ON TAP TONG HOP 9

Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
5
Bài 1: Cho biÓu thøc : P= √ a+2 −
+¿
√ a+3 a+ a 6
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức: P=

b) Tìm x ®Ĩ P

1
2 − √a

Bµi 8: Cho biĨu thøc: P=

(1 − √√x +1x ) :( √√xx−+32 + 3−√ x +2√ x + x −5√ x+2
√ x+ 6 )
(

)(

)

a) Rót gän P

6
b) Tìm các giá trị của x để P=
5
1
2 a

Bài 4: Cho biÓu thøc P= 1+ √ a :
−
a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a −1
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trÞ cđa P nÕu a=19− 8 √ 3

(

b)

)(

)

1
)
2

( √√2xx+1+1 + √√22xx+−√1x −1): (1+ √√2x+x+11 − √√22x+x −1√ x )

1
b) TÝnh giá trị của P khi x . ( 3+ 2 √ 2 )
2

a) Rót gän P

√ 1− a

.

( x √x +2x −1 + x +√√x +1x +1 − √xx+1
−1 )

Bµi 10: Cho biĨu thøc : P=

√a − √a
( 1−1−a√√aa + √ a) .( 1+a
)
1+ √ a

Bµi 11: Cho biĨu thøc: P=

(

2√x
x
3 x +3 2 √ x −2
+ √ −
:
−1
√ x +3 √ x −3 x − 9
√ x −3

)(

( x √ x+2√√xx− x − 1 − √ x1−1 ) :( 1+ x+1x )

)

a) Rút gọn P

1
2
c) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P
9− x
x−3 √ x−2
Bµi 12: Cho biĨu thøc: P= x −3 √ x −1 :
−√
−
x−9
x+ √ x − 6 2− √ x √ x +3
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biÓu thøc : P= 15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3
x +2 √ x −3 1− √ x
√ x+3
a) Rót gän P
1
b) T×m các giá trị của x để P=
2
2
c) Chứng minh P
3
m2
Bài 14: Cho biÓu thøc:
P= 2 √ x + √ x −
víi m>0
√ x +m √ x − m 4 x − 4 m2
a) Rót gän P
b) TÝnh x theo m để P=0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mÃn điều kiện x>1
2
Bµi 15: Cho biĨu thøc P= a + √ a − 2 a+ √ a +1
a− √ a+1
√a
b) T×m x ®Ĩ P<

(

a) Rót gän P

Bµi 7: Cho biĨu thøc: P=

Bµi 9: Cho biĨu thøc P= 1:

)

a) Rót gän P
b) T×m a ®Ĩ P< 7 − 4 √ 3

2

XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

Bµi 6: Cho biĨu thøc: P =

)(

(

a) Rót gän P
b) So s¸nh P víi 3

√ x −1 − 1 + 8 √ x : 1− 3 √ x −2
3 √ x − 1 3 √ x+1 9 x −1
3 √ x +1

1− a ¿
¿
Bµi 5: Cho biĨu thøc: P=
√a ¿
¿
a) Rót gän P

2 a+1
√ a . 1+ √ a3 − √ a
−
√ a3 a+ √a+ 1 1+ √ a

a) Rót gän P
b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P.

a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biÓu thøc: P=

0

)(

)


a) Rót gän P
b) BiÕt a>1 H·y so s¸nh P với P
c) Tìm a để P=2
Tìm giá trị nhỏ nhất cña P
√ a+1 + √ ab+ √ a −1 : √ a+1 − √ ab+ √ a +1
Bµi 16: Cho biÓu thøc P=
√ ab+1 √ ab− 1
√ ab+ 1 √ab 1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nÕu a= 2− √ 3 vµ b= √3 −1
1+ √ 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a+ √ b=4
Bµi 17: Cho biĨu thøc : P=
a √ a− 1 a √ a+1
1 √ a+1 √ a −1
−
+ √a −
+
a− √a
a+ √ a
√ a √ a− 1 √a+ 1
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
2
a
1

a −1 − √ a+1
Bµi 18: Cho biĨu thøc: P=
−
2 2 √ a √a+ 1 √ a −1
a) Rót gän P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
2
Bài 19: Cho biểu thøc
P= ( √ a− √ b ) +4 √ ab . a √b − b √ a
√ a+ √ b
√ ab
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a= 2 3 vµ b= √ 3
x +2
x
1
x −1
Bµi 20: Cho biĨu thøc : P=
+ √
+
:√
2
x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P>0
∀ x 1
x +2

Bµi 21: Cho biĨu thøc : P= 2 √ x + x − 1
: 1− √
x √ x −1 √ x −1
x+ √ x +1
a) Rót gän P
b) TÝnh √ P khi x= 5+2 √ 3
3x
Bµi 22: Cho biÓu thøc
P=
1
2
2
1
1:
+
−
:
4
−
x
2+ √ x
4 −2 √ x 4 − 2 x

(

)(

)(

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

(

)

)

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20

(

Bài 23: Cho biểu thức : P=

)

2

xy
x3 √ y 3 ( √ x − √ y ) + √ xy
+√
:
y− x
√x −√ y
√ x +√ y

)

a) Rót gän P
b) Chøng minh P 0
Bµi 24: Cho biĨu thøc P=
1
3 √ ab
1
3 √ ab
a− b
+
.
−
:
√ a+ √ b a √ a+ b √ b √ a − √ b a √ a− b √ b a+ √ ab+b
a) Rót gän P
b) TÝnh P khi a=16 vµ b=4
Bµi 25: Cho biÓu thøc:

P= 1+ 2 a+ √ a −1 − 2 a √ a − √ a+a . a − √ a
1−a
1 −a √ a
2 √ a −1
a) Rót gän P
b) Cho P= 6
tìm giá trị của a
1+ 6
2
c) Chøng minh r»ng P>
3
x +3 √ x −5
Bµi 26: Cho biÓu thøc: P= x −5 √ x −1 : 25 − x
−√
+
x −25
x+2 √ x −15 √ x +5 √ x 3
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1

) [(

(

)

]

(

)

(

)(

Bài 27: Cho biểu thức
P=
( a 1 ) . ( √ a− √ b )
3 √a
3a
1
−
+
:
a+ √ ab+b a √ a −b √ b √ a − √ b 2 a+2 √ ab+2 b
a) Rót gän P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
1
1
a+1 a+2
Bài 28: Cho biểu thức
P=

:

a− 1 √ a √ a − 2 √ a 1
a) Rút gọn P
1
b) Tìm giá trị của a để P>

6
Bµi 29: Cho biĨu thøc:
1
1
2
1 1 √ x 3 + y √ x + x √ y +√ y 3
P=
+
.
+ + :
√ x √ y √ x+ √ y x y
√ x 3 y +√ xy3

(

)

(

[(

)

)(

]

)

)

a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :

P=

√x

3

√ xy −2 y

−

3) Víi x  Z ? ®Ĩ A  Z ?



2x
1− x
.
x + √ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x

a) Rót gän P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 vµ P<0,2
Bµi 31 :

P = 14  6 5  14  6 5 .


x 2
x  2  x 1


.
x  2 x  1 x  1 
x

2) Cho biĨu thøc :
Q=
a) Rót gän biĨu thøc Q.
b) T×m x để | Q | > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
1
x

x x
Bài 32 : Cho biĨu thøc P = x  1
a) Rót gän biĨu thøc sau P.
1

Bµi 37 : Cho biĨu thøc:
a) Rót gän biĨu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.

a 3



a1



4 a 4
4  a (a  0; a  4)

a 2
Bµi 38 : Cho biĨu thøc: P = a  2
a) Rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi a = 9.

a  a  a  a 
 1 
 1 

a  1  
a  1 

Bµi 39 : Cho biĨu thøc:
N=
1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a ®Ĩ N = -2004.
Bµi 40 : Cho biĨu thøc P= x √ x+ 26 √ x −19 − 2 √ x + √ x −3
x +2 √ x − 3
√ x − 1 √ x +3
a. Rót gän P.
b. TÝnh giá trị của P khi x=7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 41 : Cho biÓu thøc P= 2 √ x + √ x − 3 x+ 3 : 2 √ x −2 − 1

√ x +3 √ x +3 x −9
√ x 3
1
a. Rút gọn P.
b. Tìm x để P<
c. Tìm GTNN cña P.
2
 a 1
 
a1
1 

 4 a  .  a 


a1
a 1
a



Bµi 42: Cho A=
víi x>0 ,x 1
a. Rút gọn A

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 2 .
Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A = x √ x +1 − x −1
x−1
√ x +1
a) Rót gän biĨu thøc sau A.

1
b) TÝnh giá trị của biểu thức A khi x =
4
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để | A | = A.
1 
3 
 1


 1

a 3 
a
Bµi 34 : Cho biÓu thøc : A =  a  3
a) Rút gọn biểu thức sau A.
1
b) Xác định a ®Ĩ biĨu thøc A >
.
2
Bµi 35 : Cho biĨu thøc: A =
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thøc cã nghÜa.
2) Rót gän A.

Bµi 36 : Cho biĨu thức:
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

x 2

x
1  x1



:
2
x x  1 x  x  1 1 x

A=

1) Đơn giản biểu thức :

x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003



.
x2  1 
x
 x  1 x 1



 x x  1 x x 1  2 x  2 x 1


 :
x 1
A =  x x x x 

.

(

b. TÝnh A víi a =
.

4

)(



15 .

10 



6 .

( KQ : A= 4a )

4  15

)



 x 3 x   9 x
x 3
x  2
 1 : 




x 9
x x  6
x 2
x  3 



Bµi 43: Cho A=
víi x 0 , x
9, x 4 .
a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. Tìm x Z để A Z
3
(KQ : A= x  2 )
15 x  11 3 x  2 2 x  3


x  3 víi x 0 , x 1.
Bµi 44: Cho A = x  2 x  3 1  x
a. Rót gän A.
b. Tìm GTLN của A.

1
c. Tìm x để A = 2
2 5 x
2
d. CMR : A 3 .
(KQ: A = x  3 )
x2
x 1
1


Bµi 45: Cho A = x x  1 x  x  1 1  x víi x 0 , x 1.
a . Rót gän A.
x
x  x 1 )
b. T×m GTLN cđa A .
( KQ : A =
1
3
2


Bµi 46: Cho A = x  1 x x  1 x  x  1 víi x 0 , x 1.
a . Rót gän A.
b. CMR : 0  A 1
( KQ : A =
x
x  x 1 )


 x 5 x  
25  x
 1 : 


x  25
x  2 x  15



Bµi 47: Cho A =

b. Tìm x Z để A  Z

x 3
x  5


x 5
x  3 

( KQ : A =
5
x 3 )
2 a 9

Bµi 48: Cho A = a  5 a  6

a  3 2 a 1


a  2 3 a

víi a 0 , a 9 , a 4.
a 1
a 3)

c. T×m a  Z ®Ó A  Z
( KQ : A =
 x  x 7
1   x 2
x 2 2 x




 : 

x 4
x  2  x  2
x  2 x  4 

Bµi 49: Cho A=
víi x
> 0 , x 4.
a. Rót gän A.
x 9
1
b. So s¸nh A víi A
( KQ : A = 6 x )
3

3
 x y
x  y 

:

 x y
y x 

Bµi50: Cho A = 
0, x  y
a. Rót gän A.



x

y



2

 xy

x y

víi x 0 , y

xy

b. CMR : A 0

( KQ : A = x 

xy  y )

x x  1 x x 1 
1   x 1
x  1

 x 


 . 
x x
x x 
x  x1
x  1 
Bµi 51 : Cho A =
x > 0 , x 1.





2 x x 1
b. Tìm x để A = 6

( KQ : A =

x

)

Víi




x 4
3   x 2


:

 x x 2
x  2  
x



Bµi 52 : Cho A =
a. Rót gän A





b. TÝnh A víi x = 6  2 5

c . CMR : A 1

x 

x  2 

víi x > 0 , x 4.

A = 1

(KQ:

Bµi 58 :

x)

1 
x 1
 1


:
x  1  x  2 x 1
Cho A =  x  x

1   1
1 
1
 1




 :

Bµi 53 :Cho A=  1  x 1  x   1  x 1  x  2 x víi x >0 , x 1.

a.

a.

Rót gän A
3

b. TÝnh A víi x = 6  2 5
(KQ: A = 2 x )
 2 x 1
1  
x4 


 :  1 

3
x  1   x  x 1 
Bµi 54 : Cho A=  x  1
víi x 0 , x 1.

b. T×m x  Z để A Z
Bài 55: Cho A=

(KQ:

A=

1
1
2 x 2
2 



 : 

 x 1 x x  x  x  1   x  1 x  1 

x
x 3)

víi x 0, x 1.

b. Tìm x Z để A Z
c. Tìm x để A đạt GTNN .

(KQ:

A=

x1
x 1 )

Bài 59 : Cho A =

Rót gän A
b.So s¸nh A víi 1

 x1
1
8 x   3 x  2



 :  1 

9
 3 x  1 3 x 1 x  1   3 x 1 

x 0, x 
Víi

1
9

x x
( KQ : A = 3 x  1 )
 x 2
x  2  x2  2 x 1


.
x  1 x  2 x  1 

2

Bµi 60 : Cho A =
víi x 0 , x 1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2
d. T×m GTLN cña A

 2 x
x
3x  3   2 x  2 


 1

 :
x 3
x  3 x  9   x  3

 víi x 0 , x 9
Bµi 56 : Cho A =

víi x > 0 , x 1.
x1
x )
(KQ: A =

(KQ:

A=

 x2
x
1  x1



 :
2
Bµi 61 : Cho A =  x x  1 x  x  1 1  x 

x (1 

x) )

víi x 0 , x 1.

a. Rót gän A.




Bµi 57 : Cho A =
a.

x 1

x1

x1 8 x 

 :
x  1 x  1  

x  x 3

x 1

1 

x  1 

b. CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > 0 , (KQ:

víi x 0 , x 1.

Rót gän A

b. TÝnh A víi x = 6  2 5

(KQ:

4 x
A = x4 )

Bµi 62 :

Cho A =


1


4
1  x 2 x

: x 1
x 1 x  1 

2
A = x  x 1 )

víi x > 0 , x 1, x 4.


 x 1 x  2 x  3   x  3
2 

 :

 x  1 

x 1
x 1 
  x 1
Bµi 63 : Cho A = 
víi x 0 , x 1.

c. T×m x  Z ®Ĩ A  Z


x   x 3
x 2
x 2 


 1 
 : 

1  x   x  2 3  x x  5 x  6 

Bµi 64 : Cho A=
víi x 


0 , x 9 , x 4.
a. Rót gän A.
b. T×m x Z để A Z
x 2
c. Tìm x để A < 0
(KQ: A = x  1 )
PhÇn 2: Các bài tập về hệ phơng trình bậc 2:
Bài 1: Cho phơng trình : m 2 x ( √ 2 −1 )2= √2 − x +m 2
a) Gi¶i phơng trình khi m= 2+1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :
(x lµ Èn )
( m− 4 ) x 2 − 2 mx +m 2=0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x= 2 .Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính x 21+ x 22 theo m
Bài 3: Cho phơng trình :
(x là Èn )
x 2 −2 ( m+1 ) x +m −4=0
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biƯt víi mäi m
c) Chøng minh biĨu thøc M= x 1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 x 1 ) không phụ thuộc
vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình :
2
a)
x x +2 ( m 1 )=0 có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4 x 2 +2 x+ m−1=0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt
c) ( m2+ 1 ) x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m1=0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình : x 2 ( a 1 ) x −a 2+ a −2=0

a) Chøng minh r»ng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để
2
2
x 1+ x 2 đạt giá trị nhỏ nhất
1 1 1
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mÃn hệ thức: + =
b c 2
2
CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm x 2+ bx +c=0
x +cx +b=0
Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè
chung:

2
2 x − ( 3 m+2 ) x+12=0(1)
4 x 2 − ( 9 m 2 ) x +36=0( 2)
Bài 8: Cho phơng trình :
2
2
2 x 2 mx +m 2=0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất
của phơng trình
Bài 9: Cho phơng tr×nh bËc hai tham sè m :
2
x + 4 x +m+ 1=0
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện
2
2
x 1+ x 2=10
Bài 10: Cho phơng trình
x 2 2 ( m 1 ) x +2 m 5=0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm
mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng trình
x 2 2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2 ; hÃy
tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phơng trình

( m 1 ) x 2 2 mx +m+1=0 với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó
hÃy tính tổng hai nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 1 ; x 2 thoả mÃn hÖ thøc:


x1 x2 5
+ + =0
x2 x1 2
Bµi 13: A) Cho phơng trình :
2
(m là tham số)
x mx+m 1=0
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x 1 ; x 2 víi mäi m ; tÝnh
nghiƯm kÐp ( nÕu cã) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) §Ỉt A=x 21 + x 22 − 6 x1 x 2
Chứng minh A=m2 8 m+8
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
B) Cho phơng trình
2
x 2 mx+2 m 1=0
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình cã nghiƯm x 1 ; x 2 víi mäi m.
b) §Ỉt A= 2(x 21+ x22 )− 5 x 1 x2
 CMR A= 8 m2 −18 m+9
 T×m m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.

Bài 14: Giả sử phơng trình a . x 2 + bx+ c=0 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
x 1 ; x 2 .Đặt S n=x n1 + x n2 (n nguyên dơng)
a) CMR a . S n+2 + bSn+1 +cSn=0
b) áp dụng Tính giá trị của : A=

(

5

1+ √ 5
1− √ 5
+
2
2

)(

5

)

Bµi 15: Cho
f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình
f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2
Bài 16: Cho phơng trình :
x 2 2 ( m+1 ) x +m 2 4 m+5=0
a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối
bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x 21+ x 22
theo m

Bài 17: Cho phơng trình x 2 − 4 x √3+8=0 cã hai nghiƯm lµ x 1 ; x 2 .
Không giải phơng trình , hÃy tính giá trị của biểu thức :
2
2
6 x1 +10 x 1 x 2+ 6 x2
M=
3
3
5 x 1 x 2 +5 x1 x 2
Bài 18: Cho phơng trình
x x 2 ( m+2 ) x+ m+1=0
1
a) Giải phơng trình khi m=
2
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiƯm tr¸i dÊu
c) Gäi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị cđa m ®Ĩ :
2
x 1(1 −2 x 2)+ x 2 (1 2 x 1 )=m
Bài 19: Cho phơng trình
2
(1)
(n , m lµ tham sè)
x + mx+n −3=0
 Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình (1) thoả

x1 x 2=1
mÃn hệ :
x 21 x 22=7
Bài 20: Cho phơng trình:
x 2 −2 ( k −2 ) x − 2 k − 5=0 ( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
2
2
x 1+ x 2=18
Bài 21: Cho phơng trình
(1)
( 2 m1 ) x 2 4 mx+ 4=0
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m

{

Bài 22:Cho phơng trình :
x 2 ( 2 m− 3 ) x+ m2 −3 m=0
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 tho¶ m·n 1< x 1< x 2 <6
Bµi tËp vỊ hµm sè bËc nhÊt
Bµi 23:
1) ViÕt phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Bài 24 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ b»ng 3.

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số
y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy.
B µi 25: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số
y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Bà26 : Cho hai ®iĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) ViÕt phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song
song với đờng thẳng AB ®ång thêi ®i qua ®iĨm C(0 ; 2).
Bµi 27 : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số ®i qua ®iĨm (2; 5)
2) Chøng minh r»ng ®å thÞ của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi
m. Tìm điểm cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
x = 2 1.
Bai 28 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
6 x
4x  5
y= 4 ;y= 3
vµ y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
Bài 29 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để
(d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1).
Bài 30 : Cho hàm số : y = x + m
(D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua ®iĨm A(1; 2003).

2) Song song víi ®êng th¼ng x – y + 3 = 0.
Chủ đề : Phơng trình - bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m2 – 4 = 0
(1)
+ NÕu m
2 th× (1) ⇔ x = - (m + 2).
+ NÕu m = 2 th× (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m
Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Gi¶i :
Ta cã : với m
Z thì 2m 3
0 , vây phơng trình cã nghiÖm : x = - (m
4
+ 2) .
2m - 3
để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.

Giải : Ta có : 7x + 4y = 23 ⇔ y =
V× y
Z x 1 4.
Giải ra ta đợc x = 1 vµ y = 4

23 - 7x
4

= 6 – 2x +

x1
4

bài tập phần hệ pt
Bài 1 : Giải hệ phơng trình:
2x 3y 5

a) 3x 4y 2
b)

 x  y 1

d)  x  y 5

 x  4y 6

 4x  3y 5

2x  y 3

c) 5  y 4x
5
2
 x  x  y 2


 3  1 1, 7


f)  x x  y

2x  4 0

e) 4x  2y  3
mx  y 2

Bài 2 : Cho hệ phơng trình : x my 1
1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y =
-1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
x 2y 3 m

Bài 3 : Cho hệ phơng trình: 2x y 3(m 2)
1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
(a 1)x y a

Bài 4 : Cho hệ phơng tr×nh  x  (a  1)y 2 cã n0 duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mÃn 6x2 17y = 5.
2x 5y
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức x y nhận giá trị nguyên.
x ay 1
(1)

ax

y

2

B ài5 : Cho hệ phơng trình:
1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.


mx y n

Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình  nx  my 1
 1; 3
cã nghiƯm lµ
.
 a  1 x  y 4

ax  y 2a
Bµi 7 : Cho hệ phơng trình
(a là tham số).
1) Giải hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x
+ y  2.
¿
x - ( m + 3)y = 0
Bµi 8 (trang 22): Cho HPT : (m - 2)x + 4y = m - 1 (m lµ tham số).
{

a) Giải hệ khi m = -1.

b) Giải và biƯn ln pt theo m.
¿
x - my=0
Bµi 9 : (trang 24): Cho Hpt : mx − 4y = m + 1 (m là tham số).
{

a) Giải hệ khi m = -1.
b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
Bµi 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một
đoạn đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại
một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bµi 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu
xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy
với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa. Tính độ quảng đường
AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
Bµi 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn,
4
sau 4
giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở
5





6
giờ nữa mới nay bể . Nếu một mình vòi thứ hai

5
chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
Bµi 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt
lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít
200C để được hỗn hợp 10 lít 400C.
DS: Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20 0C.
Bµi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng
độ 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có
nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dịch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lửụùng dung dũch ban ủau.
voứi thửự hai thỡ sau

Phơng trình bậc hai - định lý viet và ứng dụng
A.Kin thc cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong
đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó
vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có
một nghiệm duy nhất
- hoặc vô nghiệm
- hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a
0
Lập biệt số Δ = b2 – 4ac hoặc Δ / = b/2 – ac
* Δ < 0 ( Δ / < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm
b
* Δ = 0 ( Δ / = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a
b❑
(hoặc x1,2 = )

a
* Δ > 0 ( Δ / > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
− b −√ Δ
− b+ √ Δ
x1 =
; x2 =
2a
2a
❑
❑
− b −√ Δ
− b❑ + √ Δ❑
(hoặc x1 =
; x2 =
)
a
a
2. Định lý Viét.
Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a
0) thì


S = x 1 + x2 = -

b
a

c
a
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là

nghiệm (nếu có ) của phơng trình bậc 2:
x2 S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a
0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm
của phơng trình .Ta có các kết quả sau:
p = x1x2 =

x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 )

⇔ p<0

¿
Δ≥ 0
p>0
Hai nghiƯm cïng d¬ng( x1 > 0 và x2 > 0 )
S> 0
{{


0
p>0
Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 vµ x2 < 0) ⇔
S< 0
¿{{
¿
¿
Δ> 0
p=0
Mét nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) ⇔

S> 0
¿{{
¿
¿
Δ> 0
p=0
Mét nghiƯm b»ng 0 vµ 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0)
S< 0
{{

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a

0)

c
a



NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 =



NÕu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = -



NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ

x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

c
a
0 thì phơng trình có nghiệm

b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- LËp tÝch p = x1x2
- Ph¬ng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả
mÃn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến
đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
x +x
S
*) 1 + 1 = 1 2 =
p
x1 x2 x1 x2
2
x1 x2 x1 + x2
*)
= S −2 p
+ =
x2 x1
x1 x2
p

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
x + x −2 a
1
1
S − 2a
*)
+
= 1 2
=
x 1 −a x2 −a (x 1 − a)( x2 −a) p aS+a2
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn
điều kiện 0 )
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x =
x1 cho trớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách
làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đà cho có 2 nghiệm:
0 (hoặc Δ❑ ≥ 0 ) (*)
- Thay x = x1 vµo phơng trình đà cho ,tìm đợc giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để KL
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 ) mà ta
thay luôn x = x1 vào phơng trình đà cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải PT
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đà cho mà phơng trình bậc hai này có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham
số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.
2

2

Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm
sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai
nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Gi¶i.
Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ NÕu Δ❑ > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < - 3 hc m > 3 .Phơng
trình đà cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - √ m2 −9
x2 = m + 1 + √ m2 −9
❑
+ NÕu Δ = 0 m = 3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2

+ NÕu Δ < 0 ⇔ -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
 Víi m < - 3 hc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 - √ m2 −9
x2 = m + 1 + √ m2 −9
 Víi -3< m < 3 th× phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Híng dÉn
 NÕu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì phơng trình đà cho có dạng
1
2
* Nếu m 3
0 m
3 .Phơng trình đà cho là phơng trình bậc
hai có biệt số = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu Δ❑ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm
kép
b
2
x1 = x2 = =-2
=
a 2 −3
- NÕu Δ❑ > 0 ⇔ m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1,2 = m 3 √ m −2
m −3
- 6x – 3 = 0

⇔ x=-

- Nếu < 0
Kết luận:



m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

1

2
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = Với m > 2 và m

3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

m 3 m 2
m 3

Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( √ 3− √ 5 )x - √ 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0
HD:
c) x2 + ( √ 3− √5 )x - √ 15 = 0 cã: ac = - √ 15 < 0 .
Do ®ã phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .¸p dơng hƯ thøc Viet
ta cã :
x1 + x2 = -( √ 3− √ 5 ) = - √ 3 + √ 5
x1x2 = - √ 15 = (- √ 3 ) 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - √ 3 , x2= √ 5
(hc x1 = √ 5 , x2 = - √ 3 )
2
d ) x –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0 cã : ac = - 6 7 < 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét

x1 + x 2 = 3 - 2 √ 7
,ta cã

x 1 x 2 = - 6 √7= 3(-2 √ 7)
¿{
¿
VËy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham
số)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Híng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4
=0
m+1
Suy ra :
x1 = 2
Hc x2 =
3
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 ⇔ m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 ⇔ x = - 1


⇔
x 1=−1
¿
2 m− 2
*m–3
0 ⇔ m
3 (*) x 2= m 3

Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) TÝnh:
A = x12 + x22
B = |x 1 − x 2|
1
1
+
C=
D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
x 1 −1 x 2 1
1
1
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
và
x 1 1
x 2 1
Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng
trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 .
Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x 1 − x 2| = √ S 2 − 4 p=√37
(x1 + x 2)−2
1
1
S −2
1

+
+C=
=
=
=−
x 1 −1 x 2 − 1
(x 1 −1)(x 2 − 1) p − S +1
9
2
2
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã :
1
1
1
+
=−
S=
(theo c©u a)
x 1 −1 x 2 − 1
9
1
1
1
=
=−
p=
p

−
S
+1
9
( x 1 −1)( x 2 − 1)
1
1
Vậy
và
là nghiệm của hơng trình :
x 1 1
x 2 1
1
1
X2 – SX + p = 0 ⇔ X2 +
X= 0 ⇔ 9X2 + X - 1 = 0
9
9
Bµi 6 : Cho phơng trình :
x2 ( k 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham số)

1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá
trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái
dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bËc hai cã:
Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 -

6
k+
5

9
)
5
3
9
36
3
36
k+
+
) = 5(k )+
>0
5
25
25
5
5
với mọi giá trị của k. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ p < 0
1
1
7
k+
+
⇔ - k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2.
2

4
4
)<0
1 2
7
) < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có
-(k 2
4
hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k
3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2
 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
5 2
87
= (k – 1)[(2k ) +
]
4
16
5 2
87
Do ®ã x13 + x23 > 0 ⇔ (k – 1)[(2k ) +
] >0
4
16
5 2
87
) +

> 0 víi mäi
⇔ k – 1 > 0 ( vì (2k 4
16
k)
k>1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiƯm x1 , x2 ph©n biƯt
víi mäi m
= 5(k2 – 2.


3. Tìm m để |x 1 x 2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của
phơng trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2
nghiƯm lµ x1 = 1 , x2 = - 9
2. Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5
1
1
19
1 2
19
= m2 + 2.m.
+
+
= (m +
) +

>0
2
4
4
2
4
víi mäi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4
Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
1 2
19
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +
) +
]
2
4
1
19
m+ ¿2+
1
19 =
2
4
=> |x 1 − x 2| = 2
=
19 khi m +
2
√

2
¿
4
√¿
1
0 ⇔ m=2
1
VËy |x 1 x 2| đạt giá trị nhỏ nhất b»ng √ 19 khi m = 2
Bµi 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là
tham số)
9
1) Giải phơng trình khi m = 2
2) Chứng minh rằng phơng trình đà cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai
nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .
1. BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện :
x12 + x22 = 10
Bµi tËp vỊ pt bËc hai
Bµi 1 : Cho phơng trình : x2 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiƯm của
phơng trình. Không giải phơng trình, hÃy tính:
1) x12 + x22

√

2)

x1 x1  x 2 x 2
x12  x 22  x1x x  x1  x 2 







x12 x12  1  x 22 x 22  1



3)
.
Bµi 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + 1 = 0.
x x  x 2 x1
TÝnh 1 2
(víi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 3 : Cho phơng tr×nh bËc hai:
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mÃn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm
của phơng trình).
Bài 4 : Cho phơng trình:
x2 2mx + 2m 5 = 0.
1) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.
Bài 5 : Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả
mÃn 5x1 + x2 = 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.
Bài 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn x13 + x23 0.
Bài 8 : Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 9.
Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Bài 1: Giải phơng tr×nh:
a, 13x2 - 8x - 5 = 0
Bài 2:

b, (2x - 1).x = - 2x+ 2

1
1
16
−
=
x +2 x −2 7

2 . Giải phương trình x2 + 5x -6 =0
Bài 3 :Cho phương trình ; x2 – 9x+ 20 =0 Không giải phương trình hãy tính
:
1. Giải phương trình sau:


1 1

x
x2
2
2
2
1
a/ x1 + x2
b/ (x1- x2)
c/
2
Bài 4 Cho phương trình 2x + 3x - 14 = 0 có hai nghiệm là. x1 , x2 .
1 1
+
Khơng giải phương trình hãy tính giá trị biêut thức. A =
x1 x2
Bài 5 Cho phương trình 2 x 2 −7 x+ 4=0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy
1 1
+
tính: x1 + x2
x1 . x2 ;
x1 x2
Baøi 6 Giải PT a, x2 - x - 2 = 0

b, ( m - 1)x2 - ( 2m + 3)x + m + 4 = 0 với m 1
Baứi 7 Cho phơng trình x2 - 2( m + 1)x + m2 = 0
1. Tìm m phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2. Tỡm m phơng trình có nghiệm kép
3. Tỡm m phơng trình vô nghiệm
Baứi 8 :Cho phửụng trỡnh : x2 – (2m+1).x +m(m+1)=0
a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia 2
Bài 9:Cho phương trình : x2 – 2x + 2m – 1 =0 . Tìm m để
a/ Phương trình vơ nghiệm
b/ phương trình có nghiệm
c/ Phương trình có một nghiệm bằng -1 .Tỡm nghim cũn li
2
Bài 9:
Cho phơng trình x 2mx m 1 0.
a, Giải phơng trình với m = 2.
b, CM : phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi m . HÃy xác
định m để phơng trình có nghiệm dơng .
Baứi 10 Cho phửụng trỡnh x2 – 2x – m2 -2 = 0
( m laø tham số)
a. Giải phương trình khi m=2
b. Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m .
c. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn
2
2
:
x ❑1 + x ❑2 > 16

2
Bài 11 Cho phương trình x −2( m+1)x +m − 4=0 (ẩn x)

a. Chứng minh rằng phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
b. Tìm m để phương trinh có hai nghiệm trái dấu
Bài 12 . Cho phương trình: x2 – 2(m- 1)x – 1 = 0
a. Giải phương trình khi m = 3
b. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt
c. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
Hãy tính x12 + x22, x13 + x23
Bài 13:
Cho phương trình mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (1)
a. Định m để phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt
b. Định m để phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2 thoả
x12 + x22 = 1
Bài 14: Cho phương trình bậc hai: mx2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0
a. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm x = 3
b. Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
c. Với m = 2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của
phương trình.
Bài 15 Cho phương trình bậc hai: mx2 – 2x – 5 = 0
a. Giải phương trình với m = 1
b. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm
Bài 16:Cho phương trình: x2 – 3mx + 2m2 – m – 1 = 0
a. Giải phương trình khi m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Tính nghiệm kép đó.
Bài 17 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m(m + 2) = 0
a. Giải phương trình khi m = 1
b. Tìm m sao cho nghim ny gp ụi nghim kia

Bài 18: Cho phơng trình mx2 + 2(m-1) x - 4 = 0
a> Giải phơng trình với m = 2
b> Tìm m để phơng trình có nghiệm kép.
c> Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x1, x2. Tìm m để x 21+ x 22=12
Bài 19:
Cho phơng trình:
2 x 2 +(2m 1) x +m 1=0
a) Giải phơng trình khi m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mÃn


®iỊu kiƯn: 3x1- 4x2= 11
2

Bµi sè 21: Cho phương trình x + (m – 2)x - m + 1 = 0.
a.Giải phương trình với m = 1
b.Tìm m để phương trình có 1 nghiệm là x1 = 2. Tìm nghiệm cịn lại.
c.Tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22 – 6x1x2 theo m.
d.Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
PhÇn 3: Hệ phơng trình:
Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;
( m+1 ) x y=m+1
x+ ( m1 ) y=2
Có nghiệm duy nhất thoả mÃn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
x | y|=2
| y +1|=x 1
a) |x|+1= y
b)
c)

x y
+ =1
2 y −5=x
y =3 x −12
4 4
Bµi 55: Cho hệ phơng trình : 2 x+ by= 4
bx ay= 5
a)Giải hệ phơng trình khi a=|b|
b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)
* ( 2 1; 2 )
*Để hệ có vô số nghiệm
Bài 56:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham sè m:
mx − y=2 m
4 x − my=6+ m
x +ay=1
Bµi 57: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :
ax Ã+ y=2
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
x 2 + xy+ y 2 =19
Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:
x xy + y= 1
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:
|x 1|+| y −2|=1
2
( x − y ) +m ( x − y −1 ) − x + y=0

{

{

{

{

{

{

{

{

{

2

2

2 x − xy+3 y =13
x 2 − 4 xy −2 y 2=−6

{

Bµi 60 :GiảI hệ phơng trình:

Bài 61*: Cho a và b thoả mÃn hệ phơng trình :
3
2

a +2 b 4 b+3=0 .TÝnh 2 2
a +b
2
2 2
a + a b − 2b=0
(a+ 1) x y =3
Bài 61:Cho hệ phơng trình :
a . x+ y=a
a) Giải hệ phơng rình khi a=- 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mÃn điều kiện
x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị

Bài 62: Cho hàm số y= (m-2)x+n
(d)

Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 2+ 2 .
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số : y=2 x 2 (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ ®é
c) XÐt sè giao ®iĨm cđa (P) víi ®êng th¼ng (d) y=mx 1 theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với
(P)
Bài 64 : Cho (P) y=x 2 và đờng thẳng (d) y=2 x+ m
1.Xác định m để hai đờng đó :

a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1.
Tìm hoành độ điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B
2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và
N. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I
khi m thay đổi.
Bài 65: Cho đờng thẳng (d)
2(m 1) x +(m 2) y =2
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x 2 tại hai điểm phân biệt
A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 66: Cho (P) y=− x2

{

{


a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng
vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2
3
Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y= x 3
4
a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 68: Cho hàm số y=|x 1| (d)

a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ ®å thÞ (d)
b) Dïng ®å thÞ , biƯn ln sè nghiệm của phơng trình |x 1|=m
Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng :
(d) y=(m 1) x+ 2
(d') y=3 x − 1
a) Song song víi nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :
(d 1) y=2 x 5
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
(d2 ) y =x+ 2
(d 3 ) y=a . x 12
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố
định
1
Bài 72: Cho (P) y= x 2 và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đ2
ờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P).
Bµi 73: Cho hµm sè y=|x 1|+|x +2|
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
|x 1|+|x +2|=m
Bài 74: Cho (P) y=x 2 và đờng thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m ®Ĩ (P) tiÕp xóc (d)
2
Bµi 75: Cho (P) y=− x và (d) y=x+m
4
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và
cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao
điểm của (d') vµ (P)
Bµi 76: Cho hµm sè y=x 2 (P) và hàm số y=x+m (d)

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với
(P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m
sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d 1 ) y=-2(x+1)
a) Điểm A cã thuéc ( d 1 ) ? V× sao ?
b) Tìm a để hàm số y=a. x 2 (P) đi qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với (
d1 )
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d 1 )
với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính S tam giác ABC
1
Bài 78: Cho (P) y= x 2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P)
4
có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; 4 ]
sao cho tam gi¸c MAB cã diƯn tÝch lín nhÊt.
2
Bµi 79: Cho (P) y=− x
vµ điểm M (1;-2)
4

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M vµ cã hƯ sè gãc lµ m
CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay ®ỉi
b) Gäi x A ; x B lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
x 2A x B + x A x 2B đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
c) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là
diện tích tứ giác AA'B'B.
*Tính S theo m
*Xác định m ®Ĩ S= 4 (8+ m2 √ m2 +m+2)
Bµi 80: Cho hµm sè y=x 2 (P)
a) VÏ (P)
b) Gäi A,B lµ hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết
phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với
(P)
1
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y= x 2
4
và đờng thẳng (d) y=mx 2m 1
a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định


Bài 82: Cho (P)

y=

1 2
x
4

và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I

và có hệ số góc m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
m R
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
2
3
Bài 83: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
; 1 ) cã hƯ sè
2
4
gãc lµ m
a) VÏ (P) vµ viết phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
2
x
Bài 84: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) y= + 2
2
4
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại ®ã ®êng tiÕp tun cđa (P)
song song víi (d)
Bµi 85: Cho (P) y=x 2
a) VÏ (P)
b) Gäi A vµ B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết
phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB vµ tiÕp xóc víi (P)
Bµi 86: Cho (P) y=2 x 2
a) Vẽ (P)
Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định
các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song
song víi AB
Bµi 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
( d1 ) x + y=m
cắt nhau tại một điểm trên (P) y= 2 x 2
(d 2)mx + y=1
Phần 5: Giải toán bằng cách lập phơng trình
1. chuyển động
Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ
A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C
đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận
tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng tõ bÕn B
vỊ bÕn A mÊt tÊt c¶ 4 giê . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng
quÃng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại
ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút .
Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h

Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quÃng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn
đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn
hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quÃng đờng là 3
giờ 30 phút . Tính chiều dài quÃng đờng ngời đó đà đi.
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A ®Õn B . Xe t¶I ®i
3
víi vËn tèc 30 Km/h , xe con ®i víi vËn tèc 45 Km/h. Sau khi đi đợc

4
quÃng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quÃng đờng còn lại .
Tính qu·ng ®êng AB biÕt r»ng xe con ®Õn B sím hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận
tốc xác định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn tríc 29
Km nhng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i 3 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i ,
biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô ,
biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận
tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe
đạp từ A víi vËn tèc 10 Km/h . Sau ®ã 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A
với vËn tèc 14 Km/h . Hái ®Õn mÊy giê hä gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A
bao nhiêu Km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B víi vËn tèc 15 Km/h . Sau ®ã mét
thêi gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và
nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi
đi đợc nửa quÃng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai
ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quÃng đờng AB
Bài 97: Một ngời ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung bình là 30 Km/h .
Khi đến B ngời đó nghØ 20 phót råi quay trë vỊ A víi vËn tốc trung bình là 24
Km/h . Tính quÃng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30
Km/h , sau đó ngợc từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là
40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là
3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là
40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một
nửa quÃng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quÃng đờng
còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quÃng đờng AB.

Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B .
Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên
đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài
quÃng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau ®ã 1 giê
30 phót , mét ngêi đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận
tốc của mỗi xe , biÕt r»ng vËn tèc cđa xe m¸y gÊp 2,5 lần vận tốc xe đạp.


Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81
Km và ngợc dòng 84 Km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng
( thực ) của ca nô.
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả ®i vµ vỊ
mÊt 8 giê 20 phót . TÝnh vËn tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc
dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút
một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một
điểm cách bÕn A 20 Km. Hái vËn tèc cđa thun , biết rằng ca nô chạy
nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đà định ®Ĩ ®i hÕt qu·ng ®êng dµi 120 Km trong mét thời gian đà định . Đi đợc một nửa quÃng đờng xe
nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên
nửa quÃng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời
gian quy định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do
đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc
đầu của ôtô.
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đà định . Khi
còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ
nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích
sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quÃng đờng đà đi lúc đầu.

2. Năng xuất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4
giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất
cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình
xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong
26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đà vợt mức 6000 đôi giầy
do đó chẳng những đà hoàn thành kế hoạch đà định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20
tấn cá , nhng đà vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đà hoàn thành
kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch
đà định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội
xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định .
Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe
có khối lợng bằng nhau.
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm
2
chung trong 4 giờ tổ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hoàn thành đợc
mức
3
khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ
phải làm trong bao lâu ?
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong
công việc đà định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc

điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi
tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 114: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong .
Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25%

côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
3. Thể tích
Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đà làm
đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu
sẽ đầy bể ?
Bài 116: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy
bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn
vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy
bể trong bao lâu ?
Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một
1
thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m3 . Sau khi bơm đợc
3
thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m3 . Do vậy so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính
thể tích bể chứa.
Bài 118: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì
sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bĨ . NÕu më vßi thø nhÊt trong 15 phót rồi khoá lại
1
và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc
bể . Hỏi mỗi vòi
5
chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 119: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì
sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể
nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể
trong bao lâu ?
GiảI bài toán bằng cách lập pt
Bài1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô
tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô

tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
Bài 12 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc
2/3 quÃng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận
tốc mỗi giờ 10 km trên quÃng đờng còn lại. Do đó ô tô ®Õn B chËm 30 phót
so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng đờng AB.
Bài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nu chảy
cùng một thời gian nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lơng nớc của vòi
I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.
Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe
chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mÊt 2 giê . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc
50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quÃng đờng AB và thời gian dự định đi
lúc đầu .


Bài 4 : QuÃng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để
đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h
nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
Bài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam
và nữ) đà trồng đợc tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và
số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn
mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.
Bài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A
đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại tõ B vỊ A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ
lµ 10 giê. BiÕt vËn tèc lóc vỊ kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc
đi của ô tô.
Bài 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m,
tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện
tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Bài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24
km, cùng lúc ®ã cịng tõ A mét bÌ nøa tr«i víi vËn tốc dòng nớc 4 km/h. Khi

đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8
km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi
hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6
km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến
khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân
còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu
công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.
Bài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình
thứ nhất rồi đem rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2
chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc
1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình
Bài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lóc 6h45' mét ngêi ®i tõ A víi
vËn tèc 10km/h. Sau 2h , một ngời đi xe đạp từ B tíi A víi vËn tèc 14km/h .
Hái ®Õn mÊy giê thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km
Bài 12 : Một ca nô xuôi từ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã ngỵc tõ B trở
về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa
A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời
đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết
rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp
Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế
ở mỗi hàng bằng nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng
thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao
nhiêu ghế?

Bài 15 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhÊt lµm 3 giê vµ ngêi thø 2 lµm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc.
Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?.
Bài 16 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất

phát cùng một núc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều
nhau
thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ
sau 10 giây lại gặp nhua. Tính vận tốc của mỗi vật.
Bài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ
hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945
sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản
phẩm
Bài 18 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Mỗi xe chở 22 h/s thì
còn thừa 01 h/s. Nếu bớt đi 01 ôtô thì có thể xếp đều các h/s trên các ôtô còn
lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiêu h/s. Mỗi xe chở không quá 32
h/s.
Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đà định
và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi
ngày đà làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đà sản xuất thêm đợc tất cả là 600 chi
tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.
Bài 20: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng
cộng 5giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc
dòng nớc yên lặng
Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải
điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?
Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi
giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô
tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô biết quÃng đờng AB dài 240km
Bài 23: Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể
đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ
hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng.
Nếu lÊy 5 c©y cđa tỉ 2 chun cho tỉ mét thì số cây trồng đợc của cả hai tổ

sẽ bằng nhau.
NÕu lÊy 10 c©y cđa tỉ mét chun cho tỉ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai
sẽ gấp đôi số cây của tổ một.
Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?
Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau
150km, đi ngợc chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết
rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc ô tô B giảm 5km/h
thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.
Bài 26: Hai hợp tác xà đà bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi
hợp tác xà đÃ
bán cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xà thứ nhất bán cho nhà nớc
nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán là 280 tấn
Phần 6 : Hình học


ôn tập hình học 9
Phần 1 : hình học phẳng
A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không
đổi gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí tơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
vị trí tơng đối

Hệ thøc

M n»m ngoµi ( O ; R )

OM > R

M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc
( O ; R)

OM = R

M n»m trong ( O ; R )

OM < R

* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O
đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối

Số ®iĨm chung

HƯ thøc

a c¾t ( O ; R )

2

d
a tiÕp xóc ( O ; R )

1

d=R

a vµ ( O ; R ) không
giao nhau

0

d>R

* Của hai đờng tròn :
xét ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tơng đối

Số điểm chung

Hệ thức

Hai đờng tròn cắt nhau

2

R r < d < R- r

Hai đờng tròn tiÕp xóc
nhau :
+ tiÕp xóc ngoµi :
+ tiÕp xóc trong :

1

Haiđờng tròn không
giao nhau :
+hai đờng tròn ở ngoài
nhau :
+đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :

0

d=R+r
d=Rr

d>R+r
d < R -r

3 . Tiếp tuyến của đờng tròn :
a. Định nghĩa :
đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm
chung với đờng đó .
b, TÝnh chÊt :
+ TÝnh chÊt 1 : NÕu mét đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì
nó vuông góc với bán kính đI qua tiếp điểm .
+ TÝnh chÊt 2 : NÕu hai tiÕp tuyÕn cña một đờng tròn cắt nhau tại một điểm
thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :

Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn
đó .

Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng
tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng tròn .
4 . Quan hệ giữa đờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra
thành hai phần bằng nhau .
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua
tâm thì vuông góc với dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến t©m :