Xây dựng một phương pháp gần đúng mới giải bài toán dầm trên nền đàn hồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

XÂY DỰNG MỘT PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG MỚI
GIẢI BÀI TOÁN DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. Lương Xuân Bính
Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Vân
Trần Văn Quang
Đỗ Đức Huỳnh
Lưu Quang Tiến
Trần Đình Nam
Lớp: KSTN CĐB – K60
Tóm tắt: Để tính tốn dầm trên nền đàn hồi, thường có mấy mơ hình nền như sau: mơ hình
nền bán khơng gian vơ hạn, đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi; mơ hình nền Winkler. Mơ hình nền
thứ nhất tương đối chính xác vì khi tính có xét đến ảnh hưởng qua lại giữa nền ở đáy dầm với nền
ở ngoài đáy dầm, tuy vậy, phương pháp tính theo mơ hình này phức tạp về mặt tốn học và khối
lượng tính tốn lớn. Với mơ hình nền Winkler, cường độ phản lực của nền tại một điểm tỷ lệ với
chuyển vị thẳng đứng của nền tại điểm ấy. Đây là mơ hình nền khá đơn giản nhưng hiệu quả, nên
cho đến nay rất nhiều phương pháp tính tốn dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình nền này và kết
quả tính tốn này được sử dụng để tính tốn thiết kế dầm trên nền đàn hồi hiện nay. Tuy nhiên, mơ
hình nền này có bất cập quan trọng đó là phản lực tương tác giữa dầm và nền xuất hiện ở cả khu
vực nền bị dầm ép cũng như khu vực nền bị dầm kéo, thực tế thì tại những điểm nền bị dầm kéo,
đáy dầm sẽ tách ra khỏi nền và phản lực tương tác giữa dầm và nền bằng khơng. Nhóm tác giả đã
lựa chọn đề tài: “Xây dựng một phương pháp gần đúng mới giải bài toán dầm trên nền đàn hồi”.
Đề tài đi vào nghiên cứu xây dựng một phương pháp gần đúng mới tính tốn dầm trên nền đàn hồi
có xét đến tương tác một chiều giữa dầm và nền, ở đó quan hệ giữa phản lực tương tác và chuyển
vị của nền được mơ tả tốn học bằng hàm SIGN, xây dựng phương trình vi phân duy nhất cho bài
toán và đề xuất phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân để xác định chuyển vị, nội lực
cho dầm. Với phương pháp tính mới này, mở ra hướng giải quyết bài toán dầm trên nền đàn hồi
một chiều hiệu quả hơn trong những trường hợp phức tạp hơn về mặt điều kiện biên và tải trọng.
Từ khóa: Dầm trên nền đàn hồi, Phương pháp tính, Winkler.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Theo [1], để tính tốn dầm trên nền đàn hồi, thường có mấy mơ hình nền như sau: mơ
hình nền bán khơng gian vơ hạn, đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi; mơ hình nền Winkler.
Mơ hình nền thứ nhất tương đối chính xác vì khi tính, nó có xét đến ảnh hưởng qua lại giữa
bộ phận nền ở đáy dầm với bộ phận nền ở ngoài đáy dầm, tuy vậy, phương pháp tính theo
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021

214


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI

mơ hình này phức tạp về mặt tốn học và khối lượng tính tốn lớn. Với mơ hình nền
Winkler, cường độ phản lực của nền tại một điểm tỷ lệ với chuyển vị thẳng đứng của nền
tại điểm ấy. Đây là mơ hình nền khá đơn giản nhưng hiệu quả, nên cho đến nay rất nhiều
phương pháp tính tốn dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình nền này và kết quả tính tốn này
được sử dụng để tính tốn thiết kế dầm trên nền đàn hồi hiện nay. Tuy nhiên, mơ hình nền
này có một bất cập quan trọng đó là phản lực tương tác giữa dầm và nền xuất hiện ở cả khu
vực nền bị dầm ép cũng như khu vực nền bị dầm kéo, thực tế thì tại những điểm nền bị
dầm kéo, đáy dầm sẽ tách ra khỏi nền và phản lực tương tác giữa dầm và nền bằng khơng
(Hình 1). Như vậy, mơ hình nền Winkler sẽ khơng phù hợp với những trường hợp dầm tách
ra khỏi nền, kết quả tính tốn bị sai lệch với thực tế.
Phát triển mơ hình nền Winkler, đã có một số nghiên cứu đã đề xuất phương pháp
tính tốn dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình nền một chiều hay nền dị hướng. Theo đó,
quan hệ giữa phản lực liên kết và chuyển vị của nền được mơ tả tốn học bằng hàm trị tuyệt
đối của chuyển vị nền và giải theo phương pháp tải trọng bù [2] và giải theo phương pháp
phần tử hữu hạn [3].

Hình 1. Tương tác giữa dầm và nền

Tiếp tục theo hướng nghiên cứu này, nhóm tác giả ở đây đã lựa chọn đề tài: “Xây
dựng một phương pháp gần đúng mới giải bài toán dầm trên nền đàn hồi”. Đề tài đi vào
nghiên cứu xây dựng một phương pháp gần đúng mới tính tốn dầm trên nền đàn hồi có
xét đến tương tác một chiều giữa dầm và nền, ở đó quan hệ giữa phản lực tương tác và
chuyển vị của nền được mơ tả tốn học bằng hàm SIGN, xây dựng phương trình vi phân
duy nhất cho bài toán và đề xuất phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân để xác
định chuyển vị, nội lực cho dầm. Với phương pháp tính mới này, mở ra hướng giải quyết
bài toán dầm trên nền đàn hồi một chiều hiệu quả hơn trong những trường hợp phức tạp
hơn về mặt điều kiện biên và tải trọng.
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021

215


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

2. CÁC NỘI DUNG CHÍNH
2.1. Phương pháp nghiên cứu, phương tiện nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu ở đây là nghiên cứu lý thuyết kết hợp lập chương trình tính
tốn trên máy tính với ứng dụng nội hàm Solver trong Microsolf Excel.
2.2. Nội dung nghiên cứu đã thực hiện
2.2.1. Xây dựng phương pháp gần đúng tính tốn dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình
nền một chiều
Phát triển phương pháp tính tốn dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình nền Winkler,
nhóm tác giả đề xuất phương pháp gần đúng tính tốn dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình
nền một chiều. Phương pháp này cho phép xét đến tương tác một chiều giữa dầm và nền.
Mơ hình tính dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình nền một chiều
Nền đàn hồi được mơ hình hóa thánh cách lị xo thẳng đứng như trong hình 2a. Ở đó,
các lị xo được coi như chỉ chịu nén, không chịu kéo. Quan hệ giữa phản lực liên kết và
chuyển vị của điểm liên kết được mô tả như trong hình 2b.

Theo đó, phản lực của nền tác dụng lên dầm được xác định theo công thức:
p0 = k0.v (khi v dương)
p0 = 0 (khi v âm)
Trong đó:
p0 là cường độ phản lực của nền trên một đơn vị diện tích bề mặt đáy dầm;
k0 là hệ số nền;
v là độ võng của dầm hay chuyển vị thẳng đứng của nền tại điểm đang xét.
p0

p0=k0.v
p0=0

0

v

a)
b)
Hình 2. Mơ hình tính dầm trên nền đàn hồi then mơ hình nền một chiều
Gọi b là bề rộng của dầm. Giả thiết bề rộng b nhỏ so với chiều dài dầm, ta có thể coi
phản lực của nền phân bố đều theo chiều rộng dầm. Khi đó phản lực của nền phân bố trên
một đơn vị chiều dài dầm là:
p = k0.v.b = k.v
với k = k0.b được gọi là hệ số nền tính trên một đơn vị chiều dài dầm.
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021

216


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

Áp dụng hàm SIGN để mô tả quan hệ như sau:
p = (1 + sign(v))/2. k. v
Ở đó:

sign(v) = 1 khi v có giá trị dương
sign(v) = -1 khi v có giá trị âm
Thiết lập phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình nền một
chiều
Ta xét một đoạn dầm có chiều dài dz như trong hình 3.
Áp dụng quan hệ vi phân trong dầm chịu uốn thuần túy ta có:

Đây là phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi một chiều.

Hình 3. Phân tố dầm trên nền đàn hồi theo mơ hình nền một chiều
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021

217


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

Xây dựng phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân của dầm trên nền
đàn hồi theo mơ hình nền một chiều
Phương trình vi phân ở trên là phương trình vi phân phi tuyến, việc tìm nghiệm giải
tích ở dạng tường minh là khá khó khăn. Ở đây, nhóm tác giả xây dựng một phương pháp
gần đúng giải phương trình vi phân bằng cách kết hợp phương pháp bình phương tối thiểu
và hàm Solver.
Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu để giải gần đúng phương trình vi
phân

Hàm xấp xỉ được sử dụng để mô tả gần đúng đường đàn hồi của dầm, v(z). Hàm xấp
xỉ có thể sử dụng một trong hai dạng cơ bản sau đây: chuỗi lượng giác hoặc đa thức.
Hàm xấp xỉ trước hết phải thỏa mãn phương trình vi phân cần giải với mọi giá trị của
z trong miền xác định của hàm số.
Để hàm xấp xỉ v(z) thỏa mãn phương trình vi phân của dầm, ta sử dụng phương pháp
bình phương tối thiểu. Với mọi giá trị của z trong miền xác định của hàm xấp xỉ, các tham
số của hàm xấp xỉ đảm bảo sao cho tổng bình phương của hiệu giữa vế trái và vế phải của
phương trình vi phân ứng với các giá trị khác nhau của z trong miền xác định của hàm xấp
xỉ, [Vế trái – Vế phải]2, phải đạt cực tiểu, với điều kiện ràng buộc là các điều kiện biên
của bài tốn.
Phát biểu bài tốn tối ưu hóa xác định các hệ số của đa thức xấp xỉ như sau:
Hàm mục tiêu: f(ai) = [Vế trái – Vế phải]2 → min. Biến số: ai = {a0, a1, ... an}T.
Điều kiện ràng buộc: điều kiện biên của bài tốn.
Lập chương trình giải bài toán với hàm Solver
Từ hàm xấp xỉ đã giả định của đường đàn hồi, ta lập được bảng tính các đại lượng
như trong bảng 3.1. Cho các tham số ai thay đổi, phương pháp Newton được sử dụng để
xác định các tham số ai sao cho hàm mục tiêu f(ai) đạt cực tiểu.
Tham số biến và các điều kiện biên của bài toán được thiết lập trong hệ thống menu
câu lệnh của nội hàm Solver.
Trên cơ sở thuật toán đã giới thiệu ở trên, chương trình tính trên máy tính được xây
dựng với ứng dụng của Hàm Solver.
Bảng 1

Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021

218


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

2.2.2. Kết quả nghiên cứu và bình luận
Tính tốn dầm dài vơ hạn chịu một lực tập trung trên nền đàn hồi theo mô hình
nền Winkler theo phương pháp giải tích và phương pháp gần đúng đề xuất
Lời giải theo phương pháp giải tích được tham khảo theo [1]. Lời giải theo phương
pháp gần đúng đề xuất là kết quả của chương trình máy tính của đề tài. Biểu đồ độ võng
của dầm trên nền Winkler theo phương pháp giải tích và phương pháp gần đúng đề xuất
được thể hiện trên hình 4. Từ kết quả tính cho thấy phương pháp gần đúng đề xuất cho kết
quả gần như đúng theo phương pháp giải tích. Như vậy cơ sở lý thuyết, thuật tốn và
chương trình tính của phương pháp đề xuất là đáng tin cậy.
Tính tốn dầm dài vơ hạn chịu một lực tập trung trên nền đàn hồi theo mơ hình
nền một chiều theo phương pháp gần đúng đề xuất
Độ cứng của nền được giữ không thay đổi, độ cứng của dầm được thay đổi theo 03
trường hợp:
a) Kích thước mặt cắt ngang của dầm: b x h = 12 x 12 cm2;
b) Kích thước mặt cắt ngang của dầm: b x h = 12 x 24 cm2;
c) Kích thước mặt cắt ngang của dầm: b x h = 12 x 36 cm2.
Lời giải theo phương pháp gần đúng đề xuất là kết quả của chương trình máy tính của
đề tài trên mơ hình nền một chiều. Lời giải theo phương pháp giải tích trên mơ hình nền
Winkler được tham khảo theo [1]. Từ kết quả tính cho thấy một số điểm quan trọng sau:
Biểu đồ độ võng của dầm trên nền đàn hồi
theo mơ hình nền Winkler truyền thống
-600

-400

-200 -0,02 0
0

200

400

600

0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
Theo phương pháp gần đúng

Theo phương pháp giải tích

Hình 4. Biểu đồ độ võng của dầm trên nền đàn hồi Winkler theo phương pháp giải
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021

219


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

- Phương pháp gần đúng đề xuất cho phép giải bài toàn dầm trên nền đàn hồi theo cả
mơ hình Winkler truyền thống và mơ hình nền một chiều.
- Mơ hình nền một chiều cho kết quả khác đáng kể so với mơ hình nền Winkler truyền
thống.
Theo chiều tăng dần độ cứng của dầm, độ võng lớn nhất của dầm trong trường hợp
a) theo phương pháp gần đúng trên mơ hình nền một chiều lớn hơn độ võng lớn nhất theo

phương pháp giải tích trên mơ hình nền Winkler là 22,54%. Tỷ lệ này lên tới 70,39% với
dầm trong trường hợp b) và 131,56% với dầm trong trường hợp c).
3. KẾT LUẬN
Nhóm nghiên cứu đã đạt được các kết quả sau: Lần đầu tiên ứng dụng hàm Sign để
mô tả tương tác một chiều giữa dầm và nền, ở đó tại những vị trí dầm ép nền, nền sẽ tác
dụng phản lực lên dầm (phản lực tỷ lệ bậc nhất với chuyển vị thẳng đứng của nền), tại
những vị trí dầm bênh lên khỏi nền, phản lực của nền tác dụng lên dầm bằng khơng; Xây
dựng được phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi một chiều;Xây dựng được cơ sở
lý thuyết, thuật tốn và chương trình máy tính giải gần đúng phương trình vi phân của dầm
trên nền đàn hồi một chiều; Cơ sở lý thuyết, thuật tốn và chương trình tính của phương
pháp đề xuất là đáng tin cậy; Phương pháp gần đúng đề xuất cho phép giải bài toàn dầm
trên nền đàn hồi theo cả mơ hình Winkler truyền thống và mơ hình nền một chiều; Mơ hình
nền một chiều cho kết quả khác đáng kể so với mô hình nền Winkler truyền thống.
Tài liệu tham khảo
[1]. Vũ Đình Lai: Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Giao Thông Vận Tải, 2007.
[2]. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu (2006). "Tính kết cấu có liên kết dị hướng", Tuyển
tập cơng trình Hội nghị Khoa học tồn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8. Tập 1. Nhà
xuất bản Khoa học tự nhiên và cơng nghệ.
[3]. Lương Xn Bính, Đỗ Xn Q, Nguyễn Xn Lựu. Tính tốn kết cấu có liên kết dị
hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học Tồn
quốc Lần thứ 8, tập 2, tr. 57-68, 2007.
[4]. Trần Trí Dũng: Excel-Solver cho kỹ sư, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2005.

Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021

220