Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
THPT: Trung học phổ thông
HSG: Học sinh giỏi
BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi
SK: Sáng kiến
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
BT: Bài tập
NC: Nâng cao
CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát.
CSC: Cấp số cộng
CSN: Cấp số nhân
CMR: Chứng minh rằng
CM: Chứng minh
BĐT: Bất đẳng thức

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 1


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:

“Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cđa d·y
sè cho bëi hƯ thøc truy håi”
I.

LỜI GIỚI THIỆU:
Bài tốn tìm giới hạn của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài

tốn khó, địi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính tốn. Bài tốn này thường xuất hiện
trong các đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế.
Các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn cịn rất hạn chế; Và hơm
nay, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho các em
học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi tốn và u thích tốn có thêm một tài
liệu tham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, tơi đã nghiên cứu và
hồn thành SK nho nhỏ của mình với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy
số cho bởi hệ thức truy hồi”.
II. TÊN SÁNG KIẾN:
Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Lan
- Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại: 0978 205 898
- Email:
IV. CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 2


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi:
Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi cơng thức
truy hồi - Đại số & giải tích 11.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018
VII.

MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:

 GIÚP HỌC SINH CĨ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY
SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.

 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:
Trong q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và
đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy
hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tơi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây:
A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác
định CTSHTQ của dãy số.
B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass.
A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:
1. Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ un của dãy số.
2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các
số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ un

Bước 2: Tính giới hạn của dãy số  un  bằng cách tính lim un  ?
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 3


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1:


u1  3
Tính giới hạn của dãy số  un  cho bởi: 
2

un1  1  un ; n  1

Phân tích: Ta nhận thấy: u1  3  9  1  8 ; u2  10  2  8 ; u3  11  3  8 ;

u4  12  4  8 ; u5  13  5  8  Dự đoán: un  n  8
Lời giải:
* Chứng minh un  n  8 (HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp).
* Tính giới hạn của dãy số  un  : Ta có: lim un = lim n  8  
Ví dụ 2:

u1  1
Tính giới hạn của dãy số  un  cho bởi: 

un1  un  3; n  1
Phân tích: Nhận thấy: un1  un  3; n  1 nên dãy số  un  là một CSC  un  ?
Lời giải:

u1  1
* Do 
nên dãy số  un  là một CSC có số hạng đầu u1  1 và công
un1  un  3; n  1
sai d = 3, do đó dãy số  un  có CTSHTQ là un  u1   n  1 d  un  3n  4
* Tính giới hạn của dãy số  un  : Ta có: lim un = lim  3n  4   

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 4


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Tốn 11

Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007)

u1  10

Cho dãy số  un  xác định bởi: 
1
un1  5 un  3, n  1
a) CMR dãy số  vn  xác định bởi vn  un 

15

là một CSN
4

b) Tính lim un

Phân tích:
- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm lim un thì bài tốn trở nên rất
khó và lạ đối với học sinh.
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số  un  nhờ
vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để
tính lim un .
- Vấn đề đặt ra là nếu khơng có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt:

vn  un 

15
để chứng minh dãy  vn  là một CSN?
4

Thực ra vấn đề này khơng q khó. Để chứng minh dãy  vn  xác định bởi công
thức vn  un 

15
1
là một CSN, với un1  un  3 (1), ta cần tìm số b sao cho
4
5

1
1

1
15
un1  b  (un  b)  un1  b  b  un (2). Từ (1) và (2) suy ra: b  .
5
5
5
4
Do vậy, nếu đặt vn  un 

15
1
thì vn1  vn , n  1 nên  vn  là một CSN
4
5

u1  A
- HS có thể áp dụng phân tích này với các bài tốn tương tự: 
,
u

B
.
u

C
,

n

1

n
 n1
với A, B, C là các số thực.
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 5


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Tốn 11

- Ngồi ra, có thể đặt vn  5n.un , n  1 , khi đó ta có vn1  vn  3.5n1 , n  1 . Suy ra

v 15 5n  1 35 1  1 
15
vn  (5n  1)  35  un  nn  . n  n   
4
5
4 5
5
45

n 3



15
4

Lời giải:
a) Thật vậy, ta có: vn1  un1 

15 1
15 1
15 3 1
 un  3   (vn  )   vn .
4 5
4 5
4
4 5

Vậy  vn  là một CSN có cơng bội q 

Do đó vn  v1.q

n 1

25  1 
 . 
4 5

n 1

15 25
1
và có số hạng đầu v1  u1  
.
4
4

5

1 1
 . 
4 5

n 3

15 1  1 
b) Từ câu a) suy ra un  vn   . 
4 4 5

n 3



15
.
4

 1  1 n2 15  15
15 

Do đó lim un  lim  vn    lim  .     .
4
4  4

 4  5 
Ví dụ 4:

u1  2
Tính giới hạn của dãy số  un  xác định bởi: 
un1  2un  1; n  1

Phân tích:
- Ta nhận thấy: Dãy số

 un 

u1  2
xác định bởi: 
có dạng:
u

2
u

1;
n

1
n
 n1

u1  A
, với A, B, C 

u

B

.
u

C
,

n

1
n
 n1

nên áp dụng phân tích trong Ví dụ 3 thì HS

có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 6


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Tốn 11

- Có: un1  2un  1 (1), ta cần tìm số b để un1  b  2(un  b)  un1  2un  b (2). Từ
(1) và (2) suy ra: b  1 . Vậy ta sẽ đặt vn  un  1 để giải quyết bài toán trên.
Lời giải:
Đặt: vn  un  1  vn1  un1  1  2un  2  2(un  1)  2vn . Suy ra dãy số  vn  là một
CSN có cơng bội q  2 và có số hạng đầu v1  u1  1  1  vn  v1.q n1  2n1

 un  vn  1  2n1  1 . Do đó lim un  lim  vn  1  lim  2n1  1   .
Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007)

u  3
Cho dãy số  un  xác định bởi:  1
2un1  un  1, n  1
Đặt Sn  u1  u2  u3  ...  un ; n  1
a) CMR dãy số  vn  với vn  un  1 là một CSN lùi vô hạn
b) Tính limSn

Lời giải:
1
1
1
1
a) Ta có vn1  un1  1  un   1  (un  1)  vn , n  1
2
2
2
2

1
1
Suy ra dãy số  vn  là một CSN lùi vô hạn với công bội q = . Nên vn   
2
2
1
b) Từ câu a) suy ra un  vn  1   
2

n2

 1, n  1

1
1
Vậy: Sn   uk   ( )k 2  n  4  n   
2
k 1
k 1 2
n

n

n2

n2

n2

1 
 limSn = lim  4  n      
 2  


Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy  un  bằng phép đổi biến: vn  2n.un , n  1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 7

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Tốn 11

1
1
Ta có vn1  2n1.un1  2n1 ( un  )  vn  2n , n  1  vn1  vn  2n , n  1
2
2
Do đó vn  vn  vn1  vn1  vn2  ....  v2  v1  v1  2n1  2n2  ...  2  6
Hay vn  2(2

n 1

1
 1)  6  2  4  un  1   
2

n2

n

Ví dụ 6: (BT 4.73/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 143/NXBGD 2007)

u1  1

Cho dãy số  un  , xác định bởi: 
un  4

un1  u  6 , n  1
n

a) CMR: un  4, n  1
b) CMR: Dãy  vn  với vn 

un  1
là một CSN. Tính lim un
un  4

Lời giải:
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un  4, n  1.
Khi n = 1 ta có u1  1  4 . Đúng
Giả sử uk  4, k  1 , ta chứng minh uk 1  4 . Thật vậy, giả sử ngược lại uk 1  4 ,
khi đó

uk  4
 4  uk  4 , trái với giả thiết quy nạp. Vậy un  4, n  1
uk  6

b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi n  1 . Ta có:

un  4
1
un1  1 un  6
2(un  1) 2
vn1 


 vn , n .

un1  4 un  4  4 5(un  4) 5
un  6
Vậy  vn  là một CSN lùi vô hạn với công bội q =

u 1 2
2
 .
và số hạng đầu v1  1
u1  4 5
5

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 8


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

n

n

2
2
4.    1
4.    1
n
5

5
2
Suy ra vn    nên un    n . Do đó lim un  lim   n  1
5
2
2
1  
1  
5
5
Ví dụ 7:

u1  1

Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi: 
1
u

u

, n  1
n

1
n

n(n  1)


Phân tích:

u1  1

- Nhận thấy dãy số  un  , xác định bởi: 
không có dạng:
1
u

u

,

n

1
n
 n1
n(n  1)


u1  A
, với A, B, C 

un1  B.un  C , n  1

nên ta khơng thể áp dụng các ví dụ trên để

giải quyết bài toán này.
Để ý rằng: Từ un1  un 

1
1
 un1  un 
nên suy ra:
n(n  1)
n(n  1)

1
1
 1
1.2
2
1
1 1
u3  u2 
 
2.3 2 3
1 1 1
u4  u3 
 
3.4 3 4
...
1
1
1
un1  un2 


 n  2  . n  1 n  2 n  1
u2  u1 

un  un1 

1
1
1


 n  1 .n n  1 n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 9


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Cộng vế theo vế ta được: un  u1  1 

Toán 11

1
n

 un  u1  1 

1
1
 2
n

n

- Từ Ví dụ 7 ta có thể áp dụng với bài tốn tổng qt khi cho dãy số  un  , xác định


u1  A
bởi công thức dạng: 
, với A
u

u

P
n
,

n

1



n
 n1

; P  n  là đa thức ẩn n.

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: un1  un 

1
1
1
1
 un1  un 
 
n(n  1) n n  1
n(n  1)

 un  un  un1  un1  un2  .....  u2  u1  u1


1
1
1
1
1 1
1
 

 ......    1  2 
n 1 n n  2 n 1
1 2
n

1

Do đó lim un  lim  2    2
n


Ví dụ 8:

u1  1
n
Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi: 
1
un1  un    , n  1
2


u1  1
n
Phân tích: Dễ thấy dãy số  un  , xác định bởi: 
có dạng:
1
un1  un    , n  1
2



u1  A
nên cách giải quyết bài tập này giống với Ví dụ 7


un1  un  P  n  , n  1

1
Lời giải: Ta có : un1  un   
2

n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 10


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

1
 un  un  un1  un1  un2  .....  u2  u1  u1   
2

n 1

1
 
2

n2

1

1
 .....     1
 2

1

n 1
1  ( )n
  1 n1 
1
2
 un 
 2     lim un  lim  2      2
1
2
  2  
1
2
4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1:

u1  5
Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi: 

2
u

un  6, n  1
n

1

3
(ĐS: lim un = -18)
Bài 2:

u1  a; a 
Tính giới hạn của dãy số  un  , xác định bởi: 
1
un1  2 un  1, n  1

(ĐS: lim un  2 )
Bài 3:

u1  3
u
Cho dãy số  un  xác định bởi 
. Tính lim 2nn
2
un1  4un  1, n  1
(ĐS: lim

un 2
 )
22 n 3

Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)

Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: un  2  2  ....  2
(n dấu căn

; n  1 ). Tính lim

u1.u2 ....un
2n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

un

2

Trang 11


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Hƣớng dẫn: Ta có:

u1  2  2.cos


4

 2.cos


22

u2  2  2  2  2.cos









 2  1  cos   2.2.cos2  2.cos  2.cos 3
4
4
8
8
2


u3  2  2  2  2  2.cos
....  un  2 cos


2 n1








 2  1  cos   2.2.cos2
 2.cos  2.cos 4
8
8
16

16
2


, n 

Từ đó tính được: lim

u1.u2 ....un 2

2n


Bài 5:

Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: un  2n. 2  2  ....  2
(n dấu căn

; n  1 ). Tính lim un
(ĐS: lim un   )

2SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
B - KĨ THUẬT 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦAuDÃY
(ĐS: lim 2nn  )
2 PHÁP
3 ĐÁNH GIÁ & NGUYÊN LÍ
HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƢƠNG
KẸP
1. Mục đích:
Tìm giới hạn của dãy số Vn  bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa.

Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tích
NC/Trang 153/NXBGD2007)

U n  Vn  Wn ; n
 limVn  a
Cho 3 dãy số (Un), (Vn), (Wn) sao cho: 
limU n  lim Wn  a
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 12


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Chứng minh: vn  un  w n , n  n0 ; n, n0 

bằng phương pháp quy

nạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét.
Bước 2: Chỉ ra : lim vn  lim wn  a , kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới
hạn của dãy số  vn  cho bởi hệ thức truy hồi.
3. Một số ví dụ:

Ví dụ 1: (BT2/SGK/Đại số & Giải Tích 11/Trang 121/NXBGD 2007)

Biết dãy số  un  thỏa mãn un  1 

1
; n . Chứng minh rằng lim un  1
n3

Phân tích:
- Ta có: un  1 

1
1
1
; n   3  un  1  3 ; n
3
n
n
n

- Coi như: Dãy U n  , U n  

1
1
; dãy Vn  , U n  un  1 ; dãy  Wn  , Wn  3
3
n
n

1
 1
- limU n  lim   3   0;lim Wn  lim 3  0  limVn  lim  un  1  0  lim un  1
n
 n 

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: un  1 

1
1
1
; n   3  un  1  3 ; n
3
n
n
n

1
 1
Mà lim   3   0;lim 3  0  lim  un  1  0  lim un  1 (Theo ngun lí kẹp)
n
 n 
Nhận xét: Ta có thể trình bày cách khác: un  1 
Mà lim0  0;lim

1
1
;

n

0

u


1

; n
n
n3
n3

1
 0  lim un  1  0 (Theo nguyên lí kẹp)
n3

 lim un  1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 13


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Tốn 11

Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007)

1

u1 


4
Cho dãy số  un  xác định bởi : 

u  u 2  un , n  1
n 1
n

2

1
a) CMR: 0  un  , n
4

b) CMR:

un1 3
 , n . Tính lim un
un
4

Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy  un  sẽ gặp nhiều khó
khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và ngun lí kẹp thì bài toán được
giải quyết rất đơn giản.
Lời giải:
a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 0  un , n

1
* Chứng minh un  , n bằng phương pháp quy nạp:
4
Với n = 1 ta có: u1 

1 1
 . Đúng

4 4

1
4

1
4

Giả sử BĐT uk  ; k  1 đúng, ta cần chứng minh BĐT uk 1  ; k  1 cũng đúng
1
4

Thật vậy: Do 0  uk   uk 2 

u
1
1
u
1 1 3 1
và k  nên uk 1  uk 2  k    
16
2 8
2 16 8 16 4

1
4

Vậy 0  un  , n
b) Từ câu a) suy ra un1  un  1  1  1  3 , n
un

2

4

2

4

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 14


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

u u
u
3 3
3
1 3
Do đó ta có 0  un  n . n1 ...... 2 .u1  . ..... .u1  .  
un1 un2
u1
4 4
4
4 4

1 3
Mà lim0  0;lim .  

4 4

Toán 11
n 1

, n

n1

 0 , nên theo nguyên lí kẹp thì lim un  0

Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007)

1

u1  2
Cho dãy số (un) xác định bởi 
u  un , n  1
n 1
n 1

a) CMR: un  0 và

un1 1
 , n
un
2

b) Tính lim un
Hƣớng dẫn:

a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un  0, n
Từ hệ thức truy hồi ta có

un 1
1
1

 , n  1
un
n 1 2
n

u u
u
1 1
1 1 1
b) Từ câu a) ta có : 0  un  n . n1 ....... 2 .u1  . ..... .    , n  1
un1 un2
u1
2 2
2 2 2
n

1
Mà lim0  0;lim    0 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0
2
Ví dụ 4: (BT 4.11/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 135/NXBGD2007)

u1  10
Cho dãy số (un) xác định bởi 

. Tính lim un
u

u
,

n

1
 n1
n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 15


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Hƣớng dẫn:
Dễ ràng chứng minh được un  1; n bằng phương pháp quy nạp toán học.
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có un1  un  1.un 
“=” khơng xảy ra vì un  1; n . Do đó un1 

1  un
. Tuy nhiên dấu
2

1  un
u 1
, n  un1  1  n , n (*)
2
2

Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có:

0  un  1 

Mà lim( 1 

un1  1 un2  1
u 1
9
9

 ....  1 n1  n1 , n  1  1  un  1  n1 , n  1
2
2
2
2
2
2

9
) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1
2n1

Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007)

u1  a

u 1
Cho dãy số (un) xác định bởi : 
, (với – 1 < a < 0)
un1  n
 1, n  1

un 2  1

a) CMR: 0  un1  1 

1
a2  1

(un  1), n  1

b) Tính limun

lim un
Hƣớng dẫn:
Dễ dàng chứng minh được: 1  un  0, n bằng chứng minh quy nap.


un  1
un  1
1  un  1  0, n
u



1

 1  un , n  1
Từ đó suy ra 

n

1
2
2
1
u

1

1
un  1

 n
Do đó dãy (un ) là dãy giảm  1  un  un1  ....  u1  a  0, n  1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 16


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

 un 2  a 2  un 2  1  a 2  1 

un  1

Nên 0  un1  1 

 0  un  1 

un  1
2

1
a2  1

1
un  1
2



1
a2  1

(un  1), n  1
2

 1 
 1 
(un1  1)  
(un2  1)  ....  



2
2
a2  1
 a 1 
 a 1 
1

 1 
Hay 1  un  

2
 a 1 

Vì 0 



Tốn 11

n 1

(u1  1), n  1

n 1

.(a  1)  1, n  1

n 1



 1 
  1 .
 1  lim (a  1) 

1

2


a2  1
a

1



1

Do đó theo ngun lí kẹp ta được limun = -1
4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)

u1  1

Cho dãy số  un  , xác định bởi: 
1
un1  un  n , n  1
2


a) CMR un1  un 

1
, n  1
2n1

b) Tính lim un

(ĐS: lim un = 1)

Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)


un  0
Cho dãy số  un  , xác định bởi:  2

un  un  un1 , n  1

1
a) CMR un  , n  1
n
b) Tính lim un

(ĐS: lim un  0 )

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 17

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Bài 3: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)

1

u

0

2
Cho dãy số  un  xác định bởi 
u  u  1 u 2 , k  0, n  1
k
k
 k 1
n
a) CMR: 1 

1
 un  1
n

b) Tính lim un

(ĐS: lim un  1 )

C – KĨ THUẬT 3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY

HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TIÊU CHUẨN (ĐỊNH LÍ) WEIERSTASS
1. Mục đích:
Tìm giới hạn của dãy số  un  bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Weierstass.
Nội dung tiêu chuẩn Weierstass (Định lí 4/SGK Đại số & Giải tích NC/Trang
154/NXBGD2007) :
“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dƣới thì có giới hạn hữu hạn”
2. Phƣơng pháp:
Bƣớc 1: Chỉ ra dãy số tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới
Bƣớc 2: Tính giới hạn của dãy số
Việc tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng tiêu
chuẩn (định lí) Weierstass cịn cần thêm một số kiến thức bổ sung sau:
- Nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  M , n và tồn tại giới hạn lim un
thì lim un  M ; nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un  m, n và tồn tại giới hạn

lim un thì lim un  m
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 18


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

- Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un  lim un1
n

n

3. Một số ví dụ:

Ví dụ 1: (Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN)


u1  2
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
. Tính lim un
u

2

u
,

n

1

n

1
n


Phân tích: Ta có thể tìm được CTSHTQ của dãy (un) là un  2cos


2n1

, n  1 , tuy

nhiên việc xác định CTSHTQ của (un) khơng phải là đơn giản. Ta có thể sử dụng phần
C - Kĩ thuật 3 để giải bài toán này.
Lời giải:
* Chứng minh dãy số ( un ) tăng bằng phương pháp quy nạp  CM : un1  un , n  1
Với n = 1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1 . Đúng
Giả sử uk 1  uk , khi đó uk 2  2  uk 1  2  uk  uk 1 .
Vậy un1 > un , n  1 nên dãy số ( un ) tăng và bị chặn dưới bởi u1  2 .
* Chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp :
Khi n = 1 ta có u1  2  2
Giả sử uk  2, k  1 , khi đó uk 1  2  uk  2  2  2 .
Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.
* Tìm giới hạn của dãy số (un) :
Giả sử limun = a, thì

2  a  2 . Ta có lim un1  lim 2  un

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 19


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

 a  1
Hay a  2  a  a 2  a  2  
 a  2 . Vậy lim un  2

a

2

Ví dụ 2: (Giáo trình giải tích 1 - Jean-Maria Monier)

u1  1

Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
un
un1  u 2  1 , n  1
n

Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n . Tìm giới
hạn đó?
Hƣớng dẫn:
* HS chứng minh un  0, n bằng phương pháp quy nạp
* Xét tính tăng – giảm của dãy số  un  :

un
un
un3
 un1  un  2
 un  2
 0  Dãy  un  giảm
Từ hệ thức: un1  2
un  1
un  1
un  1
Vậy dãy số  un  giảm và bị chặn dưới nên dãy  un  có giới hạn hữu hạn

* Tìm giới hạn của dãy số  un  :
Giả sử lim un  a , chuyển qua giới hạn của hệ thức un1 

a

un
ta có phương trình:
u 1
2
n

a
 a  0 . Vậy lim un  0
a 1
2

Ví dụ 3:


u1  u2  1
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
. Tính lim un
u

u

u
,

n


2

n

1
n
n

1

Lời giải:
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 20


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Ta thấy u1  u2  1 , u3  1  1  2  u2 ; u4  u3  u2  2  1  u3 .
Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng.
Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp, tức là un1  un , n  2
Rõ ràng un  0, n  1 . Khi n = 2 ta có u3  2  u2  1
Giả sử uk 1  uk , k  2 . Ta có uk 2  uk 1  uk  uk  uk 1  uk 1 , k  2
Nên dãy (un) là dãy số dương tăng  un  u1  1, n  1
Hơn nữa, ta thấy n  3, un  un1  un2  un  un  2 un
Hay un 2  4un  un  4(do un  0) . Nên (un) bị chặn trên bởi 4
Do đó dãy số (un) tăng và bị chặn trên nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.

Giả sử limun = a, khi đó a  1 . Chuyển qua giới hạn của hệ thức hệ thức truy hồi

a  0
lim un1  lim un  lim un1 ta có phương trình: a  a  a  a 2  4a  
a  4
Do a  1 > 0 nên a = 4. Vậy lim un  4 .
Nhận xét: Ta có thể gặp những bài tốn có dạng tương tự, ví dụ như trong quyển Bài
tập giải tích - W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK có bài tốn sau:

u1  1

CMR dãy số ( un ) xác định bởi u2  2
có giới hạn hữu hạn khi

un1  un  un1 , n  2
n . Tìm giới hạn đó?

(Đáp án: lim un  4 )

Ví dụ 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)


u1  2010
Cho dãy số ( un ) xác định bởi  2

un  2un .un1  2011  0 , n  1
Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 21

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Lời giải:
Trước hết ta nhận thấy: u1 = 2010 > 0. Giả sử uk  0, k  1 , ta chứng minh uk 1  0

uk 2  2011
0
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk 1  uk  2011  0  uk 1 
2uk
2

un 2  2011 1 
2011  Cauchy
2011
Lại có: un1 
  un 
 2011, n  1  un  2011
  un .
2un
2
un 
un

Mặt khác ta có

un1 un 2  2011 1 2011 1 1


 
   1 (vì un  2011 )
un
2un 2
2 2un 2 2 2

Vậy dãy số (un) giảm và bị chặn dưới bởi

2011 nên dãy (un) có giới hạn hữu hạn.

Giả sử limun = a, khi đó 0  a  2010 , chuyển qua hệ thức truy hồi un1 

un 2  2011
2un

a 2  2011
 a 2  2011  a  2011 . Vậy lim un  2011
ta có phương trình: a 
2a
Ví dụ 5: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)

u1  1

Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
un 2
u

 un , n  1
 n1

2010

Tính lim (

u1 u1
u
  .....  n )
u2 u2
un1

Lời giải:

un 2
 0, n  1(*)
Từ hệ thức truy hồi ta có un1  un 
2010

 un1  un , n  1 , do đó

dãy (un) là dãy số tăng  un  u1  1  0, n  1

un1  un
un 2
u
1
1

)
Từ (*) suy ra 2010.
hay n  2010( 

un1
un un1
un1.un
un1.un
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 22


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc



Toán 11

u
u1 u2
1
1
1
  .....  n  2010( 
)  2010(1 
)
u2 u3
un1
u1 un1
un1

Do đó lim (

u
u1 u2
1
  .....  n )  lim 2010.(1 
)
u2 u3
un1
un1

Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a

un 2
Vì un  1, n  1  a  1 . Chuyển qua hệ thức truy hồi un1 
 un ta có phương
2010
trình: a 

a2
 a  a  0 (vô lý). Vậy (un) không bị chặn, tức là lim un  
2010

 lim un1   . Vây lim (

u
u1 u1
  .....  n )  2010
u2 u2
un1

Ví dụ 6:

u1  0

Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
(a > 0). Tính limun
1
a
u

(
u

),

n

1
n

1
n

2
un

Lời giải:
Dễ thấy: un  0, n (Chứng minh bằng phương pháp quy nạp)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có un1 

Vậy dãy số ( un ) bị chặn dưới bởi

Mặt khác, ta có
Do đó

1
a
(un  )  a , n
2
un

a

un1 1
a
1
1
 

mà un  a , n  2 
2
2
un
2 2un
2un
2a

un1 1
a
1 a
 
 

 1  un1  un , n  1 nên ( un ) là dãy giảm.
2
un
2 2un
2 2a

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 23


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

Vậy dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim un = L, khi đó L > 0. Chuyển qua hệ

1
a
1
a
thức truy hồi un1  (un  ) ta có phương trình: L  (L )  L  a do L > 0
2
L
2
un
Vậy limun =

a

Nhận xét: Bài toán trên là một bài tốn tổng qt, có thể áp dụng rộng rãi. Trong Giáo
trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier có bài tốn sau:

u1  1

Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
1
2011
un1  2 (un  u ), n  1
n

Chứng minh rằng dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn khi n   . Tìm giới hạn đó?
Đáp số: Dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn khi n   và limun =

2011

Ví dụ 7: (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)

3

u1  2
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
.
u  3u  2, n  2
n 1
 n1
CMR dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?
Lời giải:
Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta chứng minh được

3
 un  2
2

Từ hệ thức un1  3un1  2  un1  un  3un1  2  un  0, n  un1  un , n  1 ,
do đó ( un ) là dãy số tăng và bị chặn nên dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn.
Giả sử lim un = a,

3
 a  2 , chuyển qua hệ thức truy hồi un1  3un1  2 ta được
2

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 24


Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc

Toán 11

a  1
3
phương trình: a  3a  2  a 2  3a  2  0  
 a  2 do  a  2 .
2
a  2
Vậy limun = 2.
4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1:


u1  0
Cho dãy số ( un ) xác định bởi 

un1  6  un , n  1
CMR dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?
(ĐS: 0  un  3, n , dãy tăng, lim un  3 )
Bài 2: (Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)

(ĐS: x  3 )
u1  3

Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
1 2
u

un  un  2, n  1
n

1

2
n

n

1
n
k 1 uk

1
 1)
n 
k 1 uk

(ĐS: lim 

Tính lim 

Bài 3: (VMO -2009)

(ĐS: x  3 )

1

u

1

2

Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
2
u  un  4un  un , n  1
 n1
2
n

1

có giới hạn hữu hạn và tính
2
n
k 1 uk

Chứng minh rằng dãy yn  lim 
giới hạn đó

(ĐS: limyn = 6)

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trang 25