DE DUY XUYEN

PHỊNG GD & ĐT DUY XUN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
MƠN: TỐN 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (1,5đ)

52.69.10  65.23.153
2 8
8
3
a/ Rút gọn: 5 .6 .10  2.6 .10
b/ Biết 14 + 24 + 34 + ... + 94 + 104 = 25333
Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + ... + 184 + 204
Bài 2: (2,0đ)
x  2y x  2y

14
Cho tỉ lệ thức 22
x
a/ Tính tỉ số y
b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82
Bài 3: (3,0đ)

x2  y 2
3x  2
x 1
a/ Cho M =
N = (x + 1)2 + (y - 2 )2 + 2008

Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất
4 2

3 5



1
2 x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5

b/ Cho A = 2x y – 7x y ; B =
Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức ln có giá trị
khơng âm với mọi x, y.
c/ Tìm x  N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52
Bài 4: (2,5đ)
Cho ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với
AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP.
a/ Chứng minh rằng:


+/ APC BAC
+/ PC = QC
b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ  CP
Bài 5: (1,0đ)
Cho ABC có A = 300. Dựng bên ngồi tam giác đều BCD.
Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*


PHỊNG GD & ĐT DUY XUN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
MƠN: TỐN 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (1,5đ)
Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:

45.95  69.30
11
4 12
a/ 6  8 .3
3 3
3

1,5  1 
11 12 
4
5 5
5 5
 0, 625  0,5 

2,5  
11 12
3 4
b/
0,375  0,3 

Bài 2: (3,0đ)

a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2.
Tìm m biết P(3) = Q(-2)
b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 -

x 7

- (2m + 4)2008

c/ Tìm x biết x  2  x  4 5
Bài 3: (2,5đ)

1
1
1
1



a/ Cho a + b + c = 2009 và a  b b  c c  a 7
a
b
c


Tính S = b  c a  c a  b
b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai
2
4
là 3 , giữa số thứ nhất với số thứ ba là 9 . Tìm 3 số đó.
Bài 4: (2,0đ)

Cho ABC có A < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vng
góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không
chứa C vẽ tia Ay vng góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB.
a/ Chứng minh DC = BE và DC  BE.
b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA =
NM. Chứng minh AB = ME và ABC = EMA
Bài 5: (1,0đ)
Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và
E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2.
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*


ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1/
1,0đ

12

2 .3  4 .9
5 .7  25 .492
212.35  212.34 510.73  510.74



(22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143 212.36  212.35 59.73  59.23.73

0,25đ

212.34.(3  1) 510.73.(1  7) 212.34.2 510.73.( 6) 1  10 7




 

212.35.(3 1) 59.73.(1  23 ) 212.35.4
59.73.9
6
3
2

0,75đ



2a/
0,5đ
2b/
0,5đ

5

6

2

10

3

5

(x – 1)3 = -8  x – 1 = -2
 x = -1. Vậy x = -1
9  7 x 5 x  3

. ĐK

x

3
5 

0,25đ
0,25đ

 9  7 x 5x  3
 9  7 x 3  5 x


0,25đ

 12 x 12
 

 2 x 6

2c/
0,5đ

 x 1

 x 3

(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
 x 0
x ( x  3) 0  
 x 9 (TMĐK)
x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0 
x y z x  y  z 48
  
 4  x 20; y 16; z 12
12
12
12x = 15y = 20z  5 4 3

0,25đ
0,5đ

2d/
0,5đ
3a/ Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3)
0,75đ Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2  6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010  6
Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007  6 thì 4a + a + b  6
3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9}
0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2  5  x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z)
Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
a c ac c a
a c a c  a c
4a/

 

. 
.
b d bd d  b  bd b d  b d
1,0đ
2

4b/
1,0đ

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

2

(a  c).a (c  a).c
a  ac c  ac

 2
 2
(
b


d
).
b
(
d

b
).
d
b

bd
d  bd  đpcm

x
x
x
y
y
y


;


Ta có x  y  z  t x  y  z x  y x  y  z  t x  y  t x  y

0,5đ
0,25đ

z
z
z
t
t
t


;


x  y  z t y  z t z t x  y  z t x  z t z t
 x
x  y  z t
y   z
t 
 M 


 

 x  y x  y   z t z t 
 x  y  z t

4c/
1,0đ
5/
1,0đ

Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị khơng phải là số tự nhiên

H
A
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
 AB + BM = AC – BM  2BM = AC – AB  BM = (b – c):2
AM = AB + BM  AM = (b + c):2
M
Qua M kẻ HK // BC (H  AB; K  CD)
MA2 = MH2 + HA2
D

K

0,25đ
0,25đ
0,25đ
B

0,5đ
0,5đ
C


MC2 = MK2 + KC2
 MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
 MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2
Ta có AH = DK; HB = KC
 MA2 + MC2 = MB2 + MD2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


PHỊNG GD & ĐT DUY XUN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010
MƠN: TỐN 7 Thời gian làm bài: 120 phút

212.35  46.92

 2 .3
2

Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau:

6

4

5

 8 .3



510.73  255.492

 125.7 

3

 59.143

9  7 x 5 x  3

Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết. a/ (x – 1)3 = -8
b/
c/ x - 3 x = 0
d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6.
b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
a 2  ac b 2  bd
a c
 2

2
c

ac
d  bd
b
d
Bài 4: (2,0đ)
a/ Cho
. Chứng minh rằng:

b/ Cho x, y, z, t  N. Chứng minh rằng:
x
y
z
t



M = x  y  z x  y  t y  z  t z  t  x có giá trị khơng phải là số tự nhiên.
Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngồi ABC vẽ BAD vng cân tại A,
CAE vng cân tại A. Chứng minh:
a/ DC = BE; DC  BE
b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c/ Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC tại K. C/m K là trung điểm của BC.
Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với gócBAC = 600. Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
12 5
6 2
10 3
5
1/
2 .3  4 .9
5 .7  25 .492
212.35  212.34 510.73  510.74



1,0đ
(22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143 212.36  212.35 59.73  59.23.73



2a/
0,5đ
2b/
0,5đ

212.34.(3  1) 510.73.(1  7) 212.34.2 510.73.( 6) 1  10 7



 

212.35.(3 1) 59.73.(1  23 ) 212.35.4
59.73.9
6
3
2

(x – 1)3 = -8  x – 1 = -2
 x = -1. Vậy x = -1
9  7 x 5 x  3

. ĐK

x

3
5 

 9  7 x 5x  3
 9  7 x 3  5 x


 12 x 12
 

 2 x 6

2c/
0,5đ
2d/
0,5đ
3a/

 x 1
 x 3

(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
 x 0
x ( x  3) 0  
 x 9 (TMĐK)
x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0 
x y z x  y  z 48
  
 4  x 20; y 16; z 12
12
12
12x = 15y = 20z  5 4 3

Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3)


0,75đ Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2  6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010  6
Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007  6 thì 4a + a + b  6
3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9}
0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2  5  x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z)
Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
a c ac c a
a c a c  a c
4a/
 

. 
.
b d bd d  b  bd b d  b d
1,0đ

4b/
1,0đ

(a  c).a (c  a).c
a 2  ac c 2  ac

 2
 2
 (b  d ).b (d  b).d b  bd d  bd  đpcm
x

x
x
y
y
y


;


Ta có x  y  z  t x  y  z x  y x  y  z  t x  y  t x  y
z
z
z
t
t
t


;


x  y  z t y  z t z t x  y  z t x  z t z t
 x
x  y  z t
y   z
t 
 M 



 

 x  y x  y   z t z t 
 x  y  z t

5a/
1,0đ
5b/
1,0đ

5c/
1,0đ

5/

Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị khơng phải là số tự nhiên
CM được ABE = ADC (c.g.c)  DC = BE
CM được DC  BE
Viết được CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
 BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;
BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2
 BD2 + CE2 = BC2 + DE2
Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
CM được ADE = CPA  CP = AD  CP = AB



CM được P  BAK
; ABK PCK

 CPK = BAK (g.c.g)  BK = KC  đpcm
E
Hình vẽ bài 5:
Hình vẽ bài 6
D

A
600

A

H

M

B

C

K

B

6/
0,5đ

P


Kẻ BH  AC Vì BAC 60 

0

ABH 300  AH 

AB
2 (1)

C


Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2  BC2 = AB2 – AH2 + HC2
 BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2  BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
 BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2)  đpcm

PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011
MƠN: TỐN 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:

1

3
2


3
1/ A =

1

7
2

7

1 3 3 3
3



13 . 4 16 64 256  5
2
1 1 1
8
1 

13
4 16 64

2.522  9.521 5.(3.715  19.714 )
:
10
25
716  3.715
2/ B =

Câu 2: (3đ)
a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
y

1
5 - 10 đạt giá trị nhỏ nhất.

b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 +
c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số
lớn hơn c ba đơn vị
Câu 3: (1,5đ)
Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời

1 11 1
a c
   

c 2  b d  . Chứng minh b d
Câu 4: (2,5đ)
Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vng góc
với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N.
Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E.
a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giác cân.
b/ Chứng minh BM = CN
c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c.
Câu 5: (1,0đ)
Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh:
MA2 + MC2 = MB2 + MD2

*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*

ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1a/
1,5đ

1b/
1,5đ

3 1 1 1 
1 1 1

 
1 

3 7 13 . 4  4 16 64   5
8
 1 1 1  1 1  1  1
2  

4 16 64
A =  3 7 13 
1 3 5
 .  1
2 4 8
521  2.5  9  5.714  3.7  19 
:
10
715  7  3
 52 

B=

=

5:

1
35
7

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


2a/
1,0đ
2b/
1,0đ

2c/
1,0đ
3/
1,5đ

M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1
= 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45

y

0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ

1
0
5

Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0;
 N ≥ -10. GTNN của N là -10
Tìm được x = -2; y = 1/5
Ta có f(-2) = 0  4a – 2b + c = 0
f(2) = 0  4a + 2b + c = 0 và a – c = 3
4b = 0  b = 0
Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3  a = 3/5 ; c = -12/5
Vì b là trung bình cộng của a và c  b = (a + c)/2  2b = a + c

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ

1 1 1 1  1 1 bd
     .
 2bd c (b  d )

Từ c 2  b d  c 2 bd

0,5đ
0,25đ

Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d)
a c

 ad = bc  b d

4/
2,5đ

0,5đ

AMN cân (đ/c vừa là p/g)


BE // AC  BEM  ANM

BME
 ANM (AMN cân tại A)


BME
 BEM
 BME cân tại B

0,25đ

A

0,5đ
N
B

D

C

E
M

4b/
0,75đ
4c/
1,0đ
5/
1,0đ

BED = CND (g.c.g)  BE = NC
 BM = NC (= BE)
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
 AB + BM = AC – BM  2BM = AC – AB  BM = (b – c):2
AM = AB + BM  AM = (b + c):2
H
A
Qua M kẻ HK // BC (H  AB; K  CD)
2
2

2
MA = MH + HA
MC2 = MK2 + KC2
M
 MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
D
K
 MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2
Ta có AH = DK; HB = KC
 MA2 + MC2 = MB2 + MD2

0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
B

0,25đ
C

0,25đ
0,25đ
0,25đ