Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN, HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC
TRONG TAM GIÁC VNG
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Một số tính chất của các
tỉ số lượng giác
 Cho hai góc  ,  phụ nhau. Khi đó:
sin   cos  ; cos   sin  ;
tan   cot  ; cot   tan  .

 Cho góc nhọn  . Ta có:
0  sin   1; 0  cos   1;

sin 2   cos2   1; tan  .cot   1;
tan  

sin 
cos 
; cot  
.
cos 
sin 

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Dạng 1: Các bài tốn tính tốn
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.
Bước 2: Thơng qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.
Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.
Bài tập minh họa

A  60; AB  28cm; AC  35cm . Tính độ dài BC.
Câu 1: Tam giác ABC có 
Lời giải

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Kẻ BH  AC ( H  AC )
Xét tam giác vng AHB vng tại H có:
1
AH  AB.cos 
A  28.cos 60  28.  14  cm 
2
3
BH  AB.sin 
A  28.sin 60  28.
 14 3  cm 
2

 HC  AC  AH  35  14  21 cm 
 BC 2  BH 2  HC 2  588  441  1029

 BC  7 21
Vậy BC  7 21  cm 
Chú ý

A  60; AB  a; AC  b thì BC 2  a 2  b 2  ab ;
Bằng cách tính tương tự như trên có: tam giác ABC có 

S ABC 

3
ab .
4

  45; PTQ
  120; QT  8cm; TR  5cm .
Câu 2: Cho hình vẽ sau biết QPT
a) Tính PT.
b) Tính diện tích tam giác PQR.
Lời giải

Kẻ QM  PR (M thuộc tia đối tia TP).
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


  QTM
  180  QTM
  180  PTQ
  180  120  60
Có PTQ
  8.sin 60  8. 3  4 3  cm 
Xét tam giác vng QTM có: QM  QT .sin QTM
2
  8.cos 60  8. 1  4  cm 
TM  QT .cos QTM
2

 TM  TR  M nằm giữa T và R.
Xét tam giác vng QPM có: PM 
 PT  PM  TM  4 3  4  4
 PR  PT  TR  4





QM
4 3
4 3


 4 3  cm 

1
tan QPM tan 45



3  1  cm 



3  1  5  4 3  1 cm 





1
1
 S PQR  QM .PR  4 3. 4 3  1  6  2 3  cm 2 
2
2

Vậy PR  4 3  1 cm  ; S PQR  6  2 3  cm 2  .

  60; C
  80 . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM.
Câu 3: Cho ABC có B
Lời giải

Gọi góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM là  .
Xét tam giác AMH vng tại H có tan  

MH
 MH  tan  . AH
AH

Lại có: BH  HC   BM  MH    MC  MH   2 MH  MH 
Mà BH 

CH 

AH
(hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB)


tan B

AH
(hệ thức lượng trong tam giác vng AHC).

tan C

3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

BH  HC
2


1 
1 
 1
 1
AH . 
AH . 




  1  1


1 
 tan B tan C   tan  

 tan B tan C
 MH 
 

   1120
 
 tan C
2
2 AH
2  tan B
Vậy số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM xấp xỉ bằng 1120 .
Câu 4: Tính chu vi và diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy

AB  12cm, CD  18cm, 
ADC  75 .
Lời giải

Diện tích hình thang được tính bởi cơng thức S 

1
h  AB  CD 
2

(Trong đó h là chiều cao của hình thang).
Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao.
Kẻ AH  CD, BK  CD .
Do ABCD là hình thang cân nên HK  AB  12cm, DH  KC 

Trong tam giác AHD vng tại H ta có: tan D

Từ đó, S ABCD 

CD  AB
 3cm .
2

AH
AH
 tan 75 
 AH  11,196cm
DH
3

1
1
AH .  AB  CD   .11,196. 12  18   167,94cm 2 .
2
2

Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD.
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng ADH ta có: AD 2  AH 2  HD 2  134,35cm . Suy ra
AD  11, 59cm .

Ngồi ra, ta cũng có thể sử dụng cơng thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vng ADH để tính
AD.
Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là
AB  BC  CD  DA  12  11, 59  18  11,59  53,18cm .

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, mệnh đề
Phương pháp giải

Đưa mệnh đề về dạng đẳng thức, sử dụng hệ thức lượng và một số kiến thức đã học biến đổi các vế trong
biểu thức, từ đó chứng minh các vế bằng nhau.
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Bài tập minh họa
A  60 . Kẻ BH  AC ; CK  AB .
Câu 1: Cho ABC có 
a) Chứng minh KH  BC.cos 
A.
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều.
Lời giải

a) Xét AHB và AKC vng tại H, K có: chung góc BAC
Suy ra AHB ∼ AKC  g .g  

AB AH

AC AK

 và
Xét AHK và ABC chung góc BAC
AB AH

AC AK

Suy ra AHK ∼ ABC 
 HK  BC.

AH KH

AB BC

AH
 BC.cos 
A.
AB

  BC. 1  1 BC (1).
b) Theo câu a) có HK  BC .cosBAC
2 2

Mặt khác xét tam giác HBC vng tại H có: HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
 HM 

1
BC (2).
2

Tương tự có KM 

1
BC (3).
2

Từ (1), (2) và (3) có HM  HK  KM suy ra HKM là tam giác đều.
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH  BM , CK  BM


a) Chứng minh: CK  BH .tan BAC
b) Chứng minh:


MC BH .tan 2 BAC

MA
BK

Lời giải

5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


  BCK
 (cùng phụ với CBH
 ).
a) Xét AHB và BKC vng tại H và K có: HBA
 AHB ∼ BKC  g .g  

CK BC
BC


 CK  BH .
 BH .tan BAC
BH AB
AB


b) Theo câu a) ta có: CK  BH .tan BAC
Mà


MC CK
MC BH .tan BAC
(vì CK / / AH ) 
(1)


MA AH
MA
AH

Mặt khác AHB ∼ BKC 
Từ (1) và (2) suy ra


BK BC
1
BC
tan BAC




(2)
AH AB

AH AB.BK
BK


MC BH .tan 2 BAC

MA
BK

  120 , tia Ax tạo với tia AB góc BAx
  15 , cắt
Câu 3: Cho hình thoi ABCD có BAD
lượt tại M, N. Chứng minh:

BC, CD lần

1
1
4


2
2
AM
AN
3 AB 2

Lời giải

Từ A dựng đường thẳng vng góc với AN cắt CD tại P, hạ AH  CD  H  CD  .

  BAM
  MAP
  PAD
  120  15  90  PAD
  PAD
  120  15  90  15
Có BAD
Xét ABM và ADP có:

  PAD
 (theo trên)
MAB
BA  AD (tính chất hình thoi)

  PDA
 (tính chất hình thoi)
MBA
 ABM  ADP  g.c.g   AM  AP
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NAP vuông tại A đường cao AH, ta có:
1
1
1
1
1
1






2
2
2
2
2
AP
AN
AH
AM
AN
AH 2
3
3
Mà AH  sin 
ADH . AD  sin 60. AD 
. AD 
AB
2
2
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Từ (1) và (2) ta có:

Vậy

1
1

1
1
1
4





2
2
2
2
2
3 AB 2
AM
AN
AM
AN
 3

AB 

 2


1
1
4
.



2
2
AM
AN
3 AB 2

7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


C.TRẮC NGHỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ

bằng
Câu 1: Cho tam giác MNP vng tại M . Khi đó cos MNP
M

P

N

A.

MN
.
NP

B.

MP
.
NP

C.

MN
.
MP

D.

MP
.
MN

D.

MP
.
MN

Câu 2:
M

P

N

 bằng:
Cho tam giác MNP vng tại M . Khi đó tan MNP

A.

MN
.
NP

B.

MP
.
NP

C.

MN
.
MP

Câu 3: Cho a là góc ngọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.
A. sin a + cos a = 1 . B. sin2 a + cos2 a = 1 .C. sin 3 a + cos3 a = 1 .D. sin a - cos a = 1 .
Câu 4: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.
A. tan a =

sin a
.
cos a

B. cot a =

cos a
.
sin a

C. tan a. cot a = 1 .

D. tan2 a - 1 = cos2 a .

Câu 5: Cho a và b là hai góc nhọn bất kỳ thoả mãn a + b = 90 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. tan a = sin b .

B. tan a = cot b .

C. tan a = cos b .

D. tan a = tan b .

Câu 6: Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì
A. sin góc nọ bằng cosin góc kia.

B. sin hai góc bằng nhau.

C. tan góc nọ bằng cotan góc kia.

D. Cả A, C đều đúng.

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại C có AC = 1cm, BC = 2cm . Tính các tỉ số lượng giác sin B; cos B .
A. sin B =

1
3
1
2

; cos B =

C. sin B = ; cos B =

2 3
.
3

2
5

.

B. sin B =

5
2 5
; cos B =
.
5
5

D. sin B =

2 5
5
.
; cos B =
5
5

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Câu 8: Cho tam giác ABC vng tại C có BC = 1, 2cm, AC = 0, 9cm . Tính các tỉ số lượng giác
sin B; cos B .

A. sin B = 0, 6; cos B = 0, 8 .

B. sin B = 0, 8; cos B = 0, 6 .

C. sin B = 0, 4; cos B = 0, 8 .

D. sin B = 0, 6; cos B = 0, 4 .

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8 cm, AC = 6 cm . Tính tỉ số lượng giác tanC (làm
trịn đến chữ số thập phân thứ 2).
A. tan C » 0, 87 .

B. tan C » 0, 86 .

C. tan C » 0, 88 .

D. tan C » 0, 89 .

Câu 10: Cho tam giác ABC vng tại A có BC = 9cm, AC = 5cm . Tính tỉ số lượng giác tanC (làm
tròn đến chữ số thập phân thứ 1)
A. tan C » 0, 67 .

B. tan C » 0, 5 .

C. tan C » 1, 4 .

D. tan C » 1, 5 .

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có AB = 13cm, BH = 0, 5dm . Tính tỉ số lượng
giác sin C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)
A. sin C » 0, 35 .

B. sin C » 0, 37 .

C. sin C » 0, 39 .

D. sin C » 0, 38 .

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có AC = 15cm,CH = 6cm . Tính tỉ số lượng
giác cos B .
A. sin C =

5
21

.

B. sin C =

21
.
5

C. sin C =

2
.
5

D. sin C =

3
.
5

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có CH = 4cm, BH = 3cm . Tính tỉ số lượng
giác cosC (làm trịn đến chữ số thập phân thứ 2).
A. cos C » 0, 76 .

B. cos C » 0, 77 .

C. cos C » 0, 75 .

D. cos C » 0, 78 .

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có CH = 11cm, BH = 12cm . Tính tỉ số lượng
giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
A. cos C » 0, 79 .

B. cos C » 0, 69 .

C. cos C » 0, 96 .

D. cos C » 0, 66 .

Câu 15: Cho tam giác ABC vng tại A . Hãy tính tanC biết rằng tan B = 4 .
A. tan C =

1
.
4

B. tan C = 4 .

C. tan C = 2 .

1
2

D. tan C = .

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính tanC biết rằng cot B = 2 .
A. tan C =

1

.
4

B. tan C = 4 .

C. tan C = 2 .

Câu 17: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 5cm, cotC =

1
2

D. tan C = .
7
. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và
8

BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

A. AC » 4, 39 (cm ); BC » 6, 66(cm ) .

B. AC » 4, 38(cm ); BC » 6, 65(cm ) .

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


C. AC » 4, 38 (cm ); BC » 6, 64 (cm ) .

D. AC » 4, 37 (cm ); BC » 6, 67 (cm ) .

Câu 18: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 9 cm, tan C =

5
. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và
4

BC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. AC = 11, 53; BC = 7, 2 .

B. AC = 7; BC » 11, 53 .

C. AC = 5, 2; BC » 11 .

D. AC = 7, 2; BC » 11, 53 .

Câu 19: Cho a là góc nhọn. Tính sin a, cot a biết cos a =

2
.
5

A. sin a =

21
3 21
.
; cot a =

25
21

B. sin a =

21
5
; cot a =
.
5
21

C. sin a =

21
3
; cot a =
.
3
21

D. sin a =

21
2
; cot a =
.
5
21

B. sin a =

7
3
; tan a =
.
4
7

D. sin a =

7
7
.
; tan a =
3
4

Câu 20: Tính sin a, tan a biết cos a =
A. sin a =

C. sin a =

4
7

; tan a =

3
.

4

3
.
4

7
7
.
; tan a =
4
3

Câu 21: Khơng dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh cot 50 và cot 46 .
A. cot 46 = cot 50 . B. cot 46 > cot 50 . C. cot 46 < cot 50 . D. cot 46 ³ cot 50 .
Câu 22: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh sin 20 và sin 70 .
A. sin 20 < sin 70 .

B. sin 20 > sin 70 .

C. sin 20 = sin 70 .

D. sin 20 ³ sin 70 .

Câu 23: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sin 40, cos 67, sin 35, cos 4435¢, sin 2810¢ theo thứ tự tăng dần.
A. cos 67 < sin 35 < sin 2810¢ < sin 40 < cos 4525¢ .
B. cos 67 < cos 4525¢ < sin 40 < sin 2810¢ < sin 35 .
C. cos 67 > sin 2810¢ > sin 35 > sin 40 > cos 4525¢ .
D. cos 67 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < cos 4525¢ .
Câu 24: Sắp xếp các tỉ số lượng giác tan 43, cot 71, tan 38, cot 6915¢, tan 28 theo thứ tự tăng dần.

A. cot 71 < cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 .
B. cot 6015¢ < cot 71 < tan 28 < tan 38 < tan 43 .
C. tan 28 < tan 38 < tan 43 < cot 6015¢ < cot 71 .
D. cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 < cot 71 .
Câu 25: Tính giá trị biểu thức A = sin2 1 + sin 2 2 + ... + sin 2 88 + sin 2 89 + sin2 90
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


A. A = 46 .

B. A =

93
.
2

C. A =

91
.
2

D. A = 45 .

Câu 26: Tính giá trị biểu thức sin2 10 + sin 2 20 + ... + sin 2 70 + sin 2 80
A. 0 .

B. 8 .

C. 5 .

D. 4 .

Câu 27: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó sin 6 a + cos6 a + 3 sin2 a cos2 a bằng
A. C = 1 - 3 sin2 a. cos2 a .

B. 1 . C. C = sin2 a. cos2 a . D. C = 3 sin2 a. cos2 a - 1 .

Câu 28: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó C = sin 4 a + cos 4 a bằng:
A. C = 1 - 2 sin2 a. cos2 a .

B. C = 1 .

C. C = sin2 a. cos2 a .

D. C = 1 + 2 sin 2 a. cos2 a .

Câu 29: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn P = (1 - sin2 a). cot2 a + 1 - cot2 a ta được:
A. P = sin2 a .

B. P = cos2 a .

C. P = tan2 a .

D. P = 2 sin2 a .

Câu 30: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Cho P = (1 - sin2 a). tan2 a + (1 - cos2 a). cot2 a , chọn kết luận đúng.
A. P > 1 .

B. P < 1 .

C. P = 1 .

Câu 31: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q =

D. P = 2 sin2 a .

cos2 a - sin2 a
bằng:
cos a. sin a

A. Q = cot a - tan a . B. Q = cot a + tan a . C. Q = tan a - cot a . D. Q = 2 tan a .
Câu 32: Chọn a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q =
A. Q = 1 + tan2 a .

1 + sin2 a
1 - sin2 a

B. Q = 1 + 2 tan2 a . C. Q = 1 - 2 tan2 a . D. Q = 2 tan2 a .

Câu 33: Cho tan a = 2 . Tính giá trị của biểu thức G =
4
5

A. G = 1 .

.

B. G = - .

2 sin a + cos a
.
cos a - 3 sin a

6
5

C. G = - .

D. G = - 1 .

Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết HD : HA = 3 : 2 . Khi
 . tan ACB
 bằng:
đó tan ABC

A. 3 .

B. 5 .

C.

3
.
5

D.

5
.
3

Câu 35: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết HD : HA = 1 : 2 . Khi
 . tan ACB

bằng:
đó tan ABC

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .
3
5

Câu 36: Tính các giá trị lượng giác cịn lại của góc a , biết sin a = .
3
4

3
4

A. cos a = , tan a = , cot a =

4

.
5

4
5

3
4

4
3

B. cos a = , tan a = , cot a = .

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


4
5

3
4

C. cos a = , tan a = , cot a =

4
.
5

3
4

Câu 37: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Tính cot a biết sin a =
A. cot a =

12
.
5

B. cot a =

11
.
5

4
5

D. cos a = , tan a = , cot a =

C. cot a =

5
.
12

4
.

3

5
.
13

D. cot a =

13
.
5

Câu 38: Tính giá trị biểu thức B = tan 10. tan 20. tan 30..... tan 80 .
A. B = 44 .

B. B = 1 .

C. B = 45 .

D. B = 2 .

Câu 39: Tính giá trị biểu thức B = tan 1. tan 2. tan 3..... tan 88. tan 89
A. B = 44 .

B. B = 1 .

C. B = 45 .

Câu 40: Cho kết luận đúng về giá trị biểu thức B =
A. B > 0 .

B. B < 0 .

1. Lời giải:
=
Ta có cos MNP

MN
NP

Đáp án cần chọn là A.
2. Lời giải:
=
Ta có tan MNP

MP
.
MN

Đáp án cần chọn là D.
3. Lời giải:
Chọn a là góc bất kỳ, khi đó sin2 a + cos2 a = 1
Đáp án cần chọn là B.
4. Lời giải:
Chọn a là góc nhọn bất kỳ, khi đó:
sin2 a + cos2 a = 1 ;
tan a. cot a = 1

tan a =

sin a
cos a
;
; cot a =
cos a
sin a

1 + tan2 a =

1
;
cos2 a

1 + cot2 a =

1
.
sin2 a

cos2 a - 3 sin2 a
biết tan a = 3 .
3 - sin2 a

C. 0 < B < 1 .

HƯỚNG DẪN

Đáp án cần chọn là D.
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 

D. B = 2 .

D. B = 1 .


5. Lời giải:
Với hai góc a, b mà a + b = 90
Ta có: sin a = cos b; cos a = sin b; tan a = cot b; cot a = tan b .
Đáp án cần chọn là B.
6. Lời giải:
Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia.
Đáp án cần chọn là D.
7. Lời giải:
C

2

1

B

A

Theo định lý Pytago ta có: AB 2 = AC 2 + BC 2  AB = 12 + 22 = 5 .
Xét tam giác ABC vng tại C có sin B =

AC
1

5
BC
2
2 5
=
=
=
=
; cos B =
.
AB
5
AB
5
5
5

Đáp án cần chọn là B.
8. Lời giải:
C

1,2

0,9

B

A

Theo định lý Pytago ta có: AB 2 = AC 2 + BC 2  AB = 0, 92 + 1, 22 = 1, 5

Xét tam giác ABC vuông tại C có sin B =

AC
0, 9 3
BC
1, 2 4
=
= = 0, 6 và cos B =
=
= = 0, 8 .
AB
1, 5
5
AB
1, 5 5

Đáp án cần chọn là A.
9. Lời giải:
A

6

C

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

8

B


Theo định lý Pytago ta có: BC 2 = AC 2 + AB 2  AB = 82 - 62 » 5, 29 .
Xét tam giác ABC vuông tại C có tan C =

AB
5, 29
»
» 0, 88 .
AC
6

Đáp án cần chọn là C.
10. Lời giải:
Theo định lý Pytago ta có: BC 2 = AC 2 + AB 2  AB = 92 - 52 = 2 14 .
Xét tam giác ABC vng tại C có tan C =

AB
2 14
=
» 1, 5 .
AC
5

Đáp án cần chọn là D.
11. Lời giải:
A

C

H

B

Đổi 0, 5dm = 5cm
Xét tam giác ABC vuông tại A , theo hệ thức lượng
trong tam giác vng ta có: AB 2 = BH .BC  BC =
 sin C =

AB 2
132
=
= 33, 8cm
BH
5

AB
13
=
» 0, 38
BC
33, 8

Đáp án cần chọn là D.
12. Lời giải:
Xét tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pytago ta có:
AH 2 = AC 2 - CH 2 = 152 - 62 = 189  AH = 3 21  sin C =

AH

3 21
21
=
=
AC
15
5

21
, C
Mà tam giác ABC vng tại A nên B
là hai góc phụ nhau. Do đó cos B = sin C =
.
5

Đáp án cần chọn là B.
13. Lời giải:

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


A

C

H

B

Xét tam giác ABC vng tại A có BC = BH + CH = 7cm
Theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta có
AC 2 = CH .BC  AC 2 = 4.7  AC » 5, 29cm  cos C =

AC
5, 29
=
» 0, 76 .
BC
7

Đáp án cần chọn là A.
14. Lời giải:
Xét tam giác ABC vng tại A có BC = BH + CH = 11 + 12 = 23cm .
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AC 2 = CH .BC  AC 2 = 11.23 = 253  AC = 253cm  cos C =

AC
253
=
» 0, 69 .
BC
23

Đáp án cần chọn là B.
15. Lời giải:
 +C
 = 90  cotC = tan B = 4
Vì tam giác ABC vuông tại A nên B

Mà cotC . tan C = 1  tan C =

1
.
4

Đáp án cần chọn là A.
16. Lời giải:
 +C
 = 90  tan C = cot B = 2
.
Vì tam giác ABC vng tại A nên B

Đáp án cần chọn là C.
17. Lời giải:
A

B

C

Vì tam giác ABC vng tại A nên cotC =

AC
7
35
 AC = AB. cotC = 5. =
» 4, 38 cm .
AB

8
8

Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 = 52 + 4, 382  BC » 6, 65 .
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Vậy AC » 4, 38(cm ); BC » 6, 65 (cm ) .
Đáp án cần chọn là B.
18. Lời giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tan C =

AB
5
 AC = AB : tan C = 9 : = 7, 2 cm
AC
4

Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 = 92 + 7, 22 = 132, 84  BC =

9 41
» 11, 53 .
5

Vậy AC = 7, 2; BC » 11, 53 .
Đáp án cần chọn là D.
19. Lời giải:
Ta có sin2 a + cos2 a = 1  sin2 a = 1 - cos2 a = 1 cos a

Lại có cot a =
=
sin a

Vậy sin a =

21
4
21
.
 sin a =
=
25 25
5

2
5 = 2 .
21
21
5

21
2
; cot a =
.
5
21

Đáp án cần chọn là D.
20. Lời giải:

Ta có sin2 a + cos2 a = 1  sin2 a = 1 - cos2 a = 1 7
sin a
7
= 4 =
.
Lại có tan a =
cos a
3
3
4

Vậy sin a =

7
7
; tan a =
.
4
3

Đáp án cần chọn là C.
21. Lời giải:
Vì 46 < 50  cot 46 > cot 50 .
Đáp án cần chọn là B.
22. Lời giải:
Vì 20 < 70  sin 20 < sin 70 .
Đáp án cần chọn là A.
23. Lời giải:
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 

7
9
7
.
 sin a =
=
4
16 16


Ta có cos 67 = sin 23 vì 67 + 23 = 90 ; cos 4435 ¢ = sin 4525 ¢ vì 4435¢ + 4525¢ = 90
Mà 23 < 2810¢ < 35 < 40 < 4525¢ nên sin 23 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < sin 4525¢
 cos 67 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < cos 4525¢ .

Đáp án cần chọn là D.
24. Lời giải:
Ta có cot 71 = tan 19 vì 71 + 19 = 90; cot 6915¢ = tan 2045¢ vì 6915¢ + 2045¢ = 90
Mà 19 < 2045¢ < 28 < 38 < 43 nên tan 19 < tan 2045¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43
 cot 71 < cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 .

Đáp án cần chọn là A.
25. Lời giải:
Ta có sin2 89 = cos2 1; sin2 88 = cos2 2;...; sin2 46 = cos2 44 và sin2 a + cos2 a = 1
Nên A = (sin2 1 + sin2 89) + (sin2 2 + sin2 88) + ... + (sin2 44 + sin2 46) + sin2 45 + sin2 90
= (sin2 1 + cos2 1) + (sin2 2 + cos2 2) + ... + (sin2 44 + cos2 44) + sin2 45 + sin2 90
= 1
+ 1 + ... + 1 +
44 so 1

Vậy A =

1
3 91
+ 1 = 44.1 + =
.
2
2
2

91
.
2

Đáp án cần chọn là C.
26. Lời giải:
Ta có sin2 80 = cos2 10; sin2 70 = cos2 20; sin2 60 = cos2 30; sin2 50 = cos2 40 và sin2 a + cos2 a = 1
Nên sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40 + sin2 50 + sin2 60 + sin2 70 + sin2 80
= sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40 + cos2 40 + cos2 30 + cos2 20 + cos2 10

= (sin2 10 + cos2 10) + (sin2 20 + cos2 20) + (sin2 30 + cos2 30) + (sin2 40 + cos2 40)
= 1+1+1+1 = 4.

Vậy giá trị cần tìm là 4 .
Đáp án cần chọn là D.
27. Lời giải:
Ta có sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a. cos2 a = sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a. cos2 a.1
= sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a. cos2 a.(sin2 a + cos2 a) (vì sin2 a + cos2 a = 1 )
= (sin2 a)3 + 3(sin2 a)2 . cos2 a + 3 sin2 a.(cos2 a)2 + (cos2 a)3

= (sin2 a + cos2 a)3 = 1 (vì sin2 a + cos2 a = 1 )

Đáp án cần chọn là B.
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


28. Lời giải:
Ta có C = sin4 a + cos4 a = sin 4 a + cos4 a + 2 sin2 a. cos2 a - 2 sin2 a. cos2 a
= (sin2 a + cos2 a)2 - 2 sin2 a. cos2 a = 1 - sin2 a. cos2 a (vì sin2 a + cos2 a = 1 )

Vậy C = 1 - 2 sin2 a. cos2 a .
Đáp án cần chọn là A.
29. Lời giải:
Với cot a =

cos a
; sin 2 a + cos2 a = 1
sin a

A = (1 - sin2 a). cot2 a + 1 - cot2 a = cot2 a - sin2 a. cot2 a + 1 - cot2 a
= 1 - sin2 a.

cos2 a
= 1 - cos2 a = sin2 a .
2
sin a

Vậy P = sin2 a .

Đáp án cần chọn là A.
30. Lời giải:
Với tan a =

sin a
cos a
; cot a =
; sin2 a + cos2 a = 1  sin2 a = 1 - cos2 a, cos2 a = 1 - sin2 a .
cos a
sin a

P = (1 - sin2 a). tan2 a + (1 - cos2 a). cot2 a = cos2 a.

sin2 a
cos2 a

+ sin2 a.

cos2 a
sin2 a

= sin2 a + cos2 a = 1 .

Đáp án cần chọn là C.
31. Lời giải:
Với tan a =
Q=

sin a
cos a

ta có:
; cot a =
cos a
sin a

cos2 a - sin 2 a
cos2 a
sin2 a
cos a sin a
=
=
= cot a - tan a .
cos a. sin a
sin a. cos a sin a. cos a
sin a cos a

Vậy Q = cot a - tan a .
Đáp án cần chọn là A.
32. Lời giải:
Với tan a =

sin a
; cos2 a = 1 - sin 2 a
cos a
2

ỉ sin a ư÷
1 + sin2 a 1 - sin2 a + 2 sin2 a 1 - sin2 a 2 sin2 a
ỗỗ
ữữ = 1 + 2 tan2 a .

Q=
=
=
+
=
1
+
2.
2
2
2
2
ỗ
1 - sin a
1 - sin a
1 - sin a
cos a
è cos a ÷ø

Vậy Q = 1 + 2 tan2 a .
Đáp án cần chọn là B.
33. Lời giải:
Vì tan a = 2 nên cos a ¹ 0
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


sin a cos a
+

2
2 sin a + cos a
2. tan a + 1
= cos a cos a =
Ta có G =
cos a - 3 sin a
cos a
sin a
1 - 3 tan a
- 3.
cos a
cos a

Thay tan a = 2 ta được G =

2.2 + 1
5
= - = -1 .
1 - 3.2
5

Vậy G = -1 .
Đáp án cần chọn là D.
34. Lời giải:
A
E
H

B

D

Xét tam giác vuông ABD và ADC , ta có tan B =
Suy ra tan B. tan C =

C

AD
AD
.
; tan C =
BD
CD

AD 2
(1)
BD.CD

 = CAD


 = ADC
 = 90
(cùng phụ với ACB
) và HDB
.
Lại có HBD

Do đó D BDH  D ADC (g.g) suy ra
Từ (1) và (2) suy ra tan B. tan C =

Theo giả thiết

DH
BD
, do đó BD .DC = DH .AD (2).
=
DC
AD

AD 2
AD
(3).
=
DH .AD
DH

HD
3
HD
3
HD
3
5
=
hay
= suy ra
= , suy ra AD = HD .
AH + HD 2 + 3
AH
2

AD
5
3

5
HD
5
Thay vào (3) ta được: tan B. tan C = 3
= .
3
DH

Đáp án cần chọn là D.
35. Lời giải:
Xét tam giác vng ABD và ADC , ta có tan B =
Suy ra tan B. tan C =

AD
AD
.
; tan C =
BD
CD

AD 2
(1)
BD.CD

 = CAD



 = ADC
 = 90
Lại có HBD
(cùng phụ với ACB
) và HDB
.

Do đó D BDH  D ADC (g.g) suy ra

DH
BD
, do đó BD .DC = DH .AD (2).
=
DC
AD

19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Từ (1) và (2) suy ra tan B. tan C =

AD 2
AD
(3).
=
DH .AD
DH

HD
1
HD
1
HD
1
=
hay
= suy ra
= , suy ra AD = 3HD .
AH + HD 2 + 1
AH
2
AD
3

Theo giả thiết

Thay vào (3) ta được: tan B. tan C =

3HD
= 3.
DH

Đáp án cần chọn là B.
36. Lời giải:
3
5

Ta có sin a = , suy ra sin2 a =
cos2 a = 1 - sin 2 a = 1 -

Do đó tan a =
cot a =

9
, mà sin2 a + cos2 a = 1 , do đó:
25

9
16
4
suy ra cos a = .
=
25 25
5

sin a
3 4
3 5
3
= : = . = .
cos a
5 5
5 4
4

cos a
4 3

4 5
4
= : = . = .
sin a
5 5
5 3
3
4
5

3
4

Vậy cos a = , tan a = , cot a =

4
.
3

Đáp án cần chọn là B.
37. Lời giải:
Ta có sin a =

5
25
25
144
suy ra sin 2 a =
mà sin2 a + cos2 a = 1 do đó cos2 a = 1 - sin2 a = 1 =
13

169
169 169

Suy ra cos a =

12
.
13

Do đó cot a =

cos a 12 5
12 13 12
.
=
:
= . =
sin a
13 13 13 5
5

Đáp án cần chọn là A.
38. Lời giải:
Ta có tan 80 = cot10; tan 70 = cot 20; tan 50 = cot 40; cot 60 = cot 30 và tan a. cot a = 1
Nên B = tan 10. tan 20. tan 30. tan 40. tan 50. tan 60. tan 70. tan 80
= tan 10. tan 20. tan 30. tan 40. cot 40. cot 30. cot 20. cot10

= (tan 10. cot10).(tan 20. cot20).(tan 30. cot 30).(tan 40. cot 40) = 1.1.1.1 = 1 .

Vậy B = 1 .

Đáp án cần chọn là B.
39. Lời giải:
Ta có tan 89 = cot1; tan 88 = cot 2;...; tan 46 = cot 44 và tan a. cot a = 1
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Nên B = (tan 1. tan 89).(tan 2. tan 88).....(tan 46. tan 44). tan 45
= (tan1. cot1).(tan 2. cot2).(tan 3. cot 3)....(tan 44. cot 44). tan 45 = 1.1.1...1.1 = 1

Vậy B = 1 .
Đáp án cần chọn là B.
40. Lời giải:
Vì tan a = 3 ¹ 0  cos a ¹ 0 . Chia cả tử và mẫu của B cho cos2 a ta được:
cos2 a
sin2 a
-3
2
1 - 3 tan2 a
1 - 3 tan2 a
1 - 3 tan2 a
1 - 3.9
26
cos2 a =
B = cos a
=
=
=
=- .

2
2
2
2
3 + 2.9
21
1
3
sin a
3(1 + tan a) - tan a
3 + 2 tan a
3.
- tan2 a
2
2
2
cos
a
cos a cos a

Hay B = -

26
< 0.
21

Đáp án cần chọn là B.

21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 


D.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
I.PHIẾU LUYỆN CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng:

AB
Sin C
=
AC
Sin B

Bài 2: Với góc nhọn a tùy ý. Chứng minh rằng:
sin a
cos a

a)

sin a < 1, cosa<1

b) tga =

a)

tga.cotga = 1

d) sin2 a + cos2 a = 1

Bài 3: Cho biết sin a =

4
. Tìm cosa, tga .
5

Bài 4: Tính:
a)

sin 460

b) cotg28 0 - tg620

cos 44 0

Bài 5: Tính sin2 100 + sin2 200 + ... + sin2 700 + sin 2 800
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a, AC = b, AB = c .
Chứng minh rằng:

a
b
c
=
=
sin A sin B
sin C

Bài 7: Chứng minh rằng diện tích của tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc
nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a, AC = b, AB = c .
Chứng minh rằng: a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A .

Bài 9: Cho hai góc a, b sao cho a + b < 900
Chứng minh rằng (a + b ) = sin acosb + sin b cos a .
Bài 10: Cho góc nhon xAy . Các điểm B,C lần lượt di động trên các tia AB, AC sao cho:
AB + AC = 6cm . Xác định vị trí B,C để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
B

Hướng dẫn giải
Bài 1:
sin C =

AB
AC
, sin B =
BC
BC

Do đó:

Sin C
AB AC
AB
=
:
=
Sin B
BC BC
AC

A

C

Bài 2:
Xét DABC vng tại A,C = a
a)

Ta có AB < BC , AC < BC

22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

A

B

α

C


Do đó: sin a = sin C =
cosa= cos c =

b)

AC
<1
BC

tga=tgC=

AB
AC
; cotga = cotgC =
AC
AB

Do đó: tga.cotga=
c)

sin a =

Do đó:
d)

AB
< 1;
BC

AB AC
.
=1
AC AB

AB
AC
, cosa =
BC
BC

sin a
AB AC
AB
=
:
=
= tga
cosa
BC BC
AC

DABC vuông tại A theo định lí Py-ta-go có: AB 2 + AC 2 = BC 2
2

2

ỉ AB ư÷
ỉ AC ÷ư
÷÷ + çç
÷
Do đó: sin a + cos a = çç
çè BC ữữứ
ỗố BC ữứ
2

=

AB 2
BC 2

+

2

AC 2
BC 2

=

AB 2 + AC 2
BC 2

=1

Bài 3:
Ta có:

sin 2 a + cos2 a = 1 và sin a =

cos2 a = 1 -

16
9
=
25 25

cosa =

4

(gt)
5

3
5

4
sin a
4
tga =
= 5 =
cosa
3
3
5

Bài 4:
a)

460 + 44 0 = 900 nên sin460 =cos44 0

Do đó:
b)

sin 460
=1
cos44 0

28 0 + 620 = 900 nên cotg28 0 = tg620

Do đó: cotg28 0 - tg620 = 0
Bài 5:
Ta có sin 10 = cos 80 (hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cơsin góc kia)

 sin2 10 = cos2 80 .
23. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Do đó:

sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40
+ sin2 50 + sin2 60 + sin2 70 + sin2 80 = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40
+ cos2 40 + cos2 30 + cos2 20 + cos2 10 = (sin2 10 + cos2 10 ) + (sin2 20 + cos2 20 )
+(sin2 30 + cos2 30 ) + (sin2 40 + cos2 40 )

= 1+1+1+1 = 4 .
Bài 6:
Vẽ AH ^ BC , H Ỵ BC
A

AH
 = 900
Xét DHAB có H
, nên sin B =

AB

AH

 = 900
, nên sin C =
Xét DHAC có H
AC

Do đó:

sin B
AC
b
b
c
=
= 
=
sin C
AB
c
sin B
sin C

Chứng minh tương tự, ta có:
Vậy

B

H

a
b

=
sin A sin B

a
b
c
.
=
=
sin A sin B
sin C

Bài 7:
A

b

b

c

B

A

α
H

c

C

a

α

H

B

a

Giả sử có tam giác ABC cos AB = c, BC = a
Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB, BC là a .
Vẽ đường cao AH của tam giác ABC
AH

DHAB có H = 900 nên sin B =
 AH = AB sin B
AB
1
2

1
2

1
2

Do đó: S ABC = AH .BC = AB. sin B.BC = c.a. sin a

Bài 8:
Vẽ đường cao CH của tam giác ABC .
DHAC vuông tại H , nên cos A =

AH
 AH = ACcosA
AC

24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

C

C


DHAC vng tại H theo định lý Py-ta-go, ta có: AH 2 + HC 2 = AC 2
DHBC vuông tại H theo định lý Py-ta-go, ta có:

A

BC 2 = HB 2 + HC 2

H

= (AB - AH )2 + HC 2
= AB 2 - 2AB.AH + AH 2 + HC 2
= AB 2 - 2AB.AC cos A + AC 2
2

B

C

2

= AC + AB - 2AC .AB cos A

Vậy a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A .
Bài 9:

Xét DABC có B = a,C = b , vì a + b < 900 nên BAC
là góc tù.

Vẽ các đường cao AH , BK của DABC
 = B + C (BAK
 là góc ngồi của DABC )
Ta có: BAK
1



DABK có K = 900 nên BK = AB sin BAK
1
2

1
2

Do đó: S ABC = BK .AC = AB.AC sin(a + b )
 = 900
Mặt khác: DHAB có H
=
Nên sin a = sin ABH

AH
 = BH
, cosa = cosABH
AB
AB

 = 900
Và DHAC có H
=
Nên sin b = sin ACH

AH
 = HC
, cosb = cosACH
AC
AC

Do đó: sin a cos b + sin b cos a =
=

AH HC
AH BH
.
+

.
AB AC
AC AB

AH
(HC + BH )
AB.AC

K
A

2S ABC
AH .BC
=
=
AB.AC
AB.AC
=

AB.AC . sin(a + b )
= sin(a + b )
AB.AC

B

H

C

Vậy sin(a + b ) = sin a cos b + sin b cos a .

Bài 10:

y

Vẽ CH là đường cao của tam giác ABC .

C

Xét DAHC vuông tại H , theo tỉ lệ số lượng giác
của góc nhọn, ta có:
25. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

A

H

B

x