Hướng dẫn giải: Chọn A. k 54 3 k .x 3k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C18 .x Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 3k 3k 0 k 9 . 9 Khi đó số hạng không chứa là: C18 .. 1 x Khai triển. Câu 31: A. 330 . Hướng dẫn giải: Chọn D.. 12 7 , hệ số đứng trước x là: B. – 33 .. C. –72 .. D. –792 .. k. Tk 1 C12k . 1 .x k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 7 . 7 7 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là: C12 792 .. Câu 32:. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Trang 17. f ( x) ( x . 2 12 ) x. (x 0).
<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 59136 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 213012. C. 12373. D. 139412. 12. f ( x) ( x 2.x 1 )12 C12k x12 k .( 2 x 1 )k k 0. Ta có: 12. k 12. C. ( 2) k x12 2 k. k 0. Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2k 0 6 6 k 6 số hạng không chứa x là: C12 .2 59136 . g ( x ) ( Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: Câu 33: A. 24310 B. 213012 C. 12373 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 3 1 x 3 ; 4 x3 x 4 3 2 Vì x nên ta có 17 k. 1 3. x. 2. 4 x 3 )17. ( x 0). D. 139412. k. 17 k 136 17 2 3 f ( x) C x 3 . x 4 C17k .x 12 k 0 k 0 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k 136 0 k 8 17. k 17. 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 24310 . n. 1 5 3 x 8 biết Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của x n 1 n Cn 4 Cn 3 7 n 3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cnn41 Cnn3 7 n 3 Cnn3 Cnn31 Cnn3 7 n 3 Ta có: n 2 n 3 7 n 3 Cnn31 7 n 3 2! n 2 7.2! 14 n 12 . n. 12 k. 5 60 11k 12 12 1 5 k 3 k 2 k C12 x 2 3 x C12 x . x x k 0 k 0 Khi đó: . 60 11k 8 k 4 8 2 Số hạng chứa x ứng với k thỏa: . 12! C124 495 8 4! 12 4 ! x Do đó hệ số của số hạng chứa là: . n. 1 2 x x x Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức với n là số nguyên dương thoả mãn. Trang 18.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Cn3 2n An21. .(. Cnk , Ank. A. 98 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 n. 2 n 1. C 2n A. tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). B. 98 C. 96 D. 96. n 3 n n 1 n 2 2n n 1 n 6 . Ta có: n 3 2 n 8 n 9n 8 0 . Theo nhị thức Newton ta có: 8 8 1 1 2 x x x 1 x x C80 x18 C81 x16 1 x x 1 1 2 3 4 8 C82 4 1 x C83 2 1 x C84 1 x ... C88 x8 1 x x x Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4 C83 2 1 x C84 1 x x và . 3 2 4 0 x là: C8 .C3 và C8 .C4 Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào 3 2 4 0 Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 C8 .C4 98 . 40. 1 f x x 2 x , hãy tìm hệ số của x31 Câu 36: Trong khai triển A. 9880 B. 1313 C. 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 1147. 18. 3 1 x 3 x số hạng độc lập đối với x Hãy tìm trong khai triển nhị thức Câu 37: A. 9880 B. 1313 C. 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D. C189 48620 x 3 4 x Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển 3 x . Câu 38: 55 A. 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 55 ( 3) 4 C124 8 3 9. Trang 19. 13 B. 2. 621 C. 113. D. 48620. 12. 1412 D. 3123.
<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 25 10 x3 xy Tính hệ số của x y trong khai triển. Câu 39: A. 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C. C1510 3003. B. 121148. 15. C. 3003. 2. P x 1 x 2 1 x ... 20 1 x . Câu 40: Cho đa thức P x a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20. a Hãy tính hệ số 15 . A. 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 1303. 20. có dạng khai triển là. .. B. 130414. C. 511313. D. 412674. 20. a15 kCk15 400995 k 15. Câu 41: Tìm số hạng của khai triển A. 8 và 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A.. . 33 2. 9. 33 2. . B. 1 và 4184 9. k. C 3 2 k 9. 3. 9. là một số nguyên C. 414 và 12. D. 1313. 9 k. k 0. Ta có Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa: k 2m 9 k 3n k 0, k 6 k 0,...,9 C90. 2 3. 9. 8. Các số hạng là số nguyên:. Câu 42:. và. C96. 6. 3 2 3. 1 f ( x) (2 x ) 20 x Xét khai triển. 1. Viết số hạng thứ k 1 trong khai triển k 20 k 20 k A. Tk 1 C20 .2 .x k 20 4 k 20 2 k .x C. Tk 1 C20 .2. 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x 1 10 10 10 A. C20 .2 B. A20 .2. k 20 k 20 2 k B. Tk 1 C10 .2 .x k 20 k 20 2 k D. Tk 1 C20 .2 .x. 10 4 C. C20 .2. Hướng dẫn giải:. 1.. Ta có:. 3. Tk 1 C20k (2 x )20 k. 1 C20k .220 k .x 20 2 k k x. 2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2k 0 k 10 Trang 20. 10 10 D. C20 .2.
<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Số hạng không chứa x:. 10 10 C20 .2. 2 10 4 Câu 43: Xác định hệ số của x trong khai triển sau: f ( x) (3x 2 x 1) . A. 8089 B. 8085 C. 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B. 10. 10. f x 1 2 x 3x 2 C10k 2 x 3x 2 . D. 11312. k. k 0. 10. k. 10. k. k 0. i 0. k 0. i 0. C10k Cki (2 x) k i .(3 x 2 )i C10k Cki 2 k i.3i x k i với 0 i k 10 . Do đó k i 4 với các trường hợp i 0, k 4 hoặc i 1, k 3 hoặc i k 2 . 4 4 0 2 1 3 1 2 2 2 4 Vậy hệ số chứa x : 2 C10 .C4 2 3 C10 .C3 3 C10 .C2 8085 . 2n 7 Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2 3 x) , biết n là số nguyên dương thỏa 1 3 5 2 n 1 mãn : C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 ... C2 n 1 1024 . A. 2099529 B. 2099520 C. 2099529 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 n 1 k 2 n 1 C2 n 1 2 n k 0 C22ni 11 22 n 1024 n 5 n n i 0 C 2i 1 C 2i 2 n 1 2 n 1 i 0 i 0 Ta có:. D. 2099520. 10. (2 3 x ) 2 n C10k 210 k .( 3) k x k k 0. Suy ra 7 3 7 7 Hệ số của x là C10 .2 .( 3) 2099520 . 9 10 14 x 9 trong khai triển f ( x) (1 x) (1 x) ... (1 x) Tìm hệ số của Câu 45: A. 8089 B. 8085 C. 3003 D. 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C. 9 9 9 9 9 9 9 Hệ số của x : C9 C10 C11 C12 C13 C14 3003 . 5. 5 x 1 2 x x 2 1 3x Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của:. Câu 46: A. 3320 B. 2130 Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 10 f ( x ) x 1 2 x x 2 1 3x Đặt 5. k. 10. f ( x ) x C5k 2 .x k x 2 C10i 3x k 0. i 0. Ta có : 5. k. 10. C5k 2 .x k 1 C10i 3i.x i 2 k 0. Trang 21. i 0. C. 3210. i. 10. D. 1313.
<span class='text_page_counter'>(22)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 5 Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x) ứng với k 4 và i 3 là: 4 C54 2 C103 .33 3320 . 8 8 f ( x) 1 x 2 1 x x Tìm hệ số cuả trong khai triển đa thức Câu 47: A. 213 B. 230 C. 238 Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1 8 2 3 1 x 2 1 x C80 C81 x 2 1 x C82 x 4 1 x C83 x 6 1 x 4. 5. 8. D. 214. C84 x8 1 x C85 x10 1 x ... C88 x16 1 x Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối 8 C 3 .C 2 , C 4 .C 0 lớn hơn 8. Do đó x chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: 8 3 8 4 . 8. 8 1 x 2 1 x x Vậy hệ số cuả trong khai triển đa thức là: 3 2 4 0 a8 C8 .C3 C8 .C4 238 .. Cách 2:. Ta có: 8. 8. n. 8. n. n 0. k 0. k. 1 x 2 1 x C8n x 2 n 1 x C8n Cnk 1 x 2 n k n 0. với 0 k n 8 . 8 Số hạng chứa x ứng với 2n k 8 k 8 2n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được k 0; n 4 và k 2, n 3 . 3 2 4 0 8 Vậy hệ số của x là C8 .C3 C8 .C4 238 . 10. P x 1 3 x 2 x 2 a0 a1 x ... a20 x 20. Câu 48: Đa thức 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10 .3 C10 .C9 .3 C10 .C8 .3.. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10 .2 C10 .C9 .2 C10 .C8 .2 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 C. a15 C10 .C10 .3 .2 C10 .C9 .3 .2 C10 .C8 .2. a C1010 .C105 .35.25 C109 .C96 .33.26 C108 .C87 .3.27 D. 15 Hướng dẫn giải: Chọn D. 10. 10. P x 1 3x 2 x 2 C10k 3x 2 x 2 . k. k 0. Ta có: 10. k. 10. k. k 0. i 0. k 0. i 0. C10k Cki (3x) k i .(2 x 2 )i C10k Cki .3k i.2i x k i với 0 i k 10 . Do đó k i 15 với các trường hợp k 10, i 5 hoặc k 9, i 6 hoặc k 8, i 7 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 Vậy a15 C10 .C10 .3 .2 C10 .C9 .3 .2 C10 .C8 .3.2 .. Trang 22. . Tìm. a15.
<span class='text_page_counter'>(23)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. ( x3 . 2 n ) n 1 n 2 x , biết rằng Cn Cn 78 với. Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau x 0 A. 112640 B. 112640 C. 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! n! Cnn 1 Cnn 2 78 78 (n 1)!1! (n 2)!2! Ta có: n(n 1) n 78 n 2 n 156 0 n 12 2 .. D. 112643. 12. 12 2 f ( x ) x 3 C12k ( 2) k x36 4 k x k 0. Khi đó: Số hạng không chứa x ứng với k : 36 4k 0 k 9 9 9 x là: ( 2) C12 112640 Số hạng không chứa 3n 3 a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ( x 2 1) n ( x 2) n . Tìm n để a3n 3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1:Ta có :. x. 2. n. 1 Cn0 x 2 n Cn1 x 2n 2 Cn2 x 2 n 4 ... Cnn. x 2. n. Cn0 x n 2Cn1 x n 1 22 Cn2 x n 2 ... 2n Cnn. Dễ dàng kiểm tra n 1 , n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x 3 n 3 x 2 n .x n 3 x 2 n 2 . x n 1 3n 3 Do đó hệ số của x trong khai triển thành đa thức của. x. 2. 1. n. x 2. n. 3 0 3 1 1 là : a3n 3 2 .Cn .Cn 2.Cn .Cn . 2n 2n 2 3n 4 7 26n 26n n 3 2 hoặc n 5. a3n 3 Suy ra Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cách 2:. x 2 1. n. n. 1 2 n x 2 x3n 1 2 1 x x . n. Ta có: n 1 x3n Cni 2 x i 0. i. k. n n k 2 3n i 2i C x C x Cnk 2k x k n n x k 0 k 0 i 0 Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n 3 khi 2i k 3 2i k 3 .. Trang 23. n.
<span class='text_page_counter'>(24)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0, k 3 hoặc i 1, k 1 (vì i, k nguyên). 2 x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của x 1. n. x 2. n. Hệ số của 0 3 3 1 1 Là : a3n 3 Cn .Cn .2 Cn .Cn .2 . a3n 3 26n . 2n 2n 2 3n 4 . 3 Do đó Vậy n 5 là giá trị cần tìm.. 26n n . 7 2 hoặc n 5 n. 1 7 4 x 26 , biết Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của x 1 2 n 20 C2 n 1 C2 n 1 ... C2 n 1 2 1 . A. 210 B. 213 C. 414 D. 213 Hướng dẫn giải: Chọn A. C2kn 1 C22nn11 k k 0,1, 2,..., 2n 1 Do C20n 1 C21n 1 ... C2nn 1 C2nn11 C2nn21 ... C22nn11. C21n 1 C22n 1 ... C22nn11 22 n 1. Mặt khác: 2(C20n 1 C21n 1 C22n 1 ... C2nn 1 ) 2 2 n 1 C21n 1 C22n 1 ... C2nn 1 22 n C20n 1 22n 1. 22 n 1 220 1 n 10 . 10. 10 10 1 7 4 7 10 k 4 10 k 7 k C10k x11k 40 x x x C ( x ) . x 10 4 x k 0 k 0. Khi đó: 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k 40 26 k 6 . 6 26 Vậy hệ số chứa x là: C10 210 .. (1 x)n a0 a1 x ... an x n Câu 52: Cho n * và . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n 1 ) sao ak 1 ak ak 1 9 24 . Tính n ? . cho 2 A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! 1 n! 1 2 (k 1)!(n k 1)! 9 (n k )!k ! n! 1 n! 1 k ak Cn , suy ra hệ 9 (n k )!k ! 24 (n k 1)!(k 1)! Ta có: 9k 2(n k 1) 2n 11k 2 n 10, k 2 24(k 1) 9(n k ) 9n 33k 24 .. 1 2 ( x)10 Câu 53: Trong khai triển của 3 3 thành đa thức Trang 24.
<span class='text_page_counter'>(25)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 a0 a1 x a2 x 2 ... a9 x9 a10 x10. , hãy tìm hệ số 210 a5 3003 15 3 B.. ak. lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 a4 3003 15 3 C.. 210 315 A. Hướng dẫn giải: Chọn A. 15 15 k k k 15 15 1 2 2 k 1 k 2 k x C x C 15 15 15 x 3 3 3 3 3 k 0 k 0 Ta có: 1 ak 15 C15k 2k k 3 Hệ số của x trong khai triển k1 k1 k k ak 1 ak C15 2 C15 2 C15k 1 2C15k Ta có: 32 k k 10. a a1 ... a10 3 Từ đó: 0 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 ak 1 ak k a10 a11 ... a15 3 210 210 a10 15 C1510 3003 15 3 3 . Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 3003. D.. a9 3003. 210 315. n 2 n a a ... an 729 . Tìm n và số lớn Câu 54: Giả sử (1 2 x) a0 a1 x a2 x ... an x , biết rằng 0 1 a , a ,..., an . nhất trong các số 0 1 max ak a4 240 max ak a6 240 A. n=6, B. n=6, max ak a4 240 max ak a6 240 C. n=4, D. n=4, Hướng dẫn giải: Chọn A. a0 a1 ... an (1 2.1)n 3n 729 n 6 Ta có: ak C6k 2k suy ra max ak a4 240 .. (1 2 x) n a0 a1 x ... an x n. , trong đó n * . Tìm số lớn nhất trong các số an a1 a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0 2 ... 2n 4096 . A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127. Câu 55: Cho khai triển. Hướng dẫn giải: Chọn A. f ( x) (1 2 x) n a0 a1 x ... an x n Đặt a a 1 a0 1 ... nn f 2 n 2 2 2 2n 4096 n 12 k 0,1, 2,...,11 ak 2k C12k , ak 1 2k 1 C12k 1 ta có: Với mọi a 2k C k k 1 23 k 1 k 1 12k 1 1 1 k ak 1 2 C12 2(12 k ) 3. Trang 25.
<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Mà. k Z k 7 . Do đó a0 a1 ... a8 ak 1 k 7 a8 a9 ... a12 ak 1. Tương tự: Số lớn nhất trong các số. Trang 26. a0 , a1 ,..., a12. 8 8 là a8 2 C12 126720 ..
<span class='text_page_counter'>(27)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG. k n. a C b k. k 0. k. .. Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a b) n Cn0 a n a n 1bCn1 a n 2b2Cn2 ... b nCnn . Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Cnk Cnn k * Cn0 Cn1 ... Cnn 2n * n. k. ( 1) C. k n. 0. k 0. * n. n. k 0. k 0. C22nk C22nk 1 . 1 2n k C2 n 2 k 0. * n. k n. C a. k. (1 a ) n. * k 0 . Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. T Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn Câu 1: Tổng bằng: n n n A. T 2 . B. T 2 – 1 . C. T 2 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn. 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S C6 C6 .. C6 bằng: A. 64 . B. 48 . Hướng dẫn giải: Chọn A. S = C06 +C16 +...+C66 2 6 64. x y Khai triển. 5. C. 72 .. Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho:. Trang 27. D. 100 .. 0 1 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C5 ... C5. Câu 3: A. 32 . B. 64 . C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 (1 1) 32 . A. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D.. n D. T 4 .. B. 11. D. 12 .. Cn0 2Cn1 4Cn2 ... 2n Cnn 243 C. 12. D. 5.
<span class='text_page_counter'>(28)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Xét khai triển:. (1 x )n Cn0 xCn1 x 2Cn2 ... x nCnn. 0 1 2 n n n x 2 ta có: Cn 2Cn 4Cn ... 2 Cn 3 Cho n 5 Do vậy ta suy ra 3 243 3 n 5 .. Câu 5: Khai triển. x y. 5. S C50 C51 ... C55 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng. A. 32 . B. 64 . C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 (1 1) 32 . Câu 6:. 1 x x Khai triển. 2. 5. x 3 a0 a1 x a2 x 2 ... a15 x15. a a) Hãy tính hệ số 10 . 0 4 4 3 A. a10 C5 . C5 C5 C5 C.. 0 5 2 4 4 3 B. a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 a C50 .C55 C52C54 C54C53 D. 10. a10 C50 .C55 C52C54 C54C53. T a0 a1 ... a15 và S a0 a1 a2 ... a15 b) Tính tổng A. 131 B. 147614 C. 0 Hướng dẫn giải: f ( x) (1 x x 2 x3 )5 (1 x)5 (1 x 2 )5 Đặt 0 5 2 4 4 3 x10 bằng: a10 C5 .C5 C5 C5 C5 C5 a) Do đó hệ số T f (1) 45 ; S f ( 1) 0 b) 2 10. Câu 7:. 1 2 x 3x Khai triển. a) Hãy tính hệ số 0 4 A. a4 C10 .2. D. 12 .. D. 1. a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20. a4 4 4 B. a4 2 C10. 0 4 C. a4 C10C10. 0 4 4 D. a4 C10 .2 C10. 20 C. S 17. 10 D. S 7. S a1 2a2 4a3 ... 220 a20. b) Tính tổng 10 A. S 17 Hướng dẫn giải:. 10 B. S 15 10. f ( x) (1 2 x 3x 2 )10 C10k 3k x 2 k (1 2 x)10 k k 0. Đặt 10. 10 k. k 0. i 0. C10k 3k x 2 k C10i k 210 k i x10 k i 10 10 k. C10k C10i k 3k 210 k i x10k i k 0 i 0. a) Ta có:. Trang 28. a4 C100 .24 C104 .
<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 b) Ta có. Câu 8:. S f (2) 1710. 1 1 1 1 ( 1) n n S Cn0 Cn1 Cn3 Cn4 ... Cn 2 4 6 8 2( n 1) Tính tổng sau:. 1 A. 2(n 1) B. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 0 1 1 1 2 ( 1) n n S Cn Cn Cn ... Cn 2 2 3 n 1 . C. 2. 1 D. (n 1). Ta có: n 1 ( 1) k k ( 1) k k 1 S ( 1) k Cnk11 Cn Cn 1 2(n 1) k 0 k 1 n 1 nên: Vì 1 n 1 1 ( 1) k Cnk1 Cn01 2( n 1) k 0 2( n 1) . S Cn1 3n 1 2Cn2 3n 2 3Cn3 3n 3 ... nCnn Tính tổng sau: Câu 9: n 1. A. n.4 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 0. n 1 S 3n kCnk 3 k 1. C. 1. n 1 D. 4. k. Ta có: k. k. 1 1 kC n Cnk11 3 3 k 1 nên Vì k n. n. k. k. n 1 1 1 S 3 .n Cnk11 3n 1.n Cnk 1 3n 1.n(1 1 ) n 1 n.4n 1 3 k 1 3 k 0 3 . 1 1 1 S1 Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2 3 n 1 Câu 10: Tính các tổng sau: n. 2n1 1 2n 1 1 2 n 1 1 1 A. n 1 B. n 1 C. n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 1 1 n! 1 (n 1)! Cnk k 1 k 1 k !(n k )! n 1 (k 1)![(n 1) ( k 1))! 1 Cnk11 n 1 (*) 1 n k 1 1 n 1 k 2n 1 1 0 S1 Cn 1 Cn 1 Cn1 n 1 n 1 k 0 n 1 . k 0 S2 Cn1 2Cn2 ... nCnn Tính các tổng sau: Câu 11: Trang 29. 2n 1 1 1 D. n 1.
<span class='text_page_counter'>(30)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n 1 A. 2n.2. n 1 B. n.2. n 1 C. 2n.2. n 1 D. n.2. Hướng dẫn giải: Chọn D.. kCnk k .. n! n! k !(n k )! ( k 1)![(n 1) (k 1)]!. Ta có:. n. (n 1)! nCnk11 (k 1)![(n 1) (k 1)]! , k 1 n. n 1. S 2 nCnk11 n Cnk 1 n.2n 1. . 2 3 4 n Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn ... n(n 1)Cn . n 2 n 2 n 3 A. n(n 1)2 B. n(n 2)2 C. n(n 1)2 k 1. k 0. Hướng dẫn giải: Chọn A.. k (k 1)Cnk . n! n(n 1)Cnk 22 (k 2)!(n k )!. Ta có n. S3 n(n 1) Cnk 22 n( n 1)2 n 2 k 2. Câu 13: A.. Tính tổng. S. S Cn0 . 4n 1 2n 1 n 1. Trang 30. 4. n 1. 3 1 1 3n 1 1 n Cn ... Cn 2 n 1. B.. S. 4n 1 2n 1 1 n 1. 2 4n 1 2n 1 1 S 1 n 1 n 1 C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D. S S1 S 2 , trong đó Ta có 32 33 3n 1 n S1 Cn0 Cn1 Cn2 ... Cn 2 3 n 1 1 1 1 S 2 Cn1 Cn2 ... Cnn 2 3 n 1 n 1 2 1 S2 1 n 1 Ta có S1 ? Tính 3k 1 k n! 3k 1 (n 1)! 3k 1 k 1 Cn 3k 1 C k 1 (k 1)!(n k )! n 1 (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1 n 1 Ta có: S. n 1. .. 2. n 2 D. n(n 1)2.
<span class='text_page_counter'>(31)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 1 n 1 k k 1 n k 1 k 1 0 0 4n 1 1 0 3 C C 2 C 3 C 2 C 2 n 1 n n n 2 n n 1 k 0 n 1 k 0 n 1 . n 1 n 1 4 2 S 1 n 1 Vậy . 22 1 1 2n 1 1 n S Cn0 Cn ... Cn 2 n 1 Tính tổng Câu 14: 3n1 2n 1 3n 2 n1 3n 1 2n S S S n 1 n 1 n 1 A. B. C. Hướng dẫn giải: Chọn A. S S1 S 2 Ta có: k 1 n n Cnk 2n1 1 k 2 S1 Cn ; S 2 1 k 1 n 1 k 0 k 0 k 1 Trong đó 2k 1 k 2k 1 k 1 3n 1 1 Cn Cn 1 S1 1 k 1 n 1 n 1 Mà 3n 1 2n 1 S n 1 . Suy ra: S1 . D.. S. 3n 1 2n1 n 1. C21n 1 2.2C22n 1 3.22 C23n 1 ... (2n 1)2n C22nn11 2005 Tìm số nguyên dương n sao cho : Câu 15: A. n 1001 Hướng dẫn giải: Chọn B.. B. n 1002. C. n 1114. D. n 102. 2 n 1. S ( 1) k 1.k .2k 1 C2kn 1 k 1. Đặt k1 k1 k k1 k1 k1 Ta có: ( 1) .k .2 C2 n 1 ( 1) .(2n 1).2 C2 n S (2n 1)(C20n 2C21n 22 C22n ... 22 n C22nn ) 2n 1 Nên Vậy 2n 1 2005 n 1002 . 1.30.5n 1 Cnn 1 2.31.5n 2 Cnn 2 ... n.3n 150 Cn0 Tính tổng Câu 16: n 1 n n 1 A. n.8 B. (n 1).8 C. (n 1).8 Hướng dẫn giải: Chọn A. n. VT k .3k 1.5n k Cnn k k 1. Ta có: k .3k 1.5n k Cnn k n.3k 1.5n k.Cnk11 Mà VT n(30.5n 1 Cn0 1 31.5n 2 Cn1 1 ... 3n 150 Cnn11 ) Suy ra: n(5 3)n 1 n.8n 1 Trang 31. n D. n.8.
<span class='text_page_counter'>(32)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 17: Tính tổng. S 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)Cnn. n 2. n 2 B. n(n 1)2. A. n(n 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn B.. n C. n(n 1)2. n 2 D. ( n 1)2. n. S k (k 1)Cnk k 2. Ta có: k (k 1)Cnk n(n 1)Cnk 22 Mà S n(n 1)(Cn0 2 Cn1 2 Cn2 2 ... Cnn 22 ) n(n 1)2n 2 Suy ra 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C C C Câu 18: Tính tổng. ... Cnn . 2. n n 1 n A. C2 n B. C2 n C. 2C2 n Hướng dẫn giải: Chọn A. n n 2n x 1 1 x x 1 . Ta có: Vế trái của hệ thức trên chính là: Cn0 xn Cn1 xn 1 ... Cnn Cn0 Cn1 x ... Cnn x n . n 1 D. C2 n 1. n Và ta thấy hệ số của x trong vế trái là 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C C C x n trong vế phải x 1 Còn hệ số của 0 2 n. Do đó. 1 2 n. 2 2 n. C C C . 2n. ... Cnn . 2. n là C2 n. 2. ... Cnn C2nn. S1 5n Cn0 5n 1.3.Cnn 1 32.5n 2 Cnn 2 ... 3n Cn0 Tính tổng sau: Câu 19: n n n 1 n A. 28 B. 1 8 C. 8 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. S1 (5 3) n 8n Ta có: 0 2 2010 S2 C2011 22 C2011 ... 2 2010 C2011 Câu 20: 32011 1 3211 1 32011 12 32011 1 2 2 2 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D. Xét khai triển: 0 1 2 2010 2011 (1 x )2011 C2011 xC2011 x 2C2011 ... x 2010C2011 x 2011C2011 Cho x 2 ta có được: 0 1 2 2010 2011 32011 C2011 2.C2011 22 C2011 ... 22010 C2011 22011 C2011 (1) x 2 Cho ta có được: 0 1 2 2010 2011 1 C2011 2.C2011 22 C2011 ... 22010 C2011 22011 C2011 (2). Trang 32.
<span class='text_page_counter'>(33)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Lấy (1) + (2) ta có: 0 2 2010 2 C2011 22 C2011 ... 22010 C2011 32011 1. Suy ra:. S 2 C. 0 2011. 2. 2 C. 2 2011. ... 2. 2010. C. 2010 2011. 32011 1 2 .. S3 Cn1 2Cn2 ... nCnn Tính tổng Câu 21: n 1. n 1 B. n.2. A. 4n.2 Hướng dẫn giải: Chọn B.. kCnk k . Ta có:. n 1 D. 2n.2. (n 1)! n! n! n nCnk11 k !(n k )! (k 1)![(n 1) (k 1)]! (k 1)![(n 1) (k 1)]! , k 1. n. n 1. k 1. k 0. S3 nCnk11 n Cnk 1 n.2n 1. Trang 33. n 1 C. 3n.2. ..
<span class='text_page_counter'>(34)</span>