De thi HSG huyen Tam Duong va Yen Lac

PHÒNG GD&ĐT TAM
DƯƠNG

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm học: 2012-2013
Mơn: Tốn 8
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi này gồm 01 trang.

ĐỀ CHÍNH
THỨC

Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay
Câu 1: (2,5 điểm )
2
2
2
a) Phân tích đa thức a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) thành nhân tử.

3
3
3
b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn (a  b)  (b  c)  (c  a ) 210 . Tính giá trị
của biểu thức A  a  b  b  c  c  a .

Câu 2: (2,5 điểm)
2
2
x


y
3  xy.
a) Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
b) Giải phương trình: (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7) 72 .

Câu 3: (2,5 điểm)
2
2
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P ( x  2012)  ( x  2013) .

b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 . Chứng minh rằng:
1
1
1
3
 2
 2

x x y y z z 2 .
2

Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một
đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA
có giá trị không đổi.
H  BC 

c) Kẻ DH  BC 
Chứng minh CQ  PD .

. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.

====== HẾT ======
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD…………………


PHÒNG GD&ĐT TAM
DƯƠNG

Câu
1
(2,5đ)

H ƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8
NĂM HỌC 2012-2013
HDC này gồm 2 trang
Nội dung chính
Điểm
a) Ta có
0,5
2
2
2
2
2

a (b  c)  b (c  a)  c (a  b) a (b  c)  b (c  a)  c 2 (b  c  c  a)
0,5

(b  c)( a 2  c 2 )  (c  a)(b 2  c 2 ) (b  c)( a  c)( 0,25
a  c)  (c  a)(b  c)(b  c)
(b  c)(a  c)(a  c  b  c) (b  c)(a  c)(a  b)

.
b) Đặt a  b x; b  c  y ;

0,25

c  a  z  x  y  z 0
 z  ( x  y )

0,5

Ta có:

0,5

x3  y 3  z 3 210  x3  y 3  ( x  y )3 210   3xy ( x  y ) 210
 xyz 70 . Do x, y, z là số

nguyên có tổng bằng 0 và
xyz 70 ( 2).(  5).7 nên
x, y, z    2;  5; 7 

A  a  b  b  c  c  a 14.

2
(2,5đ)

2
2
a) x  y 3  xy
Ta có:

0,25

( x  y) 2 0  x 2  y 2 2 xy  3  xy 2 xy  xy 1

0,5
0,5
( x  y ) 2 0  x 2  y 2  2 xy  3  xy  2 xy  xy  3.
Suy ra  3 xy 1 . Mà
Lại có:

x, y  Z  xy    3;  2;  1; 0;1

Lần lượt thử ta được
( x, y )   ( 2;1); (1;  2); (2;  1); ( 1; 2);(1;1)

là nghiệm của phương trình.
b)
(6 x  8)(6 x  6)(6 x  7) 2 72
Đặt 6 x  7 t. Ta có

0,5
0,5

(t  1)(t  1)t 2 72  (t 2  1)t 2 72  t 4  t 2  72 0
 t 4  9t 2  8t 2  72 0  t 2 (t 2  9)  8(t 2  9) 0  (t 2  9)(t 2  8) 0
0,25
2
Mà t  8  0 nên
2
t 2  9 0  t 2 9  t 3  x 
3
5
x  .
3
hoặc

PT có nghiệm là
 2  5
x ; 
 3 3 .


Ghi chú :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì
Giám khảo vẫn cho điểm nhưng khơng vượt q thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh khơng vẽ hình thì khơng cho điểm.
- Tổng điểm tồn bài bằng tổng điểm của các câu khơng làm trịn.
=====================

PHỊNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG

ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2013-2014

MƠN: TỐN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (1,5 điểm)
4
2
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2014 x  2013 x  2014

2
b) Giải phương trình: 

x

3

3

 8  4 x  13  4 x  2 x  5

 

 



3

Câu 2: (1,5 điểm)

2
2
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x  2 xy  2 y  2 x  6 y  5 0

b) Cho các số a, b, c thỏa mãn: a(a  b)  b(b  c)  c(c  a ) 0.
3
3
3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a  b  c  3abc  3ab  3c  5
Câu 3: (1,5 điểm)
2014

a) Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2013 có tổng bằng 2013
Chứng minh rằng: a31 + a32+ .. .. .+a32013 chia hết cho 3.

b) Tìm số tự nhiên n để n  18 và n  41 là hai số chính phương.
Câu 4: (1,5 điểm)
a) Cho đa thức

P  x  x 2  bx  c

, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng các đa thức

x 4  6 x 2  25 và 3 x 4  4 x 2  28 x  5 đều chia hết cho P  x  . Tính P   2 
2
2 2
3
2
b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x  x y  2 y 0 và x  2 y  4 y  3 0
2

2

Tính giá trị của biểu thức Q x  y
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình
vng AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE  BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên
đoạn thẳng AB.
Câu 6: (1,5 điểm)


a) Cho A là một tập hợp gồm 1008 số ngun dương phân biệt bất kì, mỗi số khơng vượt
q số k. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho trong A có ít nhất một số là bội số của một số khác
cũng thuộc A.
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
2
2
2
a +2 b + 3 b +2 c +3 c +2 a +3 2
2

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh dự thi:………………………………………;SBD:……………