THIET KE DIEU KHIEN ON DINH VI TRI HE BALL AND BEAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP THÁI NGUYÊN

KHOA ĐIỆN TỬ
BỘ MÔN. ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG BALL
AND BEAM

Sinh viên:
Mssv :
Lớp:
Giáo viên hướng dẫn : THS.PHẠM VĂN THIÊM

Thái Nguyên – 2015


LỜI NÓI ĐẦU
Xã hội đang ngày càng thay đổi theo xu hướng cơng nghiệp hóa-hiện đại hóa đất
nước với nhiều cải tiến vượt bậc. Đặc biệt là trong lĩnh vực điều khiển-tự động hóa, sự
thay đổi đó thể hiện qua theo thời gian, chính vì vậy việc nắm bắt những cơng nghệ đó
là điều cần thiết mà những sinh viên chúng em đang và sẽ học tập để đưa những kỹ thuật
tiên tiến vào cuộc sống. Để hiểu sâu hơn về chuyên ngành cũng như kiến thức thực tế,
em xin thực hiện đồ án tốt nghiệp với đề tài:
THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG BALL AND BEAM
Đây là đề tài hay về ứng dụng kỹ thuật điều khiển và được hầu hết các trường đại
học về kỹ thuật nghiên cứu và thực nghiệm. Mơ hình này được ứng dụng nhiều vào thực
tế như hệ thống cân bằng máy bay theo phương nằm ngang, trong hệ thống tự cân bằng
trên ôtô và xe hai bánh tự cân bằng…
Trong quá trình thực hiện em đã được các thầy cô trong bộ môn giúp đỡ và tạo
điều kiện để em có thể hồn thành tốt đồ án này. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân

thành tới thầy PHẠM VĂN THIÊM đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện.
Đồ án của em khơng tránh khỏi thiếu sót, em rất mong được sự góp ý của thầy cơ để
luận văn của em được hoàn thành tốt hơn
Em xin chân thành cảm ơn và kính chúc các thầy cơ ln mạnh khỏe để chèo lái
con thuyền tri thức được đi xa nhiều hơn nữa.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 6 năm 2015


MƠ HÌNH HỆ THỐNG BALL AND BEAM

Giới thiệu Ball and Beam
Ngày nay, khoa học kĩ thuật đạt rất nhiều tiến bộ trong lĩnh vực điều khiển tự động hóa.
Các hệ thống điều khiển được áp dụng các quy luật điều khiển cổ điển, hiện đại, cho tới
điều khiển thông minh, điều khiển bằng trí tuệ nhân tạo. Kết quả thu được là hệ hoạt động
với độ chính xác cao, tính ổn định bền vững và thời gian đáp ứng nhanh. Trong điều khiển
cơng nghiệp có nhiều bộ điều khiển như PID truyền thống, điều khiển thích nghi, Learning
Feed – Forward Control,Linear Quadratic Regulator và Linear Quadratic Gaussian.
Hệ thống “Ball and Beam” (B&B), dịch tiếng việt là hệ thống Bóng và Tay địn, là hệ
thống dùng để thực nghiệm bài tốn ổn định vị trí, đây là một hệ thống động học khá nhạy
cảm với nhiễu tác động bên ngồi. Mơ hình B&B thường được dùng trong phịng thí nhiệm
của các trường đại học. Mơ hình bao gồm một thanh nằm ngang (beam), một quả bóng
(ball), một động cơ DC, cảm biến đọc vị trí quả bóng và cảm biến xác định góc nghiêng
của thanh. Thanh nằm ngang (beam), thường có độ dài [0.5m , 1.0m]. Chất liệu của thanh
được làm bằng sắt hoặc nhơm, gỗ. Quả bóng (ball), hình trịn, trọng lượng trong khoảng
[100g , 250g]. Quả bóng thường được thay thế bằng viên bi sắt nhỏ. Bề mặt nhẵn, khi
chuyển động ma sát phải rất nhỏ (có thể bỏ qua được).
Điều khiển vị trí của viên bi trên thanh bằng cách thay đổi góc nghiêng của thanh so với
phương ngang bằng một động cơ. Cảm biến xác định vị trí viên bi, dùng cảm biến khoảng
cách, cảm biến độ dịch chuyển. Cảm biến xác định góc nghiêng của thanh có thể sử dụng
cảm biến góc nghiêng hoặc encoder.

CHƯƠNG 1 : MƠ HÌNH HĨA ĐỐI TƯỢNG
1.1 Mơ hình khơng gian trạng thái
Để tìm ra phương trình động lực học mô tả hệ thống “ball and beam”, phương
pháp Lagrange được sử dụng dựa trên sự cân bằng năng lượng của hệ thống.
1.1.1 Phương trình chuyển động

Ball, m & Rball
Ball Position, r
Beam, M & L

Beam Angle, ө
Output Gear
Radius, Rgear

DC Motor and Gears

Output Gear
Angle, φ

Motor Torque, T(t)

Để tìm ra phương trình Euler-Lagrange, bước đầu tiên là xác định động năng
và thế năng của hệ.
a. Động năng (K – Kinetic)
a.1. Động năng của quả bóng vừa chuyển động tịnh tiến, vừa chuyển động quay
K B  Kt  K q

Trong đó: Kt là động năng tịnh tiến của quả bóng

Kq là động năng quay của quả bóng
1
1
2
2
1
+) K q  J B 2
2

+) Kt  mv 2  mr 2


2
5

2
Với: J B  mRBall
là mơ men qn tính của quả bóng.

v
r

RBall RBall

 là vận tốc góc của quả bóng.  

Vậy động năng của quả bóng là:
1
1  r 
K B  Kt  K q  mr 2  J B 


2
2  RBall 

2

a.2. Động năng quay của thanh đỡ
Trên thanh đỡ có cả quả bóng, vì thế khi thanh đỡ quay quanh trục quay ở một
đầu của nó, quả bóng cũng đồng thời quay quanh trục đó. Ta cần sử dụng cơng thức
dời trục để tính mơmen qn tính của quả bóng quay quanh trục của thanh đỡ.
J1  J 0  md 2

Trong đó: J1 là mơmen qn tính đối với trục mới
J0 là mơmen quán tính đối với trục ban đầu
m là khối lượng
d là khoảng cách giữa 2 trục
Suy ra, mơmen qn tính mới của quả bóng là: J B1  J B  mr 2
Vậy động năng thanh đỡ là:
Kb 

1
1
J B  mr 2  2  J b 2

2
2

ML2
Với: J b 
là mơmen qn tính của thanh “beam” thẳng, đồng chất, chiều dài

3

L, khối lượng M, trục quay ở một đầu thanh.
Động năng của hệ “ball and beam” là:
2

1
1  r  1
1
2
2
2
K  mr 2  J B 
   J B  mr   J b
2
2  RBall  2
2

b. Thế năng (P-Potential energy)
P

Trong đó:
- M là khối lượng thanh đỡ
- m là khối lượng quả bóng

L
Mg sin   mgr sin 
2

c.

 là góc của thanh đỡ
g là gia tốc trọng trường
r là vị trí của quả bóng
L là chiều dài của thanh đỡ

Phương trình Lagrange

Sai khác giữa động năng và thế năng được gọi là hàm Lagrange và được xác
định theo biểu thức:
L K P

1
2

1
2

2

 r  1
1
2
2
2
   J B  mr   J b
2
 RBall  2

Với: K  mr 2  J B 
P

L
Mg sin   mgr sin 
2
2

1
1  r  1
1
L
2
2
2
 L  mr 2  J B 
   J B  mr   J b  Mg sin   mgr sin 
2
2  RBall  2
2
2

Phương trình Euler-Lagrange:
d  L  L
Q
 
dt  q  q

Đối với hệ “ball and beam”, ta có hệ phương trình Euler-Lagrange:
 d  L  L

 dt  r   r  0
  

 d  L   L  
 dt    

Trong đó:  là mômen quay do động cơ sinh ra tác động lên một đầu thanh
beam
Ta có:
+)

L
J
d  L  
J
 mr  2B r      m  2B
r
RBall
dt  r  
RBall


r


L
 mr 2  mg sin 
r
L
d  L 

2
+)
  J B  mr 2   J b  
   J B  J b  mr   2mrr

dt   
L
L

+)
   Mg  mgr  cos

2


+)


Vậy hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ là:

JB 
2
 m  2  r  mr  mg sin   0
RBall 


 J  J  mr 2     L Mg  mgr  cos  2mrr  
  2
b


 B



1.1.2 Tuyến tính hóa hệ thống xung quanh điểm làm việc
- Phương trình trạng thái của hệ tuyến tính hóa là:
 x(t )  A x (t )  BV (t )

 y (t )  Cx(t )  DV ( t )

x1   x2  r x3   x4  r
Trong đó: A là ma trận hệ thống; B là ma trận đầu vào; C là ma trận đầu ra; D

=0
- Phương trình trạng thái phi tuyến mơ tả hệ thống:
 x(t )  f ( x(t ), u (t ))

 y(t)  h(x (t ),u (t ))

+) Khai triển Taylor f(x,u) và h(x,u) xung quanh điểm làm việc ( x* , u* )
Ta có thể mơ tả hệ thống bằng phương trình trạng thái tuyến tính:
x  Ax  Bu

y  C x  Du

Với:
 x1   x1  x1* 
 x  
*
x


x
2
2
2



x  
*
 x3   x3  x3 

 
*
 x4   x4  x4 
u  u  u* ; y  y  y*  y  h( x* , u* )

Chọn điểm làm việc của hệ ở chính giữa thanh beam, ta có:
x1*  0 ;
x2*   ;
x3*  0 ;
x4*  0


+) Từ phương trình (1):  m 


JB 
2
 r  mr  mg sin  0

2
RBall 


5r 2  5 g
r 
7

Với   0  sin   
5r 2  5 g 5 x2 x32  5 gx1
r 

7



7

+) Từ phương trình (2):

J

B

L

 J b  mr 2    Mg  mgr  cos  2mrr  
2


L

  Mg  mgr  cos  2mrr  
2

  
J B  J b  mr 2
Với J B  0 ;   0  cos  1; ta có
L
L
2mrr  mgr  Mg   2mx2 x3 x4  mgx2  Mg  
2
2
 

2
2
J b  mr
J b  mx2

Suy ra:

f1  x3
f 2  x4
f3 

2mx2 x3 x4  mgx2 
J b  mx22

L

Mg  
2

5 x2 x32  5 gx1
f4 
7

+) Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính hóa:

A

f
x

x* , *

 f1
 x
 1
 f 2
 x
1

 f3
 x
 1
 f 4

 x1

f1
x2

f1
x3

f 2
x2

f 2
x3

f3
x2

f 3
x3

f 4
x2

f 4
x3

f1 
x4 

f 2 
x4 


f 3 
x4 
f 4 

x4 


B

f


x* , *

 f1 
  
 
 f 2 
  
 
 f3 
  
 f 
 4
  

C  I4x4

;
Tải tĩnh tại điểm làm việc của hệ thống là

D=0
 * được xác định bởi biểu thức:
 ML

 mr 
 2


*  g

- Động cơ chấp hành của hệ thống “ball and beam” là động cơ 1 chiều được
ghép nối thông qua hộp giảm tốc và 1 cánh tay địn để điều khiển góc nghiêng của
thanh đỡ. Do đó đầu vào của hệ thống “ball and beam” chính là điện áp cấp cho
động cơ.

- Phương trình mơ tả các đặc tính của động cơ như sau:
Lm I  Rm I  K m motor  V
 motor  Ki I
Với: Lm là điện cảm phần ứng động cơ, Lm = 0
Rm là điện trở phần ứng động cơ
 motor là góc quay của động cơ
Km, Ki là hằng số động cơ
 motor là mômen trục động cơ
V  K m motor
- Từ phương trình (7) với Lm = 0 ta có: I 
Rm


Ki

KK
V  i m  motor
Rm
Rm

 motor 

Thay vào phương trình ta được:

- Mơmen tác động lên một đầu thanh beam là mômen của trục động cơ thông
qua hộp giảm tốc và cánh tay địn.
+ Quan hệ giữa góc thanh nghiêng beam (  ) và góc quay của bánh răng đầu
ra hộp giảm tốc (  ) là:


Rgear
L



+ Quan hệ giữa góc quay của bánh răng đầu ra hộp giảm tốc (  ) và góc quay
của trục động cơ (  motor ) là:


1
 motor
Kg

Suy ra:


1 Rgear
 motor
Kg L

  motor 

Kg L
Rgear

Mômen tác động lên 1 đầu thanh beam là:
K gtotal L
K g Kitotal L
K g2 Ki K mtotal L2
 beam 
 motor 
V

2
Rgear

Rm

Rgear

Rm

Rgear

Với K g là hệ số hộp giảm tốc

total là hiệu suất cơ cấu chấp hành; total  motorhopgiamtoc
Thay (10) vào (2) ta được:
K g Kitotal L
K g2 Ki K mtotal L2
L

2
V

 J B  Jb  mr     Mg  mgr  cos  2mrr 
2
2



Rm

Rgear

Rm

Từ phương trình ta thấy đầu vào của hệ thống bây giờ là điện áp đặt lên
động cơ chứ khơng cịn là mơmen tác dụng lên thanh beam nữa.
 ML

 mr  vào phương trình ta được:
 2

L
 Rm Rgear

V *   Mg  mg 
2
 LK g Kitotal

Tại điểm làm việc tĩnh, thay  *  g 

Rgear


 Xác định các ma trận trạng thái khi đầu vào của hệ thống là điện áp
đặt vào động cơ:

A

f
x

x* ,V*

 f1
 x
 1
 f 2
 x
1

 f3
 x
 1
 f 4


 x1

f1
x2

f1
x3

f 2
x2

f 2
x3

f3
x2

f3
x3

f 4
x2

f 4
x3

- Ta có: f1  x3 suy ra,
+) a11 
+) a12 

+) a13 
+) a14 

f1
x1
f1
x2

f1
x3
f1
x4


x* ,V*

  x3 
0
x1 x ,V
*


x* ,V*

*

  x3 
0
x2 x ,V
*


x* ,V*

  x3 
1
x3 x ,V
*


x* ,V*

*

*

  x3 
0
x4 x ,V
*

*

- Ta có: f 2  x4 suy ra,
+) a21 
+) a22 
+) a23 
+) a24 

f 2

x1
f 2
x2

f 2
x3
f 2
x4


x* ,V*

*


x* ,V*

x* ,V*

*

  x4 
0
x3 x ,V
*



*

  x4 
0
x2 x ,V
*



x* ,V*

  x4 
0
x1 x ,V

*

  x4 
1
x4 x ,V
*

*

f1 
x4 

f 2 
 a11 a12
a
x4 
a


  21 22
 a31 a32
f3 


x4 
 a41 a42
f 4 

x4  x* ,V*

a13
a23
a33
a43

a14 
a24 
a34 

a44 


- Ta có:
2mx2 x3 x4  mgx2 

f3 

J b  mx22



L
Mg  
2

K g Kitotal L
K g2 Ki K mtotal L2
L
2mx2 x3 x4  mgx2  Mg 
V
x3
2
2
Rm
Rgear
Rm
Rgear
J b  mx22

Suy ra,
+) a31 
+) a32 

f3
x1

x* ,V*

f3
x2

x* ,V*

0





 2mx3 x4  mg   J b  mx22   2mx2  2mx2 x3 x4  mgx2 


J

b


K K
K 2K K 
L
L
L2
Mg  g i total
V  g i m total 2 x3 
2
Rm
Rgear
Rm

Rgear 

 mx22 

2

x* ,V*


K K
L
L L
 Rm Rgear
mg  J b  m 2   2m  mg  Mg  g i total
Mg  mg 


2
Rm
Rgear  2
 LK g K itotal


2
 J b  m 2 


L
L


mgJ b  m2 g 2  2m  mg  Mg   Mg  mg  
2
2



2
 J b  m 2 

=

mJ b g  m 2 g 2

J

b

+) a33 

 m 2 
f 3
x3

x* ,V*

2


K g2 K i K mtotal L2
 2mx2 x4 

2
Rm
Rgear


2
 J b  mx22 


2
  J b  mx2 


x* ,V*








K g2 Ki K mtotal

L2
2
Rm  J b  m 2  Rgear

f
+) a34  3

x4

2mx2 x3  J b  mx22 


*

 J b  mx22 

*

x ,V

0

2
x* ,V *

5 x2 x32  5 gx1
- Ta có f 4 
suy ra,
7
f
5g
+) a41  4

x1 x ,V
7
*

+) a42 
+) a43 
+) a44 

f 4
x2
f 4
x3

f 4
x4


*

f
V

x* ,V*

*

x ,V


*

*

*

*

x ,V

5 x32
7

0
*

*

x ,V

10 x2 x3
7

0
x* ,V*

0
x ,V

 0
 0


 A 0



 5g
 7

B

*

0
0


1
0

mJ b g  m 2 g 2

J

b

 m 2 
0

2



K g2 K i K mtotal

L2
2
Rm  J b  m 2  Rgear
0

 f1 
 V 
0


 
b




11
 f 2 
0
b  

 V 
21 


K g K itotal
L 
 





b

f


2
31
 3
    J b  m  Rm Rgear 
 V 
b41  

 f 
0


4
 
 V  x* ,V*

0
1 

0


0 


Ta có:
- f1  x3 
- f 2  x4 

- f3 



f3
V

f1
V

x* ,V*

f 2
V

x* ,V*

0
0

K g Kitotal L
K g2 Ki K mtotal L2
L
2mx2 x3 x4  mgx2  Mg 

V
x3
2
2
Rm
Rgear
Rm
Rgear
J b  mx22

x* ,V*

K g Kitotal L
J b  mx22 

Rm
Rgear

J

b





2 2
2

 mx

x* ,V*

- f4 

5 x2 x32  5 gx1
f
 4
7
V

0
*

*

x ,V

0




0



K g K itotal
L 
B



2
  J b  m  Rm Rgear 


0



K g Kitotal

L
 J b  m 2  Rm Rgear


Với các thơng số của hệ thống như sau:
Kí hiệu
g
m
M
Rball
Rgear
L
Kg
Ki
Km
ɳmotor
ɳhopgiamtoc
Rm

𝛿

Tham số
Gia tốc trọng trường
Khối lượng quả bóng
Khối lượng thanh đỡ
Bán kính quả bóng
Chiều dài tay địn
Chiều dài thanh đỡ
Hệ số bánh răng
Hằng số momen động cơ
Hằng số động cơ
Hiệu suất động cơ
Hiệu suất bánh răng
Điện trở phần ứng động cơ
Điểm cân bằng của vị trí quả bóng

Thay vào các ma trận trạng thái, ta được:
0
1
0
0
0
0
A
 0 7.4881 12.8371

0
0
 7

0
1 
0

0

-

 0 
 0 

B
7.9295


 0 

C = [0 1 0

0 ]𝑇

D = [0]

Ta có hàm truyền của đối tượng:

G( S )  C T .(SI  A)1.B 

553
10S 4  128S 3  525

Giá trị
9.8 (m/s2)
0.06 (kg)
0.39 (kg)
0.012 (m)
0.07 (m)
0.75 (m)
19.7:1
0.00767 (N.m)
0.00767 (V.sec/rad)
1
1
2.6 (𝛺)
0.3 (m)


1.2. Mục tiêu điều khiển
Mục tiêu điều khiển của hệ thống là điều khiển vị trí của quả bóng trên thanh
beam. Hệ thống có một cảm biến xác định vị trí, phản hồi vị trí được đưa về bộ
điều khiển để điều chỉnh điện áp cấp cho động cơ chấp hành. Thơng qua hộp giảm
tốc và tay địn, mơmen từ trục động cơ tác động lên một đầu của thanh beam làm
cho góc nghiêng của thanh thay đổi, từ đó điều chỉnh được vị trí của quả bóng lăn
trên thanh.

CHƯƠNG 2 : PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN
2.1. Điều khiển hai mạch vòng
Hệ thống Ball and Beam bao gồm 2 mạch vòng điều khiển, mạch vòng trong sẽ
điều khiển tốc độ của động cơ bằng bộ điều khiển PI, mạch vịng ngồi sử dụng bộ
điều khiển vị trí để duy trì vị trí của ball. Đầu vào động cơ là điện áp (V) và đầu ra

là góc quay q , đầu vào ball beam là góc quay của beam (θ) và đầu ra là vị trí bóng
(r).

vị trí
đặt

e(t) Ball and
(-)

θ*(t)

Motor PI
controller

beam PID
digital

(-)

θ(t)
Motor

Ball and
beam
system

vị
trí

Đồ án môn học



Bộ điều khiển PI _ điều khiển góc đặt:

KP = 0.15
KI = 0.03
Bộ điều khiển PID _ vị trí viên bi:

Ta có
KP = 1
KI = 0.01
KD = 0.7

Thiết bị tự động


CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM
3.1 Xây dựng mơ hình thực nghiệm.
3.1.1 Giới thiệu các linh kiện của mơ hình
a. Động cơ một chiều 24V


b. Cảm biến góc


c. Nguồn tổ ong 24V

d. Mạch cầu H 10A
d.1.Sơ đồ nguyên lí


d.2. Mạch in
 top layer

 Bottom layer


d.3. Mạch cầu H


e. Arduino


3.1.2 Mơ hình thực hệ thống