ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM MÔN TOÁN LỚP 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019
MƠN TỐN LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm) . Cho A   550 – 548  546  544  � +56 - 54 + 52  1.
a) Tính A.
b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A  1  5n
c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
a) 1  3  5  7  9  �   2 x –1  225

b) 2 x  2 x 1  2 x  2  2 x  3  � +2x  2015  22019  8.
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y  12  x  y
Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia
cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3.
Bài 5: (4,0 điểm)
1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường
thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng.
2. Vẽ đoạn thẳng AB  6cm . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC  BD  9cm.
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
--- Hết ---


HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019
MƠN TỐN LỚP 6
Bài 1: (4,0 điểm)
Đáp án

Điểm

a. A   5 – 5  5  5  � +5 - 5 + 5  1.
50

48

46

44

6

4

2

� 25A   52.  550 – 548  546  544  � +56 - 54 + 52  1.

  552 – 550  548  546  � +58 - 56 + 54  52.

0,25
0,50
0,25

Suy ra 25A  A  552  1
Vậy

0,25

A   552  1 : 26

b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A  1  5n
Ta có 26.A  1  5n mà 26A  552  1 nên 552  1  1  5n

Suy ra 552  5n � n  52 .Vậy n  52
c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
A   550 – 548  546  544  � +56 - 54 + 52  1. ( có 26 số hạng)

   550 – 548    546  544   � +  56 - 54  + 52  1.

   550 – 548    546  544   � +  56 - 54  +  52  1 .

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

  548.  52 – 1  544.  52 – 1  � +54 .  52 –1 +  52  1 .

0,25

  548.24  544.24  � +54 .24+ 24.

0,25
0,50
0,25

  546.25.24  542.25.24  � +52 .25.24+ 24.

  546.600  542.600  � +52 .600+ 24.  6.100.  546  542  ...  52   24

Suy ra A chia cho 100 dư 24.

0,25

Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
Đáp án

a) 1  3  5  7  9  �   2 x –1  225

Điểm

Với mọi x  N ta có 2x – 1 là số lẻ
Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+  2 x – 1

0,25

 A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1
Số số hạng của A là:  2x – 1 – 1 : 2  1  x (Số hạng)

0,25

�A�
.x : 2  x 2
 2x –1  1�
�
�

Mà A  225  � x  225  15

� x  15 Vậy x  15
2

2

0,25
0,25
0,25
0,25

b)  2 x  2 x 1  2 x  2  2 x  3  � +2 x  2015  22019  8.
2x .1  2 x .2  2x .22  2 x.23  � +2 x.2 2015  2 2019  23.

0,25


2x .  1  2  22  23  � +22015   23.  22016  1 .
Đặt M  1  2  2  2  � +2
2

3

Ta được 2.M  2  22  23  24 � +2 2016
Suy ra M  22016  1
x



Vậy ta có 2 . 2

2016

0,25
0,25

 1  23.  22016  1 .

0,25

� 2  2 � x  3 .Vậy x  3
x

0,25

2015

3

0,25

Bài 3: (5,0 điểm).
Đáp án
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.

Điểm

Ta có abcM
37 � 100.abc M
37 � abc00 M
37

0,50





� ab .1000  c00 M
37





��
ab .999  c00  ab �
M
37
�
�





� ab .999  cab M
37
Mà ab .999  ab .37.27 M37

� cab M37

Vậy nếu abc M
37 thì cab M37
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y  12  x  y
Ta có x.y  12  x  y � x.y  x  y  12  0
� x.  y  1  y  12  0
� x.  y  1   y  1  11  0
�  x  1 .  y  1  11  1

Vì x, y �Z nên x  1 �Z; y  1 �Z
Do đó từ  1 � x  1; y  1 là các ước của -11
Các ước của -11 là -11; -1;1;11
+) Với x  1  11 thì y  1  1. Suy ra
+) Với x  1  1 thì y  1  11. Suy ra
+) Với x  1  1 thì y  1  11. Suy ra
+) Với x  1  11 thì y  1  1. Suy ra

x  10; y = 2 ( Thỏa mãn)
x  0; y = 12 ( Thỏa mãn)
x  2; y = -10 ( Thỏa mãn)
x  12; y = 0 ( Thỏa mãn)

Vậy  x; y  �  10; 2  ;  0;12  ;  2; 10  ;  12;0   .

Bài 4: (3,0 điểm).

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Đáp án
Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3
2 ; a  1M3 ; a  4M
5 ; a  3M7
Nên a  1M

� a  1M2 ;a  2M
3 ; a  1M
5 ; a  4M
7
� a  11M2 ;a  11M
3 ; a  11M
5 ; a  11M7

� a  11 �BC  2;3;5;7  .

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất

� a  11  BCNN  2;3;5; 7  .
Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau

� BCNN  2;3;5;7   2.3.5.7  210

� a  11  210.
� a  199.
Vậy số tự nhiên cần tìm là 199.

Điểm
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 5: (4,0 điểm)
Đáp án
1. – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng :
+ Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong
29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.
+ Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng.

+ Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ
được là  29.30  : 2  435 đường thẳng.
Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435
đường thẳng.
– Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt khơng có 3 điểm nào thẳng
hàng ta vẽ được a.  a  1 : 2 đường thẳng.
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng
bị giảm đi là a.  a  1 : 2  1 đường thẳng.
Theo bài ra ta có : a.  a  1 : 2  1  435  421  14
� a.  a  1  30  6.5

Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a  1  a nên a  6.

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2. Hình vẽ :

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
Vì D nằm giữa A và B nên: AD  DB  AB
Thay AB  6 cm ta có AD  DB  6 cm .
Lại có AC  DB  9 cm � AD  DB  AC  DB hay AD  AC.
Trên tia AB có : AD  AC suy ra D nằm giữa A và C

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

0,25
0,25
0,25
0,25


Vì D nằm giữa A và C suy ra AD  DC  AC.
Lại có AC  DB  9 cm , suy ra AD  DC  DB  9cm

0,25
0,25
0,25

Thay AD  DB  6 cm , ta có 6cm  DC  9  cm  . Vậy DC  3  cm 

0,25

Hay  AD  DB   DC  9cm

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài
theo hướng dẫn trên./.

------------ Hết -------------------