Một số tính chất của toán tử đối đồng điều và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỐN TỬ ĐỐI ĐỒNG
ĐIỀU VÀ ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: T2019-11GVT

SKC 0 0 6 7 73

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 02/2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG DÀNH CHO GIẢNG VIÊN TRẺ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU VÀ ỨNG DỤNG

Mã số: T2019-11GVT

Chủ nhiệm đề tài: ThS. PHAN PHƯƠNG DUNG

TP. HỒ CHÍ MINH, 02/2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG DÀNH CHO GIẢNG VIÊN TRẺ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU VÀ ỨNG DỤNG

Mã số: T2019-11GVT

Chủ nhiệm đề tài: PHAN PHƯƠNG DUNG
Thành viên đề tài: NGUYỄN KHẮC TÍN

TP. HỒ CHÍ MINH, 02/2020


Mục lục

PHẦN MỞ ĐẦU

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Đại số và đối đại số phân bậc-Đại số Hopf . . . . . . . . . . .

6

1.2

Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Đại số đối xứng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Toán tử đối đồng điều

11

2.1

Đại số Steenrod modulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Cấu trúc đại số Hopf của đại số Steenrod . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Cấu trúc A-môđun của H ∗ (RP ∞ )k . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4

Đại số Steenrod A(p), với p > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5

Bất biến Dickson-Mùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.6

Bài toán hit đối với đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.6.1

Hàm µ và véctơ trọng lượng của đơn thức . . . . . . . .

23

2.6.2

Đơn thức chấp nhận được và đơn thức hit . . . . . . . .

25

2.6.3

Đồng cấu Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3 Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số của
Singer

30

3.1

Giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . .

30

3.2

Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

34

i


ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
Tp. HCM, ngày 20 tháng 02 năm 2020
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thơng tin chung:
- Tên đề tài: "Một số tính chất của toán tử đối đồng điều và ứng
dụng"
- Mã số: T2019-11GVT.
- Chủ nhiệm: ThS Phan Phương Dung.
- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh.
- Thời gian thực hiện: 12 tháng
2. Mục tiêu:
Xác định tường minh cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức năm biến.
Ứng dụng kết quả này để nghiên cứu kiểm định giả thuyết của Singer về đồng
cấu chuyển đại số.
3. Tính mới và sáng tạo:
Trong đề tài, nhóm nghiên cứu đã đưa ra các kết quả mới:
Định lí. Cho n = 11.2r+2 − 5, với r là một số ngun dương bất kì. Khi đó,
tồn tại 134190 đơn thức chấp nhận được bậc n trong P6 , với r > 4. Do đó,

dim(F2 ⊗A P6 )n = 134190.
4. Kết quả nghiên cứu:
Chúng tơi nghiên cứu bài tốn hit đối với đại số đa thức được xét như một
mô đun trên đại số Steenrod tại một số bậc. Sử dụng kết quả này, chúng tôi chỉ
ra rằng giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển đại số là đúng trong trường
hợp này.
5. Sản phẩm: 01 bài báo
[1] P. P. Dung, H. N. Ly, N. K. Tin, "Dimension result for the polynomial
algebra of six variables as a module over Steenrod algebra in some degrees",
ii


Journal of Technical Education Science, 6-pages, 2020. (accepted)
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả

năng áp dụng:
Cơng bố kết quả nghiên cứu với mục đích học thuật, phục vụ tham khảo cho
giáo dục đào tạo và nghiên cứu cơ bản.
Trưởng Đơn vị

Chủ nhiệm đề tài

Phan Phương Dung
Thành viên: Nguyễn Khắc Tín

iii


INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1. General information:
Project title: "Some properties of the cohomology operations and its applications"
Code number: T2019-11GVT.
Coordinator: Phan Phuong Dung.
Implementing institution: University of Technology and Education, Ho Chi
Minh City, Vietnam.
Duration: from January, 2019 to December, 2019.
2. Objective(s):
We explicitly determine the hit problem for the case of five variables in terms
of the admissible monomials. Applying the results for the hit problem to study
and verify the Singer conjecture for the algebraic transfer.
3. Creativeness and innovativeness:
This is a new contribution of authors ( see [10] and [49]).
4. Research results:
We study the hit problem for the polynomial algebra as a module over Steenrod algebra in some degrees. Using this results, we show that Singer’s conjecture

for the algebraic transfer is true in this case.
5. Products: 01 paper
[1] P. P. Dung, H. N. Ly, N. K. Tin, "Dimension result for the polynomial
algebra of six variables as a module over Steenrod algebra in some degrees",
Journal of Technical Education Science, 6-pages, 2020. (accepted)
6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability:
The publishment of the research results is for academic purpose, utilized as
a reference for education-training and fundamental research.

iv


PHẦN MỞ ĐẦU
TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI.
Lý thuyết bất biến modula của nhóm tuyến tính tổng quát được đề xướng
bởi Dickson vào những năm 1910 và trong thập niên này nó đã phát triển một
cách mạnh mẽ với tư cách là một ngành đại số thuần túy. Tuy nhiên, mãi đến
những năm 1970 khi Mùi [17] phát triển thêm cho một số nhóm con khác của
nhóm tuyến tính tổng qt và áp dụng nó để nghiên cứu các đại số đối đồng
điều của các nhóm đối xứng thì lý thuyết này mới trở thành một công cụ hữu
hiệu trong Tôpô đại số; đặc biệt là trong thời gian gần đây nó được sử dụng để
nghiên cứu các toán tử đồng điều và đối đồng điều kì dị; phân tích ổn định các
khơng gian phân loại ...
Cho X là một không gian tôpô, ký hiệu H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều kì dị của X
với hệ số trên trường F2 có 2 phần tử. Các hàm tử đồng điều và đối đồng điều
kỳ dị là các bất biến đồng luân được sử dụng để nghiên cứu một trong những
bài toán trọng tâm của Tơpơ đại số là bài tốn phân loại kiểu đồng luân của
các không gian tôpô. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, bất biến này chưa đủ
mạnh để giải quyết bài tốn nói trên. Một trong những cơng cụ làm tinh tế đối
đồng điều là toán tử đối đồng điều được xây dựng năm 1947 bởi Steenrod và

thường được gọi là toán tử Steenrod, Sq k , với

Sq k : H ∗ (X, F2 ) −→ H ∗+k (X, F2 )
tác động tự nhiên lên đối đồng điều kì dị modulo 2 của không gian tôpô X với

k là số ngun khơng âm. Các tốn tử này sau đó được Thom và Wu sử dụng
để nghiên cứu các lớp đặc trưng của phân thớ vectơ và nhanh chóng trở thành
một trong những công cụ hàng đầu của Tôpô đại số.
Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được làm rõ bởi Serre vào


năm 1952. Serre chứng minh rằng, với phép cộng thông thường và phép hợp
thành các ánh xạ, các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều
ổn định. Đại số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số trên trường F2 được
gọi là đại số Steenrod modulo 2 và thường được kí hiệu là A.
Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại số
như là thương của F2 - đại số kết hợp tự do sinh bởi các ký hiệu Sq i (với i là
số nguyên không âm) chia cho iđêan hai phía sinh bởi hệ thức Sq 0 = 1 và các
quan hệ Adem
[a/2]
a

b

Sq Sq =
j=0

b−1−j
Sq a+b−j Sq j , 0 < a < b.
a − 2j

Đại số A có một cấu trúc phân bậc tự nhiên xác định bởi

deg(Sq i1 Sq i2 . . . Sq ik ) = i1 + i2 . . . + ik
với mọi i1 , i2 , . . . , ik

0. Hơn nữa, nó là một đại số phân bậc có bổ sung, nghĩa

là có một tồn cấu F2 -đại số phân bậc tự nhiên : A −→ F2 thỏa mãn

1, nếu i = 0,

(Sq i ) =

0, nếu i > 0.
Là một tập hợp các toán tử đối đồng điều, A tác động một cách tự nhiên lên
đối đồng điều của mọi khơng gian tơpơ. Do đó, đối đồng điều của các không
gian tôpô không chỉ là F2 -đại số mà cịn là một A-mơđun.
Một trong những bài tốn mà chúng tơi quan tâm là bài tốn tìm tập sinh
cực tiểu của đại số đa thức Pk được xét như mơđun trên đại số Steenrod A.
Bài tốn này được gọi là bài toán hit đối với đại số Steenrod. Nếu xét F2 như
một A-mơđun tầm thường thì bài tốn hit tương đương với bài tốn tìm một
cơ sở của F2 -không gian véctơ phân bậc
F2 ⊗A Pk ∼
= Pk /A+ Pk
trong đó A+ là iđêan của A sinh bởi tất cả các toán tử Steenrod bậc dương.
Bài toán này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peterson [27, 28], Singer [36],
Wood [55], Priddy [30]. . . những người đã chỉ ra mối liên hệ của bài toán hit
2

với một số bài toán cổ điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyết đồng biên
của các đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính, dãy phổ
Adams đối với đồng luân ổn định của mặt cầu và bài tốn phân tích ổn định
các khơng gian phân loại của nhóm hữu hạn.
Trong [27], Peterson đã đưa ra giả thuyết rằng, như một môđun trên đại
số Steenrod, đại số đa thức Pk được sinh bởi các đơn thức bậc n thỏa mãn

α(n + k)

k, trong đó α(n) là số hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n và

chứng minh điều này với k

2. Giả thuyết này được Wood [55] chứng minh

một cách tổng quát vào năm 1989. Đây là một công cụ cơ bản đối với bài tốn
xác định tập sinh cực tiểu của A-mơđun Pk . Sau đó kết quả này được phát
triển xa hơn bởi Singer [36] và Silverman [33, 34].
Đến nay, tích tenxơ F2 ⊗A Pk đã được xác định tường minh với k = 1, 2 bởi
Peterson, với k = 3 bởi Kameko [21]. Trường hợp k = 4 được xác định hoàn
toàn bởi Sum [41, 43]. Trong trường hợp tổng qt tại một số dạng bậc nào
đó, bài tốn được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và ngoài
nước (chẳng hạn như: Boardman [2], Bruner-Hà-Hưng [3], Carlisle-Wood [4],
Crabb-Hubbuck [5], Giambalvo-Peterson [11], Janfada-Wood [19, 20], Mothebe
[23], Nam [25], Repka-Selick [32], Silverman [33], Silverman-Singer [35], Singer
[37], Sum [39, 40, 43], Walker-Wood [52, 53, 54], Wood [55, 56] và một số tác giả
khác). Tuy nhiên, các kết quả đạt được vẫn còn hạn chế, ngay cả trong trường
hợp k = 5 với sự hỗ trợ của máy tính điện tử.
Một trong những ứng dụng quan trọng của bài toán hit là sử dụng nó trong

việc nghiên cứu một đồng cấu được thiết lập bởi Singer vào năm 1989.
Trong [36], Singer định nghĩa đồng cấu chuyển đại số hạng k :
GLk
ϕk : TorA
k,k+n (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Pk )n ,
k là không gian véctơ con của F ⊗
trong đó (F2 ⊗A Pk )GL
2
A Pk gồm tất cả các
n

lớp bậc n bất biến đối với tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GLk .
Chuyển qua đối ngẫu, ta cũng được một đồng cấu đại số và cũng được gọi là
đồng cấu chuyển đại số của Singer

T rk := (ϕk )∗ : F2 ⊗GLk P Hd (H ∗ ((RP ∞ )k )) −→ Extk,k+d
(F2 , F2 ).
A
3


Ở đây H∗ (H ∗ ((RP ∞ )k )) là đồng điều của (RP ∞ )k với hệ số trong F2 và

P H ∗ ((RP ∞ )k là không gian con của H ∗ ((RP ∞ )k ) gồm tất cả các phần tử
bị triệt tiêu đối với tác động của mọi toán tử Steenrod bậc dương.
Singer đã chứng tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển đại số
bằng cách chỉ ra rằng ϕk là đẳng cấu khi k = 1, 2 và tại một số bậc với k = 3, 4
nhưng ϕ5 không là đẳng cấu tại bậc 9 và đưa ra giả thuyết sau đây.
Giả thuyết Singer [36]. Với mọi số nguyên không âm k, ϕk là một tồn cấu.
Có thể nói cơng trình này của Singer đã cho thấy được ý nghĩa và nhu cầu

cần thiết của việc nghiên cứu bài toán hit. Đến năm 1991, Boardman một lần
nữa khẳng định giá trị của đồng cấu chuyển đại số, bằng cách sử dụng lý thuyết
biểu diễn modular của nhóm tuyến tính để chứng tỏ rằng ϕ3 cũng là một đẳng
cấu.
Với k

4, đồng cấu này được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả

như: Bruner-Hà-Hưng [3], Hà [12], Hưng [13, 14], Chơn-Hà [7, 8], Minami [24],
Nam [26], Hưng-Quỳnh [15], Quỳnh [31], Sum [42], Sum-Tín [44, 48]. Gần đây,
ảnh của đồng cấu chuyển đại số thứ tư T r4 đã được xác định hoàn toàn (xem
Bruner-Hà-Hưng [3], Hưng [14], Hà [12], Nam [26], Hưng-Quỳnh [15]). Trong
[31], Quỳnh chứng minh rằng T r5 khơng là tồn cấu tại bậc 11, Hưng [14] chứng
tỏ rằng với mỗi k

4, T rk khơng là tồn cấu tại vơ số bậc. Tuy nhiên, các

kết quả này không chứng minh hay phủ định giả thuyết của Singer, do đó giả
thuyết này vẫn là một vấn đề mở với k

4.

ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu: Toán tử đối đồng điều; đại số Steenrod, đại số đa thức
phân bậc và đồng cấu chuyển đại số.
Phạm vi nghiên cứu: Tác động của toán tử đối đồng điều; bài toán hit và
đồng cấu chuyển đại số thứ năm của Singer.
CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Cách tiếp cận: Kế thừa các kết quả đã có về bài tốn hit và đồng cấu chuyển
đại số.

4


Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các tiêu chuẩn của Wood và Singer để
xác định tường minh cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức và kiểm định giả
thuyết của Singer về đồng cấu chuyển.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phần phụ lục, nội dung
chính của đề tài được chia thành 3 chương với nội dung cụ thể như sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về đại số và đối đại
số phân bậc; đại số Hopf; đại số tenxơ, đại số ngồi và đại số đối xứng.
Chương 2. Tốn tử đối đồng điều
Trong chương này, chúng tơi trình bày cách xây dựng các tốn tử đối đồng
điều kì dị theo hệ tiên đề; đại số Steenrod; bất biến Dickson-Mùi, và bài toán
hit đối với đại số Steenrod.
Chương 3. Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số
của Singer
Trong chương này, chúng tôi khảo sát Giả thuyết của Singer về đồng cấu
chuyển đại số bằng cách dùng các kết quả của bài toán hit để xác định tường
minh các GL5 -bất biến của đại số đa thức P5 tại các bậc tương ứng.
Các kết quả chính của đề tài này được trích ra từ các bài báo [10]; [49].
Cuối cùng, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến các đồng nghiệp trong Bộ mơn
Tốn; Khoa Khoa học Ứng dụng, cũng như Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật
Thành phố Hồ Chí Minh đã tài trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả an
tâm thực hiện đề tài.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 02 năm 2020.
Nhóm tác giả,

Nguyễn Khắc Tín - Phan Phương Dung.

5


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về đại số
phân bậc, đại số Hopf, đại số tenxơ, đại số ngoài, đại số đối xứng.

1.1

Đại số và đối đại số phân bậc-Đại số Hopf

Ta qui ước, nếu không gian véc tơ phân bậc A = {. . . , A−1 , A0 , A1 , . . .} thỏa
mãn An = 0 với n < 0 thì ta ký hiệu A∗ = A.
Định nghĩa 1.1.1. Một đại số phân bậc trên trường K là một K-không gian
vectơ phân bậc A∗ = {A0 , A1 , . . .} cùng với một ánh xạ ϕ∗ : A∗ ⊗ A∗ −→ A∗
thỏa mãn các tính chất sau:

(i1 ) ϕ∗ là ánh xạ tuyến tính.
(i2 ) ϕ∗ có tính kết hợp, tức biểu đồ sau giao hoán
ϕ∗ ⊗1

A∗ ⊗ A∗ ⊗ A∗ −−→ A∗ ⊗ A∗
1⊗ϕ∗




A∗ ⊗ A∗


ϕ ∗
ϕ∗

−−→

A∗

(i3 ) Tồn tại ánh xạ đơn vị η : K −→ A∗ . Tức các hợp thành sau là các ánh
xạ đồng nhất
η⊗1

ϕ∗

∼
=

1⊗η

ϕ∗

∼
=

K ⊗ A∗ → A∗ ⊗ A∗ → A∗ → K ⊗ A∗ .

A∗ ⊗ K → A∗ ⊗ A∗ → A∗ → A∗ ⊗ K.

Ta nói (A∗ , ϕ∗ ) là đại số giao hoán phân bậc nếu biểu đồ sau giao hoán

6


T

A∗ ⊗ A∗ −−→ A∗ ⊗ A∗
ϕ∗





ϕ∗

A∗

A∗
trong đó T là ánh xạ đổi chỗ, tức là T (a ⊗ b) = (−1)dimadimb (b ⊗ a).
Ta nói (A∗ , ϕ∗ ) là đại số phân bậc liên thông nếu A0 ∼
= K.
Ta nói (A∗ , ϕ∗ ) là đại số phân bậc liên thơng có bổ sung nếu nó là đại số

: A∗ −→ K thỏa mãn .η = idK . Khi

phân bậc liên thơng và tồn tại ánh xạ

đó, Ker được gọi là iđêan bổ sung của A∗ kí hiệu là I(A∗ ).
Định nghĩa 1.1.2. Một đối đại số phân bậc trên K là một K-không gian vectơ

phân bậc C∗ = {C0 , C1 , . . .} cùng với một ánh xạ ϕ∗ : C∗ −→ C∗ ⊗ C∗ thỏa
mãn

(i1 ) ϕ∗ là ánh xạ tuyến tính.
(i2 ) ϕ∗ có tính đối kết hợp, tức biểu đồ sau giao hoán
ϕ∗

−−→

C∗

C∗ ⊗ C∗



ϕ∗


1⊗ϕ

∗

ϕ∗ ⊗1

C∗ ⊗ C∗ −−→ C∗ ⊗ C∗ ⊗ C∗
(i3 ) Tồn tại ánh xạ đơn vị (được gọi là đối đơn vị của C∗ ) : C∗ −→ K. Tức
là các hợp thành sau là các ánh xạ đồng nhất
ϕ∗

∼

=

1⊗

C∗ → C∗ ⊗ C∗ → C∗ ⊗ K → C∗ .
ϕ∗

∼
=

⊗1

C∗ → C∗ ⊗ C∗ → K ⊗ C∗ → C∗ .
Ta nói (C∗ , ϕ∗ ) là đối đại số giao hoán phân bậc nếu biểu đồ sau giao hoán

C∗

C∗



ϕ∗


ϕ∗
T

C∗ ⊗ C∗ −−→ C∗ ⊗ C∗
trong đó, T là ánh xạ đổi chỗ T (a ⊗ b) = (−1)dimadimb (b ⊗ a).
Ta nói (C∗ , ϕ∗ ) là đối đại số phân bậc liên thông nếu C0 ∼

= K.
Ta nói (C∗ , ϕ∗ ) là đối đại số phân bậc liên thơng có bổ sung nếu nó là đối
đại số phân bậc liên thơng và tồn tại ánh xạ η : K −→ C∗ thỏa mãn .η = idK .
7


Định nghĩa 1.1.3. Cho A∗ là đại số phân bậc có đơn vị. Khi đó, A∗ được gọi
là một đại số Hopf nếu A∗ được trang bị:

(i1 ) một toàn cấu đại số phân bậc : A∗ −→ K
(i2 ) một đồng cấu đại số phân bậc (được gọi là phép đối nhân) ϕ : A∗ −→
A∗ ⊗ A∗ sao cho các hợp thành sau là các ánh xạ đồng nhất
ϕ

1⊗

∼
=

A∗ → A∗ ⊗ A∗ → A∗ ⊗ K → A∗ .
ϕ

⊗1

∼
=

A∗ → A∗ ⊗ A∗ → A∗ ⊗ K → A∗ .
(i3 ) ϕ có tính chất kết hợp: (1 ⊗ ϕ).ϕ = (ϕ ⊗ 1).ϕ.
1.2

Đại số tenxơ

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K. Ta đặt

T r (V ) = V ⊗ V ⊗ . . . ⊗ V , với qui ước T 0 (V ) = K. Nếu dimK V = k và
r-lần

{v1 , v2 , . . . , vk } là một cơ sở của V thì tập hợp {vi1 ⊗ . . . ⊗ vir /1 ≤ i1 , . . . , ir ≤
k} là một cơ sở của T r (V ).
r
Ta đặt T (V ) = ⊕∞
r=0 T (V ). Xét ánh xạ song tuyến tính

T r (V ) × T s (V ) −→ T r+s (V )
(u, v) −→ u ⊗ v
Theo tính chất của tích tenxơ, các ánh xạ tuyến tính nói trên sẽ cảm sinh
một phép nhân trên T (V )

T (V ) × T (V ) −→ T (V )
Khi đó T (V ) là một đại số trên K và được gọi là đại số ten xơ của V.
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử {v1 , v2 , . . . , vk } là một cơ sở của K-khơng gian vectơ

V . Khi đó tập hợp {vi1 ⊗ . . . ⊗ vir | 1 ≤ i1 , . . . , ir ≤ k, 0 ≤ r < ∞} là một cơ
sở của T (V ).

8


1.3

Đại số đối xứng

Định nghĩa 1.3.1. Cho r ∈ N và V là không gian vectơ trên trường K. Ký
hiệu Ar là không gian vectơ con của T r (V ) sinh bởi các phần tử có dạng

xi1 ⊗ xi2 ⊗ . . . ⊗ xir − xiσ(1) ⊗ xiσ(2) . . . ⊗ xiσ(r) ,
trong đó xi1 , xi2 . . . , xir ∈ V , σ ∈

r

(nhóm đối xứng trên r phần tử). Khi đó

A = ⊕∞
r=0 Ar là một iđêan của T (V ).
r
0
Đặt S r (V ) = T r (V )/Ar và S(V ) = ⊕∞
r=0 S (V ), với qui ước là S (V ) = K.

Khi đó ta có đại số thương
r
∞
∞
r
∼ ∞ r
T (V )/A = ⊕∞
r=0 T (V )/⊕r=0 Ar = ⊕r=0 T (V )/Ar = ⊕r=0 S (V ) = S(V ),

và S(V ) được gọi là đại số đối xứng của V.

Đặt xi1 xi2 . . . xir = p(xi1 ⊗ xi2 ⊗ . . . ⊗ xir ), trong đó p : T (V ) → S(V ) là
phép chiếu tự nhiên. Ta có
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử {v1 , v2 , . . . , vk } là một cơ sở của K-không gian vectơ

V . Khi đó tập hợp {v1t1 . . . vktk | t1 , t2 , . . . , tk ≥ 0} là một cơ sở của S r (V ). Hơn
nữa, ta có đẳng cấu S(V ) ∼
= K[x1 , x2 , . . . , xk ], trong đó K[x1 , x2 , . . . , xk ] là đại
số đa thức trên K sinh bởi k phần tử x1 , x2 , . . . , xk .

1.4

Đại số ngoài

Định nghĩa 1.4.1. Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K. Gọi

Br là không gian vectơ con của T r (V ) sinh bởi tất cả các phần tử có dạng
x1 ⊗x2 ⊗. . .⊗xr , trong đó xi = xj , với i = j nào đó. Ta đặtΛr (V ) = T r (V )/Br
và B = ⊕∞
r=0 Br . Dễ thấy B là một iđêan của T (V ). Khi đó,
r
∞
r
∞
r
∼
ΛV = T (V )/B = ⊕∞
= ⊕∞
r=0 T (V )/⊕r=0 Br
r=0 T (V )/Br = ⊕r=0 Λ (V )

là một đại số trên K, và được gọi là đại số ngoài của V .
Đặt x1 ∧ x2 . . . ∧ xr = π(x1 ⊗ x2 ⊗ . . . ⊗ xr ), trong đó π : T (V ) → S(V )
là phép chiếu tự nhiên. Ta có

9


Mệnh đề 1.4.2. Nếu r > k = dimK V thì Λ(V ) = 0. Nếu 1 ≤ r ≤ k và

{x1 , . . . , xk } là một cơ sở của K-khơng gian vectơ V thì tập hợp
{xi1 ∧ xi2 ∧ . . . ∧ xir | 1 ≤ i1 < . . . < ir ≤ k}
là một cơ sở của Λr (V ).

10


Chương 2

Toán tử đối đồng điều
2.1

Đại số Steenrod modulo 2

Toán tử đối đồng điều, Sq k (còn được gọi là toán tử Steenrod), được xây
dựng năm 1947 bởi Steenrod, theo các tiên đề như sau:
Với mỗi cặp số nguyên không âm n, k và mọi không gian tôpô X, tồn tại duy
nhất một F2 -đồng cấu

Sq k : H n (X, F2 ) −→ H n+k (X, F2 )
thỏa mãn:

(i1 ) Sq k là một phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử H n (.) −→ H n+k (.)
(i2 ) Sq 0 = id
(i3 ) Nếu deg(x) = n thì Sq n (x) = x2
(i4 ) Nếu k > deg(x) thì Sq k (x) = 0
(i5 ) Cơng thức Cartan
n
n

Sq i (x)Sq n−i (y)

Sq (xy) =
i=0

(i6 ) Sq 1 là đồng cấu Bockstein tương ứng với dãy khớp các nhóm hệ số
µ

λ

O → Z2 → Z4 → Z2 → O
trong đó µ(x) = 2x, λ(y) = y mod 2.

(i7 ) Quan hệ Adem:
[a/2]
a

b

Sq Sq =
j=0

b−1−j
Sq a+b−j Sq j , với 0 < a < 2b.
a − 2j
11


Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được làm rõ bởi Serre vào
năm 1952. Serre chứng minh rằng, với phép cộng thông thường và phép hợp
thành các ánh xạ, các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều
ổn định. Đại số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số trên trường F2 được
gọi là đại số Steenrod modulo 2 và thường được kí hiệu là A.
Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại số
như sau:
Định nghĩa 2.1.1. Ký hiệu A là đại số phân bậc, kết hợp tự do trên trường
i

F2 gồm hai phần tử sinh bởi tập hợp các kí hiệu Sq bậc i, với i là số nguyên
không âm. Gọi B là iđêan của A sinh bởi tập hợp các phần tử có dạng
a

b

[a/2]

{Sq Sq −
j=0

trong đó

n
k

a+b−j
j
0
b−1−j
Sq
Sq | 0 < a < 2b} ∪ {Sq − 1},
a − 2j

là hệ số nhị thức được tính theo mod 2 và quy ước

n
k

= 0 nếu

n < k . Đại số thương A = A/B được gọi là đại số Steenrod mod 2. Ký hiệu
i

Sq i là lớp trong A có đại diện là Sq .
Khi đó, trong đại số A có các hệ thức
[a/2]
a

b

Sq Sq =
j=0

b−1−j
Sq a+b−j Sq j , với 0 < a < 2b và Sq 0 = 1.
a − 2j

Các quan hệ trên được gọi là các quan hệ Adem của đại số Steenrod A. Các
ký hiệu Sq i gọi là tốn tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i. Các
toán tử này giao hoán với phép treo nên chúng được gọi là các toán tử đối đồng
điều ổn định.
Lưu ý rằng, đại số Steenrod A khơng giao hốn, chẳng hạn như Sq 1 Sq 2 =

Sq 3 = Sq 2 Sq 1 . Hơn nữa, từ quan hệ Adem trên ta rút ra được một số hệ thức
sau:

Sq 2n−1 Sq n = 0, với n

1.

Sq 1 Sq 2n = Sq 2n+1 , Sq 1 Sq 2n+1 = 0, với n

0.

Định nghĩa 2.1.2. Cho I = (i1 , i2 , . . . , ik ) là một bộ k số ngun dương. Một
tích các tốn tử Sq I = Sq i1 Sq i2 . . . Sq ik được gọi là một đơn thức có độ dài k
12


và có bậc là i1 + i2 + . . . + ik . Đơn thức Sq I được gọi là đơn thức chấp nhận
được nếu ij

2ij+1 với 1

k − 1.

j

Định lý 2.1.3 (Serre [51]). Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được là một
cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A, xem như không gian vectơ phân bậc trên
F2 .
Cơ sở được nói đến trong Định lý 2.1.3 được gọi là cơ sở chấp nhận được.
Ví dụ 2.1.4.

(i1 ) Tại bậc n = 3, dim(A)3 = 2, với cơ sở chấp nhận được là Sq 3 , Sq 2 Sq 1 .
(i2 ) Tại bậc n = 7, dim(A)7 = 4, với cơ sở chấp nhận được là
Sq 7 , Sq 6 Sq 1 , Sq 5 Sq 2 , Sq 4 Sq 2 Sq 1 .
(i3 ) Tại bậc n = 9, dim(A)9 = 5, với cơ sở chấp nhận được là
Sq 9 , Sq 8 Sq 1 , Sq 7 Sq 2 , Sq 6 Sq 3 , Sq 6 Sq 2 Sq 1 .
Định lý 2.1.5 (Steenrod-Epstein [38]). Với mỗi k

k

0, các toán tử Sq 2 khơng
k

phân tích được và đại số Steenrod A được sinh bởi Sq 0 và các toán tử Sq 2 .

2.2

Cấu trúc đại số Hopf của đại số Steenrod

Theo Milnor [16], đại số Steenrod A là đại số Hopf phân bậc liên thơng có
kiểu hữu hạn và có bổ sung, trong đó đối tích được cho trên các phần tử sinh
bởi

k
k

Sq i ⊗ Sq k−i

∆(Sq ) =
i=0

Đồng cấu bổ sung

: A −→ F2 xác định bởi

1, nếu |θ| = 0,
(θ) =
0, nếu |θ| > 0,

trong đó |θ| là bậc của phần tử θ trong A. Nhân của
sung của A và được kí hiệu là A.

13

được gọi là iđêan bổ


Tồn tại một tự đẳng cấu σ trên A được gọi là đẳng cấu phản đối xứng hay
phản đồng cấu, thỏa mãn

k

Sq i σ(Sq k−i ),

k

σ(Sq ) =
i=1

σ(θ1 θ2 ) = σ(θ2 )σ(θ1 ).
Theo [16], A∗ , đối ngẫu của đại số Steenrod A là đại số đa thức trên trường

0, bậc 2i − 1, trong đó ξ0 = 1 và ξn là đối

F2 sinh bởi các phần tử ξi với i
n−1

ngẫu của đơn thức Sq 2

n−2

Sq 2

. . . Sq 1 theo cơ sở chấp nhận được.

Đại số A∗ là một đại số Hopf với đối tích và phản đồng cấu được cho bởi
k
i

∗

2
ξk−1
⊗ ξi ,

µ (ξk ) =
i=0
k−1

i

2
σ(ξi ).
ξk−1

σ(ξk ) =
i=0

Nếu ta xét A∗ là một F2 -không gian vectơ thì A∗ có một cơ sở cộng tính gồm
các đơn thức ξ1r1 ξ2r2 . . . ξkrk = ξ R , với R = (r1 , r2 , . . . , rk ) là một bộ k số ngun
khơng âm.
Kí hiệu Sq(R) = Sq(r1 , r2 , . . . , rk ) là đối ngẫu của đơn thức ξ1r1 ξ2r2 . . . ξkrk
theo cơ sở đơn thức của A∗ . Khi đó degSq(r1 , r2 , . . . , rk ) = r1 + 3r2 + . . . +

(2k − 1)rk .
Ví dụ 2.2.1. Tại bậc 10, đại số A∗ có một cơ sở đơn thức gồm các đơn thức
sau

{ξ110 , ξ17 ξ2 , ξ14 ξ22 , ξ1 ξ23 , ξ13 ξ3 , ξ2 ξ3 }.
Trong [16], Milnor xây dựng cấu trúc tích của các phần tử trong cơ sở Milnor,

đối ngẫu của đối tích trong A∗ được gọi là tích Milnor và được xác định như
sau:
Với R = (r1 , r2 , . . . , rk ), S = (s1 , s2 , . . . , s ) là các bộ số ngun khơng âm.
Khi đó, tích Milnor được cho bởi

Sq(R)Sq(S) =

c(X)Sq(T (X)),
X

14


tổng được lấy trên tất cả các ma trận


∗

x

x

...



01
02



x x x . . . 
 10 11 12

X=

x20 x21 x22 . . .


..
..
.. . .
.
.
.
.

trong đó xij là các số nguyên không âm thỏa mãn

2a xia , 1

ri =

i

k,

a

sj =

xbj , 1

j

.

b

c(X) và T (X) = (t1 , t2 , . . . , tm ) được xác định như sau:
n

tn =

xω,n−ω , 1

n

m,

ω=0
m
n=1 (tn !)

c(X) =

i,j (xij !)

.

trong đó c(X) được lấy theo modulo 2.

Ví dụ 2.2.2. Để tính Sq 10 Sq 4 = Sq(10)Sq(4). Ta đi xây dựng ma trận X như
sau:
Từ R(X) = R, S(X) = S ta có


r1 = x10 + 2x11 + 4x12 + . . . = 10






0 = x20 + 2x21 + 4x22 + . . .






 0 = x30 + 2x31 + 4x32 + . . .

...

















s1 = x01 + x11 + x12 + . . . = 4
0 = x02 + x12 + x22 + . . .
...

Từ đó suy ra x2i = 0 với mọi i

0 và xj2 = 0 với mọi j
X=

∗

x01

x10 x11
15

0. Do đó X có dạng


thỏa mãn

x01 + x11 = 4

x10 + 2x11 = 10
Khi đó các ma trận X nhận được là

X = X1 =
X = X2 =
X = X3 =
X = X4 =
X = X5 =

∗ 0
2 4
∗ 1
4 3
∗ 2
6 2
∗ 3
8 1
∗ 4
10 0

, T (X1 ) = (2; 4), c(X1 ) ≡ 1(mod2),
, T (X2 ) = (5; 3), c(X2 ) ≡ 1(mod2),
, T (X3 ) = (8; 2), c(X3 ) ≡ 0(mod2),
, T (X4 ) = (11; 1), c(X4 ) ≡ 1(mod2),
, T (X5 ) = (14; 0), c(X5 ) ≡ 1(mod2).

Vậy

Sq(10)Sq(4) =

c(X)Sq(T (X)) = Sq(2; 4)+Sq(5; 3)+Sq(11; 1)+Sq(14).
X

2.3

Cấu trúc A-môđun của H ∗ (RP ∞ )k

Chúng tôi nhắc lại rằng đối đồng điều của không gian (RP ∞ )k là đại số đa
thức Pk = F2 [x1 , x2 , . . . , xk ] trên F2 sinh bởi các xi , mỗi xi đều có bậc 1. Đại
số Steenrod A tác động lên Pk được cho bởi công thức tường minh sau:



 xj , i = 0,

Sq i (xj ) =

x2 , i = 1,

j


 0,

i > 1,

và công thức Cartan
n
n

Sq i (f )Sq n−i (g),

Sq (f g) =
i=0

với f, g ∈ Pk . Với các tác động như trên, đại số Pk là một môđun trên đại số
Steenrod A.
16


Như đã nói trong phần mở đầu, bài tốn mà chúng tơi quan tâm là tìm tập
sinh cực tiểu của đại số đa thức Pk được xét như môđun trên đại số Steenrod

A. Bài toán này được gọi là bài toán hit đối với đại số đa thức hay bài tốn hit
của Peterson. Nếu xét F2 như một A-mơđun tầm thường thì bài tốn hit tương
đương với bài tốn tìm một cơ sở của F2 -không gian véctơ phân bậc
F2 ⊗A Pk = Pk /A+ Pk
trong đó A+ là iđêan của A sinh bởi các toán tử Steenrod Sq i , i > 0 và A+ Pk
là tập hợp tất cả các đa thức trong Pk được biểu diễn dưới dạng

i>0

Sq i fi ,

trong đó fi ∈ Pk và bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn.
Ví dụ 2.3.1. P1 = F2 [x1 ] có tập sinh cực tiểu là {1, x1 , x31 , x71 , . . . x21

s

−1

, . . .}.

Đối ngẫu lại, đồng điều của (RP ∞ )k là đại số đa thức với lũy thừa bị chia

Γ(a1 , a2 , . . . , ak ) trên F2 sinh bởi các ai trong đó ai là đối ngẫu của xi ∈
H 1 ((RP ∞ )k ) đối với cơ sở đơn thức. Cấu trúc A-môđun của H∗ ((RP ∞ )k )
(n)

được cho bởi (aj )Sq i =
(t ) (t )

n−i
i

(n−i)

aj

và công thức Cartan, trong đó kí hiệu

(t )

a1 1 a2 2 . . . ak k là đối ngẫu của xt11 xt22 . . . xtkk theo cơ sở đơn thức của Pk . Ký
hiệu P H∗ ((RP ∞ )k ) là không gian đối ngẫu của F2 ⊗A Pk . Khi đó, phần tử

y ∈ P H∗ ((RP ∞ )k ) khi và chỉ khi (y)Sq i = 0 với mọi i > 0.
Như vậy, đối ngẫu của bài toán hit là bài tốn tìm tất cả các phần tử của

H∗ ((RP ∞ )k ) bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương.

2.4

Đại số Steenrod A(p), với p > 2

Cho p là số nguyên tố lẻ. Ký hiệu A(p) là đại số kết hợp tự do trên trường
i

Fp sinh bởi tập hợp các kí hiệu Sq bậc 2i, với i là số nguyên không âm và β

17


bậc 1. Gọi B là iđêan của A(p) sinh bởi tập hợp các phần tử có dạng
0

Sq − 1, β 2
a

[a/p]

b

a+b−j
j
(p − 1)(b − j) − 1
Sq
Sq , 0 < a < pb
a − pj

(−1)a+j

Sq Sq −
j=0
a

[a/p]

b

(−1)a+j

Sq β Sq −
j=0
[(a−1)/p]

a+b−j
j
(p − 1)(b − j) − 1
Sq
β Sq , 0 < a
a − pj − 1

(−1)a+j−1

−
j=0

trong đó

n

k

j
a+b−j
(p − 1)(b − j) − 1
Sq
β Sq
a − pj

là hệ số nhị thức được tính theo mod p và quy ước

pb
n
k

= 0 nếu

n < k.
Đại số thương A(p) = A(p)/B được gọi là đại số Steenrod mod p.
Khi đó, trong đại số A(p) có các quan hệ Adem sau:
0

Sq = 1, β 2 = 0
a

[a/p]

b

a+b−j

j
(p − 1)(b − j) − 1
Sq
Sq , 0 < a < pb
a − pj

(−1)a+j

Sq Sq =
j=0
a

[a/p]

b

(−1)a+j

Sq β Sq =
j=0
[(a−1)/p]

(−1)a+j−1

+
j=0

a+b−j
j
(p − 1)(b − j) − 1

β Sq
Sq
a − pj

a+b−j
j
(p − 1)(b − j) − 1
Sq
β Sq , 0 < a
a − pj − 1

pb

Đơn thức bất kỳ trong A(p) được viết dưới dạng β 0 Sq s1 β 1 Sq s2 . . . Sq sk β
trong đó

i

= 0; 1 và si

chấp nhận được nếu si

k

1, i = 1, 2, . . . k, k > 0. Đơn thức này được gọi là
psi+1 + i , với mọi i

1.

Mệnh đề 2.4.1 (Steenrod-Epstein [38]). Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận

được là một cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A(p), xem như không gian vectơ
phân bậc trên Fp .
Khi đó, A(p) được xem như là một khơng gian vectơ trên trường Fp . Ký hiệu

A(p)∗ là không gian đối ngẫu của A(p) và ξi , τs ∈ A(p)∗ là các đối ngẫu của
Sq p

s−1

. . . Sq p Sq 1 β, Sq p

i−1

. . . Sq p Sq 1 với cơ sở chấp nhận được. Các phần tử

ξi , τs được gọi là các phần tử Milnor và lần lượt có bậc là 2(pi − 1), 2ps − 1
18