Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Tốn học 11 tiếp nối chương trình Tốn 10 bắt đầu từ  phần “Lượng giác”. Việc 
học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn khơng nhỏ cho học sinh 
vì học sinh khơng nắm chắc cơng thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt 
cơng thức lượng giác của học sinh cịn yếu và đặc biệt khả  năng nhận dạng các 
phương trình lượng giác của học sinh cịn hạn chế  đó là một trong những lí do tơi  
chọn sáng kiến kinh nghiệm này. 
2. Tên sáng kiến:  Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường 
gặp
3. Tác giả sáng kiến:
­ Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn
­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch ­ Lập Thạch ­ Vĩnh Phúc
­ Số điện thoại: 0948028536. E_mail: 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018
7. Mơ tả bản chất của sáng kiến:
­ Về nội dung của sáng kiến:
Phần I
ĐẶT VẤN ĐỀ
Cơ sở lý luận:
   ­ Căn cứ vào u cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thơng trung học.
   ­ Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thơng trung học trong việc học 
tập bộ mơn Đại số và giải tích 11.
    ­ Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Tốn học trình bày trong các tài liệu.
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

1


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

    ­ Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo 
khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao).
     ­ Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình tốn 11.
 Cơ sở thực tiễn
     ­ Những thuận lợi và khó khăn trong q trình giảng dạy bộ mơn Đại số và giải 
tích và nhất là phần phương trình lượng giác.
    Mục đích nghiên cứu:
­ Nhằm nâng cao nghiệp vụ chun mơn và rút kinh nghiệm trong q trình giảng 
dạy.
­ `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ơn thi.
a. Kết quả khảo sát đầu năm học
Giỏi
Sĩ 
số
SL
%
11A1 36
03
8,3
11A3 31
0
b. Ngun nhân
Lớp

Khá

SL
%
06 16,7
03
9,6

Trung Bình
SL
%
17
47,2
16
51,6

Yếu
SL
%
06 16,7
06 19,4

Kém
SL
%
04 11,1
06 19,4

* Ngun nhân khách quan
­ Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều.
­ Phân phối chương trình Tốn 11 khơng có tiết ơn tập đầu năm số  tiết học Tốn 
giảm nhiều so với chương trình cũ.

* Ngun nhân chủ  quan
­ Đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn.
­ Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc  
học tốn nói riêng và học tập nói chung .
­ Chưa có phương pháp học để  khắc sâu kiến thức để  từ  đó vận dụng kiến thức 
một cách linh hoạt vào việc giải tốn, kĩ năng tính tốn, kĩ năng giải phương trình 
lượng giác ...cịn yếu.
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

2


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

c.  Các giải pháp thực hiện
Để đạt được kết quả cao trong việc học tốn nhất là chủ đề  “Lượng giác” địi hỏi 
học sinh cần nắm vững  kiến thức từ  thấp đến cao, phải học tốn thường xun  
liên tục, biết quan sát bài tốn và định hướng được phương pháp giải, biết vận 
dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để  từ  đó tiếp thu dể  dàng hơn, thuận 
lợi hơn trong q trình giải tốn góp phần triệt để đổi mới chương trình  mơn Tốn  
trung học phổ  thơng. Trong u cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng 
dạy Tốn  ở  trường THPT với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp 
với kết quả khảo sát đầu năm học trong chun đề này tơi đưa ra giải pháp chính là:  
hệ   thống  lại  “Các  cơng   thức  lượng  giác  liên  quan,  cơng  thức  nghiệm  của  các  
phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải các phương trình lượng giác  
thường gặp đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng cao”  đảm bảo cho tính liên tục 
và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyện và ơn tập.
Phần II
NỘI DUNG
A. CÁC KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN:

 Cơng thức cộng:
 cos(a   b) = cosa cosb + sina sinb

 cos(a + b) = cosa cosb   sina sinb       

 sin(a   b) =  sina cosb   cosa sinb  

 sin(a + b) =  sina cosb + cosa sinb     

  tan( a − b) =

tan a − tan b
     
1 + tantan b

  tan( a + b) =

tan a + tan b
                        
1 − tan a tan b

 Công thức nhân đôi:
 cos2a =  cos2a   sin2a  = 2cos2a   1 = 1   2sin2a   
 sin2a = 2sinacosa  

  tan 2a =

2 tan a
    
1 − tan 2 a

 Công thức hạ bậc:
  cos 2 a =

1 + cos 2a
   
2

  sin 2 a =

1 − cos 2a
    
2

 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1
2

cos ( a + b ) + cos ( a − b ) �
  cosa.cosb = �
�
� 
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

3


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1

2

  sina.sinb  = −  [cos ( a  +  b ) − cos(a − b)]   
1
2

sin ( a + b ) + sin ( a − b ) �
  sin a.cos b = �
�
�    

 Cơng thức biến đổi tổng thành tích:   
  cosa + cos b = 2cos

a+b
a −b
cos
2
2

  sina  +  sinb  =  2sin

a+b
a −b
cos
       
2
2

  cos a − cos b = −2sin

a+b
a −b
sin
  
2
2

  sina  −  sinb  =  2cos

a+b
a −b
sin
   
2
2

 Một số cung liên quan đặc biệt
Cung đối:(cos đối)
* /  sin(− x) = − sin x
* /  tan( − x) = − tan x

Cung phụ:(phụ chéo)
π

Cung bù: (sin bù)
* /  sin(π − x) = sin x
* /  cos(π − x) = − cos x
* /  tan(π − x) = − tan x * /  cot(π − x) = − cot x
Cung khác  π : (khác  π  tang và côtang)

* /  cos( − x) = cos x
* /  cot( − x) = − cot x

π
− x) = sin x
* /  sin( x π ) = − sin x
2
* /  tan( x π ) = tan x
π
* /  cot( − x) = tan x
2
 Phương trình lượng giác cơ bản:

* /  sin( − x) = cos x
2
π
* /  tan( − x) = cot x
2

* /  cos(

* /  cos( x π ) = − cos x
* /  cot( x π ) = cot x

a. Phương trình  sin x = a
        � a > 1 : Phương trình vơ nghiệm
        ţ a 1
x = α + k 2π
sin x = sin α ��

(k
x = π − α + k 2π



)

x = β 0 + k 3600
sin x = sin β 0 ��
(k
x = 1800 − β 0 + k 3600
x = arc sin a + k 2π
sin x = a ��
(k
x = π − arc sin a + k 2π





)

)

f ( x ) = g ( x ) + k 2π

 Tổng quát:  sin f ( x ) = sin g ( x ) ��

f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π

(k



)

* Các trường hợp đặc biệt

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

4


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

π
+ k 2π ( k � )
2
  � sin x = −1 � x = − π + k 2π ( k �
2
� sin x = 0 � x = kπ ( k � )
� sin x = 1 � x =

)

b.Phương trình  cos x = a

       � a > 1 : Phương trình vơ nghiệm
       ţ a 1

cosx = cosα � x = �
α + k 2π ( k �

)

cosx = cosβ � x = �β + k 360 ( k �
0

0

0

cosx = a � x = �arccosa + k 2π ( k �

)

)

 Tổng quát:  cosf ( x ) = cosg ( x ) � f ( x ) = �g ( x ) + k 2π ( k � )
* Các trường hợp đặc biệt

( k � )
� cosx = −1 � x = π + k 2π ( k � )
       
     
π
� cosx = 0 � x = + kπ ( k � )
� cosx = 1 � x = k 2π

2

c. Phương trình  tan x = a

( k � )
         �tan x = t anβ 0 � x=β 0 + k1800 ( k � )
�tan x = a � x = arctan a + kπ ( k � )
    T
  ổng quát:    tan f ( x ) = tan g ( x ) � f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k � )
�tan x = t anα � x = α + kπ

d. Phương trình  cot x = a

( k � )
           �cot x = cot β 0 � x = β 0 + k1800 ( k � )  
�cot x = a � x = arc cot a + kπ ( k � )
    Tổng quát:  cotf ( x ) = cotg ( x ) � f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k � )
�cot x = cot α � x = α + kπ

B.  M ỘT SỐ PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG  GIAC TH
́
ƯỜNG GẶP
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM 
SỐ LƯỢNG GIÁC.
1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

5

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương 
trình có dạng  at + b = 0  (1) trong đó a,b là các hằng số  ( a 0 ) và t là một trong các hàm 
số lượng giác.
Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1)  về các phương trình lượng giác 
cơ bản.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
a )2sin x − 1 = 0; b)cos2 x +

1
= 0; c)3 tan x − 1 = 0; d ) 3 cot x + 1 = 0
2

 Giải

π
x = + k 2π
1
π
6
(k  )
        a) 2sin x − 1 = 0 � sin x = � sin x = sin ��
5π
2
6
x=
+ k 2π
6
1

−1
2π
2π
b) cos2 x + = 0 � cos2 x =
� cos2 x = cos
� 2 x = � + k 2π ( k � )
2
2
3
3
π
                                                     � x = � + kπ ( k � )
3
1
1
c) 3 tan x − 1 = 0 � tan x = � x = arctan + kπ ( k � )
3
3
−1
2π
2π
d)
3 cot x + 1 = 0 � cot x =
� cot x = cot
�x=
+ kπ ( k � )
3
3
3
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2 cos x − sin 2 x = 0  (Phương trình đưa về phương trình  

bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)
Giải          cos x − sin 2 x = 0 � cos x − 2sin x cos x = 0 � cos x ( 1 − 2sin x ) = 0
π
+ kπ
2
cos x = 0
cos x = 0
π
�
�
1 � x = + lπ ( k , l �
1 − 2sin x = 0
6
sin x =
2
5π
x=
+ lπ
6
x=

)

  1.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương 
trình có dạng  at 2 + bt + c = 0 (2), trong đó a, b, c là các hằng số  ( a 0 )  và t là một trong 
các hàm số lượng giác.
    Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ 
bản.

Ví dụ 3: 
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

6


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

      a)  2sin 2 x + sin x − 3 = 0  là phương trình bậc hai đối với  sin x .
      b)  cos 2 x + 3cosx − 1 = 0  là phương trình bậc hai đối với  cos2 x .
      c)  2 tan 2 x − tan x − 3 = 0  là phương trình bậc hai đối với  tan x .
      d)  3cot 2 3 x − 2 3 cot 3 x + 3 = 0  là phương trình bậc hai đối với  cot 3x .
Giải
a ) 2sin x + sin x − 3 = 0(1)
2

Đặt  t = sin x , điều kiện  t 1 . Phương trình (1) trở thành:
2t + t − 3 = 0
2

t = 1 ( nhân )

3
( loai )
2
Với t=1, ta được  sin x = 1 � x = k 2π ( k �
t=

b) cos 2 x + 3cosx − 1 = 0 ( 2 )

)

Đặt  t = cosx , điều kiện  t 1 . Phương trình (2) trở thành:
−3 + 13
( nhân )
2
t 2 + 3t − 1 = 0
−3 − 13
t=
( loai )
2
−3 + 13
−3 + 13
−3 + 13
Với  t =
 ta được  cosx =
� x = �arccos
+ k 2π ( k �
2
2
2
t=

Các câu cịn lại giải tương tự
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

b)7 tan x − 4 cot x = 12

a )3sin 22 x + 7 cos 2 x − 3 = 0

Giải

)

(

)

a )3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 � 3 1 − cos 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0
� 3cos 2 2 x − 7 cos 2 x = 0 � cos 2 x ( 3cos 2 x − 7 ) = 0
cos 2 x = 0
3cos 2 x − 7 = 0

π
π
π
+ kπ � x = + k , ( k � )
2
4
2
7
*) Giải phương trình:  3cos 2 x − 7 = 0 � cos 2 x =
3
7
Vì  > 1  nên phương trình  3cos 2 x − 7 = 0  vơ nghiệm.
3
π
π
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là  x = + k , ( k 
4

2
b)7 tan x − 4 cot x = 12 ( 1)

*) Giải phương trình: cos 2 x = 0 � 2 x =

)

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

7


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

    Điều kiện:  sin x 0 và  cos x 0
    Khi đó: 
1
− 12 = 0 � 7 tan 2 x − 12 tan x − 4 = 0
tan x
Đặt  t = tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t:  7t 2 − 4t − 12 = 0

( 1) � 7 tan x − 4.

Bài tập tương tự
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
        a)  2 cos x − 3 = 0

π

�

�
b)  3 tan 3 x − 3 = 0        c)  2sin �3x + �− 3 = 0
6
�

    Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
 a)  2cos2 x − 3cos x + 1= 0 b)  cos2 x + sin x + 1= 0

�

  c)  2cos2x − 4cos x = 1

� π�
� π�
�
�
�
�
4
2
4
4
 h)  tan x + 2 cot x − 3 = 0         i)  2 cot x − 6 cot x + 4 = 0     k)  sin x − cos x = cos x − 2           

 d)  2sin 2 x + 5sinx – 3  = 0

e)   3 tan 2 x − (1 + 3) tan x =0  g) sin 2  �x − �+ 2cos  �x − �= 1
3
3

  

Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Phương trình nào  sau đây vơ nghiệm? 
A .  3 cos x 1 0 .     B.  3 sin x 4 0 .
C. 3 tan x 1 0 .    D.  cot x
Câu 2. Tim t
̀ ất cả các  nghiêm cua ph
̣
̉
ương trinh:
̀ cos 2 x 3 cos x 2 0 .
A.     x = k 2π

2

0.

.    B.  x = kπ .               C.  x = π + k 2π .    D. x = − π + k 2π .
2

2

Câu3.Tìm  tất cả các  nghiệm  của phương trình:  3 cot(2 x 30 0 ) 3 0 .
A.  x 30 0 k180 0 , k Z . 

k
, k Z .      
2
k 90 0 , k Z .

B.  x 30 0

C.  x 30 0 k 90 0 , k Z .                                D.  x 60 0
 Câu 4. Tìm tập nghiệm T của phương trình .
A.  T
C.  T

3
6

k 2 ; arcsin( 3) k 2 , k
k2 ,k

Z . 

Z .

B.  T

3

D.  T

3

k2 ;
k2 ,k

arcsin( 3) k 2 , k

Z

Z .

             DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx 

asinx   +  bcosx   =  c.

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x  là phương trình có 
dạng  a sin x + b cos x = c  trong đó  a, b, c   và  a 2 + b 2 0
Cách giải:
Ta có thể lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

8


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho  a 2 + b2  ta được:
      

a
a +b
2

Nếu 
Nếu 

2

b

sin x +
c
a + b2
2

a +b
2

2

cos x =

c
a + b2
2

> 1 : Phương trình vơ nghiệm.

c
a 2 + b2

       (hoặc  sin α =

1  thì đặt  cosα =
a
a 2 + b2

� cosα =

a
a 2 + b2
b

� sin α =

a 2 + b2

 Đưa phương trình về dạng:  sin ( x + α ) =
đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

b
a 2 + b2

)
c
a +b
2

2

(hoặc  cos ( x − α ) =

c
a + b2
2

 ) sau 

Chú ý: Phương trình  a sin x + b cos x = c  trong đó  a, b, c   và  a 2 + b 2 0  có nghiệm khi 
c2 a2 + b2 .
C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bíc
x
Bíc 1: Víi cos = 0 � x = π + k 2π (k � ) thử vào phơng trình (1) xem có là
2
nghiệm hay không?
x
0+
x π k 2π ( k Z )
Bíc 2: Víi cos
2
x
2t
1 t2
, cos x =
Đặt t = tan suy ra sin x =
2
1+ t2
1+ t2
Khi đó phơng trình (1) có d¹ng
2t
1− t2
a
+
b
= c � (c + b)t 2 − 2at + c − b = 0 (2)
2

2
1+ t
1+ t
Bíc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:

. sin x + cos x = 0 � x = − + kπ ( k � )
4
π
. sin x − cos x = 0 � x = + kπ (k � ) .
4
Chó ý: Tõ cách 1 ta có kết quả sau
a 2 + b 2 a sin x + b cos x
a 2 + b 2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm
a sin x + b cos x
GTLN và GTNN của các hàm số có dạng y = a sin x + b cos x , y =
c sin x + d cos x
và phơng pháp đánh giá cho một số phơng trình lợng giác .
Gvthchin:NguynThanhNhnTrang

9


PHNGPHPGIIMTSPHNGTRèNHLNGGICTHNGGP

Ví dụ: Giải phơng trình: sin 2 x 3cos 2 x = 3 (1)
Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phơng trình (1) cho 12 + 32 = 10 ta đợc
1
3

3
sin 2 x
cos 2 x =
10
10
10
3
1
= sin ,
= cos . Lúc đó phơng trình (1) viết đợc dới dạng
Đặt
10
10
cos sin 2 x sin cos 2 x = sin α � sin(2 x − α ) = sin x
x = α + kπ
2 x − α = α + k 2π
k 
�
�
π
2 x − α = π − α + k 2π
x = + k
2
Vậy phơng trình có 2 nghiệm
Cách 2:Ta nhận thấy cos x = 0 là nghiệm của phơng trình

0+
x
k , k . Đặt t = tan x ,ta có
-Với cos x �۹

2
2t
1− t2
sin 2 x =
, cos 2 x =
1+ t2
1+ t2
2t
1− t2
−
3
= 3 � 2t − 3(1 − t 2 ) = 3(1 + t 2 ) � t = 3
Phơng trình (1) sẽ có dạng
2
2
1+ t
1+ t
Hay tan x = 3 = tan α � x = α + k , k
Vậy phơng trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phơng trình về dạng
sin 2 x = 3(1 + cos 2 x) � 2sin x.cos x = 6cos 2 x
cos x = 0
tan x = 3 = tan α
�
�
� (sin x − 3cos x)cos x = 0 � �
��
sin x − 3cos x = 0
cos x = 0
�

�
x = α + kπ
�
, k �
π
x = + k
2
Vậy phơng trình có hai họ nghiệm
Bitptngt:
Bitp1:Giicỏcphngtrỡnhsau:
a) sin x + cos x = 1;
b)  3cos 2 x − 4sin 2 x = 1;
        Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a)  2sin x − 2cos x = 2
b)  3sin x + 4cos x = 5c)  3sin( x + 1) + 4cos( x + 1) = 5
d)  3cos x + 4sin x = −5  
e)  2sin 2 x − 2 cos 2 x = 2   g)  5sin 2 x − 6 cos 2 x = 13;(*)
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
� π� 1

h)  sin4 x + cos4 �x + �= (*)
i)  sin x = 3cos x
� 4� 4
Chú ý:  Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại khơng nên 
dập khn q máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài .

       Bài tập trắc nghiệm:                  
1
2

Câu 1. Các nghiệm của phương trình  2 ( sin x + cos x ) = cos 2 x  là:
A. 

3π
+ k 2π , k
2

Z

B.  −

2π
+ kπ , k
3

Z C. 

π
+ k 2π , k
6

Z         D.  −

Câu 2: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm:
A.  3 sin 2 x − cos 2 x = 2
B.  3sin x − 4 cos x = 5

C.  sin x = cos

π
4

π
+ kπ , k Z
4

D.  3 sin x − cos x = −3

Câu 3: Phương trình:  3.sin 3x + cos 3x = −1  tương đương với phương trình nào sau đây:
� π� 1
� π� π
� π� 1
� π� 1
3x − �= −
3x + �=
A.  sin �
B.  sin �3x + �= −
C.  sin �3x + �= −
D.  sin �
6
2
6
6
6
2
6
2

�

�

�

�
�
�
m
Câu 4: Tìm m để pt  sin2x + cos2x  =    có nghiệm là:
2
A.  1 − 5 m 1 + 5 B.  1 − 3 m 1 + 3
C.  1 − 2 m 1 + 2

�

�

D.  0 m 2
Câu 5: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin x  là:
2

A.  x =

π
6

B.  x =

5π
6

C.  x = π

D. 

Câu 6: Tìm m để pt  2sin2x + m.sin2x = 2m vơ nghiệm:
A. 0 < m < 

4
3

B.  0 m

4
3

4
3

C.  m 0; m

π
12

D. m < 0 ;  m

DẠNG 3 :  MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ  

4
3

                   PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 3. 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx       
                                                      a(s inx cos x) + bsinx .cosx = c
Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx  là phương trình có 
dạng  a(s inx cos x) + bsinx .cosx = c  
         Cách giải
1)
 Phương trình chứa tổng và tích  (cịn gọi là phương trình đối xứng theo sin và 
cơsin)
 Dạng phương trình :
 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R) (1)
 Cách giải  : Đặt t = sinx + cosx =  2 sin x

4

t

2

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

11


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
� t 2 = 1 + 2sin x cos x

      

t 2 −1
� sin x cos x =
(*)
2
t2 1
      (1)  at b.
c
2

0

bt 2

2at

2c b

0 (1.1) .

2.
      Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn  t 0
       Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT  sin2x =  t 02 1  để tìm x.
2)
 Phương trình chứa hiệu và tíc h  ( cịn gọi là phương trình phản xứng)
 Dạng phương trình : 
a(sinx ­ cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R ) (2)

 Cách giải  : Đặt t = sinx ­ cosx =  2 sin x

4

t

2

� t 2 = 1 − 2sin x cos x

      

1− t2
(**)
2
1− t2
� at + b.
+c =0
2
      (1) 
.
2
� bt − 2at − 2c − b = 0 (2.1)
� sin x cos x =

      Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn  t 0
       Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT  sin2x = 1­ t 02  để tìm x
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a.  s inx+sin 2 x + cos3 x = 0

2.

3
2
c.  2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx

          b.  sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x

          d.  3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx­sinx ) = 2
a.  s inx+sin x + cos x = 0  . 
2

Giải

3

� s inx+sin 2 x + cos 3 x = 0 � s inx ( 1 + s inx ) + cosx ( 1 − sin 2 x ) = 0
� ( 1 + s inx ) ( s inx+cosx ( 1­sinx ) )

�

t = −1 − 2 < − 2 ( l )
t = 2 −1

π
x = + k 2π
s inx=1
=0�
�
2
sinx+cosx­sinxcosx=0

2
t + 2t − 1 = 0

� π�
� π � 2 −1
� 2 sin �x + �= 2 − 1 � sin �x + �=
= sin α
2
� 4�
� 4�

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

12


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
x =α −

π
+ k 2π
4

(k Z)
3π
x=
− α + k 2π
4
3
sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x

2
b. 
(1)
� ( s inx+cosx ) ( 1 − s inxcosx ) − 1 = 3sin xcosx
Do đó : 

2 ( 1)
Đặt :  t = s inx+cosx; t ���

2
� t 2 −1 �
�t 2 − 1 � �3 − t 2 � 2 + 3 ( t − 1)
t�
1−
�= 1 + 3 �
�� t �
�=
2
� 2 �
�2 � �2 �
t = −1

� t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0 � ( t + 1) ( t 2 + 4t + 1) = 0 � t = −2 − 3 < − 2 ( l ) .
t = −2 + 3

 Do đó phương trình :
� π� 1
� π�
π
sin �x + �=

2 sin �x + �= 1
x = k 2π �x = + k 2π
� 4� 2
� 4�
2
�
�
�
 
π
3π
π � 3−2
� π�
�
x = α − + k 2π �x =
− α + k 2π
2 sin �x + �= 3 − 2
sin �x + �=
= sin α
4
4
� 4�
2
� 4�
s inx 0
π
x k ( *) . Khi đó phương trình 
c.  2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx . Điều kiện : 
cosx 0
2

sinx cosx
1
+
=
� 2 ( s inx+cosx ) s inxcosx=1
(c) trở thành :  � 2 ( s inx+cosx ) =
cosx sinx s inx.cosx
t = s inx+cosx
t
2

Đặt : 

s inxcosx=

t2 −1
2

. Thay vào phương trình ta được :

�t 2 − 1 �
3
3
2
� 2t �
�= 1 � 2t − 2t − 2 = 0 � t − t − 2 = 0 � t − 2 t + 2t + 1 = 0
�2 �
π
� π�
� π�

� t = 2 � 2 sin �x + �= 2 � sin �x + �= 1 � x = + k 2π ( k �Z )
4
� 4�
� 4�

(

)(

)

Thỏa mãn điều kiện .
d.  3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx­sinx ) = 2 . Điều kiện : 

s inx 0
cosx 0

x

k

π
( *) .
2

�cos x sin x
�
�1
�
−

+ s inx­cosx �= 2 + 2sin x �
− 1�
�s inx cosx
�
�cosx �

Khi đó :  � 3 �

1 − cosx � �
�cosx+ s inx � � �
� 3 ( cosx­sinx ) �
− 1�= 2 �
s inx �
�+ 1�
�s inxcosx
� � � cosx � �
�s inx+cosx­sinxcosx �
= 2�
�
cosx
�
�

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

13


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
�cosx+ s inx­sinxcosx � �s inx+cosx­sinxcosx �

� 3 ( cosx­sinx ) �
�− 2 �
�= 0
s inxcosx
cosx
�
� �
�
( cosx+sinx­sinxcosx ) �3 ( cosx­sinx ) − 2 �= 0
�
�
�
cosx
� sinx
�
cosx+sinx­sinxcosx=0
3 ( cosx­sinx ) = 0

π
4

Trường hợp :  cosx­sinx=0 � tanx=1 � x= + kπ ( k �Z )
Trường hợp : sinx+cosx­sinx cosx=0 .
t = s inx+cosx

Đặt :  
�t+

t

2

t2 −1
s inxcosx=
2

Cho nên phương trình : 

t = −1 − 2 < − 2 ( l )
t 2 −1
= 0 � t 2 + 2t − 1 = 0 �
2
t = 2 −1

� π�
� 2 sin �x + �= 2 − 1
� 4�
x =α −

π
+ k 2π
4

� π � 2 −1
� sin �x + �=
= sin α �
( k �Z )
3π
2
� 4�

x=
− α + k 2π
4

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a ) 3 ( sin x + cos x ) + 2sin 2 x + 3 = 0

b) sin x − cos x + 4sin x cos x + 1 = 0

c) sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0

d ) sin 3 x + cos3 x = 1

Bài tập 2: Giải các phương trình sau :
a.  s inx+sin 2 x + cos3 x = 0
c.  2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx

3
2
d.  3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx­sinx ) = 2

b.  sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x

DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx   
                                               a sin 2 x + b sin x.cosx + ccos 2 x = d
Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x  là phương 
trình có dạng  a.sin 2 x + b.sin x cos x + c.cos 2 x = d ( a, b, c 0 )  
Cách giải:
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

14


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

 Cách giải 1
cơsin cùng cung)

: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và 

1 − cos 2 x b
1 + cos 2 x
+ sin 2 x + c
+d =0
2
2
2
               � b sin 2 x + (c − a) cos 2 x = −(2d + a + c) .

         (1) 

 a

   
 Cách giải 2  (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
             Kiểm tra  cos x = 0 có là nghiệm khơng, nếu có thì nhận nghiệm này.
     cos x 0 chia cả hai vế cho  cos 2 x đưa về phương trình bậc hai theo  tan x : 
           ( a − d ) tan 2 x + b tan x + c − d = 0    
Ví dụ: Giải phươngtrình

a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
(1)
b. 4sin2x – 3sinxcosx + ( 3 + 4 ) cos2x = 4
(2)
c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4
(3)
2
2
d. cos x + sinxcosx + 3sin x = 3.
(4)
 GI Ả
   I  
2
2
a. (1)
cos x sin x
3 sin 2 x 1 cos 2 x
3 sin 2 x 1
1
cos 2 x
2

3
sin 2 x
2

1
2

cos 2 x

3

cos

3

b.   +Xét cosx = 0 thì  sin 2 x 1  nghiệm đúng phương trình (2).
 Vậy (2) có nghiệm  x

2

k .

 +Xét  cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho  cos 2 x  và thay 
ăn  

1
cos 2 x

1 tan 2 x  và đặt 

 phụ t = tanx :
 Ta có :  4t 2 3t

3

4

4(1 t 2 )

t

Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là :  x

3
3
2

tan x
k  ;   x

tan
6

6
k

x

k

6

; k

Z

5
3

sin 2 x
(1 cos 2 x ) 3
2
2
7 cos 2 x 5 sin 2 x
7
2
d. +Xét cosx = 0 thì  sin x 1  nghiệm đúng phương trình (2).

c. (3) 

5(1 cos 2 x)

 Vậy (2) có nghiệm  x

2

k .

 +Xét  cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho  cos 2 x  và thay 
ẩn  phụ t = tanx :

1
cos 2 x

1 tan 2 x  và đặt 

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

15

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

 Ta có : 1 t 3t 2 3(1 t 2 ) t 2 tan x 2
Bài tập tương tự:
Bài tập 1:  Giải các phương trình sau:

(

)

a ) 3sin 2 x + 8sin x cos x + 8 3 − 9 cos 2 x = 0
c) sin 2 x + sin 2 x − 2cos 2 x =

x

arctan 2 k

b) 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2cos 2 x = 4

(

1
2

)

d ) 2sin 2 x + 3 + 3 sin x cos x +

(

)

3 − 1 cos 2 x = − 1

Phư ơ n g  trìn h  th u a à n  nha á t  ba ä c  ca o  th e o  sin  va ø  co â s i n  
cù n g  m o ä t  cun g
Ví dụ 1: Giải phương trình:  tan x sin x cos x cos 2 x  (1)
Giải cách 1: 
+ĐK:  x

2
sin x

m .

+(1) 
sin x cos 2 x cos 3 x   (*)    (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT. (vì  1 0  ; vơ lý)
+cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
   tan x(1 tan 2 x) tan x 1
Giải cách 2:
(*)  sin x(1 cos 2 x)
    

   tan 3 x

1

tan x

t3

cos 3 x
1

x

1

t

1

4

1

x

4

k  (t = tanx)

cos 3 x       (**)

sin 3 x
k

tan x

  

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tơi minh họa lại như 
sau:
 (**) sin 3 x cos 3 x 0 (sin x cos x)(1 sin x cos x) 0 (sin x cos x)(2 sin 2 x) 0
   

sin x cos x

0

tan x

1

x

4

k

. 

       Ví dụ 2 :  Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp 
        bậc 4)
Giải cách 1:
               + cosx = 0 thì sinx =  1  khơng nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx  0
               + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:

                           t 2 4t 3 0 t 1 t 3
Giải cách 2:
(4)  (3 cos 4 x 3 sin 2 x cos 2 x) (sin 2 x cos 2 x sin 4 x) 0
3 cos 2 x(cos 2 x sin 2 x) sin 2 x(cos 2 x sin 2 x)

0

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

16


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
cos 2 x (3 cos 2 x sin 2 x )

cos 2 x

0

0

tan x

3

Ví dụ 3: Giải phương trình :  sin 6 x cos 6 x cos 2 2 x sin x cos x  (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi :  sin 6 x cos 6 x (sin 2 x cos 2 x)(sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x)
                                            =  sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x
Và biến đổi :  cos 2 2 x (cos 2 x sin 2 x) 2 cos 4 x sin 4 x 2 sin 2 x cos 2 x

Thì PT (5)  sin 2 x cos 2 x sin x cos x 0    (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn 
giản
+ Nếu từ PT:  sin 6 x cos 6 x (cos 2 x sin 2 x) 2 sin x cos x  (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình:
t

 (Với t = tanx )   t 5 t 4 2t 3 t 2 t 0
   Khi đó PT (5.1)

t2

t

 PT (5.2) đặt ẩn phụ   u t

2

1
t

1
t2

0

t4

t3

2t 2

t

1
t

2

1
 thì được PT bậc hai  u 2
t

u

0

0

t2

1
t2

t 1 0 (5.1)
0  (5.2)
u

0 u

1.

Trở lại với ẩn t thì các PT này vơ nghiệm.
 + Với t = 0  tan x 0 x k .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng  cấp bậc 6 nên:
x

2

k  cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =

k
 phù hợp với 
2

mọi cách giải.
Bài tập tương tự:
1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
 (đẳng cấp 
bậc 3)
2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0               (đẳng cấp bậc 3)
4) Giải phương trình :  sin 3 x − cos 3 x = sinx + cosx                 (đẳng cấp bậc 3)
        5) Giải phương trình  :  3 (sin 3x cos x) cos 3x sin x      (đẳng cấp bậc 3)     
        6) Giải phương trình :  3 (cos 3x sin x) sin 3x cos x       (đẳng cấp bậc 3)
        7) Giải phương trình :  sin 3 x + cos3 x = sinx − cosx                 (đẳng cấp bậc 3)        
        8) Giải phương trình : 4 (sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2          (đẳng cấp bậc 4)       
        9) Giải phương trình :  8 sin 6 x cos 6 x 3 3 sin 4 x 2       (đẳng cấp bậc 6)
       10) Giải phương trình :  sin 6 x + cos 6 x = 2cos 2 x − 1                (đẳng cấp bậc 6)
Bài tập trắc nghiệm :

Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x  là:

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

17


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

sin 3x
= 0  thuộc đoạn  [ 2π ; 4π ]  là:
cos x + 1
A.  2
   B.  4               C.  5                 D.  6
Câu 3.  Phương trình  2sin 2 x − 2sin x cos x + cos 2 x = 1  có nghiệm là:

Câu 2:  Số nghiệm của phương trình 

π
B.  x = kπ � x = k 2π
+ k 2π � x = kπ
6
π
π
 C .   x = + kπ � x = k
                                                D. Đáp án khác.
8
2
Câu 4. Phương trình  6sin 2 x + 7 3 sin 2 x − 8cos 2 x = 6  có các nghiệm là:
π

π
π
3π
x = + kπ
x = + kπ
x = + kπ
x=
+ kπ
2
4
8
4
A. 
B. 
C. 
D. 
π
π
2π
π
x = + kπ
x = + kπ
x=
+ kπ
x = + kπ
6
3
3
12
A.  x =

Câu 5. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x ­ 1.

π
π
+ k 2π    B)  x = π + k 2π      C)  x = kπ    D)  x = + kπ
2
2
Câu 6.  Phương trình  sin8 x − cos6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x )  có các họ nghiệm là:
π
π
π
π
x = + kπ
x = + kπ
x = + kπ
x = + kπ
3
5
8
4
A. 
B. 
C. 
D. 
π
π
π
π
π

π
π
π
x= +k
x= +k
x= +k
x= +k
12
7
6
2
7
2
9
3
A) x =

DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Cách giải 
+ Dùng các cơng thức biến đổi về các phương trình đã biết 
+ Đưa về phương trình tích.
+ Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số
2
2
+ Áp dụng tính chất:   A + B = 0

A M

+ Áp dụng tính chất:   �B N

( hay A
( hay B

A+ B = M + N

A=0
B=0
M)
N)

A=M
�
B=N

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

18


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A M
+ Áp dụng tính chất:   �B M
A= B

A=M
�
B=M

Bài  1: Giải phương trình   sin 3 x sin 2 x 2 cos x 2 0                                       (1)

Giải : (1)  (1 cos x)(sin x cos x sin x cos x 1) 0
                    

x

cos x 1
sin x cos x sin x cos x 1 0

x

k2
k
2

Bài tập áp dụng: 
Bài tập 1: Giải các phương trình:
a) cosxcos7x = cos3xcos5x                (1)

b) sin2x + sin4x = sin6x          (2)

c)  sin 2 4 x + sin 2 3x = sin 2 2 x + sin 2 x       (3) d)  sin 3 x + cos3 x = cos 2 x       (4)
Chú ý: Dùng các cơng thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, cơng thức nhân đơi, 
cơng thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.
Giải: 
a)

1
2

1

2

( 1) � ( cos8 x + cos6 x ) = ( cos8 x + cos 2 x )

Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

� cos6 x = cos 2 x

� x=k

π
4

( k �Z )

a ) cos5 x cos 4 x = cos3 x cos 2 x

b) sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos3 x

c) sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x = 0

d ) tan x + tan 2 x = tan 3 x

Giải tương tự như bài tập 1
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a ) sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3 x sin 2 4 x

2

b) sin 4 x + cos 4 x =

3 − cos 6 x
4

c) 2 cos 2 4 x sin10 x 1

Cách giải: Dùng cơng thức hạ bậc để biến đổi
Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:
a ) ( 1 + sin 2 x ) ( 1 − tan x ) = 1 + tan x

b) tan x + tan 2 x = sin 3 x cos x

c) tan x + cot 2 x = 2cot 4 x

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

19


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
b) 3 + 2sin x sin 3 x = 3cos 2 x

a ) sin x = 2 sin 5 x − cos x
c) 2sin x cos 2 x − 1 + 2cos 2 x − sin x = 0

Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x

Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x
 Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Nghiệm của phương trình  sin ( π cos x ) = 1  là:
A.  x =

π
π
π
π
+ k 2π , k Z  B.  x =
+ kπ , k Z    C. x =
+ k 2π , k Z     D.  x = + kπ , k Z
6
4
3
2

Câu 2. Phương trình 

3
2

cos x

= 3tan x + 3 có nghiệm là:

π
π
+ kπ ,  x = − + kπ
2

6
π
C.  x = kπ ,  x = + kπ
3
A.  x =

π
π
+ k 2π ,  x = + kπ
2
6
−π
π
+ kπ ,  x = − + kπ
D.  x =
2
3
B.  x =

Câu 3. Cho phương trình  cos5 x cos x = cos 4 x cos 2 x + 3cos 2 x + 1 . Các nghiệm thuộc 
khoảng  ( −π ;π ) của phương trình là:
A.  −

2π π
π 2π
,                            B.  − ,
3 3
3 3

    C.  −

π π
,
2 4

D.  −

sin 3 x
= 0  thuộc đoạn  [ 2π ; 4π ]  là:
cos x + 1
   B.  4               C.  5                 D.  6

π π
,
2 2

Câu 4. Số nghiệm của phương trình 

A.  2
Câu 5: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ  của pt  sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự 
là:
A.  x = −

π
π
π
2π
π
π
; x =        B.  x = − ; x =

    C.  x = − ; x =
18
6
18
9
18
2

D.  x = −

π
π
;x =  
18
3

DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC – 
                      THPTQG
KD­2002: Tìm  x

[ 0;14]  nghiệm đúng pt:  cos3x − 4cos2 x + 3cos x − 4 = 0

KB­2002:  sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x

�
�

sinx +
KA­2002: Tìm nghiệm thuộc  ( 0;2π )  của pt:  5 �

cos3x + sin 3 x �
�= cos2 x + 3
1 + 2sin 2 x �

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

20


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

π� 2
x
tan x − cos 2 = 0
�
4�
2
2
KB­2003:  cotx − t anx + 4sin 2 x =
sin 2 x
cos2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
KA­2003:  cotx − 1 =
1 + t anx
2
KD­2004:  ( 2cos x − 1) ( 2sinx + cos x ) = sin 2 x − sinx
�x
�2

2
KD­2003:  sin � −

KB­2004:  5sin x − 2 = 3 ( 1 − sinx ) tan 2 x
KA­2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)

� π� � π�3
.sin �
3 x − �− = 0
�
4� 2
� 4� �
KB­2005: 1 + sinx + cos x + sin 2 x + cos2 x = 0
KA­2005:  cos 2 3 x.cos2 x − cos 2 x = 0
KD­2006:  cos3 x + cos2 x − cos x − 1 = 0
x�
�
1 + t anx.tan �= 4
KB­2006:  cotx + sinx �
2�
�
4
4
KD­2005:  cos x + sin x + cos �x −

 KA­2006: 

2 ( cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
2 − 2sinx

=0

2

x�
� x
KD­2007:  �
sin + cos �+ 3 cos x = 2           
2�
� 2
KB­2007:  2sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
2
2
KA­2007:  ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x
CĐ­2008:  cos3 x − 3 cos3 x = 2sin 2 x

KD­2008:  2sin ( 1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2cos x
KB­2008:  sin 3 x − 3 cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x

1
+
KA­2008:  sin x

1
� 3π
sin �x −
� 2

�7π
�

= 4sin � − 4 �
�
�4
�
�
�

CĐ­2009:  ( 1 + 2sin x ) cos x = 1 + sin x + cos x
2

KD­2009:  3 cos5 x − 2sin 3x.cos 2 x − sin x = 0

(

3
KB­2009:  sin x + cos x.sin 2 x + 3 cos3 x = 2 cos 4 x + sin x

)

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

21


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

KA­2009: 

( 1 − 2sin x ) cos x
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )

= 3

KD­2010:  sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0

KB­2010:  ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2cos 2 x − sin x = 0

π�
�
� 4 �= 1 cos x
1 + tan x
2
sin 2 x + 2cos x − sin x − 1
=0
KD­2011: 
tan x + 3
KB­2011:  sin 2 x.cos x + sin x.cos x = cos 2 x + sin x + cos x
1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x.sin 2 x
KA­2011: 
1 + cot 2 x
KD­2012:  sin 3 x + cos3 x − sin x + cos x = 2 cos 2 x
�
1 + sin x + cos 2 x ) sin �x +
(
KA­2010: 

(

)

KB­2012:  2 cos x + 3 sin x cos x = cos x − 3 sin x + 1
KA­2012:  3 sin 2 x + cos 2 x = 2cos x − 1
�
�

π�

KA­2013:  1 + tan x = 2 2 sin �x + �                 KB­ 2013:  sin 5 x + 2 cos 2 x = 1                 
4
�

�π
�
KD­2013:  sin 3 x + cos 2 x − sin x = 0                     CĐ – 2013:  cos �2 − x �+ sin 2 x = 0
�

�

KA­ 2014 :  sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x
THPTQG­2015 Tính giá trị của biểu thức  P = ( 1 − 3 cos 2α )( 2 + 3 cos 2α )  biết  sin α =
THPT QG ­ 2016 Giải phương trình:  2 sin 2 x + 7 sin x − 4 = 0 .

2
3

Phần III
KẾT LUẬN
Phương trinh l
̀ ượng giác la môt nôi dung quan trong trong ch

̀ ̣
̣
̣
ương trinh môn Toan
̀
́ 
lơp 11 noi riêng va bâc THPT noi chung. Vi vây, ban thân tôi rât chu trong khi day
́
́
̀ ̣
́
̀ ̣
̉
́
́ ̣
̣  
phân nay cho hoc sinh. 
̀ ̀
̣

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

22


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Trên đây la mơt sơ kinh nghiêm cua ban thân khi day ph
̀ ̣ ́
̣

̉
̉
̣
ương trinh l
̀ ượng giác cho  
hoc sinh. Tuy b
̣
ản thân rât cơ găng tim toi hoc hoi, nh
́ ́ ́
̀ ̀ ̣
̉
ưng chăc hăn bai viêt con nhiêu
́ ̉
̀ ́ ̀
̀ 
han chê, mong cac thây cơ chân tinh gop y va bơ sung.
̣
́
́
̀
̀
́ ́ ̀ ́
TAI LIÊU THAM KHAO
̀
̣
̉
1) Sach giao khoa Đai sơ và gi
́
́
̣ ́

ải tích 11 cơ ban va nâng cao ­ 
̉
̀
Nha xt ban Giao duc
̀ ́ ̉
́ ̣ .
2) Bao Toan hoc tuôi tre ­ 
́
́ ̣
̉
̉ Nha xuât ban Giao duc
̀ ́ ̉
́ ̣ .
3) Cac đê thi Đai hoc ­ Cao đăng – THPT QG cac năm.
́ ̀
̣
̣
̉
́
4) Giải tốn Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng ­ Nha xt ban Giao duc.
̀ ́ ̉
́ ̣
­  Về  khả  năng áp dụng của sáng kiến:   Sáng kiến có thể  sử  dụng làm giáo án 
giảng dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường.
8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:    
Trình độ  chun mơn: Nắm vững các kiến thức cơ  bản của phần lượng giác và có 
phương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Cơ  sở  vật chất: Lớp học có đầy đủ  các trang thiết bị  cần thiết cho q trình học  
tập. 

10. Kết quả đạt được :
  Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác  thường gặp và các phương 
pháp giải phù hợp. Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tơi thu 
được kết quả cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
Sĩ 
Lớp
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1 36
03
8,3
06 16,7
21
58,3 04 11,1 02
5,6
11A3 31

0
03
9,7
20
64,5 05 16,1 03
9,7
11. Danh sách những tổ  chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử  hoặc áp dụng  
sáng kiến lần đầu :
TT Tên tổ chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

l

11A1

2

11A3

Trường   THPT   TriệuĐ
  ại số và giải tích
Thái – Vĩnh Phúc

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

23

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Lập Thạch, ngày     tháng      năm 2018
Thủ trưởng đơn vị

Lập Thạch, ngày 25 tháng 10 năm 2018
Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thanh Nhàn

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang

24