Hệ đối xứng loại (kiểu) I

Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

1. Hệ đối xứng loại (kiểu) I:
ì

ìï f(x, y) = f(y, x)
ïí
ïï g(x, y) = g(y, x)
ỵ

ï f(x, y) = 0
a. Là hệ có dạng : ïíï g(x, y) = 0 , trong đó
ïỵ

b. Phương pháp giải chung:
- Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
- Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S2 ³ 4P .
- Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Sau khi tìm được S, P thì x, y là
nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0.
c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:
x2 + y2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS
x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P
x4 + y4 = (x2 + y 2) 2 – 2x 2 y 2 = (S2 – 2P) 2 – 2P 2
d. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:
- Phương pháp thế.
- Phương pháp hàm số.
- Phương pháp điều kiện cần và đủ.
- Phương pháp đánh giá.
e. Các ví dụ:
ìï x2y + xy2 = 30

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ïíï x3 + y3 = 35 (1)
ïỵ

GIẢI
ìï S = x + y
Đặt ïíï P = xy điều kiện S2 ³ 4P . Hệ phương trình (1) trở thành:
ïỵ
ïìï SP = 30
Û
í 3
ïï S - 3PS) = 35
ỵ

ìï
ïï P = 30
ï
S
Û
í
ïï 3
30
ïï S - 3. S = 35
ỵ
S

ïìï S = 5
í
ïï P = 6 .
ỵ
ét = 2

=> x, y là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0 Û ê
êt = 3
ê
ë
Vậy hệ (1) có 2 nghiệm (2;3); (3;2)
* Lưu ý một số trường hợp đặc biệt:
i) Có những hệ phương trình trở thành loại I sau khi đặt ẩn phụ:
Giáo viên: Phạm Thị Cảnh

1


Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.
ìï x2 + xy + y2 = 1
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ïíï x - y - xy = 3 (2)
ïỵ

GIẢI
Nhận xét: Hệ trên vốn khơng đối xứng.
ìï x2 - tx + t2 = 1
Đặt t= - y ta được hệ đối xứng: ïíï x + t + tx = 3
ïỵ
ì

ïìï S - 3P = 1
Û S2 + 3S - 10 = 0
í
ïï S + P = 3
ỵ

ï S= x+t
Đặt ïíï P = xt , điều kiện S2 ³ 4P ta được:
ïỵ

éìï S = - 5
2
êïí
êï P = 8 (loai vì khơng thoa mãn S ³ 4P)
ïìï S = - 5
ïỵ
Û í
Û ê
.
ê
ì
ïï S = 2
êïï S = 2
ỵ
êíï P = 1
ê
ëỵï
ì

ïS=2
Với ïíï P = 1 ta có:
ïỵ

ïìï x + t = 2
í

ïï x.t = 1
ỵ

=> x, t là nghiệm của phương trình u2 – 2u + 1 = 0 => u = 1
Vậy x= t =1. t = 1 => y = -1.
Vậy hệ (1) có nghiệm duy nhất (1; -1)
ii) Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) và sau đó đặt
ìï S = u + v
ïí
thì ta sẽ được hệ phương trình đơn giản hơn so với việc đặt
ïï P = uv
ỵ

ìï S = x + y
ïí
ïï P = xy
ỵ

ì

ï xy + x + y = 5
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ïíï (x + 1)3 + (y + 1)3 = 35 (3)
ïỵ

GIẢI
ìï u = x + 1
Đặt ïíï v = y + 1 thì (3) trở thành
ïỵ
ì

ìï uv = 6
ïí
ïï u3 + v3 = 35 (3’)
ỵ

ï S= u+v
Đặt ïíï P = uv , hệ (3’) trở thành
ïỵ

ïìï P = 6
Û
í 3
ïï S - 3PS = 35
ỵ

ì
ïíï S = 5
ïï P = 6
ỵ

ìï t = 2
ïí
Û
=> u, v là nghiệm của phương trình t – 5t + 6 = 0
ïï t = 3
ỵ
2

=> (3’) có nghiệm (2;3) hoặc (3;2) => Hệ phương trình (2) có 2 nghiệm (1;2); (2;1)
ìï x + y + x2 + y2 = 8

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ïíï xy(x + 1)(y + 1) = 12 (4)
ïỵ
Giáo viên: Phạm Thị Cảnh

2


Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

GIẢI
ïì S = x + y
Nhận xét: Nếu đặt ïíï P = xy ta thu được hệ
ïỵ
ìï u = x(x + 1)
Đặt ïíï v = y(y + 1) thì (4) trở thành
ïỵ

ìï S2 + S - 2P = 8
ïí
ïï P(P + S + 1) = 12 (-> phức tạp)
ỵ

ìï u + v = 8
ïí
ïï uv = 12
ỵ
é

t=6
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0 ê

êt = 2
ê
ë
éìï u = 6
êïí
êï v = 2
ỵï
Vậy ê
êïì u = 2 Do đó ta có
êï
êíï v = 6
ê
ëỵï

ìï x2 + x - 6 = 0
ìï x2 + x - 2 = 0
ïí
ïí
ïï y2 + y - 2 = 0 hoặc ïï y2 + y - 6 = 0
ỵ
ỵ

Vậy (4) có 8 nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) và (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2)
ìï
ïï x + y + 1 + 1 = 4
ï
x y
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ïíï
(5)
ïï x2 + y2 + 1 + 1 = 4

ïïỵ
x2 y2

GIẢI
ïì S = x + y

Nhận xét: Nếu đặt ïíï P = xy
ïỵ

như thơng thường thì sẽ dẫn tới 1 hệ phương trình

phức tạp.
Điều kiện: x ¹ 0,y ¹ 0
ìï
ïï u = x + 1
ï
x
Đặt íï
thì (5) trở thành
1
ïï v = y +
ïïỵ
y

Đặt

ìï S = u + v
ïí
ïï P = uv
ỵ

ìï S = 4
ïí
Û
ïï S2 - 2P = 8
ỵ

điều

kiện

ìï u + v = 4
ïí
ïï u2 + v2 = 8 (5’)
ỵ

S2 ³ 4P .

Hệ

phương

ì
ïíï S = 4
ïï P = 4
ỵ

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 4 = 0 Û t = 2
ìï u = 2
Vậy ïíï v = 2 Û

ïỵ

ìï
ïï x + 1 = 2
ï
x
Û
í
1
ïï
ïï y + = 2
y
ïỵ

ì
ïíï x = 1
ïï y = 1
ỵ

Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm duy nhất là (1;1).
Giáo viên: Phạm Thị Cảnh

3

trình

(5’)

trở

thành:


Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại I không giải được theo cách giải quen
thuộc. Ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng giải được theo
phương pháp quen thuộc.
ìï x y + y x = 30
ï
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình íï
(6)
ïïỵ x x + y y = 35

GIẢI
Điều kiện x, y ³ 0.
Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại I không giải được theo phương pháp quen thuộc.
Đặt u =

ìï u2v + uv2 = 30
ï
y thì hệ (6) trở thành íï 3
(6’)
3
ïỵ u + v = 35

x; v =

Giải như ví dụ 1 ta được kết quả nghiệm của (6’) là (2;3) ; (3;2)
=> (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4)

ìï
ï
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình íï
ïïỵ

x+ y=9
3

(7)

x+3y=5

GIẢI
Điều kiện x, y ³ 0.
ìï u =
ï
Đặt íï
ïïỵ v =

6
6

ìï u3 + v3 = 9
thì hệ (7) trở thành ïíï u2 + v2 = 5 (7’)
y
ïỵ
x

Giải theo phương pháp thông thường 1 ta được kết quả nghiệm của (7’) là (2;1) ;
(1;2)

=> nghiệm của hệ (7): (64; 1); (1; 64)
ìï 2x2 + 2y2 = 5
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình ïíï x - y + x + y + x2 - y2 = 35(8)
ïỵ

GIẢI
Nhận xét: Đây là hệ phương trình đối xứng loại I đối với 2 ẩn x, y và khơng giải được
theo cách giải quen thuộc.
ìï u2 + v2 = 5
x
+
y
x
y
Dùng ẩn phụ đặt u =
;v=
đưa hệ (8) về dạng ïíï u + v + uv = 5 (8’)
ïỵ

Hệ (8’) giải được theo phương pháp quen thuộc. Ta thu được kết quả nghiệm của (8)
ỉ1 3ư ổ3 1ử
; ữ
ữ; ỗ
ữ
l ỗỗỗ ; ữ
ữ;
ữỗ
ỗ2 2ứ
ố2 2ứ
ố

ổ 1 3ử
ỗ
- ;- ữ
ữ
ỗ
ữ;
ỗ
ố 2 2ứ

Giỏo viờn: Phm Th Cnh

ổ 3 1ử
ỗ
- ;- ữ
ữ
ỗ
ữ;
ỗ
ố 2 2ứ

ổ3 1ử
ổ 1 3ữ
ử
ỗ
ỗ
;- ữ
;
ữ
ữ

ỗ
ỗ
;
;
ữố
ỗ2 2ứ
ỗ 2 2ữ
ố
ứ
4

ổ 3 1ử
ỗ
- ; ữ
ữ
ỗ
ữ;
ỗ
ố 2 2ứ

ổ1 3ử
ỗ
;- ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ2 2ø
è

Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

* Nhiều hệ ở dang ban đầu chưa thấy sự xuất hiện ẩn phụ, trong trường hợp này ta
cần sử dụng một vài phép biến đổi phù hợp.
ìï
ï
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình íï
ïïỵ

x+ y=4
x +5+ y+5 = 6

(9)

GIẢI
Điều kiện x, y >0.
ìï
ï
Û
í
(9)
ïï
ïỵ

x + 5 + x + y + 5 + y = 10
x + 5-

x + y + 5-

y =2

ìï
ïï
Û ïí
ïï
ïïỵ

x + 5 + x + y + 5 + y = 10
5
5
+
=2
x + 5+ x
y+5 + y

ìï ( x + 5 + x) + ( y + 5 + y) = 10
Û ïí
ïï ( x + 5 + x).( y + 5 + y) = 25
ïỵ
ìï u = x + 5 + x
ï
(u, v > 0) Khi đó ta có hệ
Đặt íï
ïïỵ v =

=> u, v
ìï
ìï u = 5
ï
ïí

hay í
ïï v = 5
ïï
ỵ
ïỵ

y+5+ y

ìï u + v = 10
ïí
ïï u + v = 25
ỵ

là nghiệm của phương trình t 2 – 10t + 25 = 0 Û t = 5 vậy
x +5+ x = 5
y+5+ y = 5

(9’)

Giải hệ (9’) ta được nghiệm là (4;4)
=> Vậy hệ (9) có nghiệm duy nhất (4;4)
iv) Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình dối xứng loại I ta không thể
giải được theo cách giải quen thuộc và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp
để đưa về cách giải “quen thuộc” khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết.
ìï x - y = ( 3y - 1 ï
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình íï 3
3
ïỵ x + y = 16

3x - 1)(x2 + y2 + 2)

GIẢI
Điều kiện x, y > 13 .
ìï 3y - 1 - 3x - 1
1
ïï
=- 2
y- x
x + y2 + 2 (10’)
Nếu x ¹ y thì (10) Û íï
3
3
ïï x + y = 16
ïỵ

Giáo viên: Phạm Thị Cảnh

5

(10)


Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

Ta nhận thấy

và

3y - 1 - 3x - 1

3y - 1 - 3x + 1
=
=
y- x
(y - x)( 3y - 1 + 3x - 1)

- 1
< 0 suy ra (x; y) : x= y không thỏa hệ.
x + y2 + 2
2

ìï x = y

Với x = y thì (10) Û ïíï x3 + y3 = 16 Û
ïỵ

ì
ïíï x = 2
ïï y = 2
ỵ

Vậy hệ phương trình (10) có nghiệm duy nhất (2; 2).

Giáo viên: Phạm Thị Cảnh

6

3
3y - 1 + 3x - 1

>0