PDF Xác Xuất có điều kiện

1.

Xác suất có điều kiện.

2.

Cơng thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.


1

Khái niệm

2

Quy tắc nhân xác suất

3

Quy tắc cộng xác suất


•

Xác suất của 𝐴 được tính trong điều kiện 𝐵 đã xảy ra
được gọi là xác suất của 𝐴 với điều kiện 𝐵.
Giả sử trong một phép thử ta có 𝑃 𝐵 > 0 .

Xác suất có điều kiện của biến cố 𝐴 với điều kiện B được

ký hiệu là: 𝑃(𝐴|𝐵).
Ta có:

𝑃(𝐴𝐵)
𝑃 𝐴𝐵 =
𝑃(𝐵)


Lưu ý:
• P(AB)

= P(BA) = P(A).P(B|𝐴) = P(B).P(𝐴|𝐵)

• Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì:

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)


•

Ví dụ 1.1: Một lớp học được chia làm 3 tổ. Tổ một có 15 sinh viên, trong đó
có 8 nữ. Tổ hai có 14 sinh viên, trong đó có 8 nữ. Tổ ba có 14 sinh viên, trong
đó có 7 nữ. Tìm xác suất để chọn được sinh viên nữ, nếu biết sinh viên đó
thuộc tổ một, tổ hai, tổ ba.

Giải: Gọi 𝐴 là biến cố chọn được sinh viên nữ trong lớp
•

𝐵𝑖 là biến cố chọn được sinh viờn thuc t , = 1 ữ 3.

ã

T mt có 15 sinh viên, trong đó có 8 nữ, nên

•

Tương tự, ta có:

•

Lưu ý: 𝑃(𝐴) =

8+8+7
23
=
15 + 14 + 14 43

8
𝑃(𝐴|𝐵1 ) = 15
7
8
𝑃(𝐴|𝐵2 ) =
; 𝑃(𝐴|𝐵3 ) =
14
14

Vậy 𝑃(𝐴) ≠ 𝑃 𝐴 𝐵1 ; 𝑃 𝐴 ≠ 𝑃 𝐴 𝐵2 ; 𝑃(𝐴) ≠ 𝑃(𝐴|𝐵3 )


•

Ví dụ 1.2:

Một thủ kho có 8 chìa khóa giống nhau. Trong đó có 2 chìa mở được kho.
Tìm xác suất để lần thứ 3 mở được kho.
Giải:
•

Có 6 chìa khơng mở được và 2 chìa mở được.

•

Gọi 𝐴1 là biến cố lần đầu khơng mở được:

•

Gọi 𝐴2 là biến cố lần hai khơng mở được:

•

Gọi 𝐴3 là biến cố lần ba mở được

với điều kiện 𝐴1 , 𝐴2 đã xảy ra:

𝑃(𝐴1 ) =

6
8

𝑃(𝐴2 |𝐴1 ) =

5
7

𝑃 𝐴3 𝐴2 . 𝐴1 ) =

2
6


• Cho A và B là hai biến cố bất kỳ:

P(A.B) = P(A). P(B|A) = P(B). P(A|B)
• Tổng quát:

𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ) = P(𝐴1 ). P(𝐴2 |𝐴1 ). P(𝐴3 |𝐴1 𝐴2 )… P(𝐴𝑛 |𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 )
• Hệ quả: Nếu A và

B độc lập thì

P(AB) = P(A).P(B)


Giải ví dụ 4.2:
• Có 6 chìa khơng mở được và 2 chìa mở được.
6
• Gọi 𝐴1 là biến cố lần đầu khơng mở được:
𝑃(𝐴1 ) =
8
5

• Gọi 𝐴2 là biến cố lần hai không mở được với điều kiện 𝐴1 : 𝑃(𝐴2 |𝐴1 ) =
7
2
• Gọi 𝐴3 là biến cố lần ba mở được với điều kiện𝐴1 ,𝐴2 : 𝑃(𝐴3 |𝐴2 𝐴1 ) =
6

• Gọi 𝑀

là biến cố lần thứ ba mở được. 𝑀 =𝐴1 .𝐴2 . 𝐴3

• Vậy xác suất để lần thứ ba mở được kho là:

𝑃 𝑀 = 𝑃(𝐴1 ). 𝑃(𝐴2 |𝐴1 ). 𝑃(𝐴3 |𝐴2 𝐴1 ) =

6
8

5 2
5
. . =
7 6
28


Quy tắc cộng xác suất
• Cho 𝐴 và 𝐵 là hai biến cố bất kỳ:

𝑃 (𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴𝐵)
Mở rộng định lý:
• Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴n là n biến cố thì:

𝑛

𝑛

𝑛

𝑃 ෍ 𝐴i = ෍ 𝑃 𝐴i + (−1)2−1 ෍ 𝑃 𝐴i 𝐴j + ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴n )
𝑖=1

𝑖=1

𝑖<𝑗


Hệ quả:
• Nếu 𝐴

và 𝐵 là xung khắc với nhau, thì
𝑃 (𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

• Nếu 𝐴 và 𝐴ҧ là hai biến cố đối lập thì P

𝐴 + 𝑃 𝐴ҧ = 1.

• Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴n là n biến cố đôi một xung khắc nhau thì:

𝑃(𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴n ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴n )


Một lơ thuốc có 25% là Levofloxacin, 55% là Cephalexin,

20% là Vitamin E. Biết Levofloxacin và Cephalexin là
kháng sinh. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác
suất để sản phẩm này là kháng sinh.


𝑃(𝐿) =
• Gọi 𝐶 là biến cố sản phẩm chọn được là Cephalexin: 𝑃(𝐶 ) =

0,55

• Gọi E là biến cố sản phẩm chọn được là Vitamin E:

0,20

• Gọi 𝐿 là biến cố sản phẩm chọn được là Levofloxacin:

𝑃(𝐸 ) =

0,25

• Ba biến cố này xung khắc từng đơi.
• Gọi K là sản phẩm chọn được là kháng sinh.

• Vậy

𝑃 𝐾 = 𝑃 𝐿 + 𝑃 𝐶 = 0,25 + 0,55 = 0,8

𝐾 =𝐿+𝐶

1.

Xác suất có điều kiện.

2.

Cơng thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.


1

Công thức xác suất
đầy đủ

2

Công thức Bayes


Định lý:
• Cho 𝐵1, …

, 𝐵𝑛 là một hệ đầy đủ các biến cố.

• Với mọi biến cố 𝐴.

• Khi đó ta có

P(A) = P(B1) P(A|B1)+…+ P(Bn) P(A|Bn)
n

P ( A) =  P ( Bi ).P ( A | Bi )
i =1


Ta chứng minh Định lý trên:
• Vì B1,

... ,Bn là một hệ đầy đủ các biến cố nên: B1+B2+...+Bn = 

• Vì A =

A

→ A = A = (B1 + B2 +... + Bn)A= B1A + B2A +... + BnA
• Mà B1,

... ,Bn xung khắc từng đôi nên B1A, B2A,... , BnA cũng
xung khắc từng đơi.

• Vậy P(A)

= P(B1A+B2A+… +BnA)
= P(B1A)+P(B2A)+…+P(BnA)

Quy tắc nhân XS

P(A.B) = P(A). P(B|A)

= P(B1) P(A|B1)+…+ P(Bn) P(A|Bn) (đpcm)

Định lý:
• Cho B1, ... ,Bn là một hệ đầy đủ các biến cố.
• Với mọi biến cố A, P(A)≠ 0
• Khi đó ta có
P ( Bi ).P ( A | Bi )
P ( Bi | A) =
P ( A)

i = 1, n

• Thật vậy, theo cơng thức xác suất có điều kiện, ta có: P(𝐵𝑖

Theo quy tắc nhân xác suất ta có:

P(𝐵𝑖 𝐴 =

𝑃 𝐵𝑖 𝐴
𝑃 𝐴

=

𝐴 =

𝑃 𝐵𝑖 𝐴
𝑃 𝐴

𝑃 𝐵𝑖 ).𝑃(𝐴|𝐵𝑖
𝑃 𝐴

Có ba hộp thuốc.
Hộp 1 đựng 12 ống Vitamin B1 và 8 ống Vitamin C
------ 2 ------- 6 ------------------------ 14 ----------------------- 3 ------- 16 ------------------------ 4 -----------------Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một ống.
Tìm xác suất để:
a) Cả ba ống lấy ra cùng loại.
b) Trong 3 ống lấy ra, có 1 ống VitaminB1 và 2 ống VitaminC.
c) Trong 3 ống lấy ra, có ít nhất 1 ống VitaminB1.


Gọi A là biến cố ống được lấy ra từ hộp 1 là Vitamin B1. P(A) = 12/20.

---- B ------------------------------------------ 2 ---------------. P(B) = 6/20.
---- C ------------------------------------------ 3 ---------------. P(C) = 16/20.

Ta có A--------------------------------------- 1 là Vitamin C.
Ta có B--------------------------------------- 2 là Vitamin C.
Ta có C--------------------------------------- 3 là Vitamin C.


a) Gọi E là biến cố cả ba ống lấy ra cùng loại.

Ta có:

E = A.B.C + A.B.C

Vì hai biến cố trên xung khắc với nhau, và các biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 độc lập với nhau,
nên:

Vậy, xác suất để cả ba ống lấy ra cùng loại là: 0,2.


b) Gọi F là biến cố trong 3 ống lấy ra, có 1 ống VitaminB1 và 2 ống VitaminC.

Ta có 𝐹 =?

F = A.B.C + A.B.C + A.B.C

Vì các biến cố trên đôi một xung khắc với nhau, và các biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 độc lập
với nhau, nên:

Vậy, xác suất để biến cố lấy ra có 1 ống B1 và 2 ống C là: 0,332.


c) Gọi G là biến cố trong 3 ống lấy ra, có ít nhất 1 ống VitaminB1.

Ta có
Vì các biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 độc lập với nhau, nên:

Vậy, xác suất để biến cố lấy ra có ít nhất 1 ống B1 là: 0,944.


Có 3 hộp đựng bi.

Hộp thứ nhất gồm 15 bi trắng và 5 bi đỏ. Hộp thứ hai gồm
12 bi trắng và 8 bi đỏ. Hộp thứ ba gồm 17 bi trắng và 3 bi
đỏ.
Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó lấy ra 1 viên bi.
a)

Tính xác suất để lấy ra được bi đỏ

b)

Biết bi là bi đỏ, tính xác suất để hộp được chọn là hộp
thứ 2.