BÀI TẬP NHÓM toán ứng dụng trong kinh doanh

BÀI TẬP NHĨM
Tốn Ứng Dụng Trong Kinh Doanh
Giảng Viên: Nguyễn Ngọc Kim Khánh
Lớp: 25Q-04
Nhóm: 08

NGÀY 26 THÁNG 10 NĂM 2020



1. Lãi kép liên tục. Tìm giá trị của khoản đầu tư 10.000 đô la trong 12 năm nếu khoản
đầu tư đó kiếm được lãi suất gộp liên tục hàng năm là 3,95%.
Bài làm
Ta có: P = 10000$; r = 0.0395; t = 12 năm;
Áp dụng công thức lãi kép: A = P.𝑒 𝑟𝑡
= 10000 𝑒 0.0395 12
= 16064.07$
Vậy giá trị của khoản đầu tư 10000$ trong 12 năm nếu khoản đầu tư đó kiếm được lãi suất
gộp liên tục hàng năm 3,95% là 16064.07$

3. Tăng trưởng tổng hợp. Giả sử rằng 2.500$ được đầu tư ở mức lãi gộp 7% hàng q. Có
bao nhiêu tiền trong tài khoản
a. ¾ năm?
b. 15 năm?
Tính tốn câu trả lời cho đến xu gần nhất.
Bài làm
Ta có: P = 2500$; r = 0.07; m = 4; t = 3⁄4 và t=15;
𝑟 𝑚𝑡

Áp dụng công thức lãi kép: A = P (1 + 𝑚)

a. A = 2500 (1 +
b. A = 2500 (1 +

3
0.07 4 ⁄4
4

)

0.07 4 15
4

)

= 2633.56$

= 7079.54$

Vậy tiền có trong tài khoản 3⁄4 năm là 2633.56$ và 15 năm là 7079.54$


5. Tài chính. Một người mong muốn có 15.000$ tiền mặt cho một chiếc ô tô mới trong 5 năm
kể từ bây giờ. Bây giờ nên đặt bao nhiêu vào tài khoản, nếu tài khoản trả lãi kép 6.75% hàng
tuần? Tính câu trả lời cho đồng đơ la gần nhất.
Bài làm
Ta có: A = 15000$; r = 0.0675; m = 52; t = 5;
𝑟 𝑚𝑡

Áp dụng công thức lãi kép: A = P (1 + 𝑚)
(=) 15000 = P (1 +

0.0675 52 5
52

)

=> P = 10706$
Vậy nên đặt vào tài khoản với số tiền là: 10706$

9. Quảng cáo. Một công ty đang cố gắng giới thiệu sản phẩm mới đến càng nhiều
người càng tốt thơng qua quảng cáo truyền hình tại một khu vực đô thị lớn với 2 triệu
người xem có thể. Mơ hình cho số người N (tính bằng triệu) biết đến sản phẩm sau t
ngày quảng cáo được tìm thấy là
N = 2 (𝟏−𝐞−𝟎.𝟎𝟑𝟕𝐭 )
Vẽ đồ thị hàm này cho 0 ≤ t ≤ 50. Giá trị nào của N khi t tăng mà không bị ràng buộc?
Bài làm
Theo đề bài ta có: N = 2 (1 − e−0.037t )
Với hàm số mũ cơ số e sẽ có miền xác định là R, miền giá trị là (0; ∞)
lim N = lim 2 (1 − e−0.037t )

t→∞

t→∞

(=) N = 2 (1 − e−0,037∞ )
(=) N = 2 (1 − e−∞ )
(=) N = 2 (1 – 0)
=> N = 2 (triệu người)
Do đó, N tiến tới 2 khi t tăng mà không bị ràng buộc.

Y-Values

2.5

2

1.5

1

0.5

0
0

10

20

30

40

50

60

11. Lương thể thao. Bảng 4 cho thấy mức lương trung bình của các cầu thủ trong Giải
bóng chày nhà nghề (MLB) và Hiệp hội bóng rổ quốc gia (NBA) trong những năm

được chọn kể từ năm 1990.
a. Gọi x đại diện cho số năm kể từ năm 1990 và tìm mơ hình hồi quy hàm mũ y = abx
cho mức lương trung bình trong MLB. Sử dụng mơ hình để ước tính mức lương trung
bình (đến nghìn đơ la gần nhất) vào năm 2022.
b. Mức lương trung bình ở MLB năm 2000 là 1,984 triệu. Làm thế nào điều này so
sánh với giá trị được cho bởi mơ hình của phần (a)?


Bài Làm

a. Mức lương trung bình ở năm 2022:
y = 732,79 e0.2429x = 732,19 e0.2429
b. Mức lương MLB tính theo hàm:

32
3

= 9777.0443 (nghìn dollar)


y = 732,79 e0.2429x = 732,19 e0.2429

10
3

= 1646.6955 (nghìn dollar)

So với mức lương trung bình thực tế lại là 1.984.000 (nghìn dollar). Thực tế lớn hơn mức
dự tính rất nhiều.

25. Đầu tư. Sẽ mất bao nhiêu năm (đến hai chữ số thập phân) để 5000$ tăng lên
7500$ nếu nó được đầu tư ở mức 8% với lãi suất nửa năm? lãi suất hàng tháng?
Bài Làm
(1) Ta có: P = 5000$, A = 7500$, r = 8% và m = 2.

A = P (1 +

r mt
)
m

0.08 2t
(=) 7500 = 5000 (1 +
)
2
1.5 = (1 + 0.04)2t

(=) 1.5 = (1.04)2t
ln 1.5 = ln(1.04)2t
ln 1.5 = 2t ln 1.04

2t =

ln 1.5
ln 1.04

= 10.338


t = 5.17 năm

Vậy phải mất 5.17 năm để 5000$ tăng lên 7500$ nếu nó được đầu tư ở mức 8% với lãi suất
nửa năm.

(2) Ta có: P = 5000$, A = 7500$, r = 8% và m = 12.

A = P (1 +

r mt
)
m

0.08 2t
(=) 7500 = 5000 (1 +
)
2
1.5 = (1 + 0.0066)12t
(=) 1.5 = (1.0066)12t
ln 1.5 = ln(1.0066)12t
ln 1.5 = 12t ln 1.0066
12t =

ln 1.5
ln 1.0066

= 61.0223

t = 5.08 năm
Vậy phải mất 5.08 năm để 5000$ tăng lên 7500$ nếu nó được đầu tư ở mức 8% với lãi
suất hàng tháng.

Từ (1),(2) => Với lãi suất nửa năm thời gian là 5.12 năm và lãi suất hàng tháng thời gian
là 5.08 năm.

27. Lãi kép liên tục. Sẽ mất bao nhiêu năm (đến hai chữ số thập phân) để khoản đầu
tư 17.000 đơ la tăng lên 41.000 đơ la nếu nó được đầu tư ở mức 2,95% liên tục?
Bài Làm
A = P. (1 +

r mt
0.0295 t
) ⟹ 41.000 = 17000. (1 +
) ⟹ t = 30,02(năm)
m
1

28. Tua vít pin khơng dây được bán thông qua chuỗi cửa hàng giảm giá trên tồn
quốc. Một cơng ty tiếp thị đã thiết lập các bảng giá cung và giá cầu (Bảng 2 và 3),
trong đó x là số tua vít mà mọi người sẵn sàng mua và cửa hàng sẵn sàng bán hàng
tháng với giá p đơ la cho mỗi tua vít.
a. Tìm mơ hình hồi quy logarit (y = a b ln x) cho dữ liệu trong Bảng 2. Ước tính nhu
cầu (đến đơn vị gần nhất) ở mức giá $50.
b. Tìm mơ hình hồi quy logarit (y = a b ln x) cho dữ liệu trong Bảng 3. Ước tính lượng
cung (đến đơn vị gần nhất) ở mức giá $50.
c. Mức giá $50 có thể hiện một tình trạng ổn định hay giá có khả năng tăng hoặc giảm
khơng? Giải thích.
Bài Làm
a.

Từ bản trên, ta có tọa độ x và y: (1000;91), (2000;73), (3000;64), (4000;56), (5000;53).
Nhập vào excel, ta lập mô hình từ bảng số liệu trên đường trendline theo hàm logarit.

Từ đồ thị ta có mơ hình quy trình:
Y = 256.47 – 24.04 ln X
Khi đó nhu cầu ở mức 50$ sẽ là:
50 = 256.47 – 24.04 ln X
24.04 ln X = 206.47


ln X = 8.589
X = e8.589 = 5372.2
b.

Như trên, ta cũng lập mơ hình từ bảng số liệu trên đường trendline theo hàm logarit.

Ta có: Y = -127.81 + 20.013 ln X
Khi đó lượng cung ở mức 50$ sẽ là:
50 = -127.81 + 20.013 ln X
20.013 ln X = 177.81


ln X = 8.8847
X = e8.847 = 7220.65
c.
Từ (a) và (b) ở mức giá 50$ thì:
Cầu = 5372.2
Cung = 7220.65
Ta thấy: Cung > Cầu
Vậy ở mức giá 50$ cung lớn hơn cầu thì thị trường dư thừa (khơng ổn định) vì thế giá cả

sẽ có xu hướng giảm từ 50$ đến mức giá cân bằng.
29. Điểm cân bằng. Sử dụng các mơ hình được xây dựng trong câu 28 để tìm điểm
cân bằng. Viết giá cân bằng chính xác đến cent gần nhất và đại lượng cân bằng đến
đơn vị gần nhất.
Bài Làm
Điểm cân bằng từ số liệu cung và cầu từ câu 28 ta có:
Cung = Cầu
256.47 – 24.04 ln X = -127.81 + 20.013 ln X
44.053 ln X = 384.28
ln X = 8.7231
X = 6143 (tua vít pin)
Mức giá cân bằng cho 6143 chiếc tua vít pin sẽ là:
P(x) = 256.47 – 24.04 ln 6143.2 = 46.77$
Vậy giá cân bằng của 6143 chiếc tua vít pin là: 46.77$/1 tua vít pin
Vậy mức giá ở 50$ khơng đại diện cho 1 điều kiện lý tưởng để ổn định và nó có khả năng
giảm cho đến khi đạt 46.77$.

