15 bai tap THE TICH LANG TRU XIEN File word co loi giai chi tiet

 BÀI 03
KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai
mặt phẳng song song với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.

1. Hình lăng trụ đứng
Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với
mặt đáy.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và
vng góc với mặt đáy.

2. Hình lăng trụ đều
Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng
nhau và vng góc với mặt đáy.

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
1. Hình hộp đứng
Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt
đáy.
Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh
4
là
hình chữ nhật.

2. Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

3. Hình lập phương

Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là
hình vng
Tính chất. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vng.

Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác
có chung một đỉnh.

I – THỂ TÍCH
1. Cơng thức tính thể tích khối chóp

1
V = S.h
3
Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.

2. Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ

V = B.h
B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ
Trong đó:
..
● Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc


Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
3

● Thể tích khối lập phương: V = a
Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

III – TỶ SỐ THỂ TÍCH
Cho khối chóp S.ABC và A ' , B ' , C ' là các điểm
tùy ý lần

S
B'

lượt thuộc SA , SB , SC ta có

VS. A 'B 'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VS. ABC
SA SB SC

.
Phương pháp này được áp dụng khi khối
chóp khơng xác đinh được chiều cao một cách
dễ dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần
nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một
số điều kiện sau
· Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.
· Đáy hai khối chóp phải là tam giác.

A'

A

C'

B

C

· Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 66. Cho hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng 2a , đáy
ABCD là hình vng. Hình chiếu vng góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng đáy
trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho.
4a3 2
V=
3 .
A.
B.

Đăng ký mua file word trọn bộ
chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại
.

3
C. V = 8a . D.

V = 4a3 2 .
Câu 67. Cho lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,
( ABCD ) trùng
cạnh bên AA ' = a , hình chiếu vng góc của A ' trên mặt phẳng
với trung điểm H của AB . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.


a3
a3 3
V=
3
3 .
2 .
A.
B.
C. V = a .
D.
Câu 68. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B và AC = 2a . Hình chiếu vng góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung
điểm H của cạnh AB và A ' A = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
V=

a3 3
6 .

V=

a3 6
a3 6
V=

3
3
6 .
2 .
A. V = a 3 .
B.
C.
D. V = 2a 2 .
Câu 69. Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình
( ABC ) trùng với tâm O của
chiếu vng góc của điểm A ' lên mặt phẳng
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết A 'O = a . Tính thể tích V của khối
lăng trụ đã cho.
a3
a3 3
a3 3
a3
V=
V=
V=
V=
6 .
12 .
4 .
4 .
A.
B.
C.
D.
V=

Câu 70. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a 2 và
A ' A = a 3 . Hình chiếu vng góc của điểm A ' trên mặt phẳng ( ABC ) trùng
với trọng tâm G của tam giác ABC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
2a3
a3
a3
V=
V=
V=
3
3 .
6 .
2 .
A.
B.
C.
D. V = 2a .
Câu 71. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác
vuông tại A , AB = AC = a . Biết rằng A ' A = A ' B = A 'C = a .
a3
a3 3
a3 2
a3 2
V=
V=
V=
4 .
4 .
12 .

2 .
A.
B.
C.
D.
ABC
.
A
'
B
'
C
'
ABC
Câu 72. Cho lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại B ,
AB = 1, AC = 2 ; cạnh bên AA ' = 2 . Hình chiếu vng góc của A ' trên mặt đáy
V=

( ABC ) trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác ABC . Tính thể tích V

của khối lăng trụ đã cho.
21
21
7
3 21
V=
V=
V=

V=
4
12
4
4 .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Câu 73. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A ¢B¢C ¢ biết thể tích khối chóp
A.BCB¢C ¢ bằng 2a3.
3
A. V = 6a .

B.

V=

5a3
.
2

Đăng ký mua file word trọn
bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại
3
C. V = 4a .

3
D. V = 3a .


D ¢ có thể tích bằng 12cm3. Tính thể tích V
Câu 74. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢
của khối tứ diện AB¢CD ¢.
3
A. V = 2cm .
3
D. V = 5cm .

3
B. V = 3cm .

V = 4cm3.

C.

Câu 75. Cho lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và
AB = a , AD = a 3 ; A 'O vng góc với đáy ( ABCD ) . Cạnh bên AA ' hợp với mặt
( ABCD ) một góc 450 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
đáy
a3 3
a3 3

a3 6
V=
V=
V=
3
6 .
3 .
2 .
A.
B.
C.
D. V = a 3 .
Câu 76. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài

( ABC ) trùng với trung điểm
bằng 2 . Hình chiếu vng góc của A ' lên mặt phẳng
0
H của BC . Góc tạo bởi cạnh bên AA ' với mặt đáy là 45 . Tính thể tích khối trụ
ABC.A ' B 'C ' .
6
8 .

6
V=
V
=
3
V
=
1

24
A.
.
B.
.
C.
D.
.
Câu 77. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ tam giác ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC = 2 2 . Biết AC ¢ tạo với
V=

mặt phẳng
ABCB¢C ¢.

( ABC ) một góc 600 và AC ¢= 4 . Tính thể tích V của khối đa diện

8
V= .
3
A.

B.

V=

16
.
3

C.

V=

8 3
.
3

D.

V=

16 3
.
3

2
Câu 78. Tính thể tích V của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích S = 10cm ,
0
cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 và độ dài cạnh bên bằng 10cm.
3
3
3
3
A. V = 100cm . B. V = 50 3cm .
C. V = 50cm .
D. V = 100 3cm .
Câu 79. Cho lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm
·
= 1200 . Góc giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy bằng 600 . Đỉnh A ' cách

O và ABC
đều các điểm A, B, D . Tính theo a thể tích V của khối l

Đăng ký mua
file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại
ăng trụ đã cho.
3

3

A.

V=

3a
2 .

B.

V=

a 3
6 .

C.

V=

a3 3
2 .

3
D. V = a 3 .


D ¢ có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh
Câu 80. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢
·
a, góc ABC
= 600 . Biết rằng A ¢O ^ ( ABCD ) và cạnh bên hợp với đáy một góc
0
D ¢.
bằng 60 . Tính thể tích V của khối đa diện OABC ¢
3
3
a
a
a3
3a3
V= .
V= .
V= .
V=
.
6

8
12
4
A.
B.
C.
D.

Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 66. Gọi O là tâm của hình vng
ABCD ,

C'

B'
D'

A'

A 'O ^ ( ABCD )

suy ra
.
Tam giác vuông A 'OA , có
A 'O = AA '2- AO2 = 4a2 - 2a2 = a 2 .
2
Diện tích hình vng SABCD = 4a .
VABCD.A 'B 'C ' D ' = SDABCD .A 'O = 4a3 2.
Vậy
Chọn D.

Câu 67. Theo giả thiết, ta có A ' H ^ AB .
A ' HA ,
Tam
giác
vng

B
O

A

có

C'
D'

A'

2

B

2
Diện tích hình vng SABCD = a .

Đăng ký
mua file word trọn bộ chuyên
đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu
Gửi đến số điện thoại

Vậy

D

B'

a 3
A ' H = AA ' - AH =
2 .
2

C

VABCD.A 'B 'C ' D ' = SABCD .A ' H =

a3 3
.
2
Chọn B.

H
A

C
D

Câu 68. Từ giả thiết suy ra BA = BC = a 2.
A ' HA ,
Tam
giác
vng
có
a
6
A ' H = AA '2- AH 2 =
.
2
ABC
Diện
tích
tam
giác
là
1
SD ABC = BA.BC = a2.
2
a3 6
V = SD ABC .A ' H =
.
2
Vậy
Chọn C.

C'

A'

B'

A

C
H
B

a2 3
4 . Chiều cao khối lăng trụ A 'O = a .
Câu 69. Diện tích tam giác đều
a3 3
V = SDABC .A 'O =
.
4
Vậy thể tích khối lăng trụ
Chọn A.
M
,
N
AB
,
BC
Câu 70. Gọi
lần lượt là trung điểm
.
C'
A'
Khi đó G = AN Ç CM là trọng tâm D ABC.
SD ABC =

A 'G ^ ( ABC )
Theo giả thiết, ta có
.
Tam giác ABC đều cạnh 2a 2 nờn suy ra
2
2
AN = a 6 ắắ
đ AG = AN = a 6.
3
3

B'

A

C
G

M
a 3
A 'G = A ' A - AG =
.
3
Tam giác vng A 'GA , có
2
3
SD ABC = 2a 2 .
= 2a2 3.
4

Diện tích tam giác ABC là
2

(

2

N

B

)

V
= SABC .A 'G = 2a3.
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC .A ' B 'C '
Chọn D.
BC
A
'
A
=
A
'
B
=
A 'C = a , suy ra hình chiếu
I
Câu 71. Gọi
là trung điểm

. Từ
( ABC ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
vng góc của A ' trên mặt đáy
ABC.
A ' I ^ ( ABC )
B'
C'
Suy ra
.
2
2
A'
Tam giác ABC , có BC = AB + AC = a 2.
A ' IB ,
Tam
giác
vng
có
a
2
A ' I = A ' B2 - BI 2 =
2 .
I
B
C
1
a2
SD ABC = AB.AC =
2
2.

Diện tích tam giác ABC là
A
3
a 2
VABC .A ' B 'C ' = SDABC .A ' I =
.
4
Vậy
Chọn C.
H
Câu 72. Gọi
là chân đường cao hạ từ B trong D ABC .
A ' H ^ ( ABC ) .
Theo giả thiết, ta có
Tam giác vng ABC , có
AB2 1
AH =
=
2
2
AC
2.
BC = AC - AB = 3 ;

A'

C'
B'

A

H

C
B


Tam giác vng A ' HA , có
ABC là
Diện tích tam giác
Vậy

VABC .A ' B'C ' = SDABC .A ' H =

A ' H = AA '2- AH 2 =
SD ABC =

7
2 .

1
3
AB.BC =
.
2
2

21
.
4 Chọn A.

1
VA.A ¢B¢C ¢ = VABC.A¢B¢C ¢.
3
Câu 73. Ta có thể tích khối chóp
2
3
3
VA.BCB¢C ¢ = VABC.A ÂB ÂC Â ắắ
đVABC .A ÂB ÂC Â = VA.BCB¢C ¢ = .2a3 = 3a3.
3
2
2
Suy ra
Chọn D.
Câu 74. Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.
3

Thể tích khối hộp VABCD.A 'B 'C ' D ' = S.h = 12cm .
D ¢ thành khối tứ diện
Chia khối hộp ABCD.A¢B¢C ¢
AB¢CD ¢ và 4 khối chóp: A.A ¢B¢D ¢, C.B ¢C ¢
D ¢,
B¢.BAC, D ¢.DAC (như hình vẽ). Ta thấy bốn khối
chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng
1S
. .h.
3 2
Suy ra tổng thể tích 4 khối chóp bằng
2

V ' = Sh.
3
VAB¢CD ¢ = Sh-

2
1
1
Sh = Sh = .12 = 4cm3.
3
3
3
Chọn C.

Vậy thể tích khối tứ diện
A 'O ^ ( ABCD )
Câu 75. Vì
nên
0
·
·
· ' AO
45 = AA ',( ABCD) = AA ', AO = A

B'
.

C'
D'

A'

Đường chéo hình chữ nhật
AC
=a
2
.
Suy ra tam giác A 'OA vuông cân tại O nên
B
A 'O = AO = a .
Diện
tích
hình
chữ
nhật
A
SABCD = AB.AD = a2 3
.
VABCD.A 'B 'C 'D ' = SABCD .A 'O = a3 3.
Vậy
Chọn D.
ABC
Câu 76. Tam giác
đều cạnh bằng 2 nên
A
'
H
^
ABC
(
) nên hình chiếu

AH = 3 . Vì
( ABC ) là
vng góc của AA ' trên mặt đáy
0
·
·
·
AH . Do đó 45 = AA ',( ABC ) = AA ', AH = A ' AH .
A
Suy ra tam giác A ' HA vuông cân tại H nên
A ' H = HA = 3 .
AC = AB2 + AD 2 = 2a Þ AO =

S
= 3
Diện tích tam giác đều ABC là D ABC
.

C
O
D

A'

B'
C'

C
H
B

Vậy V = SD ABC .A ' H = 3. Chọn A.

( ABC ) .
Câu 77. Gọi H là hình chiếu của C ¢ trên mặt phẳng
( ABC ) .
Suy ra AH là hình chiếu của AC ¢ trên mặt phẳng
· ¢,( ABC ) = (·AC ¢, AH ) = HAC
·
¢.
600 = AC
Do đó
·
Tam giác vng AHC ¢, có C ¢H = AC ¢.sin HAC ¢= 2 3.
Thể tích khối lăng trụ

B'

C'
A'

C

B

H

VABC.A ¢B¢C ¢ = SD ABC .C ¢H = 8 3.

2
16 3
VABCB¢C ¢ = VABC.A ¢B¢C ¢ =
.
3
3
Suy ra thể tích cần tính
Chọn D.

A

Câu 78. Xét khối lăng trụ ABC.A ¢B¢C ¢ có đáy là tam giác ABC.
A'
Gọi H là hình chiếu của A ¢ trên mặt phẳng
B'
( ABC ) ị A ÂH ^ ( ABC ) . Suy ra AH là hình
C'
ABC ) .
(
¢
AA
chiếu của
trên mặt phẳng
Do
đó
A
· ¢,( ABC ) = (·AA ¢, AH ) = A
· ¢AH .
B
600 = AA

H
Tam giác A ¢AH vng tại H , có
C
· ¢AH = 5 3.
A ¢H = AA ¢.sin A
V = SDABC .A ¢H = 50 3cm3.
Vậy
Chọn B.
Câu 79. Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a .
Gọi H là tâm tam giác ABD . Vì A ' cách đều các điểm A, B, D nên
B'
C'
A ' H ^ ( ABD )
.
A'
· ',( ABCD ) = AA
D'
· ', HA = A
· ' AH
600 = AA
Do đó
.
2
2 a 3 a 3
AH = AO = .
=
.
3
3 2
3

Ta có
·
B
Tam giác vng A ' AH , có A ' H = AH .tan A ' AH = a .
C
a2 3
SABCD = 2SD ABD =
HO
2 .
D
A
Diện tích hình thoi
Vậy

VABCD.A 'B 'C ' D ' = SABCD .A ' H =

a3 3
.
2
Chọn C.
a Þ OA =

Câu 80. Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC đều cạnh
· ¢,( ABCD ) = (·AA¢, AO) = A
· ¢AO.
600 = AA
A ¢O ^ ( ABCD )
Vì
nên
B'

· ¢AO = a 3 .
OA ¢= OA.tan A
¢
A
AO
2
Tam giác vuông
, có
3a3
.
4
Suy ra thể tích khối hộp
Ta có V =VO. ABC ¢D¢ +VAA¢D ¢. BB¢C ¢ +VC ¢.BOC +VD ¢. AOD +VO.CDD ¢C ¢

AC a
= .
2
2

C'

A

V = SABCD .OA¢=

D
O

B

D'

A'

C


1
1
1
1
V a3
=VO.ABC ¢D ¢ + V + V + V + V ị VO.ABC ÂD Â = = .
2
12
12
6
6
8 Chn C.