13Phuong Trinh Bac 2 So Phuc TL cua TSHa Van Tien

Chuyên đề 11

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Chủ đề 1.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 1.5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 22

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 2.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

Chuyên đề 33

Phương trình, Bất PT mũ và logarit


Chủ đề

3.1 LŨY THỪA

Chủ đề

3.2. LOGARIT

Chủ đề

3.3 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

Chủ đề

3.4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Chủ đề

3.5. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Chun đề 44

Ngun hàm Tích phân - Ứng dụng

( 410 câu giải chi tiết )

Chủ đề

4.1. NGUYÊN HÀM

Chủ đề

4.2. TÍCH PHÂN

Chủ đề

4.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Chuyên đề 55

SỐ PHỨC

Chủ đề 5.1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Chủ đề 5.2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM


Chuyên đề 66

BÀI TOÁN THỰC TẾ

6.1. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
6.2 BÀI TỐN TỐI ƯU

Chun đề 77

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 7.2. QUAN HỆ VNG GĨC. VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NĨN – MẶT TRỤ

Chun đề 88

TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN

8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
8.2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
8.4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
8.5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
8.6: GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
Chủ đề 5.2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2
1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z w được gọi là một căn
bậc hai của w .
 .

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
2
ax 2  bx  c 0  a, b, c  ; a 0 
Cho phương trình bậc hai
. Xét  b  4ac , ta có
b
x 
2a .
  0 : phương trình có nghiệm thực
   0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:

x1,2 

b 
2a .


x1,2 

 b i |  |
2a
.

   0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi cơng thức:
 Chú ý.
n
n 1
 Mọi phương trình bậc n : Ao z  A1 z  ...  An  1 z  An 0 ln có n nghiệm phức (không
nhất thiết phân biệt).
 Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai
ax 2  bx  c 0  a 0 

có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét

b

 S x1  x2  a

 P  x .x  c
1 2

a

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức
 Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực
i | a |
+ a  0, a có các căn bậc hai là
.
+ a 0 , a có đúng một căn bậc hai là 0.

+ a  0 , a có hai căn bậc hai là  a .
2
Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và  i . Hai căn bậc hai của  a ( a là số thực khác 0) là
ai và  ai .

w a  bi  a, b  , b 0 
 Trường hợp
2
z  x  yi  x, y   
Gọi
là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z w , tức là
 x 2  y 2 a
2
2
2
 x  yi  a  bi  x  y  2 xyi a  bi  
2 xy b

Mỗi cặp số thực
phức w a  bi .

 x; y 

nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x  yi của số

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w  5  12i .
z  x  yi  x, y   
Gọi
là một căn bậc hai của số phức w  5 12i .
  x 2
2


x

4
 x 2  y 2  5 
2
2
  y 3
z w   x  yi   5  12i  

6 
 x  2
2 xy 12
y 

x

  y  3
Ta có
Vậy w  5  12i có hai căn bậc hai là 2  3i và  2  3i .

2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan
 Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
2
Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z  z  1 0
2
Ta có  b  4ac  3  0


1 i 3
x1,2 
2 .
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
 Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 .
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm
x  1 .
+ Định lý Bơdu:
f  x
f  x
Phần dư trong phép chia đa thức
cho x  a bằng giá trị của đa thức
tại x a.
f  x   x  a  g  x   f  a 
Tức là
f  a  0
f  x   x  a 
Hệ quả: Nếu
thì

f  x   x  a 
f  a  0
f  x  0
Nếu
thì
hay
có một nghiệm x a.
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở
vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ
Hoocne) như sau:
f  x  an x n  an  1 x n  1  ...  a1 x  a0
Với đa thức
chia cho x  a có thương là
g  x  bn  1 x n  1  bn  2 x n  2  ...  b1 x  b0

an
a bn  1 an

dư r

an  1

an  2

a2

a1

a0

bn  2 abn  1  an  2

bn 3 abn 2  an 3

b1 ab2  a2

b0 ab1  a1

r ab0  b0

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Chọn chế độ tính tốn với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.
Nhập số thuần ảo i : Phím ENG
2. Tìm các căn bậc hai của một số phức
Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z  3  4i có kết quả:
Cách 1:
– Mode 2 (CMPLX)
2
– Nhập hàm X
– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận.
Cách 2:
– Mode 1 (COMP)
Pol   3; 4 
– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập





Re c X , Y : 2
– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập
, ta thu được kết quả X 1; Y 2 .
– Vậy 2 số phức cần tìm là 1  2i và  1  2i .


D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

2
Trong  , phương trình 2 x  x 1 0 có nghiệm là:
1
1
x1   1  7i ; x2   1  7i
4
4
A.
B.



C.
Câu 2.

x1 







1
1
 1  7i ; x2  1 
4
4







7i



D.

z1 2; z2 1  3i; z3 1 

3i
3i

C.
Trong  , phương trình
A. z  3  4i

z  z 2  4i





B.

z1 2; z2  1  3i; z3  1 

D.

z1  2; z2 1  3i; z3 1 

7i



3i
3i

2
2
2
D. x  2ax  a  b 0

Trong  , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:
 z 3i
 z i
 z 1  i
 z 4i
 z  4i


B. 
C.  z  3i
A.

 z 2  3i

D.  z 1  i

2
Trong  , phương trình z  z  1 0 có nghiệm là:

A.

Câu 9.



Hai giá trị x1 a  bi ; x2 a  bi là hai nghiệm của phương trình:
2
2
2

2
2
2
B. x  2ax  a  b 0
A. x  2ax  a  b 0

 z 3  5i
 z 3  5i

Câu 8.

1
1
1  7i ; x2   1 
4
4

D. z  5  4i

2
2
2
C. x  2ax  a  b 0

Câu 7.



có nghiệm là:
B. z  2  4i

C. z  4  4i

Câu 6.



D. z1  1  2i; z2  1  2i .

z1  2; z2  1  3i; z3  1 

Câu 5.



3
Trong  , nghiệm của phương trình z  8 0 là:

A.

Câu 4.

1
1
1  7i ; x2  1 
4
4

Khai căn bậc hai số phức z  3  4i có kết quả:
. z1 1  2i; z2  1  2i

B. z1 1  2i; z2 1  2i
A
C. z1 1  2i; z2  1  2i

Câu 3.

x1 

x1 


2  3i
z 
2


2  3i
z 
2
B. 


1  5i
z 
2


1  5i
z 
2

C. 

Tính căn bậc hai của số phức z 8  6i ra kết quả:
 z 3  i
 z 3  i
 z 3  i


B.  z  3  i
C.
A.
2
Trong  , nghiệm của phương trình z  5 0 là:

 z  3  i
 z 3  i



1  3i
z 
2


1  3i
z 
2
D. 

 z 3  i


D.  z  3  i

7i




z  5

z  5
A. 

 z  4 5i

z  4 5i
B. 

5i

C.

2
Câu 10. Trong  , nghiệm của phương trình z  5  12i là:
 z 2  3i

.  z  2  3i
B. z 2  3i
C. z 2  3i
A

2
Câu 11. Trong  , nghiệm của phương trình z  4 z  5 0 là:
 z  2  i

B. z  2  i
C.  z  2  i
A. z 2  i
2
Câu 12. Trong  , nghiệm của phương trình z  2 z  1  2i 0 là
 z1 2  i
 z1 i  2
 z1 2  i
 z  i
 z  i
 z 2  i
 2
B.  2
C.  2
A.

Câu 13. Cho z 3  4i . Tìm căn bậc hai của z .
A.  2  i và 2  i
C. 2  i và  2  i

D.  5i

 z 2  3i

D.  z  2  3i

D. z  2  i

 z1 2  i
 z  i
D.  2

B. 2  i và 2  i
D.

3  2i và  3  2i

Câu 14. Cho z 1  i . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z :
4

A.


 

2  cos
 i sin

8
8  và




2  cos  i sin 
4

4


4

7
7 

2  cos
 i sin

8
8 


B.

 

2  cos
 i sin

4
4 


C.
4

D.




2  cos  i sin 
8
8  và


4


 

2  cos
 i sin

8
8 


z 2  i   z 2  2iz  1 0


Câu 15. Trong , phương trình
có nghiệm là:

3
3
 1  2i 

  2 i
C. 2
; 2
; 4i
2
  1 i 
2
,i

B. 1  i ;  1  i ; 2i

A.

2 1 i 
2
,

D. 1  2i ;  15i ; 3i

4
2
Câu 16. Trong  , phương trình z  6 z  25 0 có nghiệm là:

A. 8; 5i

B. 3; 4i

C. 5; 2i

D.

 2  i  ;  2  i 


Câu 17. Trong  , phương trình
A.

1 3  i

z
B.

1
2i
z
có nghiệm là:

5 2 i

C.

1 2  i

D.

 2  5 i

3
Câu 18. Trong  , phương trình z  1 0 có nghiệm là:

2 i 3
2
A.  1 ;

1 i 3
2
B.  1 ;

1 i 5
4
C.  1 ;

5 i 3
4
D.  1 ;

4
Câu 19. Trong  , phương trình z  1 0 có nghiệm là:
A 1; 2i
B. 2; 2i
C. 3; 4i

D. 1; i

Câu 20. Trong  , căn bậc hai của  121 là:
A.  11i
B. 11i

C.  11

D. 11i và  11i

2
Câu 21. Phương trình 8 z  4 z  1 0 có nghiệm là:
1 1
5 1
z1   i; z2   i
4 4
4 4
A

1 1
1 3
z1   i; z2   i
4 4
4 4
B.

1 1
1 1
z1   i; z2   i
4 4
4 4
C.

2 1
1 1
z1   i; z2   i
4 4
4 4

D.