Dap an De HSG Huyen 1415

Hướng dẫn chấm
Câu

Ý


a



2

3 1 

A=

Nội dung cần đạt
2 3

 2  3  2  3 





 3  1  2  3  3  1 2 

ĐK:

1
(3,0)

 x 0

 x  3 x 0 
 x  9 0


3  3

 x 0

 x ( x  3) 0 
 x 9


x  0

 x 9

Điểm
0,75
0,75

0,25

Ta có:
b


x



x
(
x

3)

P=



3  1
6
.



x  3   x  3 ( x  3)( x  3) 

x 3
x  36
.
x  3 ( x  3)( x  3)

x 3
x 3
1
.


x  3 ( x  3)( x  3)
x 3
Ta có: S = 11x  12 y  2014 x 11x  12  12 y  13  2014 z  1


Đặt A 11x  12;B 12 y  13;C 2014 x  1

0,5
0,25
0,5

0,25

P = A3 + B3 + C3

Suy ra S = A + B + C

2
(1,0)

Mà P – S = A3 – A + B3 – B + C3 – C
= A(A – 1)(A + 1) + B(B – 1)(B + 1) + C(C – 1)(C + 1).

0,5

Vì tích của 3 số ngun liên tiếp ln chia hết cho 3 nên
2,0

a
1,0

P – S3 suy ra đpcm.
 x 0

 x 0    x  0

  y 0
xy 0

ĐK:
Với x = 0  y  1
x  0

y 0
Với 
(1) ta có:

0,25

0,25
0,25


2 x  2 x  2 xy  y  1 0
 x  2 x  1  x  2 xy  y 0
 ( x  1)2  ( x 

y ) 2 0

 x  1 0


 x  y 0
 x  y 1 (Thỏa mãn (1))

0,25

Vậy cặp số (x, y) = (0; -1); (1;1)
x 2  3 x  4 2 x  1 (1)

0,25

ĐKXĐ: x 1

0,25

2
Ta có: (1)  x  4 x  4  x  1  2 x  1  1 0

b
1,0

 ( x  2)2  ( x  1  1)2 0
 x  2 0

 x  1  1 0
 x 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)

4
1,0

0,25
0,25

0,25

Vậy phương trình có nghiệm x = 2
1
1
1


2
x 1 y 1 z 1
1
1
1
y
z
1 
1


y 1
z 1 y 1 z 1
Ta có: x  1


1
y
z

2
.
x 1
y 1 z 1

0,25

(1)

Tương tự ta có
1
z
x
2
.
y 1
z  1 x  1 (2)
1
x
y
2
.
z 1
x 1 y 1

(3)

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được
1
xyz 

8

0,25
0,25


1
1
Vậy giá trị lớn nhất của P = 8 khi x = y = z = 2

5

Ta có: AC = AH, BD = BH (Tính chất hai tiếp cắt nhau)
 AC + BD = AH + BH = AB = 2R
Ta có:  AMC =  AMH;  BMH =  BMD
  AMC +  AMH +  BMH +  BMD
b
= 2(  AMH +  BMH) = 1800
1,0 Suy ra C, M, D thẳng hàng (1).
Mà AC  CM, BD  MD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABDC là hình thang vng
Ta có OM là đường trung bính của hình thang ABDC suy ra OM 
MK.
c
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
1,0 AC.BD = AH.BH = AH2, OH.OK = OM2.
Mà AH2  OM2, dấu “=” xảy ra khi AB//CD vô lý.
Suy ra đpcm.
Lưu ý: Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
a

1,0

0,25

1,0

0,5
0,5

0,5
0,5