De thi HSG cap truong

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2017 - 2018

Mơn: Tốn 8
Ngày thi: 18 - 01 - 2018
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ THI CHÍNH

Bài 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức:
x 2 + x  x +1 1
2 - x2 
P= 2
:
+
+

x - 2x +1  x
x -1 x 2 - x 

(Với x ≠ 0 và x ≠ ±1)

a) Rút gọn P;
1
b) Tìm x để P = 2


.

Bài 2(2,0 điểm).
a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử.
b) Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng
minh rằng đa thức f(x) khơng có nghiệm nguyên.
Bài 3 (1,5 điểm).
15 x
1 
 1
 1 12 


x  3x  4
 x  4 3x  3 
2

a) Giải phương trình sau:
2
2
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x  x  y 0
Bài 4: ( 3,5 điểm )

Cho hình thang ABCD có A D
= 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu
của D lên AC; M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD.
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vng và tam giác BCD là tam giác
vng cân.
b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh AQ vng góc với DP

d) Chứng minh S ABCD 6S ABC
Bài 5 : (1 điểm)
x y
 2
y
x
a) Chứng minh bất đẳng thức sau :
( với x,y cùng dấu )

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P

x
x2 y 2
 2  3 
2
y
x
y

y
 5
x
với x ≠ 0; y ≠ 0


PHÒNG GD & ĐT LƯƠNG TÀI
TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ

HƯỚNG DẪN CHẤM

Mơn thi: Tốn- Lớp 8

Bài 1 (2,0 điểm).
a) P 

P

P

1
(2,0)

x  x  1  ( x  1)( x  1)
x
2  x2 
:



2 
x( x  1) x( x  1) 
 x  1  x( x  1)
Với x ≠ 0 và x ≠ ±1

x  x  1 x 2  1  x  2  x 2
:
2
x ( x  1)
 x  1
x  x  1

 x  1

2

:

x  x 1 x ( x  1)
x 1
x2



x( x  1)  x  1 2 x  1
x 1

1
x2
1

2  x 1 2
2
 2 x  x  1  2 x 2  x  1 0
 2 x 2  2 x  x  1 0
  2 x  1  x  1 0
b) P 

0,25
0,5
0.5

0.25
0.25

x=1/2 ( thỏa mãn ĐKXĐ), x = -1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy với

x

1
1
thì P 
2
2

0.25

Bài 2 (2,0 điểm).
a) x3 – 5x2 + 8x – 4 = = (x3 - x2 ) - (4x2 - 4x) + (4x - 4)
= x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2
2
(2 đ)

b) Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x)
Khi đó f(x) = (x - a). Q(x), trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Vì thế f(0) = (- a).Q(0) (*); f(1) = (1 - a).Q(1) (**)
Vì f(0) là số lẻ nên từ (*) suy ra a là số lẻ. Vì f(1) là số lẻ nên từ (**) suy
ra 1- a cũng là số lẻ. Nghĩa là a và 1- a là hai số lẻ, mâu thuẫn. Tức là
điều giả sử là sai.
Vậy f(x) khơng có nghiệm ngun.

0,75
0,5

0,25
0,25
0,25


Bài 3: (1,5 điểm)
a) ĐK: x≠1;x≠−4
PT ⇔15 x−x 2−3 x +4=4 ( 3 x−3+x+4 )
2
⇔ x +4 x=0
⇔ x=0 (tm); x=−4 (loai )
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
a) Ta có

0,25
0,25
0,25
2

3
(1,5)

2

x 2  x  y 2 0  4 x 2  4 x  4 y 2 0   2 x  1   2 y  1

0,25

  2 x  2 y  1  2 x  2 y  1 1  *
  2 x  2 y  1 1

 2 x  2 y  1 1
 

  2 x  2 y  1  1

Vì x, y nguyên nên từ (*)   2 x  2 y  1  1
 x; y     0;0  ;   1; 0  

  x 0

  y 0
  x  1

  y 0

0,5

Vậy

x x 1  y 2


HS có thể đưa về 
rồi biên luận theo tích 2 số nguyên liên tiếp
là SCP

Bài 5: (3,5 điểm)
Phần
Nội dung đáp án
Vẽ hình đúng và ghi đầy đủ GT-KL

Điểm

0,5đ

a)

1đ
+/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
lại có A =900 nên ABMD là hình vng.
+/  BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
1
BM = 2 DC   BMD vuông tại B

0,5
0,25



lại có BDM
= 450   BMD vng cân tại B

0,25
0,5đ
0,25
0,25

0,5đ
0,25
0,25
1đ
0,25

b)
Tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM
 tứ giác DMPQ là hình bình hành
c)
Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP
 AQ  DP

d)
Chứng minh ABC = AMC (c.c.c)  S ABC S AMC
1
1
SAMC  AD.MC  AD 2
2
4
mà

Lại có

S ABCD S ABMD  S BCM  AD 2 

0,25
1
3
AD 2  AD 2

2
2

0,25

2

S ABCD
S ABC

3
AD
2
6  S ABCD 6 S ABC
1
2
AD
4

0,25

Bài 5 (1 điểm
Ý
a)
b)

Nội dung đáp án
x y
 2
y

x
Chứng minh được
với x,y cùng dấu
x y
t 
y x
Đặt

Điểm
0,5 đ

0,25

2

Đưa được về t – 3t + 3 = (t-2) (t-1) + 1
Với x, y khác dấu thì t < 0 => t-2 và t-1 là số âm
 (t-2) (t-1) > 0 => (t-2)(t-1) + 1 > 1
Với x, y cùng dấu thì t ≥ 2; => t-2 ≥ 0; t-1 >0
 (t-2)(t-1) ≥ 0
 (t-2) (t-1) + 1 ≥ 1
(t-2) ( t-1) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi t = 2 hay x = y
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
khi x = y

P

 x y
x2 y 2
 2  3    5

2
y
x
 y x
là 1

0,25


Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.