Bài giảng sức bền vật liệu 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
KHOA XÂY DỰNG DD&CN

www: xaydung.edu.vn

SỨC BỀN VẬT LIỆU 1

Nghiem Quang Ha– National University of Civil En gineering


NỘI DUNG
CHƯƠNG 7: THANH CHỊU UỐN PHẲNG
7.1. Khái niệm chung
7.2. Uốn thuần túy phẳng
7.3. Uốn ngang phẳng
7.4. Biến dạng của dầm: độ võng, góc xoay
7.5. Phương pháp tích phân khơng định hạn
7.6. Phương pháp thơng số ban đầu
7.7. Bài tốn siêu tĩnh

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 2


7.1. Khái niệm chung
Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của
ngoại lực. Những thanh chịu uốn thường được gọi là dầm

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 3


7.1. Definition – Internal force resultant

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 4


7.1. Khái niệm chung
 Giới hạn nghiên cứu: Tiết diện có 1 trục đối xứng (chữ nhật, chữ I, chữ T,
hình trịn...); ngoại lực nằm trong mặt phẳng đối xứng
 Mặt phẳng uốn: Chứa ứng lực và trục thanh z
 Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: chứa trục thanh z và trục quán tính
chính trung tâm của tiết diện. Nếu mặt phẳng uốn trùng với mặt phẳng
quán tính chính trung tâm thì thanh chịu uốn phẳng

Unsymmetric bending
T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 5


7.1. Khái niệm chung

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 6

7.1. Khái niệm chung

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 7


7.1. Khái niệm chung
Phân loại uốn phẳng:
 Uốn thuần túy phẳng: Mx ≠ 0; Qy = 0

 Uốn ngang phẳng : Mx ≠ 0; Qy ≠ 0

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 8


7.1. Khái niệm chung
Ví dụ :
Dầm ABCD chịu uốn như trên hình
vẽ
 Đoạn BC:

Mx ≠ 0; Qy = 0
→ Uốn thuần túy phẳng

F

F

A

D
C

B
VA

a

b

a

VD

F
Qy

 Đoạn AB and CD:

Mx ≠ 0; Qy ≠ 0
→ Uốn ngang phẳng

F
Mx
Fa

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 9


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Thí nghiệm: Trước khi thí nghiệm, vẽ lên
bề mặt thanh :
- Những đường thẳng song song với
trục thanh
- Những đường thẳng vng góc với
trục thanh
→ Tạo thành lưới ô vuông
Quan sát biến dạng:
- Những đường thẳng song song trở
thành những đường cong, nhưng
vẫn song song trục dầm. Khoảng
cách giữa chúng không đổi.
- Những đường thẳng vuông góc vẫn
thẳng và vng góc với trục dầm

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 10


7.2. Uốn thuần túy phẳng

-

Các lớp vật liệu phía trên bị co lại trong
khi các lớp phía dưới bị giãn ra

Lớp trung hòa

→ Giữa chúng tồn tại lớp vật liệu khơng
co cũng khơng giãn gọi là lớp trung
hịa
→ Giao tuyến của lớp trung hòa với tiết
diện là 1 đường thẳng gọi là đường
trung hòa
T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

Đường trung hòa
CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 11


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Các giả thuyết tính tốn (về biến dạng):
Giả thuyết 1: Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng Bernoulli
Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng vẫn phẳng và
thẳng góc với trục thanh.
Giả thuyết 2: Về các thớ dọc
Các lớp vật liệu dọc trục thanh không tác dụng tương
hỗ lên nhau

Jacob Bernoulli
(1654-1705)

Chú ý: Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke

Robert Hooke
(1635 -1703)

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 12


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
• Giả thuyết 1 → τ = 0
• Giả thuyết 2 → σx = σy = 0
→ chỉ tồn tại duy nhất 1 thành phần ứng
suất pháp σz
 Xét 1 điểm có khoảng cách y đến đường
trung hịa như hình vẽ.
 Định luật Hooke:
 z  E z
E – Mô đun đàn hồi
εz – Biến dạng dài tỉ đối theo phương z của lớp vật liệu có khoảng cách y đến đường
trung hòa → εz = ?

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 13


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Xét lớp vật liệu có tọa độ y đối với

đường trung hòa:

M

M

  y  d   d
y

z 
 z 



 d

→ Biến dạng dài tỉ đối εz tỉ lệ với
khoảng cách đến đường trung hòa

ρ

Đường
trung hòa

y

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

A
A’

B

y
B’

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 14


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
PTCB:

 N   dA  0 (1)
 z  z
( A)


 M y   x z dA  0 (2)

( A)

M x 
y z dA (3)


( A)

Động học:  z 

y



Định luật Hooke:

(4)

trục trung hòa
(*)

(*) Do thanh chịu uốn thuần túy
→ Nz = 0 ; My = 0 ; Mx ≠ 0

 z  E z (5)

(4);(5)   z 

E



y (6)

Những điểm có cùng khoảng cách đến đường trung hịa có ứng suất bằng nhau
T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 15

7.2. Uốn thuần túy phẳng
Trục trung hòa ????
(1);(6)  N z 

E

 ( A)

(2);(6)  M y 

(7);(8) 



E



ydA  0  S x  0 (7)

 ( A)

trục trung hòa

xydA  0  I xy  0 (8)

Trục trung hòa đi qua trọng tâm của tiết diện. Do trục Oy đối xứng
nên trục trung hòa trùng với trục quán tính chính trung ttaamcuar
tiết diện

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 16


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Normal stress on the cross-section
(3);(6)  M x 



( A)

E



y 2 dA 

E



Ix

trục trung hòa

 1  M x (9)
 EI x

(6);(9)   z 

Mx
y (10)
Ix

Mx : mô men uốn trên mặt cắt ngang. Mx dương khi làm căng các thớ về phía dương
của trục y
Ix là mơ men qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x
y là tọa độ của điểm tính ứng suất đối với đường trung hịa
T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 17


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Biểu đồ ứng suất

z 

Mx
y
Ix

Những điểm cùng nằm trên đường thẳng song song với đường trung hịa có ứng suất
như nhau  biểu diễn sự biến thiên của ứng suất theo chiều cao của mặt cắt
Điểm càng xa đường trung hịa thì trị số tuyệt
đối của ứng suất càng lớn. Ứng suất tại nững
điểm nằm trên đường trung hòa = 0





max

max

M k
 x ymax
Ix



M
M
k
  x ymax
  kx
Ix
Wx

k
ymax

Wxk 

n
ymax

min



Mx n
ymax
Ix



min

Mx n
Mx

ymax   n
Ix
Wx

Khoảng cách hình học từ điểm chịu kéo, nén xa nhất đối với trục trung hòa

Ix
Ix
n
;
W

x
k
n

ymax
ymax

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

Mô men chống uốn của mặt cắt ngang
CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 18


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Tiết diện có 2 trục đối xứng

h
2
h
2

 max

Mx h Mx


I x 2 Wx

 min  

Mx h
M
 x
Ix 2

Wx

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

Wx 

 max   min

Ix
h/2

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 19


7.2. Uốn thuần túy phẳng
Tiết diện có 2 trục đối xứng
Mơ men chống uốn của 1 số hình đơn giản
Tiết diện chữ nhật:
bh 2
Wx 
6

Tiết diện tròn:
Wx 

 D3
32

 0,1D3

Tiết diện tròn rỗng:

 D3 

d
Wx 
1   
32   D 

4

  0,1D3 1   4 


T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 20


7.3. Uốn ngang phẳng
Thí nghiệm: trước khi đặt lực, vẽ lên bề
mặt thanh:
- Những đường thẳng song song với
trục thanh
- Những đường thẳng vng góc với
trục thanh
→ Tạo thành lưới ô vuông
Quan sát biến dạng:
- Các đường kẻ vuông góc với trục
khơng cịn thẳng, các góc vng thay

đổi
- Giả thiết mặt cắt ngang phẳng khơng
cịn đúng nữa, tuy nhiên chấp nhận
cơng thức tính ứng suất pháp do sai
số khơng lớn
T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 21


7.3. Uốn ngang phẳng
Ứng suất trên mặt cắt ngang
Trên mặt cắt ngang có 2 thành phần ứng
lực:
 Mơ men uốn Mx → Ứng suất pháp σz
 Lực cắt Qy → Ứng suất tiếp τzy

Cơng thức tính ứng suất pháp
z 

Mx
y
Ix

Mx : mô men uốn trên mặt cắt ngang. Mx dương khi làm căng các thớ về phía dương
của trục y
Ix là mơ men qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x
y là tọa độ của điểm tính ứng suất đối với đường trung hịa
T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 22


7.3. Uốn ngang phẳng
Cơng thức tính ứng suất tiếp
Xét tiết diện hẹp, (b<ngun lí Zhuravskii:
• Song song với lực cắt Qy, chiều theo chiều của lực
cắt Qy
• Phân bố đều trên bề rộng tiết diện

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

Dmitrii Ivanovich Zhuravskii
(1821 -1891)

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 23


7.3. Uốn ngang phẳng
Cơng thức tính ứng suất tiếp

Xét cân bằng phân tố
chiều dài dz như hình vẽ

Z  0 


s


dA


dA


b
yz dz  0
 z 2  z1

As

As



M x  dM x
ydA 
Ix

A

s

T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

 ydA



As

dM x As
Mx
s




ydA   yz b dz
yz
dz
I xb s
Ix

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 24


7.3. Uốn ngang phẳng
Cơng thức tính ứng suất tiếp
 yz   zy 

Qy S xc
I xb

c

– Công thức Zhuravskii

Qy – Lực cắt trên tiết diện

Ac – Diện tích của phần diện tích bị cắt bởi bc
Sxc – Mơ men tĩnh của phần diện tích Ac đối
với trục Ox
Ix – Mơ men qn tính đối với trục Ox
bc – bề rộng của tiết diện tại điểm tính ứng
suất tiếp

y

y
bs
T.M Tu, N.H Tan, H.T Phuong – NUCE

bs

CHƯƠNG 7: Thanh chịu uốn phẳng– 25