CHUYEN DE BOI DUONG HSG DAU HIEU CHIA HET

B. Nội dung
I/ Trớc hết học sinh cần nắm vững ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt
trong SGK líp 6 tËp 1, c¸c dÊu hiƯu chia hÕt cịng nh c¸c tÝnh
chÊt vỊ quan hệ chia hết.
1. Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên
x sao cho b.x = a, thì ta nãi a chia hÕt cho b vµ ta cã phÐp chia hÕt
a: b= x
2.C¸c dÊu hiƯu chia hÕt
a) DÊu hiƯu chia hÕt cho 2
Mét sè chia hÕt cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số
chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của
số đó chia hết cho 3 (hc 9).
Chó ý: Mét sè chia cho 3 (hc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số
của số đó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tËn cïng b»ng 0 hc 5
d) DÊu hiƯu chia hÕt cho 4 (hc 25)
Mét sè chia hÕt cho 4 (hc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng
của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hÕt cho 8 (hc 125)
Mét sè chia hÕt cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng
của số đó chia hết cho 8 hoặc 125.
f) DÊu hiÖu chi hÕt cho 11
Mét sè chi hÕt cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng
lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
3. Tính chất của 2 quan hÖ chia hÕt
+ 0 chia hÕt cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hÕt cho a th× a = b
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mµ (b, c) = 1 th× a
chia hÕt cho b.c


+ nÕu a chia hÕt cho m vµ a chia hÕt cho n th× a chia hÕt cho
BCNN(m,n)
+ NÕu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hÕt cho c
+ NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ sè tù
nhiªn.
+ NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a±b) chia hÕt cho
m
+ NÕu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a±b) kh«ng
chia hÕt cho m
+ NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho n th× a.b chia hÕt cho m.n
+ NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m là số nguyên tố thì a chia hết
cho m hoặc b chia hÕt cho m.
+ NÕu a chia hÕt cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hÕt cho bn víi n lµ sè tù nhiên
II/ Khi học sinh đà nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên
có thể đa ra một vài phơng pháp thờng dùng để giải các bài
toán chia hết.
Với học sinh lớp 6 tôi thờng sử dụng 5 phơng pháp sau:
1. phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hÕt
§Ĩ chøng minh a chia hÕt cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a
dới dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số b»ng b (hc
chia hÕt cho b). a = b.k ( k
N) hc a =m.k ( m chia hÕt cho b)
VÝ dơ 1: Chøng tá r»ng sè cã d¹ng aaaaaa bao giê cịng chia hÕt

cho 7
Gi¶i :
aaaaaa = a.111111 = a. 7.15873 chia hÕt cho 7
VÝ dô 2: Chøng tá r»ng sè cã d¹ng abcabc bao giê cịng chia hÕt
cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Giải :
Ta cã : abcabc
= abc 000+ abc = abc .(1000+1) = abc .1001
= abc .11.7.13 nªn abcabc chia hÕt cho 11, chia hÕt cho 7 vµ
chia hÕt cho 13.
VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng, nÕu lÊy mét sè cã 2 ch÷ sè céng víi sè
gåm 2 ch÷ sè Êy viÕt theo thứ tự ngợc lại, ta luôn đợc một số chia
hết cho 11


Giải .
Gọi 2 số đó là ab và ba . Ta cã :
+ ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b)
ab
chia hết cho 11
2. Phơng pháp 2 : Dùng các tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt.
2.1. Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu
* §Ĩ chøng minh a chia hÕt cho b ( b 0) ta cã thÓ lµm nh sau:
- ViÕt a = m + n mµ m M b vµ nM b
- ViÕt a = m - n mà m M b và nM b
* Để chøng minh a kh«ng chia hÕt cho b ta viÕt a dới dạng tổng của
các số mà chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn
các số hạng khác đều chia hết cho b.
Ví dụ 4: Chøng tá r»ng :
a) Tỉng cđa 3 sè tù nhiªn liên tiếp là một số chia hết cho 3

b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho
4.
Giải.
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiÕp lµ n, n +1 , n + 2.
Tỉng cđa 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) M
3
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3. Tỉng cđa 4
sè ®ã lµ : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2
= 4(n+1) + 2 kh«ng chia hÕt cho
4
VËy tỉng cđa 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đÃ
chia hết cho n.
2.2 Dùng tính chất chia hÕt cđa 1 tÝch.
§Ĩ chøng minh a chia hÕt cho b (b ¹ 0) ta cã thĨ chøng minh
b»ng mét trong c¸c c¸ch sau:
+ Ta chøng minh (a.m) chia hÕt cho b; (m, b) = 1 Þ a chia hÕt cho
b
+ BiĨu diƠn b = m.n víi (m,n)= 1, sau ®ã chøng minh a chia hÕt
cho m, a chia hÕt cho n


+ BiĨu diƠn a= a1 . a2,, b = b1.b2, råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1; a2
chia hÕt cho b2
VÝ dô 5: chøng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với " a, b
là số tự nhiên.
Giải:
Vì 1980 chia hÕt cho 3 nªn 1980.a chia hÕt cho 3 với " a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hÕt cho 3 víi " b
Nªn (1980a + 1995b) chia hÕt cho 3.

Chøng minh t¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hÕt cho 5 víi " a,
b mà (3,5) = 1.
ị (1980 a + 1995b) chia hết cho 15
VÝ dơ 6: chøng minh r»ng tÝch cđa 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho
8.

Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n
N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hÕt cho 4 nªn 4.n.(n+1) chia hÕt cho (4.2)
Þ 4.n.(n+1) chia hÕt cho 8
Þ 2n.(2n + 2) chia hết cho 8
* Giáo viên nhận xét : Nh vậy khi gặp những bài toán chứng minh
một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng,
hiệu, tích đó có thể phân tích đợc thành tích c¸c thõa sè, ta thêng
sư dơng c¸c tÝnh chÊt cđa phép chia hết.
3. Phơng pháp 3: Dùng định lí về chia cã d
®Ĩ chøng minh n chia hÕt cho p ta xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d
khi chia n cho p:
Ta viÕt n = p.k + r, trong ®ã r = 0, 1, ..., p-1; k
N. Råi xÐt
tÊt c¶ các trờng hợp của r.
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6)
chia hÕt cho 2.
Gi¶i: Víi mäi n ta cã thĨ viÕt hc n = 2k + 1 hc n= 2k
- Víi n= 2k +1 ta cã:
(n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).
(2k+7) chia hÕt cho 2.
- Víi n= 2k ta cã :

( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hÕt cho 2.
VËy víi mäi n
N th× (n+3)(n+6) chia hÕt cho 2.
VÝ dơ 8: chøng minh r»ng:
a) TÝch cđa 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3
b) TÝch cđa 4 sè tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.
Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tù nhiªn khi chia cho 3 cã thĨ nhËn mét trong các số d 0;1;2
- Nếu r = 0 thì n chia hÕt cho 3 Þ n.(n + 1).(n+ 2) chia hÕt cho 3
- NÕt r = 1 th× n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên)
ị n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hÕt cho 3
Þn. (n+1).(n+2) chia hÕt cho 3
- NÕu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)
ị n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hÕt cho 3
Þn.(n+1) . (n+2) chia hÕt cho 3
Tãm l¹i, n.(n+1).(n+2) chia hÕt cho 3 víi mäi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tơng tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hÕt cho 4
víi mäi n lµ số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập
này ở dạng tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp
luôn chia hết cho n.
Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng đợc sử dụng khi chøng
minh mét biÓu thøc cã chøa biÕn chia hÕt cho các số tự nhiên có
một chữ số. Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự
nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phơng pháp này vì phải xét
nhiều trờng hợp.

4. Phơng pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ
số tận cïng.
VÝ dô 9: Chøng minh r»ng (9999931999 – 5555571997) chia hÕt cho
10.
Gi¶i
Ta cã : 9999931999 = [ (9999934)499. 9999933] =
5555571997= (5555574)499.555557 =

.. . 1

.. . 1

.

.

.. . 7

.. . 7

=

=
.. . 7

.. . 7


 9999931999 – 5555571997 = .. . 0 chia hÕt cho 10 ( ®pcm)
VÝ dơ 10: Chøng minh r»ng : 1028 + 8 chia hÕt cho 72

Gi¶i:
Ta cã 1028 + 8 = ( 100...0
+ 8) = 100. . .08 cã tổng các chữ số
28 chữ9.
số 0
27 chữ số 0
bằng 9 nªn chia hÕt cho
1028 + 8 = = 100. . .08 cã tËn cïng b»ng 008 nªn chia hÕt cho 8.
27 chữ số 0

Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8 M (8.9) hay 1028+ 8 M 72.
*Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng sử dụng để chứng
minh các bài toán mà số chia là các số tròn chục ( 10, 100, ...) hay
các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng
( ví dơ : 5, 4, 8, 25, 125), hc sè chia có thể phân tích thành tích
các số có dạng nh trên.
5. Phơng pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet.
Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào
n chuồng, thì ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thá trë lªn”.
VÝ dơ11: Chøng minh r»ng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm đợc 2
số có hiƯu chia hÕt cho 5.
Gi¶i:
Mét sè khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số d là : 0; 1; 2; 3;
4.
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có
cùng số d ( nguyên tắc Đirichlet).
Hiệu của 2 sè chia hÕt cho 5.
III/ Khi häc sinh ®· nắm vững các ph ơng pháp thờng dùng để
Chứng minh chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về
chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, đ ợc

đào sâu các kiến thức về phép chia hết
Bài 1:
a) Tìm tất cả các số x,y ®Ó sè 34 x 5 y chia hÕt cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để 21 xy chia hết cho 3, 4 ,5 .
Giải
Vì (4;9) = 1 nên 34 x 5 y chia hÕt cho 36 Û 34 x 5 y chia hÕt cho
9 vµ 34 x 5 y chia hÕt cho 4.
Ta cã:

34 x 5 y

chia hÕt cho 4 Û 5y chia hÕt cho 4 Û { 2;6}.


chia hÕt cho 9 Û ( 3+4+x+5+y) chia hÕt cho 9

34 x 5 y

Û (12+x+y) chia hÕt cho 9
V× x,y là các chữ số nên x+y ẻ { 6;15}.
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 >9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056;34956
b) Ta cã : 21 xy M 5 ó y
{0;5}.
NÕu y = 5 thì 21 xy không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì

21 xy

chia hết cho 4 ú

x0

M4ị x

6 ; 8}. (1)
21 x 0 M 3 ó (2 + 1 + x + 0) M 3 ó (3+ x)M 3 Þ x
( 2)

{0; 2; 4 ;
{0; 3; 6; 9}.

KÕt hợp (1) và ( 2) ị x
{0; 6}.
Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. HÃy viết tất cả các số có 3 chữ số
tạo bởi 3 số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết
211
Giải:
tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ sè 0, a, b lµ:
a 0 b ; ab 0 ; ba 0 ; b 0 a

Tỉng cđa c¸c sè ®ã lµ: a 0 b+ ab 0+ ba 0+b 0 a = 100a +b +100a +10b
+100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia hÕt cho 211.
Bµi 3: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +260.
Chøng minh r»ng : AM3; AM7; A M15
b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 31991. Chøng minh r»ng : B chia hÕt
cho 13 vµ B chia hÕt cho 41.
Gi¶i:

*A = 2 +22 +23 + ... +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + ...+ (259 + 260) =
= 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + ... + 259 (1+2) = 2.3+ 23. 3 +.... +259. 3 =
= 3.(2+ 23 + ... + 259) chia hÕt cho 3
*A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + ... + (258 + 259 + 260)
= 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) +... + 258( 1+ 2+4)
= 2.7 +24.7+ ... + 258.7 = 7( 2+24 +... + 258) chia hÕt cho 7
*A= (2+ 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)


= 2(1+2+4+8) +... + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + ... + 257) chia
hÕt cho 15.
VËy A chia hÕt cho 3, A chia hÕt cho 7 vµ A chia hÕt cho 15.
b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991
= ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + ... + ( 31987+ 31989 + 31991)
= 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + ... + 31987(1+ 32+34)
= 3. 91 + 37.91 + ... + 31987.91
= 91( 3 + 37 + ... + 31987) M 13 ( v× 91 M 13)
B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 31985 + 31987 + 31989+
31991)
= 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 + 32 + 34 + 36)
= 3. 820 + 39 .820 + ... + 31985.820
= 820( 3 + 39 + ... + 31985) M 41 ( vì 820 M 41)
Bài 4 : Cho a - b chia hÕt cho 6. Chøng minh c¸c biĨu thøc sau chia

hÕt cho 6.
a) a +5b ;
b) a + 17b ;
c) a - 13b.
Gi¶i:
a) Ta cã : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b M 6 ( v× (a - b) M 6 vµ

6b M 6)

b) a + 17 b = ( a- b) + 18b M 6

[ vì (a- b) M 6 và 18bM6]

c) a - 13b = ( a - b) - 12b M 6 [ vì ( a - b ) M 6 và 12b M 6]
Bµi 5: Chøng minh r»ng: (92n + 199493) chia hÕt cho 5,
Gi¶i:
Ta cã: 92n = (92)n = 81n = .. . 1
199493 = (19942)46. 1994 = .. . 6 46. 1994 = .. . 6 .1994 = .. . 4
Do ®ã: 92n + 199493 = .. . 1 + .. . 4 = .. . 5 chia hÕt cho 5
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2)
Giải:
Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4
Mà 3.(n+2) chia hÕt cho (n+2)
Do ®ã (3n+10) chia hÕt cho (n+2) <=> 4 chia hÕt cho (n+2) Û
(n+2) lµ íc cđa 4.
Û (n+2)
{ 1; 2;4}
Þn
{ 0;2}


Vậy với n
{0;2 } thì (3n+10) chia hết cho (n+2)
Cách 2: (3n+10) chia hÕt cho (n+2)
Mµ (n+2) chia hÕt cho (n+2) => 3(n+2) chia hÕt cho (n+2)
=> [ (3n +10) - (3n +6)] chia hÕt cho (n+2)
=> 4 chia hÕt cho (n+2)

đến đây giải tiếp nh ở cách 1.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n để

n+15
n+ 3

là số tự nhiên

Giải
để

n+15
n+ 3

là số tự nhiên thì (n+15) chia hết cho n+3

=> [( n+15) - (n+3)] chia hÕt cho (n+3)
ó 12 chia hÕt cho (n+3)
ó (n+3) lµ U(12) = {1;2;3;4;6;12}
ó n

{0;1;3;9}

VËy víi n

{0;1;3;9} thì

n+15
n+ 3

là số tự nhiên

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1)
=1
Giải : Gọi d là ƯC( 3n+ 1 , 4n + 1)
Þ
3n + 1 M d
Þ
4.( 3n + 1) M d
4n + 1 M d

3. ( 4n+1) M d

Þ ( 12n + 4 - 12n - 3 ) M d
Þ1MdÞ d=1
Þ ( 3n + 1, 4n + 1) = 1
Bµi 9: Trong 45 häc sinh lµm bµi kiĨm tra, không có ai bị điểm dới 2, chỉ có 2 học sinh đợc điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng
tìm đợc 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
Giải :
Có 45 -2 = 43 học sinh đợc phân chia và 8 loại điểm ( từ 2 đến
9). Giả sử mỗi điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh,
thì lớp học không có quá 8.5 = 40 häc sinh ( Ýt h¬n 43 häc sinh)
VËy tån t¹i Ýt nhÊt cã 6 häc sinh cã ®iÓm kiÓm tra b»ng nhau.


Bài 10: Chứng minh rằng nếu

abc

M 37 thì

cab

M 37 và

bca

M 37
Giải:

Vì

abc

M 37 nên ( 100a + 10b + c) M 37

Þ 10.( 100a + 10b + c) M 37
Þ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a] M 37 ( vì 999M37)
ị ( 100b + 10c + a ) M 37
ị bca M 37
Mặt khác : abc +

cab

+

bca

= 100a + 10b+ c + 100c + 10a + b

+ 100b + 10c + a = 37.3. ( a + b + c) M 37
Mà

abc

+

bca

M 37

ị bca M 37
*Nhận xét: Qua bài này ta rút ra đợc tổng 3 số dạng
bca

abc

+

cab

+

M 37

Bµi 11: Chøng minh r»ng nÕu ( 6x + 11y ) chia hÕt cho 31 th× ( x +
7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y.
Giải :
Vì ( 6x + 11y) M 31 nên ( 6x + 11y + 31y ) M 31
Þ ( 6x + 42 y) M 31 Þ 6 ( x + 7y ) M 31

mà ( 6, 31 ) = 1 ị ( x + 7y ) M 31 ( đpcm).
Bài 12: Mét sè khi chia cho 6 d 4, khi chia cho 7 d 6, chia cho 11
d 3. T×m d cho phép chia số đó cho 642.
Giải :
Gọi số đó lµ a.
Theo bµi ra, ta cã a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p là các thơng và là các số tù nhiªn).
Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2) M 6
a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2) M 7
a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1) M 11
suy ra ( a + 8) lµ BC (6,7,11), mµ BCNN(6,7,11) = 462
Þ ( a + 8) M 462


Þ ( a + 8 ) = 462.m ( m N)
Þ a = 462.m - 8 = 462.(m - 1) + 454
Þ a = 462.n + 454 ( n N)
VËy a chia cho 462 d 454.
Bài 13:
a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số
chia hết cho các số 5, 7 ,9 ?
b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để đợc số
chia hết cho các số 6, 7, 8, 9?
Giải:
a) Giả sử số viết thêm là abc . Ta cã 579 abc chia hÕt cho 5, 7 ,9
suy ra 579 abc chia hÕt cho 5. 7. 9 = 315. ( vì 3, 5, 7 đôi một
nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác
315

579 abc

= 579000 +

abc

= ( 315.1838 + 30 +

abc

)M

Mµ 315.1838M 315 suy ra ( 30 + abc ) M 315
Do 30
30 + abc
30 + 999 = 1029
nªn ( 30 + abc )
{ 315; 630; 945}
suy ra abc
{ 285; 600; 915}
Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915.
b) Gọi số phải viết thêm là abc . Ta cã :
chia hÕt cho
523 abc chia hÕt cho 6, 7, 8, 9 nên
523 abc
BCNN(6,7,8,9) = 504.
Mặt khác 523 abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 +
abc .
V× 504. 1037 M 504 nªn ( 352 +

abc

) M 504

ó

abc

=

k.504 - 352 víi k
NÞk
{ 1; 2 } ó abc
{ 152 ; 656}
Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656.
Bài 14: Một bạn viết các số từ 1 đến abc . Bạn đó phải viết tất
cả m chữ sè. BiÕt r»ng m chia hÕt cho abc , t×m abc .
Giải:
Từ 1 đến abc , bạn đó phải viết số chữ số là :
M = 1.9 + 2.90 + 3. ( abc - 99) = 3. abc - 108


Theo bµi ra

m M

abc

ó ( 3.

abc

-108) M

abc

ó 108M

abc

ó abc = 108
Vậy bạn đó đà viết các số tự nhiên từ 1 đến 108.
Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 ... 1 chia hết cho 3.
Giải:
* Cách 1: Ta có : 2n + 11 ... 1 = 3n + ( 11 ... 1 - n)
n chữ số
chữ số
vì một số chia cho 3 d baon nhiêu
thì tổng các chữ số của số ấy chia
chữ số
cho 3 cũng d bấy nhiêu nnên
11... 1 và n có cùng số d khi chia cho 3
Þ 11...1 - n chia hÕt cho 3
VËy 3n + (11 ... 1 - n ) M 3 hay 2n + 11 ... 1 M 3

n

* C¸ch 2: víi mäi n
N ta cã hc n = 3k hc n = 3k + 1 hc
n = 3k +2 ( k N) n ch÷ sè
ch÷ sè

- nÕu n = 3k

n ch÷ số

ị 2n + n11...1
= 2.3k + 11...1 M 3
chữ số

- NÕu n = 3k + 1 Þ 2n + 11 ... 1 = 2( 3k+1) + 11 ...1 = 6k +
11...13 chia hÕt cho 3.
- NÕu n = 3k+
2 Þ 2n + 11 3k
...1ch÷=sè2( 3k+2) + 11 ... 1
n ch÷ sè
chia
hÕt cho 3k3 ch÷ sè 1
3k+1
ch÷ sè
n ch÷=sè6k + 3 + 11...12
( vì số 11...12 có tổng các chữ số b»ng 3k + 3 chia hÕt cho 3)
n ch÷ sè
3k +1 ch÷ sè 1
3k +1 ch÷ sè 1

3k+2 ch÷ sè


* Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phép chia
hết". Các bài toán về "phép chia hết" thật đa dạng và phong phú.
nếu nh chúng ta chỉ hớng dẫn học sinh giải những bài tập ở mức

độ trung bình thì các em cha thể thấy đợc "cái hay" của dạng toán
này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là khó và phức tạp.
Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng phơng pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhng cuối cùng đều quy về
định nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc
nắm vững định nghĩa về phép chia hết, các tính chất và các dấu
hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể định hớng đợc cách giải bài tập giúp học sinh có t duy sáng tạo và sự linh hoạt
khi giải toán. Khi đà làm đợc nh vậy thì việc giải các bài toán về
phép chia hết đà trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh.
.IV. Một số kết quả ban đầu


1. Kết quả
với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau 3 năm dạy
toán 6, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp
số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ
động, rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng đợc các bài toán
liên quan đến phép chia hết và từ đó có thể giải đợc hầu hết các bài
tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có
quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh,
sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy đợc
dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp
cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn toán.
* Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đa ra, học sinh giải
đợc một cách độc lập và tự giác, đợc thống kê theo bảng sau:
Năm học
2002 2003
2003 2004
2004 2005

áp

dụng
đề tài
Cha
áp
dụng
ĐÃ áp
dụng
ĐÃ áp
dụng

Tổng
số HS
lớp 6

Số HS giải đợc theo các mức độ
Từ 0 -20% BT

Từ 20-50%
BT

Từ 50-80%
BT

Trên 80% BT

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

36

7

19

15

42

10

28

4

11

49

7

14

15

31

15

31

12

24

45

5

11

14

31

13

29

13

29

2. Bài học kinh nghiệm.
Phần " Phép chia hết cho tập hợp số tự nhiên" ở líp 6 lµ mét
néi dung quan träng bëi kiÕn thøc này có liên quan chặt chẽ, nó là
tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và ®Ỉc biƯt nã cã
øng dơng rÊt nhiỊu. Do vËy, tríc hết chúng ta cần cho học sinh nắm
thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết và đặc
biệt là các tính chất của quan hệ chia hết bởi vì các tính chất này
rất hay sử dụng.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên
hệ những kiến thức đà biết để xây dựng kiÕn thøc míi, chän läc hƯ
thèng bµi tËp theo møc độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải
cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt tay vào giải theo nhiều cách
( nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài tập. Cần rèn


luyện nhiều cách suy luận để tìm hớng giải và cách lập luận trình
bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi
giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm , một hớng giải quyết nào
đó để khi gặp bài tơng tự học sinh có thể liên hệ đợc.
c . Kết luận
Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đà chuẩn bị tạo tình
huống dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông
qua đó phát huy tính tích cực chủ động của học sinh. Tuy nhiên để
làm đợc điều đó phải tốn không ít thời gian cho việc chuẩn bị nội

dung và phơng pháp giảng dạy của mình. Nhng theo tôi một trong
những phơng pháp giúp chất lợng học tập của học sinh ngày một
nâng cao là phải làm nh vậy.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra
khi dạy phần " Phép chia hết trong tập hợp N " ở lớp 6. Chắc chắn
nó cha đợc hoàn chỉnh và có chỗ kiếm khuyết. Trong khi vấn đề
bồi dỡng học sinh giỏi toán đối với giáo viên THCS còn nhiều bức
xúc thì bản thân tôi muốn đóng góp một kinh nghiệm nhỏ của
mình. Qua đây, tôi rất mong sự góp ý chân thành của các bạn đồng
nghiệp để năm học tới đợc tốt hơn, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp
giáo dục nớc nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn!


A. Phần mở đầu
I/ Lí do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng
không ngừng đổi mới. Các nhà trờng đà ngày càng chú trọng hơn
đến chất lợng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu t thích đáng cho
giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn to¸n


đà góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học
tự nhiên khác.
Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức
cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao để các em có
hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta
luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu
học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Điều đó đòi hỏi

trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ
đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển thành tổng quát giúp
học sinh cã thĨ ph¸t triĨn tèt t duy to¸n häc.
Víi đối tợng học sinh khá, giỏi, các em có t duy nhạy bén, có
nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các học sinh này
phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo
viên chúng ta. Bản thân tôi, trong 3 năm học vừa qua đợc nhà trờng
phân công dạy toán lớp 6. Qua giảng dạy tôi nhận thấy phép chia
hết" là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và
không thể thiếu khi bồi dỡng học sinh khá giỏi môn toán 6 cũng
nh môn toán THCS. Với bài viết này, tôi không tham vọng lớn bàn
về việc dạy " phép chia hết" và ứng dụng của nó trong chơng trình
toán học phổ thông, tôi chỉ xin ®a ra mét sè kinh nghiƯm gióp häc
sinh líp 6 giải các bài tập về" phép chia hết" trong tập hợp số tự
nhiên mà tôi đà từng áp dụng thành công. Tôi hy vọng nó sẽ có ích
cho các đồng nghiƯp khi båi dìng häc sinh kh¸, giái
II. NhiƯm vơ của đề tài
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày Một vài
kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về phép chia hết
trong tập hợp N . Cụ thể là :
- Các phơng pháp thờng dùng khi giải các bài toán về phép chia
hết.
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia
hết.
- Củng cố và hớng dÉn häc sinh lµm bµi tËp.


III. Đối tợng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về Phép chia hết trong N
trong SGK Toán 6 tập 1, qua định hớng đổi mới phơng pháp dạy

toán 6.
Đối tợng khảo sát : Học sinh lớp 6
IV. Phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu tài liệu
- Phơng pháp thực hành
- Đúc rút 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân
khi dạy phần Phép chia hÕt.