NHI THUC NEWTON Dang Viet Dong File word

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có: n. (a  b) n  Cnk a n  k b k k 0. 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) Cnk Cnn  k. 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn0 Cnn 1 , Cnk  1  Cnk Cnk1 5) * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: 0 n 1 n 1 n 0 1 n n n = Cn x  Cn x  ...  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 2 (1+x) 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1)n = Cn x  Cn x  ...  ( 1) Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau C 0  Cn1  ...  Cnn 2n * n 0 1 2 n n * Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn 0. B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: n. n.  ax p  bx q   Cnk  ax p  k 0. n k. k. n.  bx q   Cnk a n k b k x np  pk qk k 0. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk m . m  np k p q Từ đó tìm k n k k m Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. m Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. m. m Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x trong khai triển. P  x   a  bx p  cx q . n. 2n. được viết dưới dạng a0  a1 x  ...  a2 n x .. Ta làm như sau: n. * Viết. n. P  x   a  bx p  cx q   Cnk a n  k  bx p  cx q . Trang 1. k 0. k. ;.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11.  bx * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng. p.  cx q . k. thành một đa thức theo luỹ thừa. của x. m. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: a * Tính hệ số k theo k và n ; a ak * Giải bất phương trình k  1 với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên..  2a  b  Câu 1: Trong khai triển. 5. , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: A.  80 . B. 80 . C.  10 . D. 10 . n 6  a  2  ,  n   . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng: Câu 2: Trong khai triển nhị thức A. 17 . B. 11. C. 10 . D. 12 ..  3x Câu 3: Trong khai triển. 2.  y. 10. , hệ số của số hạng chính giữa là: 3 .C  3 .C104 35.C105 A. . B. . C. . 8  2 x  5 y  , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là: Câu 4: Trong khai triển A.  22400 . B.  40000 . C.  8960 . 6 2   3  x  x  , hệ số của x ,  x  0  là: Câu 5: Trong khai triển  A. 60 . B. 80 . C. 160 . 7  2 1 a   b  , số hạng thứ 5 là: Câu 6: Trong khai triển  6 4 6 4 4 5 A. 35.a .b . B.  35.a .b . C. 35.a .b . 4. 4 10. Câu 7: Trong khai triển 6 5 4 A. 2a  6a  15a .. 4.  2a  1. D..  35.C105. .. D.  4000 .. D. 240 .. 4 D.  35.a .b .. 6. , tổng ba số hạng đầu là: 6 5 4 B. 2a  15a  30a . 6 5 4 D. 64a  192a  240a .. 6 5 4 C. 64a  192a  480a ..  x y Câu 8: Trong khai triển. 16. , tổng hai số hạng cuối là:. 15 8 A.  16 x y  y .. 15 4 15 4 B.  16 x y  y . C. 16 xy  y . 6  2 1   8a  b  2  , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: Câu 9: Trong khai triển  9 3 9 3 9 3 A.  80a .b . B.  64a .b . C.  1280a .b .. 15 8 D. 16 xy  y .. 6 4 D. 60a .b .. 9. 8   x 2  x  , số hạng không chứa x là: Câu 10: Trong khai triển  A. 4308 . B. 86016 . C. 84 .. Câu 11: Trong khai triển A.  11520 . Trang 2.  2 x  1. D. 43008 .. 10. 8 , hệ số của số hạng chứa x là: B. 45 . C. 256 .. D. 11520 ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. a Câu 12: Trong khai triển. 2b . 8. 4 4 , hệ số của số hạng chứa a .b là: A. 1120 . B. 560 . C. 140 . 7  3x  y  , số hạng chứa x 4 y3 là: Câu 13: Trong khai triển 4 3 4 3 4 3 A.  2835 x y . B. 2835x y . C. 945x y .. Câu 14: Trong khai triển A. 0, 0064 ..  0,2 + 0,8 . D. 70 . 4 3 D.  945 x y .. 5. , số hạng thứ tư là: B. 0, 4096 . C. 0, 0512 . 6 6 3 3  1  x   1  y  là: Câu 15: Hệ số của x y trong khai triển A. 20 . B. 800 . C. 36 . 4 3x  2 y   Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển là: 2 2 2 2 2 2 2 2 6  3x   2 y  . A. C4 x y . B. C. 6C4 x y . 11 8 3 x  y  Câu 17: Trong khai triển , hệ số của số hạng chứa x . y là 3 3 5 A. C11 . B.  C11 . C.  C11 .. D. 0, 2048 . D. 400 . 2 2 2 D. 36C4 x y .. 8 D. C11 .. 10 x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1  2 x) Câu 18: Tìm hệ số của A.  15360 B. 15360 C.  15363 D. 15363 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x)  x(2  3 x) Câu 19: Tìm hệ số của A. 489889 B. 489887 C.  489888 D. 489888 7 8 9 7 x trong khai triển biểu thức sau: g ( x) (1  x)  (1  x)  (2  x) Tìm hệ số của Câu 20: A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 10 7 x trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3  2 x) Câu 21: Tìm hệ số của A. 103680 B. 1301323 C. 131393 D. 1031831 9 7 x trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1  2 x) Câu 22: Tìm hệ số của A.  4608 B. 4608 C.  4618 D. 4618 2 10 8 Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (3x  1) A. 17010 B. 21303 C. 20123 D. 21313 8 2  f ( x)   5 x 3  8 x  Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: Câu 24: A. 1312317 B. 76424 C. 427700 D. 700000 12  3 x f ( x)    8  x 2 Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: Câu 25: 297 29 27 97 A. 512 B. 51 C. 52 D. 12 2 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) (1  x  2 x ) Xác định hệ số của Câu 26:. A. 37845. B. 14131 C. 324234 D. 131239 8 8 f ( x )  8(1  8 x )  9(1  9 x )9  10(1  10 x)10 x trong các khai triển sau: Xác định hệ số của Câu 27: Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A.. 8.C80 .88  C91.98  10.C108 .108. B.. C80 .88  C91.98  C108 .108. 8.C80 .88  9.C91.98  10.C108 .108 D. 8 9 10 x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1  x )  9(1  2 x)  10(1  3x ) Tìm hệ số của Câu 28: C.. C80 .88  9.C91.98  10.C108 .108. A. 22094. B. 139131. C. 130282. D. 21031. 15. 25 10  x3  xy  là: Câu 29: Hệ số đứng trước x . y trong khai triển A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . 18  3 1  x  3  x  là: Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  9 A. C18 .. 1 x Khai triển. Câu 31: A. 330 .. B.. C10 18 .. 8 C. C18 .. D.. C. –72 .. D. –792 .. 7 , hệ số đứng trước x là: B. – 33 .. B. 213012. f ( x) ( x . 2 12 ) x. (x 0). C. 12373 g ( x ) (. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Câu 33: A. 24310. C183 .. 12. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Câu 32: A. 59136. D. 3200 .. B. 213012. D. 139412 1 3. x. 2.  4 x 3 )17. C. 12373. ( x  0). D. 139412 n.  1 5   3 x  8  biết Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  x n 1 n Cn 4  Cn 3 7  n  3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 n. 1    x  x2     với n là số Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức  x nguyên dương thoả mãn Cn3  2n  An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). A.  98 B. 98 C.  96 D. 96 40. 1   f  x   x  2  x  , hãy tìm hệ số của x31  Câu 36: Trong khai triển A. 9880 B. 1313 C. 14940. D. 1147. 18.  3 1 x  3 x  số hạng độc lập đối với x  Hãy tìm trong khai triển nhị thức Câu 37: A. 9880 B. 1313 C. 14940  x 3    Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3 x . D. 48620. 12. 4. Câu 38: 55 A. 9 Trang 4. 13 B. 2. 621 C. 113. 1412 D. 3123.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 25 10  x3  xy  Tính hệ số của x y trong khai triển. Câu 39: A. 300123. B. 121148 C. 3003 2 20 P  x   1  x   2  1  x   ...  20  1  x . Câu 40: Cho đa thức P  x  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 Hãy tính hệ số A. 400995. a15. D. 1303 có dạng khai triển là. .. . B. 130414.  Câu 41: Tìm số hạng của khai triển. C. 511313. 33 2. . D. 412674. 9. A. 8 và 4536. Câu 42:. 15. B. 1 và 4184 1 f ( x ) (2 x  ) 20 x Xét khai triển. là một số nguyên C. 414 và 12. 1. Viết số hạng thứ k  1 trong khai triển k T C20 .220  k .x 20 k A. k 1 k 20  4 k 20  2 k .x C. Tk 1 C20 .2. B.. D. 1313. Tk 1 C10k .220 k .x 20 2 k. k 20  k 20  2 k D. Tk 1 C20 .2 .x. 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x C1 .210 A10 .210 C10 .24 C 10 .210 A. 20 B. 20 C. 20 D. 20 2 10 4 Câu 43: Xác định hệ số của x trong khai triển sau: f ( x) (3x  2 x 1) . A. 8089 B. 8085 C. 1303 D. 11312 2n 7 Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2  3 x) , biết n là số nguyên dương thỏa C1  C23n 1  C25n 1  ...  C22nn11 1024 mãn : 2 n 1 . A. 2099529 B.  2099520 C.  2099529 9 10 14 x 9 trong khai triển f ( x) (1  x)  (1  x)  ...  (1  x) Tìm hệ số của Câu 45: A. 8089 B. 8085 C. 3003 5 10 5 x  1  2 x   x 2  1  3x  Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: Câu 46: A. 3320 B. 2130 C. 3210 8 8 f ( x)  1  x 2  1  x   x Tìm hệ số cuả trong khai triển đa thức Câu 47: A. 213 B. 230 C. 238 Câu 48: Đa thức. P  x   1  3 x  2 x. 2 10. . a0  a1 x  ...  a20 x. 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10 .3  C10 .C9 .3  C10 .C8 .3. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10 .2  C10 .C9 .2  C10 .C8 .2. C.. a15 C1010 .C105 .35.25  C109 .C96 .33.26  C108 .C87 .27. 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 D. a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2. Trang 5. 20. . Tìm. a15. D. 2099520 D. 11312. D. 1313. D. 214.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. ( x3 . 2 n ) n 1 n 2 x , biết rằng Cn  Cn 78 với. Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau x 0 A.  112640 B. 112640 C.  112643 D. 112643 3n  3 a3n  3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ( x 2  1) n ( x  2) n . Tìm n để a3n  3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 n  1 7  x  4  26  , biết Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  x C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1 220  1 . A. 210. B. 213 C. 414 D. 213 n n Câu 52: Cho n   * và (1  x) a0  a1 x  ...  an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n  1 ) sao ak  1 ak ak 1   2 9 24 . Tính n ? . cho A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 1 2 10 (  x) Câu 53: Trong khai triển của 3 3 thành đa thức a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9  a10 x10. a , hãy tìm hệ số k lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 210 210 210 a10 3003 15 a5 3003 15 a4 3003 15 a9 3003 15 3 3 3 3 A. B. C. D. n 2 n a  a  ...  an 729 . Tìm n và số lớn Câu 54: Giả sử (1  2 x) a0  a1 x  a2 x  ...  an x , biết rằng 0 1 a , a ,..., an . nhất trong các số 0 1 max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 A. n=6, B. n=6, max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 C. n=4, D. n=4, n n Câu 55: Cho khai triển (1  2 x) a0  a1 x  ...  an x , trong đó n   * . Tìm số lớn nhất trong các số an a1  ...  4096 a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: 2 2n . A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127 a0 . Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG. k n. a C b k. k 0. k. .. Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a  b) n Cn0 a n  a n 1bCn1  a n 2b2Cn2  ...  b nCnn . Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Cnk Cnn  k * Cn0  Cn1  ...  Cnn 2n * n. k.  ( 1) C. k n. 0. k 0. * n. n. k 0. k 0.  C22nk  C22nk  1 . 1 2n k  C2 n 2 k 0. * n. k n. C a. k. (1  a ) n. * k 0 . Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. T  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn Câu 1: Tổng bằng: n n n A. T  2 . B. T  2 – 1 . C. T  2  1 . 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S  C6  C6  ..  C6 bằng: A. 64 . Câu 3: Khai triển. B. 48 ..  x  y. 5. C. 72 .. C. 1 . C  2C  4C  ...  2n Cnn 243 Tìm số nguyên dương n sao cho: Câu 4: B. 64 .. 0 n. A. 4. B. 11. Câu 5: Khai triển.  x  y. D. 12 .. 2 n. C. 12. D. 5. S C  C51  ...  C55 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng. 1 x  x Khai triển. B. 64 . 2. C. 1 .. D. 12 .. 5.  x 3  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15. a a) Hãy tính hệ số 10 . 0 4 4 3 A. a10 C5 .  C5  C5 C5 0 5 2 4 4 3 C. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5. Trang 7. 1 n. 0 5. A. 32 . Câu 6:. D. 100 .. 0 1 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5  C5  ...  C5. A. 32 .. 5. n D. T  4 .. 0 5 2 4 4 3 B. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5 0 5 2 4 4 3 D. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 b) Tính tổng A. 131. T a0  a1  ...  a15. và. B. 147614 2 10. Câu 7:. S a0  a1  a2  ...  a15. Khai triển. a) Hãy tính hệ số a C100 .24 A. 4.  1  2 x  3x . C. 0 2. a0  a1 x  a2 x  ...  a20 x. D. 1 20. a4 B.. a4 24 C104. C.. a4 C100 C104. D.. a4 C100 .24 C104. S a1  2a2  4a3  ...  220 a20. b) Tính tổng 10 A. S 17. Câu 8:. 10 20 B. S 15 C. S 17 1 1 1 1 ( 1) n n S  Cn0  Cn1  Cn3  Cn4  ...  Cn 2 4 6 8 2( n  1) Tính tổng sau:. 10 D. S 7. 1 A. 2( n  1). 1 D. (n  1). B. 1 C. 2 2 n 2 3 n 3 S C 3  2Cn 3  3Cn 3  ...  nCnn Tính tổng sau: Câu 9: 1 n 1 n. n 1 A. n.4. n 1 D. 4. B. 0. C. 1 1 1 1 S1 Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2 3 n 1 Câu 10: Tính các tổng sau: n 1 n 1 2 1 2 1 2n 1  1 1 A. n  1 B. n  1 C. n  1. 2n 1  1 1 D. n  1. S2 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính các tổng sau: Câu 11: n 1 A. 2n.2. n 1 B. n.2. n 1 C. 2n.2. n 1 D. n.2. S 2.1.Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  ...  n(n  1)Cnn Câu 12: Tính các tổng sau: 3 . n 2 n 2 n 3 A. n(n  1)2 B. n(n  2)2 C. n(n  1)2 32  1 1 3n 1  1 n S Cn0  Cn  ...  Cn 2 n 1 Tính tổng Câu 13: 4n 1  2n 1 4n 1  2n 1 S S 1 n 1 n 1 A. B. C.. S. Câu 14: A.. 4n 1  2n 1 1 n 1. Tính tổng. S. S Cn0 . 3n 1  2n 1 n 1. D. 2. 4n 1  2n 1 1 n 1. S. 3n 1  2n n 1. n 1. 2 1 1 2 1 n Cn  ...  Cn 2 n 1. B.. S. 3n  2n 1 n 1. Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : A. n 1001 B. n 1002 Trang 8. S. n 2 D. n(n  1)2. C. 1 2 n 1. C.  2.2C. 2 2 n 1. 2.  3.2 C. 3 2 n 1. C. n 1114. S. 3n 1  2n 1 n 1. D.  ...  (2n 1)2n C22nn11 2005 D. n 102.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 16: Tính tổng. 1.30.5n  1 Cnn 1  2.31.5n 2 Cnn  2  ...  n.3n  150 Cn0. n 1 n B. (n  1).8 C. (n  1).8 S 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  ...  n(n  1)Cnn Tính tổng Câu 17: n 1 A. n.8. n 2 A. n(n  1)2. n 2 B. n(n  1)2 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C  C  C  Câu 18: Tính tổng.  ...   Cnn . n C. n(n  1)2. n D. n.8. n 2 D. (n  1)2. 2. n A. C2 n. n 1 n B. C2 n C. 2C2 n S1 5n Cn0  5n  1.3.Cnn  1  32.5n  2 Cnn  2  ...  3n Cn0 Tính tổng sau: Câu 19: n n n 1 A. 28 B. 1  8 C. 8. n 1 D. C2 n  1. n D. 8. 0 2 2010 S 2 C2011  2 2 C2011  ...  2 2010 C2011. Câu 20: 32011  1 2 A.. 3211  1 2 B. S3 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính tổng Câu 21: n 1 A. 4n.2. Trang 9. n 1 B. n.2. 32011  12 2 C.. 32011  1 2 D.. n 1 C. 3n.2. n 1 D. 2n.2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có: n. ( a  b) n  Cnk a n  k b k k 0. 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) Cnk Cnn  k. 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn0 Cnn 1 Cnk  1  Cnk Cnk1 , 5) * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: C 0 x n  Cn1 x n  1  ...  Cnn Cn0  Cn1  ...  Cnn 2n n = n  (1+x) 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1)n = Cn x  Cn x  ...  ( 1) Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau 0 1 n n * Cn  Cn  ...  Cn 2 0 1 2 n n * Cn  Cn  Cn  ...  (  1) Cn 0. B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp:.  ax. p. n. n.  bx q   Cnk  ax p  k 0. n k. q k. n.  bx   C a k n. n k. b k x np  pk qk. k 0. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk m . m  np k p q Từ đó tìm k n k k m Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. m. m Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. m Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x trong khai triển. P  x   a  bx p  cx q . Ta làm như sau:. Trang 10. n. được viết dưới dạng. a0  a1 x  ...  a2 n x 2 n. ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. n. * Viết. P  x   a  bx p  cx q   Cnk a n  k  bx p  cx q  k 0. k. ;.  bx * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng. p.  cx q . k. thành một đa thức theo luỹ thừa. của x. m. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: a * Tính hệ số k theo k và n ; a ak * Giải bất phương trình k  1 với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên..  2a  b  Câu 1: Trong khai triển. 5. , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: B. 80 . C.  10 .. A.  80 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 5 5 4 3  2a  b  C50  2a   C51  2a  b  C52  2a  b2  ... Ta có: 2 Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C5 .8 80 .. D. 10 .. n 6.  a  2  ,  n   . Có tất cả17 số hạng. Vậy n bằng: Câu 2: Trong khai triển nhị thức A. 17 . B. 11. C. 10 . D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn C. n 6  a  2  ,  n   có tất cả n  7 số hạng. Trong khai triển Do đó n  7 17  n 10 ..  3x Câu 3: Trong khai triển 4. 4 10.  y. 10. , hệ số của số hạng chính giữa là: 4 5 5 B.  3 .C10 . C. 3 .C10 . 4. A. 3 .C . Hướng dẫn giải: Chọn D..  3x Trong khai triển. 2. 2.  y. 5 5 D.  3 .C10 .. 10. có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 . 5 5 Vậy hệ số của số hạng chính giữa là  3 .C10 ..  2x  5 y  Câu 4: Trong khai triển A.  22400 . Hướng dẫn giải: Chọn A.. 8. 5 3 , hệ số của số hạng chứa x . y là: B.  40000 . C.  8960 .. D.  4000 .. Tk 1 ( 1) k C8k .(2 x)8 k (5 y) k (  1) k C8k .28 k 5k .x8 k . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 5 3 Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là:  22400 . 6 2   3 x  x  , hệ số của x ,  x  0  là: Câu 5: Trong khai triển  A. 60 . Trang 11. B. 80 .. C. 160 .. D. 240 ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. k 6. Tk 1 C .x Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 1 6  k  k 3  k 3 2 Yêu cầu bài toán xảy ra khi .. 6 k. k. 2 .x. 1  k 2. 3 C 3 .23 160 Khi đó hệ số của x là: 6 . 7  2 1 a   b  , số hạng thứ 5 là: Câu 6: Trong khai triển  6 4 6 4 4 5 A. 35.a .b . B.  35.a .b . C. 35.a .b . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tk 1 C7k .a14 2 k .b  k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T5 C74 .a 6 .b  4 35.a 6 .b  4 Vậy số hạng thứ 5 là 6 2a  1  Câu 7: Trong khai triển , tổng ba số hạng đầu là: 6 5 4 6 5 4 2 a  6 a  15 a A. . B. 2a  15a  30a . 6 5 4 C. 64a  192a  480a . Hướng dẫn giải: Chọn D. 6  2a  1 C60 .26 a6  C61 .25 a5  C62 .24 a 4  ... Ta có: 6 5 4 Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a  192a  240a ..  x y Câu 8: Trong khai triển 15. 8.  16 x y  y A. . Hướng dẫn giải: Chọn A..  x y. 16. B.. 4 D.  35.a .b .. 6 5 4 D. 64a  192a  240a .. 16. , tổng hai số hạng cuối là:.  16 x y15  y 4. 15 4 C. 16 xy  y .. .. C160 x16  C161 x15 . y  ...  C1615 x.  y. 15.  C1616.  y. 15 8 D. 16 xy  y .. 16. Ta có: 6.  2 1   8a  b  2  , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: Câu 9: Trong khai triển  9 3 9 3 9 3 A.  80a .b . B.  64a .b . C.  1280a .b . Hướng dẫn giải: Chọn C. k Tk 1   1 C6k .86 k a12 2k .2 k b k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 9 3 9 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa a b là:  1280a .b .. 6 4 D. 60a .b .. 9. 8   x 2  x  , số hạng không chứa x là: Câu 10: Trong khai triển  A. 4308 . B. 86016 . C. 84 .. Trang 12. D. 43008 ..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. Tk 1 C9k .x9 k 8k .x  2k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9  k  2k 0  k 3 . 3 3 Khi đó số hạng không chứa x là: C9 .8 43008 . Câu 11: Trong khai triển A.  11520 . Hướng dẫn giải: Chọn D..  2 x  1. 10. 8 , hệ số của số hạng chứa x là: B. 45 . C. 256 .. Tk 1 C10k .210 k .x10 k .   1. k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10  k 8  k 2 . 8 C 2 .28 11520 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là: 10 . 8  a  2b  , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là: Câu 12: Trong khai triển A. 1120 . B. 560 . C. 140 . Hướng dẫn giải: Chọn A. k Tk 1 C8k .a8 k .   2  .bk Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 4 . 4 4 4 4 Khi đó hệ số của số hạng chứa a .b là: C8 .2 1120 . Câu 13: Trong khai triển 4 3 A.  2835 x y ..  3x  y . D. 11520 .. D. 70 .. 7. 4 3 , số hạng chứa x y là: 4 3 4 3 B. 2835x y . C. 945x y .. 4 3 D.  945 x y .. Hướng dẫn giải: Chọn A. k. Tk 1 C7k .37  k x 7  k .   1 . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 3 4 4 3 4 4 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là:  C7 .3 .x . y  2835.x . y . Câu 14: Trong khai triển A. 0, 0064 ..  0,2 + 0,8 . 5. , số hạng thứ tư là: 0, 4096 B. . C. 0, 0512 .. D. 0, 2048 .. Hướng dẫn giải: Chọn D. Tk 1 C5k .(0, 2)5 k .(0,8) k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T4 C53 .(0, 2) 2 .(0,8)3 0, 2028 Vậy số hạng thứ tư là 6 6 3 3  1  x   1  y  là: Câu 15: Hệ số của x y trong khai triển A. 20 . B. 800 . C. 36 . Hướng dẫn giải: Chọn D.. Trang 13. D. 400 ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Tk 1 C6k .x k .C6m . y m. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k m 3 . 3 3 3 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là: C6 .C6 400 .. 4.  3x  2 y  là: Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6  3x   2 y  . A. C4 x y . B. C. 6C4 x y . D. 36C4 x y . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 C 2  3 x   2 y  6  3 x   2 y  Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: 4 . 11  x  y  , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là Câu 17: Trong khai triển 3 3 5 8 A. C11 . B.  C11 . C.  C11 . D. C11 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k. Tk 1 C11k .x11 k .   1 . y k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . 3 8 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x . y là:  C11 .. 10 x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1  2 x) Tìm hệ số của Câu 18:. A.  15360 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 15360. 10. 10. k 0. k 0. C.  15363. D. 15363. f ( x )  Cnk 110 k ( 2 x) k  C10k (  2) k x k Ta có 7 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 7 7 7 7 Vậy hệ số của x là: C10 ( 2)  15360 . 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x)  x(2  3 x) Tìm hệ số của Câu 19:. A. 489889 Hướng dẫn giải: Chọn D.. B. 489887 9. 9. k 0. k 0. C.  489888. D. 489888. (2  3x)9  C9k 29 k (3x )k  C9k 29 k 3k .x k Ta có 9.  h( x)  C9k 29 k 3k xk 1 k 0. .. 7. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa k  1 7  k 6 6 3 6 7 Vậy hệ số chứa x là: C9 2 3 489888 . Câu 20: Tìm hệ số của A. 29 Hướng dẫn giải: Trang 14. 7 8 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x ) (1  x)  (1  x)  (2  x) B. 30 C. 31 D. 32.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Chọn A. 7. Hệ số của. x 7 trong khai triển. (1  x )7  C7k x k k 0. 7 là : C7 1. 8. Hệ số của. x 7 trong khai triển. (1  x )8  C8k ( 1)k x k k 0. 7 7 là : C8 ( 1)  8. 9. (1  x)9  C9k x k. 9 7 k 0 Hệ số của x trong khai triển là : C7 36 . 7 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 29 . Chú ý: 1 a n  n a với n   . * Với a 0 ta có: m. a m a n với m, n  ; n 1 . 10 7 Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3  2 x) n. * Với a 0 ta có: Câu 21: A. 103680 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 1301323. 10. 10. k 0. k 0. C. 131393. D. 1031831. f ( x)  Cnk 310 k (2 x) k  C10k 310 k ( 2) k x k Ta có 8 Số hạng chứa x ứng với giá trị k 8 8 2 8 8 Vậy hệ số của x là: C10 .3 .(  2) 103680 . 9 x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1  2 x) Tìm hệ số của Câu 22:. A.  4608 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 4608 9. 9. k 0. k 0. C.  4618. D. 4618. (1  2 x )9  C9k 19 k ( 2 x) k  C9k (  2) k .x k Ta có 9.  h( x)  C9k ( 2) k x k 1 k 0. .. 8. Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa k  1 8  k 7 7 7 8 Vậy hệ số chứa x là: C9 ( 2)  4608 . 2 10 8 Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (3x  1) A. 17010 B. 21303 C. 20123 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 21313. 10. Ta có:. f ( x )  C10k 3k x 2 k. Trang 15. k 0. 4 4 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số x là: C10 .3 17010 ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 2  f ( x)   5 x 3  8 x  Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:. Câu 24: A. 1312317 Hướng dẫn giải: Chọn D.. B. 76424. 8. C. 427700. D. 700000. 8. f ( x)  C8k 28 k ( 5) k x 4 k  8. k 0 Ta có: C84 .24.( 5) 4 700000 .. 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số của x là:.  3 x f ( x )    8  x 2 Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:. Câu 25: 297 A. 512 Hướng dẫn giải: Chọn A.. 29 B. 51. 12. 27 C. 52. 97 D. 12. 12. Ta có:. f ( x)  C12k 312 k .2 k .x 2 k  12 k 0. C1210 .32.2 10 . 8 8 , số hạng chứa x ứng với k 10 nên hệ số của x là:. 297 512 .. 2 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) (1  x  2 x ) Xác định hệ số của Câu 26:. A. 37845 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 14131. 10. C. 324234 10. D. 131239. k. f ( x)  C10k (2 x 2 )10  k (1  x) k  C10k Ckj .210  k x 20 2 k  j k 0. k 0 j 0. Ta có:. Số hạng chứa. 0  j k 10  x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa:  j 2k  12. 8 Nên hệ số của x là: C106 C60 .2 4  C107 C72 23  C108 C84 22  C109 C96 2  C1010C108 37845 8 9 10 x8 trong các khai triển sau: f ( x) 8(1  8 x)  9(1  9 x)  10(1  10 x) Xác định hệ số của Câu 27: 0 8 1 8 8 8 A. 8.C8 .8  C9 .9  10.C10 .10 0 8 1 8 8 8 C. C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10. Hướng dẫn giải: Chọn D. 8. (1  8 x )8  C8k 88 k x8 k k 0. Ta có: 9. (1  9 x)9  C9k 99  k x9  k k 0. Trang 16. 0 8 1 8 8 8 B. C8 .8  C9 .9  C10 .10 0 8 1 8 8 8 D. 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 10. (1  10 x)10  C10k 1010  k x10 k k 0. 0 8 1 8 8 8 x 8 là: 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10 Nên hệ số chứa 8 9 10 x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1  x)  9(1  2 x) 10(1  3 x) Câu 28: Tìm hệ số của A. 22094 B. 139131 C. 130282 D. 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A. n. Ta có:. n.  1  ax   Cnk a k x k. k k n k nên ta suy ra hệ số của x trong khai triển (1  ax ) là Cn a . Do đó: 8 8 x8 trong khai triển (1  x) là : C8 i 0. Hệ số của. 8 8 9 x8 trong khai triển (1  2 x) là : C9 .2 Hệ số của 8 8 10 8 Hệ số của x trong khai triển (1  3 x ) là : C10 .3 . 8 8 8 8 8 8 Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8  9.2 .C9  10.3 .C10 22094 . 15. 25 10  x3  xy  là: Câu 29: Hệ số đứng trước x . y trong khai triển A. 2080 . B. 3003 . C. 2800 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k 45  3 k .x k . y k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C15 .x. D. 3200 .. Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 .. x trong khai triển. 3.  xy. . 15. 10 là: C15 3003 . 18  3 1  x    x 3  là: Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  9 8 C10 A. C18 . B. 18 . C. C18 .. 25. 10. Vậy hệ số đứng trước x . y. D.. C183 .. Hướng dẫn giải: Chọn A. k 54  3 k .x  3k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C18 .x Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54  3k  3k 0  k 9 . 9 Khi đó số hạng không chứa là: C18 .. 1 x Khai triển. Câu 31: A. 330 . Hướng dẫn giải: Chọn D.. 12 7 , hệ số đứng trước x là: B. – 33 .. C. –72 .. D. –792 .. k. Tk 1 C12k .   1 .x k. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 7 . 7 7 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là:  C12  792 .. Câu 32:. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:. Trang 17. f ( x) ( x . 2 12 ) x. (x 0).

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 A. 59136 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 213012. C. 12373. D. 139412. 12. f ( x) ( x  2.x  1 )12  C12k x12  k .( 2 x  1 )k k 0. Ta có: 12. k 12. C. ( 2) k x12  2 k. k 0. Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12  2k 0 6 6  k 6  số hạng không chứa x là: C12 .2 59136 . g ( x ) ( Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: Câu 33: A. 24310 B. 213012 C. 12373 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 3  1 x 3 ; 4 x3 x 4 3 2 Vì x nên ta có 17  k. 1 3. x. 2.  4 x 3 )17. ( x  0). D. 139412. k. 17 k  136 17  2  3 f ( x)  C  x 3  .  x 4   C17k .x 12 k 0 k 0     Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k  136 0  k 8 17. k 17. 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 24310 . n.  1 5   3 x  8  biết Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  x n 1 n Cn 4  Cn 3 7  n  3 . A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cnn41  Cnn3 7  n  3   Cnn3  Cnn31   Cnn3 7  n  3 Ta có:  n  2   n  3 7 n  3  Cnn31 7  n  3    2!  n  2 7.2! 14  n 12 . n. 12  k. 5 60  11k 12 12  1 5  k 3 k  2  k  C12 x 2  3  x   C12  x  .  x  x   k 0 k 0   Khi đó: . 60  11k 8  k 4 8 2 Số hạng chứa x ứng với k thỏa: . 12! C124  495 8 4! 12  4  ! x Do đó hệ số của số hạng chứa là: . n. 1 2   x   x  x   Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức với n là số nguyên dương thoả mãn. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Cn3  2n  An21. .(. Cnk , Ank. A.  98 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 n. 2 n 1. C  2n  A. tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). B. 98 C.  96 D. 96.  n 3    n  n  1  n  2   2n  n  1 n  6 . Ta có: n 3  2  n 8 n  9n  8 0 . Theo nhị thức Newton ta có: 8 8 1 1  2   x  x   x 1  x    x    C80 x18  C81 x16  1  x    x  1 1 2 3 4 8 C82 4  1  x   C83 2  1  x   C84  1  x   ...  C88 x8  1  x  x x Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4  C83 2  1  x  C84  1 x  x và . 3 2 4 0 x là:  C8 .C3 và C8 .C4 Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào 3 2 4 0 Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là:  C8 .C3  C8 .C4  98 . 40. 1   f  x   x  2  x  , hãy tìm hệ số của x31  Câu 36: Trong khai triển A. 9880 B. 1313 C. 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 1147. 18.  3 1  x  3 x  số hạng độc lập đối với x  Hãy tìm trong khai triển nhị thức Câu 37: A. 9880 B. 1313 C. 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D. C189 48620  x 3    4 x Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển  3 x . Câu 38: 55 A. 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 55 ( 3) 4 C124  8 3 9. Trang 19. 13 B. 2. 621 C. 113. D. 48620. 12. 1412 D. 3123.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 25 10  x3  xy  Tính hệ số của x y trong khai triển. Câu 39: A. 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C. C1510 3003. B. 121148. 15. C. 3003. 2. P  x   1  x   2  1  x   ...  20  1  x . Câu 40: Cho đa thức P  x  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20. a Hãy tính hệ số 15 . A. 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. 1303. 20. có dạng khai triển là. .. B. 130414. C. 511313. D. 412674. 20. a15   kCk15 400995 k 15.  Câu 41: Tìm số hạng của khai triển A. 8 và 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A.. . 33 2. 9. 33 2. . B. 1 và 4184 9. k.   C  3   2  k 9. 3. 9. là một số nguyên C. 414 và 12. D. 1313. 9 k. k 0. Ta có Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa: k 2m  9  k 3n  k 0, k 6 k 0,...,9  C90.  2 3. 9. 8. Các số hạng là số nguyên:. Câu 42:. và. C96. 6.  3  2  3. 1 f ( x) (2 x  ) 20 x Xét khai triển. 1. Viết số hạng thứ k  1 trong khai triển k 20  k 20  k A. Tk 1 C20 .2 .x k 20  4 k 20  2 k .x C. Tk 1 C20 .2. 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x 1 10 10 10 A. C20 .2 B. A20 .2. k 20  k 20 2 k B. Tk 1 C10 .2 .x k 20  k 20  2 k D. Tk 1 C20 .2 .x. 10 4 C. C20 .2. Hướng dẫn giải:. 1.. Ta có:. 3. Tk 1 C20k (2 x )20 k. 1 C20k .220  k .x 20 2 k k x. 2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20  2k 0  k 10 Trang 20. 10 10 D. C20 .2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Số hạng không chứa x:. 10 10 C20 .2. 2 10 4 Câu 43: Xác định hệ số của x trong khai triển sau: f ( x) (3x  2 x 1) . A. 8089 B. 8085 C. 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B. 10. 10. f  x   1  2 x  3x 2   C10k  2 x  3x 2 . D. 11312. k. k 0. 10. k. 10. k. k 0. i 0. k 0. i 0.  C10k  Cki (2 x) k  i .(3 x 2 )i  C10k  Cki 2 k  i.3i x k i với 0 i k 10 . Do đó k  i 4 với các trường hợp i 0, k 4 hoặc i 1, k 3 hoặc i k 2 . 4 4 0 2 1 3 1 2 2 2 4 Vậy hệ số chứa x : 2 C10 .C4  2 3 C10 .C3  3 C10 .C2 8085 . 2n 7 Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2  3 x) , biết n là số nguyên dương thỏa 1 3 5 2 n 1 mãn : C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 1024 . A. 2099529 B.  2099520 C.  2099529 Hướng dẫn giải: Chọn B.  2 n 1 k 2 n 1   C2 n 1 2 n  k 0  C22ni 11 22 n 1024  n 5  n  n i 0  C 2i 1  C 2i   2 n 1 2 n 1  i 0 i 0 Ta có:. D. 2099520. 10. (2  3 x ) 2 n  C10k 210 k .(  3) k x k k 0. Suy ra 7 3 7 7 Hệ số của x là C10 .2 .( 3)  2099520 . 9 10 14 x 9 trong khai triển f ( x) (1  x)  (1  x)  ...  (1  x) Tìm hệ số của Câu 45: A. 8089 B. 8085 C. 3003 D. 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C. 9 9 9 9 9 9 9 Hệ số của x : C9  C10  C11  C12  C13  C14 3003 . 5. 5 x  1  2 x   x 2  1  3x  Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của:. Câu 46: A. 3320 B. 2130 Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 10 f ( x ) x  1  2 x   x 2  1  3x  Đặt 5. k. 10. f ( x ) x  C5k   2  .x k  x 2  C10i  3x  k 0. i 0. Ta có : 5. k. 10.  C5k   2  .x k 1   C10i 3i.x i 2 k 0. Trang 21. i 0. C. 3210. i. 10. D. 1313.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 5 Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x) ứng với k 4 và i 3 là: 4 C54   2   C103 .33 3320 . 8 8 f ( x)  1  x 2  1  x   x Tìm hệ số cuả trong khai triển đa thức Câu 47: A. 213 B. 230 C. 238 Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1 8 2 3  1  x 2  1  x   C80  C81 x 2  1  x   C82 x 4  1  x   C83 x 6  1  x  4. 5. 8. D. 214. C84 x8  1  x   C85 x10  1  x  ...  C88 x16  1  x  Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối 8 C 3 .C 2 , C 4 .C 0 lớn hơn 8. Do đó x chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: 8 3 8 4 . 8. 8  1  x 2  1  x   x Vậy hệ số cuả trong khai triển đa thức là: 3 2 4 0 a8 C8 .C3  C8 .C4 238 .. Cách 2:. Ta có: 8. 8. n. 8. n. n 0. k 0. k.  1  x 2  1  x    C8n x 2 n  1  x   C8n  Cnk   1 x 2 n k n 0. với 0 k n 8 . 8 Số hạng chứa x ứng với 2n  k 8  k 8  2n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được k 0; n 4 và k 2, n 3 . 3 2 4 0 8 Vậy hệ số của x là C8 .C3  C8 .C4 238 . 10. P  x   1  3 x  2 x 2  a0  a1 x  ...  a20 x 20. Câu 48: Đa thức 10 5 5 9 6 3 8 7 A. a15 C10 .C10 .3  C10 .C9 .3  C10 .C8 .3.. 10 5 5 9 6 6 8 7 7 B. a15 C10 .C10 .2  C10 .C9 .2  C10 .C8 .2 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 C. a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .2. a C1010 .C105 .35.25  C109 .C96 .33.26  C108 .C87 .3.27 D. 15 Hướng dẫn giải: Chọn D. 10. 10. P  x   1  3x  2 x 2   C10k  3x  2 x 2 . k. k 0. Ta có: 10. k. 10. k. k 0. i 0. k 0. i 0.  C10k  Cki (3x) k  i .(2 x 2 )i  C10k  Cki .3k  i.2i x k i với 0 i k 10 . Do đó k  i 15 với các trường hợp k 10, i 5 hoặc k 9, i 6 hoặc k 8, i 7 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7 Vậy a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2 .. Trang 22. . Tìm. a15.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11. ( x3 . 2 n ) n 1 n 2 x , biết rằng Cn  Cn 78 với. Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau x 0 A.  112640 B. 112640 C.  112643 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! n! Cnn  1  Cnn  2 78   78 (n  1)!1! (n  2)!2! Ta có: n(n  1)  n 78  n 2  n  156 0  n 12 2 .. D. 112643. 12. 12 2  f ( x )  x 3    C12k ( 2) k x36  4 k x  k 0. Khi đó: Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k 0  k 9 9 9 x là: ( 2) C12  112640 Số hạng không chứa 3n  3 a3n  3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ( x 2  1) n ( x  2) n . Tìm n để a3n  3 26n A. n=5 B. n=4 C. n=3 D. n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1:Ta có :. x. 2. n.  1 Cn0 x 2 n  Cn1 x 2n  2  Cn2 x 2 n  4  ...  Cnn.  x  2. n. Cn0 x n  2Cn1 x n  1  22 Cn2 x n 2  ...  2n Cnn. Dễ dàng kiểm tra n 1 , n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x 3 n  3  x 2 n .x n  3  x 2 n  2 . x n  1 3n 3 Do đó hệ số của x trong khai triển thành đa thức của. x. 2.  1. n.  x  2. n. 3 0 3 1 1 là : a3n  3 2 .Cn .Cn  2.Cn .Cn . 2n  2n 2  3n  4  7 26n  26n  n  3 2 hoặc n 5. a3n  3 Suy ra Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cách 2:.  x 2 1. n. n. 1 2 n  x  2  x3n  1  2   1   x   x . n. Ta có: n  1 x3n  Cni  2  x  i 0. i. k. n n  k  2 3n  i  2i C  x C x Cnk 2k x  k     n  n    x k 0 k 0  i 0  Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n  3 khi  2i  k  3  2i  k 3 .. Trang 23. n.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0, k 3 hoặc i 1, k 1 (vì i, k nguyên). 2 x 3n  3 trong khai triển thành đa thức của  x  1. n.  x  2. n. Hệ số của 0 3 3 1 1 Là : a3n 3 Cn .Cn .2  Cn .Cn .2 . a3n  3 26n . 2n  2n 2  3n  4 . 3 Do đó Vậy n 5 là giá trị cần tìm.. 26n  n . 7 2 hoặc n 5 n.  1 7  4 x  26  , biết Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  x 1 2 n 20 C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 2  1 . A. 210 B. 213 C. 414 D. 213 Hướng dẫn giải: Chọn A. C2kn 1 C22nn11 k k 0,1, 2,..., 2n 1 Do  C20n 1  C21n 1  ...  C2nn 1 C2nn11  C2nn21  ...  C22nn11. C21n 1  C22n 1  ...  C22nn11 22 n 1. Mặt khác:  2(C20n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1 ) 2 2 n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1 22 n  C20n 1 22n  1.  22 n  1 220  1  n 10 . 10. 10 10  1 7 4 7 10 k  4 10 k 7 k  C10k x11k  40  x  x  x  C ( x ) . x     10  4  x  k 0 k 0. Khi đó: 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k  40 26  k 6 . 6 26 Vậy hệ số chứa x là: C10 210 .. (1  x)n a0  a1 x  ...  an x n Câu 52: Cho n   * và . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n  1 ) sao ak  1 ak ak 1   9 24 . Tính n ? . cho 2 A. 10 B. 11 C. 20 D. 22 Hướng dẫn giải: Chọn A. n! 1 n! 1  2 (k  1)!(n  k  1)! 9 (n  k )!k !   n! 1 n! 1  k ak Cn , suy ra hệ  9 (n  k )!k ! 24 (n  k  1)!(k  1)! Ta có: 9k 2(n  k  1) 2n  11k  2    n 10, k 2  24(k  1) 9(n  k ) 9n  33k 24 .. 1 2 (  x)10 Câu 53: Trong khai triển của 3 3 thành đa thức Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9  a10 x10. , hãy tìm hệ số 210 a5 3003 15 3 B.. ak. lớn nhất ( 0 k 10 ). 210 a4 3003 15 3 C.. 210 315 A. Hướng dẫn giải: Chọn A. 15 15  k k k 15 15 1 2  2  k 1 k 2 k  x  C x  C  15        15 15 x 3 3 3   3  3  k 0 k 0 Ta có: 1 ak  15 C15k 2k k 3 Hệ số của x trong khai triển k1 k1 k k ak  1  ak  C15 2  C15 2  C15k  1  2C15k Ta có: 32  k   k 10. a  a1  ...  a10 3 Từ đó: 0 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 ak  1  ak  k   a10  a11  ...  a15 3 210 210 a10  15 C1510 3003 15 3 3 . Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 3003. D.. a9 3003. 210 315. n 2 n a  a  ...  an 729 . Tìm n và số lớn Câu 54: Giả sử (1  2 x) a0  a1 x  a2 x  ...  an x , biết rằng 0 1 a , a ,..., an . nhất trong các số 0 1 max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 A. n=6, B. n=6, max  ak  a4 240 max  ak  a6 240 C. n=4, D. n=4, Hướng dẫn giải: Chọn A. a0  a1  ...  an (1  2.1)n 3n 729  n 6 Ta có: ak C6k 2k suy ra max  ak  a4 240 .. (1  2 x) n a0  a1 x  ...  an x n. , trong đó n   * . Tìm số lớn nhất trong các số an a1 a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0  2  ...  2n 4096 . A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127. Câu 55: Cho khai triển. Hướng dẫn giải: Chọn A. f ( x) (1  2 x) n a0  a1 x  ...  an x n Đặt a a 1  a0  1  ...  nn  f   2 n 2 2  2  2n 4096  n 12 k   0,1, 2,...,11 ak 2k C12k , ak 1 2k 1 C12k 1 ta có: Với mọi a 2k C k k 1 23  k  1  k 1 12k 1  1  1  k  ak 1 2 C12 2(12  k ) 3. Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Mà. k  Z  k 7 . Do đó a0  a1  ...  a8 ak  1  k  7  a8  a9  ...  a12 ak 1. Tương tự: Số lớn nhất trong các số. Trang 26. a0 , a1 ,..., a12. 8 8 là a8 2 C12 126720 ..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n. DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG. k n. a C b k. k 0. k. .. Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a  b) n Cn0 a n  a n 1bCn1  a n 2b2Cn2  ...  b nCnn . Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Cnk Cnn  k * Cn0  Cn1  ...  Cnn 2n * n. k.  ( 1) C. k n. 0. k 0. * n. n. k 0. k 0.  C22nk  C22nk  1 . 1 2n k  C2 n 2 k 0. * n. k n. C a. k. (1  a ) n. * k 0 . Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. T  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn Câu 1: Tổng bằng: n n n A. T  2 . B. T  2 – 1 . C. T  2  1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn. 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S  C6  C6  ..  C6 bằng: A. 64 . B. 48 . Hướng dẫn giải: Chọn A. S = C06 +C16 +...+C66 2 6 64.  x  y Khai triển. 5. C. 72 .. Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho:. Trang 27. D. 100 .. 0 1 5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5  C5  ...  C5. Câu 3: A. 32 . B. 64 . C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 (1  1) 32 . A. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D.. n D. T  4 .. B. 11. D. 12 .. Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn 243 C. 12. D. 5.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Xét khai triển:. (1  x )n Cn0  xCn1  x 2Cn2  ...  x nCnn. 0 1 2 n n n x 2 ta có: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn 3 Cho n 5 Do vậy ta suy ra 3 243 3  n 5 .. Câu 5: Khai triển.  x  y. 5. S C50  C51  ...  C55 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng. A. 32 . B. 64 . C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 0 1 5 5 Với x 1, y 1 ta có S= C5 +C5 +...+C5 (1  1) 32 . Câu 6:. 1 x  x Khai triển. 2. 5.  x 3  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15. a a) Hãy tính hệ số 10 . 0 4 4 3 A. a10 C5 .  C5  C5 C5 C.. 0 5 2 4 4 3 B. a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5 a C50 .C55  C52C54  C54C53 D. 10. a10 C50 .C55  C52C54  C54C53. T a0  a1  ...  a15 và S a0  a1  a2  ...  a15 b) Tính tổng A. 131 B. 147614 C. 0 Hướng dẫn giải: f ( x) (1  x  x 2  x3 )5 (1  x)5 (1  x 2 )5 Đặt 0 5 2 4 4 3 x10 bằng: a10 C5 .C5  C5 C5  C5 C5 a) Do đó hệ số T  f (1) 45 ; S  f ( 1) 0 b) 2 10. Câu 7:.  1  2 x  3x  Khai triển. a) Hãy tính hệ số 0 4 A. a4 C10 .2. D. 12 .. D. 1. a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20. a4 4 4 B. a4 2 C10. 0 4 C. a4 C10C10. 0 4 4 D. a4 C10 .2 C10. 20 C. S 17. 10 D. S 7. S a1  2a2  4a3  ...  220 a20. b) Tính tổng 10 A. S 17 Hướng dẫn giải:. 10 B. S 15 10. f ( x) (1  2 x  3x 2 )10  C10k 3k x 2 k (1  2 x)10  k k 0. Đặt 10. 10  k. k 0. i 0.  C10k 3k x 2 k  C10i  k 210  k  i x10  k  i 10 10  k.   C10k C10i  k 3k 210 k  i x10k  i k 0 i 0. a) Ta có:. Trang 28. a4 C100 .24 C104 .

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 b) Ta có. Câu 8:. S  f (2) 1710. 1 1 1 1 ( 1) n n S  Cn0  Cn1  Cn3  Cn4  ...  Cn 2 4 6 8 2( n  1) Tính tổng sau:. 1 A. 2(n  1) B. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 0 1 1 1 2 (  1) n n  S   Cn  Cn  Cn  ...  Cn  2 2 3 n 1 . C. 2. 1 D. (n  1). Ta có: n 1 ( 1) k k ( 1) k k 1 S  (  1) k Cnk11 Cn  Cn 1  2(n  1) k 0 k 1 n 1 nên: Vì  1  n 1 1   ( 1) k Cnk1  Cn01     2( n  1)  k 0  2( n  1) . S Cn1 3n  1  2Cn2 3n  2  3Cn3 3n  3  ...  nCnn Tính tổng sau: Câu 9: n 1. A. n.4 Hướng dẫn giải: Chọn A.. B. 0. n  1 S 3n  kCnk    3 k 1. C. 1. n 1 D. 4. k. Ta có: k. k. 1  1 kC   n   Cnk11  3  3 k 1 nên Vì k n. n. k. k. n 1  1 1 S 3 .n   Cnk11 3n  1.n   Cnk 1 3n  1.n(1  1 ) n  1 n.4n  1 3 k 1  3  k 0  3  . 1 1 1 S1 Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2 3 n 1 Câu 10: Tính các tổng sau: n. 2n1  1 2n 1  1 2 n 1  1 1 A. n  1 B. n  1 C. n  1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 1 1 n! 1 (n  1)! Cnk   k 1 k  1 k !(n  k )! n  1 (k  1)![(n  1)  ( k  1))! 1  Cnk11 n 1 (*) 1 n k 1 1  n 1 k 2n 1  1 0   S1  Cn 1  Cn 1    Cn1  n 1   n  1 k 0 n 1 . k 0  S2 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính các tổng sau: Câu 11: Trang 29. 2n 1  1 1 D. n  1.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 n 1 A. 2n.2. n 1 B. n.2. n 1 C. 2n.2. n 1 D. n.2. Hướng dẫn giải: Chọn D.. kCnk k .. n! n!  k !(n  k )! ( k  1)![(n  1)  (k  1)]!. Ta có:. n. (n  1)! nCnk11 (k  1)![(n  1)  (k  1)]! , k 1 n. n 1.  S 2  nCnk11 n  Cnk 1 n.2n  1. . 2 3 4 n Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n(n  1)Cn . n 2 n 2 n 3 A. n(n  1)2 B. n(n  2)2 C. n(n  1)2 k 1. k 0. Hướng dẫn giải: Chọn A.. k (k  1)Cnk . n! n(n  1)Cnk 22 (k  2)!(n  k )!. Ta có n.  S3 n(n  1)  Cnk 22 n( n  1)2 n  2 k 2. Câu 13: A.. Tính tổng. S. S Cn0 . 4n 1  2n 1 n 1. Trang 30. 4. n 1. 3 1 1 3n 1  1 n Cn  ...  Cn 2 n 1. B.. S. 4n 1  2n 1 1 n 1. 2 4n 1  2n 1 1 S 1 n 1 n 1 C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D. S S1  S 2 , trong đó Ta có 32 33 3n 1 n S1 Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cn 2 3 n 1 1 1 1 S 2  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2 3 n 1 n 1 2 1 S2  1 n 1 Ta có S1 ? Tính 3k 1 k n! 3k 1 (n  1)! 3k 1 k 1 Cn 3k 1   C k 1 (k  1)!(n  k )! n  1 (k  1)![(n  1)  (k  1)]! n  1 n 1 Ta có: S. n 1. .. 2. n 2 D. n(n  1)2.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 1  n 1 k k 1 n k 1 k 1 0 0 4n 1  1 0  3 C  C  2 C 3 C  2 C   2 n  1 n n   n 2 n n  1  k 0 n  1 k 0  n 1 . n 1 n 1 4 2 S 1 n 1 Vậy . 22  1 1 2n 1  1 n S Cn0  Cn  ...  Cn 2 n 1 Tính tổng Câu 14: 3n1  2n 1 3n  2 n1 3n 1  2n S S S n 1 n 1 n 1 A. B. C. Hướng dẫn giải: Chọn A. S S1  S 2 Ta có: k 1 n n Cnk 2n1  1 k 2 S1  Cn ; S 2   1 k 1 n 1 k 0 k 0 k  1 Trong đó 2k 1 k 2k 1 k 1 3n 1  1 Cn  Cn 1  S1  1 k 1 n 1 n 1 Mà 3n 1  2n 1 S n 1 . Suy ra:  S1 . D.. S. 3n 1  2n1 n 1. C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  ...  (2n 1)2n C22nn11 2005 Tìm số nguyên dương n sao cho : Câu 15: A. n 1001 Hướng dẫn giải: Chọn B.. B. n 1002. C. n 1114. D. n 102. 2 n 1. S   ( 1) k  1.k .2k  1 C2kn 1 k 1. Đặt k1 k1 k k1 k1 k1 Ta có: (  1) .k .2 C2 n 1 ( 1) .(2n  1).2 C2 n S (2n  1)(C20n  2C21n  22 C22n  ...  22 n C22nn ) 2n  1 Nên Vậy 2n  1 2005  n 1002 . 1.30.5n  1 Cnn 1  2.31.5n 2 Cnn  2  ...  n.3n  150 Cn0 Tính tổng Câu 16: n 1 n n 1 A. n.8 B. (n  1).8 C. (n  1).8 Hướng dẫn giải: Chọn A. n. VT  k .3k  1.5n  k Cnn  k k 1. Ta có: k .3k  1.5n k Cnn k n.3k  1.5n k.Cnk11 Mà VT n(30.5n  1 Cn0 1  31.5n  2 Cn1 1  ...  3n  150 Cnn11 ) Suy ra: n(5  3)n  1 n.8n  1 Trang 31. n D. n.8.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Câu 17: Tính tổng. S 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  ...  n(n  1)Cnn. n 2. n 2 B. n(n  1)2. A. n(n  1)2 Hướng dẫn giải: Chọn B.. n C. n(n  1)2. n 2 D. ( n  1)2. n. S  k (k  1)Cnk k 2. Ta có: k (k  1)Cnk n(n  1)Cnk 22 Mà S n(n  1)(Cn0 2  Cn1 2  Cn2 2  ...  Cnn 22 ) n(n  1)2n  2 Suy ra 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C  C  C  Câu 18: Tính tổng.  ...   Cnn . 2. n n 1 n A. C2 n B. C2 n C. 2C2 n Hướng dẫn giải: Chọn A. n n 2n  x  1  1  x   x 1 . Ta có: Vế trái của hệ thức trên chính là:  Cn0 xn  Cn1 xn 1  ...  Cnn   Cn0  Cn1 x  ...  Cnn x n . n 1 D. C2 n 1. n Và ta thấy hệ số của x trong vế trái là 0 2 n. 1 2 n. 2 2 n. C  C  C  x n trong vế phải  x  1 Còn hệ số của 0 2 n. Do đó. 1 2 n. 2 2 n.  C  C  C . 2n.  ...   Cnn . 2. n là C2 n. 2.  ...   Cnn  C2nn. S1 5n Cn0  5n  1.3.Cnn  1  32.5n  2 Cnn  2  ...  3n Cn0 Tính tổng sau: Câu 19: n n n 1 n A. 28 B. 1  8 C. 8 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. S1 (5  3) n 8n Ta có: 0 2 2010 S2 C2011  22 C2011  ...  2 2010 C2011 Câu 20: 32011  1 3211  1 32011  12 32011  1 2 2 2 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D. Xét khai triển: 0 1 2 2010 2011 (1  x )2011 C2011  xC2011  x 2C2011  ...  x 2010C2011  x 2011C2011 Cho x 2 ta có được: 0 1 2 2010 2011 32011 C2011  2.C2011  22 C2011  ...  22010 C2011  22011 C2011 (1) x  2 Cho ta có được: 0 1 2 2010 2011  1 C2011  2.C2011  22 C2011  ...  22010 C2011  22011 C2011 (2). Trang 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11 Lấy (1) + (2) ta có: 0 2 2010 2  C2011  22 C2011  ...  22010 C2011  32011  1. Suy ra:. S 2 C. 0 2011. 2. 2 C. 2 2011.  ...  2. 2010. C. 2010 2011. 32011  1  2 .. S3 Cn1  2Cn2  ...  nCnn Tính tổng Câu 21: n 1. n 1 B. n.2. A. 4n.2 Hướng dẫn giải: Chọn B.. kCnk k . Ta có:. n 1 D. 2n.2. (n  1)! n! n!  n nCnk11 k !(n  k )! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! , k 1. n. n 1. k 1. k 0.  S3  nCnk11 n Cnk 1 n.2n  1. Trang 33. n 1 C. 3n.2. ..

<span class='text_page_counter'>(34)</span>