ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (973.77 KB, 26 trang )
PHÒNG GD&ĐT QUẬN CẦU GIẤY
TRƯỜNG THCS NAM TRUNG YÊN
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I
MƠN: TỐN 7
Năm học: 2019-2020
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Đại số
- Tập hợp Q các số hữu tỉ, các phép tính trong Q.
- Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
- Lũy thừa của một số hữu tỉ
- Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau
- Số vô tỉ, căn bậc hai, số thực
- Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch. Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch.
II. Hình học
- Quan hệ song song, vng góc. Từ vng góc đến song song.
- Các trường hợp bằng nhau của tam giác.
- Các trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Hãy chọn chữ cái đứng trước kết quả đúng:
Câu 1.
Cho
A.
Câu 2.
3
x
D.
a 5a c
b 5b d
D.
2
3
16
81
D.
16
81
C. 9 3
D.
C.
a ac
b bd
5
2
: là:
3
2
B.
3
4
9
2
2
C.
3
2
. Giá trị của x 2 là:
3
4
B.
9
C.
2
Kết quả nào sau đây là sai:
5
A.
Câu 5.
a ac
b bd
B.
2
3
Cho
A.
Câu 4.
a c
d b
4
Kết quả của
9
A.
Câu 3.
a c
. Khi đó ta có:
b d
2
5
B. 25 5
x2 x
Biết đại lượng y tỷ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỷ lệ a và khi x 6 thì y 5 , hệ số a là
A.
6
5
B.
5
6
C. 30
D.
1
30
Câu 6.
Biết đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a. Biết x 2 thì y 4 , hệ số a là:
1
1
A. 2 .
B. .
C. .
D. 4 .
2
4
Câu 8.
a n .a 2 ...
A. an 2 .
Câu 9.
B. 2.a
n2
.
C. a .a .
2n
D. a .
2n
Hãy chọn câu đúng:
A. 2 2 .
B. a a .
C.
1 1
.
3 3
D.
5 5
.
6
6
Câu 10. Tìm x biết x 2 125 . Hãy chọn câu đúng:
3
A. x 7 .
B. x 7 .
C. x 9 .
D. x 5 .
Câu 11. Cho hình vẽ. Tìm số đo góc x , biết a / / b . Hãy chọn đáp án đúng
A. x 70o .
B. x 80o .
C. x 105 .
D. x 110 .
o
b
x
o
a
110°
Câu 12. Cho hình vẽ. Tìm số đo góc x . Hãy chọn đáp án đúng
d
A. x 90 .
B. x 30 .
C. x 150o .
D. x 105o .
o
A
o
30°
b
a
x B
Câu 13. Đường trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. Đường vng góc với AB
B. Đường thẳng đi qua trung điểm của AB
C. Đường thẳng vng góc với AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 14. Cho a b và b c . Khi đó ta có:
A. a c .
B. a / / c .
C. a cắt c .
D. Đáp án khác.
65o ; C
35o . Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Số đo góc ADC là:
Câu 15. Cho ABC có B
A. 110o .
B. 105o .
C. 100o .
D. 80o .
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I. ĐẠI SỐ
Bài 1.
Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
2 5
2) 12
3 6
12 1
3
1) 0, 75 4 1
5 6
4)
5 1 3
1
4 7 5 4, 2
21 5 4
4
7) 15
3
4
1 5
1 5
5) 24 : 14 :
3 7
3 7
1 21
1
: 4 10 :
2 5
5
1
10) 26
4
1
8
: 10
4
5
8)
8
: 0,15
5
3 2 2 1 5 2
12) : :
4 7 3 4 7 3
15)
Bài 2.
4 2 .94 2.63
210 .33 63 .20
2
0, 04 .5
0,5
2
3)
11
11
24,8 75, 2
25
25
6)
27 5 4 16 1
23 21 23 21 2
9) 2 36 9 25
3
2
6 14
1
0
1
11) 2 : 2 1, 23
7 15
3
2
210 .331 210 .36
13) 11 31 11 6
2 .3 2 .3
16)
14)
49 24 .12510 .26 530 .7 49 .43
529 .162 .7 49
Tìm x , biết:
1)
3 4
1
x
7 7
3
1
5
4
2) x
2
4
7
3)
2 1
3
x
3 3
5
39
2
912 7
32
2
2
2x
4) 3 : 10
5
3
5) 2 x 1 1 4
6)
7) 3 x 7 36
8) 2 2.8 x1 32
9) x 5 64
10) 3 2 x 3 5 x 7 0
11) 2 x 2 2 x 96
3
1
1
12) x x 0
4
2
2
13*) 7 x 2 2 x 2 x 0
2
Bài 3.
1
3
x 7 3
2
4
3
Tìm x, y , z biết:.
1)
x y
và x y 2 .
3 4
x y
và x. y 48 .
3 4
3) 3 x 7 y và x y 16 .
2)
4) x : y : z 2 : 3 : 4 và x y z 365 .
5) 3 x 5 y;9 z 7 y và 3 x 2 y 4 z 10 .
x y z
và 2 x 3 y 54 .
3 7 5
x y z
7) và 3 x y 4 z 150 .
3 4 5
6)
x2 y 2
và x 2 y 2 100 .
9 16
9) 3 x 2 y 5 z và x y z 62 .
8)
Bài 4.
Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia thu giấy vụn. Số kg giấy của mỗi lớp lần lượt tỷ lệ với 50, 45, 42.
Biết rằng tổng của 2 lần số kg giấy lớp 7C và 3 lần số kg giấy lớp 7B thì nhiều hơn 4 lần số kg
giấy lớp 7A là 19 kg. Tìm số giấy mỗi lớp thu được.
Bài 5.
Ba đội máy san đất làm ba khối lượng cơng việc như nhau. Đội thứ nhất hồn thành công việc
trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu
máy, biết rằng số máy của đội thứ nhất nhiều hơn số máy của đội thứ hai là 2 máy ( năng suất
của các máy như nhau ) .
Bài 6.
Hai công nhân làm chung được 238 sản phẩm. Biết thời gian làm việc của hai người như nhau.
Hỏi mỗi công nhân làm được bao nhiêu sản phẩm, nếu người thứ nhất làm 1 sản phẩm mất 18
phút, người thứ hai làm 1 sản phẩm mất 16 phút.
Bài 7.
Ba công nhân làm được 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để làm được 1 dụng cụ người
thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ 3 cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi
người làm được
Bài 8.
Hai xe ô tô cùng đi từ A đến B. Vận tốc xe 1 là 60 km/h, vận tốc xe 2 là 40 km/h. Thời gian xe
1 đi ít hơn thời gian xe 2 đi là 30 phút. Tính thời gian mỗi xe đi và chiều dài quãng đường AB.
Bài 9.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Lúc về xe đi quãng đường BA với vận tốc 42
km/h. Biết thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ 30 phút. Tính thời gian lúc đi, lúc về và chiều dài
quãng đường AB.
Bài 10.
Ba mảnh bìa hình chữ nhật có cùng diện tích. Chiều dài của chúng lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5.
Chiều rộng của mảnh thứ nhất nhỏ hơn tổng chiều rộng của hai mảnh kia là 14 cm. Tính chiều
rộng của mỗi mảnh bìa hình chữ nhật đó.
Bài 11.
Một trường có ba lớp 7. Tổng số học sinh ở cả hai lớp 7A và 7B là 85 học sinh. Nếu chuyển 10
học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C 10 học sinh thì số học sinh ở ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ
với 7,8,9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Bài 12*. Tìm x,y,z biết:
9
4 7
a) x y z 0
2
3 2
2
1
1
b) x 5 y2 0
4
2
8
1
x y 0
10
c)
Bài 13*. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
2
2
b) B 5 x 2 1
a) A 5 x
3
2
2
c) C 0,5 x 4
d) D 2x
3
3
1
x 1996
f) F
e) E
x 1
1997
2
Câu 14. Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị là một số nguyên.
a) A
3n 9
.
n4
Câu 15. Cho tỉ lệ thức
b) B
6n 5
2n 1
a c
. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có
b d
nghĩa)
2a 3b 2c 3d
a)
2a 3b 2c 3d
ab a 2 b 2
b)
cd c 2 d 2
2
a2 b2
ab
c)
2
c d2
cd
II. HÌNH HỌC
Bài 1.
Cho ABC , M là trung điểm của AC , N là trung điểm của AB . Trên tia đối của tia MB lấy
điểm D sao cho MD MB . Trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE NC . Chứng
minh:
a) AD BC
b) AD // BC
c) A là trung điểm của DE .
Bài 2.
Cho ABC vuông ở A . Lấy điểm D trên cạnh BC , kẻ DH AC . Trên tia DH lấy điểm E
sao cho HE HD . Chứng minh:
a) BAD
ADE
b) AD AE .
.
c)
AED BAD
Bài 3.
Cho ABC có AB BC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho
AM MD . Chứng minh:
a) ABM ACM
b) AM BC
c) ABM DCM
d) AB // DC .
Bài 4.
Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường . Trên tia đối của tia
DA , lấy điểm I sao cho DI DA . Trên tia đối của tia CB lấy K sao cho CK CB . Chứng
minh rằng:
a, AD // BC
b, ODI OCK
c, Ba điểm K , O, I thẳng hàng
Bài 5.
Cho ABC có góc A 900 , lấy điểm D trên cạnh BC , kẻ DM vng góc với AB , DN
vng góc với AC ( M thuộc AB , N thuộc AC ). Lấy điểm I , K sao cho M , N tương ứng
là trung điểm của DI và DK . Chứng mình rằng:
a, AMD AMI
b, AND ANK
c, Ba điểm I , A, K thẳng hàng
Bài 6.
Cho ABC trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BA BD , trên tia đối của tia CA lấy
điểm F sao cho CF CA . Gọi M là trung điểm của BC , kéo dài AM một đoạn sao cho
ME MA . Chứng minh:
a, MAB MEC
b, AC // BE
c, E là trung điểm của DF .
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Hãy chọn chữ cái đứng trước kết quả đúng:
Câu 1.
Cho
A.
a c
. Khi đó ta có:
b d
a c
d b
B.
a ac
b bd
D.
a 5a c
b 5b d
D.
2
3
16
81
D.
16
81
C. 9 3
D.
C.
a ac
b bd
Lời giải
Chọn C
Câu 2.
4
Kết quả của
9
A.
3
5
2
: là:
3
2
3
2
B.
3
2
2
C.
3
2
Lời giải
Chọn A
Câu 3.
Cho
A.
x
4
9
2
. Giá trị của x 2 là:
3
4
B.
9
C.
Lời giải
Chọn A
Câu 4.
Kết quả nào sau đây là sai:
A.
5
2
5
B. 25 5
x2 x
Lời giải
Chọn A
Câu 5. Biết đại lượng y tỷ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỷ lệ a và khi x 6 thì y 5 , hệ số a là
6
5
1
A.
B.
C. 30
D.
5
6
30
Lời giải
Chọn C
Câu 6.
Biết đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a. Biết x 2 thì y 4 , hệ số a là:
1
1
A. 2 .
B. .
C. .
D. 4 .
2
4
Câu 8.
a n .a 2 ...
A. a n 2 .
Câu 9.
B. 2.a
n2
.
C. a .a .
2n
D. a .
2n
Hãy chọn câu đúng:
A. 2 2 .
B. a a .
C.
1 1
.
3 3
D.
5 5
.
6
6
Câu 10. Tìm x biết x 2 125 . Hãy chọn câu đúng:
3
A. x 7 .
B. x 7 .
C. x 9 .
D. x 5 .
Câu 11. Cho hình vẽ. Tìm số đo góc x , biết a / / b . Hãy chọn đáp án đúng
A. x 70o .
B. x 80o .
C. x 105 .
D. x 110 .
o
b
x
o
a
110°
Câu 12. Cho hình vẽ. Tìm số đo góc x . Hãy chọn đáp án đúng
d
A. x 90 .
B. x 30 .
C. x 150o .
D. x 105o .
o
A
o
30°
b
a
x B
Câu 13. Đường trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. Đường vng góc với AB
B. Đường thẳng đi qua trung điểm của AB
C. Đường thẳng vng góc với AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 14. Cho a b và b c . Khi đó ta có:
A. a c .
B. a / / c .
C. a cắt c .
D. Đáp án khác.
65o ; C
35o . Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Số đo góc ADC là:
Câu 15. Cho ABC có B
A. 110o .
B. 105o .
C. 100o .
D. 80o .
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I. ĐẠI SỐ
Bài 1.
Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
12 1
3
1) 0, 75 4 1
5 6
4)
5 1 3
1
4 7 5 4, 2
21 5 4
4
7) 15
3
4
1 21
1
: 4 10 :
2 5
5
1
10) 26
4
1
8
: 10
4
5
8
: 0,15
5
3 2 2 1 5 2
12) : :
4 7 3 4 7 3
15)
4 2 .94 2.63
210 .33 63 .20
2 5
2) 12
3 6
2
1 5
1 5
5) 24 : 14 :
3 7
3 7
8)
0, 04 .5
0,5
2
3)
11
11
24,8 75, 2
25
25
6)
27 5 4 16 1
23 21 23 21 2
9) 2 36 9 25
3
2
6 14
1
0
1
11) 2 : 2 1, 23
7 15
3
2
210 .331 210 .36
13) 11 31 11 6
2 .3 2 .3
16)
14)
39
2
912 7
32
49 24 .12510 .26 530 .7 49 .43
529 .162 .7 49
Lời giải
1) 0, 75
12 1
3 12 25
3.12.25.1
1.3.5.1
15
3
4 1
1
5 6
4 5 6
4.5.6
1.1.2
2
2
2
2
1 1
2 5
1
2) 12 12 12
36 3
3 6
6
3)
11
11
11
11
24,8 75, 2
24,8 75, 2
100 44
25
25
25
25
4)
5 1 3
1
5 21 31 21 21 5 21 31 21
4 7 5 4, 2 13
21 5 4
4
21 5 4 4 5 21 5 4 4
1 5
1 5
1 7
1 7 7 1
1 7
5) 24 : 14 : 24 14 24 14 10 14
3 7
3 7
3 5
3 5 5 3
3 5
6)
27 5 4 16 1 27 4 5 16 1
1 3
11
23 21 23 21 2 23 23 21 21 2
2 2
7) 15
3
4
1 21
3 21
1 21
3 5
1 5
1
: 4 10 :
15 :
10 :
15 10
2 5
4 5
2 5
4 21
2 21
5
5 3
2 5 1 5 21 5
5
15 10
21 4
4 21 4 21 4
4
0, 04 .5
8)
0, 5
2
0, 2.5 0,5 1 0,5 0,5
9) 2 36 9 25 8 6 3 5 0
3
10) 26
16
1 8
1 8
1 8
1
: 10 : 0,15 26 10 : 0,15
4 5
4 5
4 5
4
5
0,15 10 0,15 9,85
8
2
6 14
1
1 20 14 7
0
1
11) 2 : 2 1, 23 : 1
7 15
3
4 7 15 3
2
5 14 3
5 2
25 14 35 46
1 1
7 15 7
7 5
35
35
2
3 2 2 1 5 2 3 2 1 5 2
12) : : : 1 1 : 0
3
4 7 3 4 7 3 4 7 4 7 3
13)
14)
10
6
25
210 .331 210 .36 2 .3 3 1 1
211 .331 211 .36 211 .36 325 1 2
39
2
912 7
32
2
3 39 42 1
91 7 84 2
22 . 32 2. 2.3
24 .33 35 1 242
42 .94 2.63
24 .38 24 .33
15) 10 3 3
10 3
10 3
3
2 .3 6 .20
2 .3 24 .33 .5 24 .33 26 5 69
2 .3 2.3 .22 .5
2
4
4924 .12510 .26 530 .7 49 .43 7
16)
529 .162 .7 49
3
.5
2 24
3 10
.26 530 .7 49 . 22
529 . 24 .7 49
2
3
Bài 2.
48
30
6
7 48 .530 .26 530 .7 49 .26 7 .5 .2 1 7 5. 6 15
2
529 .28 .7 49
529 .28 .7 49
2 .7
14
Tìm x , biết:
1)
3 4
1
x
7 7
3
1
5
4
2) x
2
4
7
2 1
3
x
3 3
5
3)
2
2x
4) 3 : 10
3
5
5) 2 x 1 1 4
6)
7) 3 x 7 36
8) 2 2.8 x1 32
9) x 5 64
10) 3 2 x 3 5 x 7 0
11) 2 x 2 2 x 96
3
1
1
12) x x 0
4
2
2
13*) 7 x 2 2 x 2 x 0
2
1
3
x 7 3
2
4
3
Lời giải
1
5
4
2) x
2
4
7
3)
4
1 3
x
7
3 7
4
2
x
7
21
2 4
x :
21 7
1
x
6
1
4 5
x
2
7 4
1
51
x
2
28
51 1
x :
28 2
51
x
14
1
3 2
x
3
5 3
1
1
x
3
15
1 1
x :
15 3
1
x
5
2
2x
4) 3 : 10
5
3
5) 2 x 1 1 4
6)
1)
3 4
1
x
7 7
3
2x
2
3 . 10
3
5
2x
3 4
3
2x
4 3
3
2x
1
3
3
x
2
7) 3 x 7 36
2
2x 1 1 4
2x 1 4 1
2x 1 3
TH 1: 2 x 1 3
2x 4
x2
TH 2 : 2 x 1 3
2 x 2
x 1
8) 2 2.8 x1 32
2 1
3
x
3 3
5
1
3
x 7 3
2
4
1
3
x 4
2
4
1
3
TH 1: x 4
2
4
1
19
19
x x
2
4
2
1
3
TH 2 : x 4
2
4
1
13
13
x
x
2
4
2
9) x 5 64
3
TH 1: 3x 7 6
3 x 13
13
x
3
TH 2 : 3x 7 6
3x 1
4.8x 1 32
8 x 1 8
x 5 4
x 1 1
x 9
x2
1
x
3
10) 3 2 x 3 5 x 7 0
11) 2 x 2 2 x 96
2 x.4 2 x 96
6x 9 5x 7 0
3.2 x 96
x 2
2 x 32
x5
3
1
1
12) x x 0
2
4
2
1
3
TH 1: x 0
2
4
1
3
x
2
4
3
x
2
1
TH 2 : x 0
2
1
x
2
Bài 3.
13*) 7 x 2 2 x 2 x 0
7 x 2 2 x x 2 0
x 2 7 2 x 0
TH 1: x 2 0
x2
TH 2 : 7 2 x 0
2x 7
x
7
2
Tìm x, y , z biết:.
1)
x y
và x y 2 .
3 4
x y
và x. y 48 .
3 4
3) 3 x 7 y và x y 16 .
2)
4) x : y : z 2 : 3 : 4 và x y z 365 .
5) 3 x 5 y;9 z 7 y và 3 x 2 y 4 z 10 .
x y z
và 2 x 3 y 54 .
3 7 5
x y z
7) và 3 x y 4 z 150 .
3 4 5
6)
x2 y 2
và x 2 y 2 100 .
9 16
9) 3 x 2 y 5 z và x y z 62 .
8)
Lời giải
1)
x y
và x y 2 .
3 4
x y x y 2
2
3 4 3 4 1
x
/ 2 x 6
:
3
y
/ 2 y 8
4
2)
x y
và x. y 48 .
3 4
x y
k x 3k ; y 4k
3 4
3k .4k 48 12k 2 48 k 2
/ k 2 x 6; y 8
/ k 2 x 6; y 8
3) 3 x 7 y và x y 16 .
x y
7 3
x y x y 16
4
7 3 73
4
x
/ 4 x 28
7
y
/ 4 y 12
3
3x 7 y
4) x : y : z 2 : 3 : 4 và x y z 365
x y z x y z 365
2 3 4 2 3 4
9
x 365
730
/
x
2
9
9
:
y 365
365
/
y
3
9
3
z 365
1460
/
z
4
9
9
x : y : z 2 : 3: 4
5) 3 x 5 y;9 z 7 y và 3 x 2 y 4 z 10
3 x 5 y;9 z 7 y
x y z y
x y z
;
5 3 7 9
15 9 7
x y z
3x 2 y 4 z
15 9 7
45 18 28
3 x 2 y 4 z 3 x 2 y 4 z 10
10 .
45 18 28 45 18 28 1
x
/ 10 x 150
15
y
/ 10 y 90
9
z
/ 10 z 70
7
x y z
6) và 2 x 3 y 54 .
3 7 5
x y z
2x 3 y z
3 7 5
6
21 5
2 x 3 y z 2 x 3 y 54
2
6
21 5 6 21 27
x
/ 2 x6
.
3
y
/ 2 y 14
7
z
/ 2 z 10
5
x y z
7) và 3 x y 4 z 150 .
3 4 5
x y z
3x y 4 z 3x y 4 z 150
6
3 4 5
9 4 20 9 4 20
25
x
/ 6 x 18
3
y
/ 6 y 24
4
z
/ 6 z 30
5
8)
x2 y2
và x 2 y 2 100 .
9 16
x 2 y 2 x 2 y 2 100
4
9 16 9 16
25
x2
/
4 x 2 36 x 6
9
y2
/
4 y 2 64 y 8
16
9) 3 x 2 y 5 z và x y z 62 .
3x 2 y 5 z
x
y z
x yz
62
2
10 15 6 10 15 6 31
x
2 x 20
10
y
/ 2 y 30
15
z
/ 2 z 12
6
/
Bài 4.
Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia thu giấy vụn. Số kg giấy của mỗi lớp lần lượt tỷ lệ với 50, 45, 42.
Biết rằng tổng của 2 lần số kg giấy lớp 7C và 3 lần số kg giấy lớp 7B thì nhiều hơn 4 lần số kg
giấy lớp 7A là 19 kg. Tìm số giấy mỗi lớp thu được.
Lời giải
+) Gọi số kg giấy của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y , z ( x, y , z 0 ; kg)
+) Vì số kg giấy của mỗi lớp lần lượt tỷ lệ với 50, 45, 42 nên:
x
y
z
50 45 42
+) Vì tổng của 2 lần số kg giấy lớp 7C và 3 lần số kg giấy lớp 7B thì nhiều hơn 4 lần số kg giấy
lớp 7A là 19 kg nên:
2 z 3 y 4 x 19
+) Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:
x
y
z
4x
3y 2z
2 z 3 y 4 x 19
1
50 45 42 200 135 84 84 135 200 19
x 50 , y 45 , z 42
Vậy 7A thu được 50 kg, 7B thu được 45 kg, 7C thu được 42 kg.
Bài 5.
Ba đội máy san đất làm ba khối lượng cơng việc như nhau. Đội thứ nhất hồn thành công việc
trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu
máy, biết rằng số máy của đội thứ nhất nhiều hơn số máy của đội thứ hai là 2 máy ( năng suất
của các máy như nhau ) .
Lời giải
+) Gọi số máy của ba đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y , z ( x, y , z 0; x, y , z N ;
máy)
+) Vì số máy của đội thứ nhất nhiều hơn số máy của đội thứ hai là 2 máy nên:
x y 2
+) Vì ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau; đội thứ nhất hồn thành cơng
việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày nên:
4 x 6 y 8z
4 x 6 y 8z
24 24 24
x y z
6 4 3
+) Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:
x y z x y 2
1
6 4 3 64 2
x 6, y 4, z 3
Vậy đội thứ nhất có 6 máy, đội thứ hai có 4 máy, đội thứ ba có 3 máy.
Bài 6.
Hai cơng nhân làm chung được 238 sản phẩm. Biết thời gian làm việc của hai người như nhau.
Hỏi mỗi công nhân làm được bao nhiêu sản phẩm, nếu người thứ nhất làm 1 sản phẩm mất 18
phút, người thứ hai làm 1 sản phẩm mất 16 phút.
Lời giải
+) Gọi số sản phẩm của hai công nhân lần lượt là x, y ( 238 x, y 0; x, y N , sản phẩm)
+) Vì tổng số sản phẩm là 238 sản phẩm nên:
x y 238
+) Vì thời gian làm việc của hai người như nhau; người thứ nhất làm 1 sản phẩm mất 18 phút,
người thứ hai làm 1 sản phẩm mất 16 phút nên:
18 x 16 y
18 x 16 y
144 144
x y
8 9
+) Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:
x y x y 238
14
8 9 8 9 17
x 112 , y 126
Vậy công nhân thứ nhất làm 112 sản phẩm, công nhân thứ hai làm 126 sản phẩm.
Bài 7.
Ba công nhân làm được 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để làm được 1 dụng cụ người
thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ 3 cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi
người làm được
Lời giải
+) Gọi số dụng cụ của ba công nhân lần lượt là x, y , z ( 860 x, y , z 0; x, y , z N , dụng
cụ)
+) Vì tổng số dụng cụ là 860 sản phẩm nên:
x y z 860
+) Vì thời gian làm việc của ba người như nhau; người thứ nhất làm 1 dụng cụ mất 5 phút,
người thứ hai làm 1 dụng cụ mất 6 phút, người thứ ba làm 1 dụng cụ mất 9 phút nên:
5x 6 y 9 z
5x 6 y 9z
90 90 90
x
y
z
18 15 10
+) Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:
x
y
z
x yz
860
20
18 15 10 18 15 10 43
x 360 , y 300 , z 200
Vậy công nhân thứ nhất làm 360 dụng cụ, công nhân thứ hai làm 300 dụng cụ, công nhân thứ
ba làm 200 dụng cụ.
Bài 8.
Hai xe ô tô cùng đi từ A đến B. Vận tốc xe 1 là 60 km/h, vận tốc xe 2 là 40 km/h. Thời gian xe
1 đi ít hơn thời gian xe 2 đi là 30 phút. Tính thời gian mỗi xe đi và chiều dài quãng đường AB.
Bài 9.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Lúc về xe đi quãng đường BA với vận tốc 42
km/h. Biết thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ 30 phút. Tính thời gian lúc đi, lúc về và chiều dài
qng đường AB.
Bài 10.
Ba mảnh bìa hình chữ nhật có cùng diện tích. Chiều dài của chúng lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5.
Chiều rộng của mảnh thứ nhất nhỏ hơn tổng chiều rộng của hai mảnh kia là 14 cm. Tính chiều
rộng của mỗi mảnh bìa hình chữ nhật đó.
Bài 11.
Một trường có ba lớp 7. Tổng số học sinh ở cả hai lớp 7A và 7B là 85 học sinh. Nếu chuyển 10
học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C 10 học sinh thì số học sinh ở ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ
với 7,8,9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Bài 8.
Hai xe ô tô cùng đi từ A đến B. Vận tốc xe 1 là 60 km/h, vận tốc xe 2 là 40 km/h. Thời gian xe
1 đi ít hơn thời gian xe 2 đi là 30 phút. Tính thời gian mỗi xe đi và chiều dài quãng đường AB.
Giải:
Gọi thời gian xe 1 và xe 2 đi hết quãng đường AB lần lượt là x h và y h (Đk: x 0, y 0 ).
Do thời gian xe 1 đi ít hơn thời gian xe 2 đi là 30 phút =
yx
5
h nên:
2
5
2
Do quãng đường AB không đổi nên: 60 x 40 y
x
y
40 60
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
5
x
y
yx
1
15
2 x 5; y
40 60 60 40 20 8
2
Vậy thời gian xe 1 và xe 2 đi hết quãng đường AB lần lượt là 5 h và
15
h (
2
Vậy quãng đường AB dài 5.60 300 km .
Bài 9.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Lúc về xe đi quãng đường BA với vận tốc 42
km/h. Biết thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ 30 phút. Tính thời gian lúc đi, lúc về và chiều dài
quãng đường AB.
Giải:
Gọi thời gian lúc đi và lúc về của ô tô lần lượt là x h và y h Đk: x, y 0
Do quãng đường AB không đổi nên 48 x 42 y
Do thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ 30 phút =
x
y
42 48
15
15
h nên: x y
2
2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
15
x
y
x y
1
42 7
48
2 x
;y
4
42 48 42 48 90 12
12 2
12
Vậy thời gian lúc đi và lúc về của ô tô lần lượt là
7
h và 4 h
2
Chiều dài quãng đường AB là 42.4 128 km
Bài 10.
Ba mảnh bìa hình chữ nhật có cùng diện tích. Chiều dài của chúng lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5.
Chiều rộng của mảnh thứ nhất nhỏ hơn tổng chiều rộng của hai mảnh kia là 14 cm. Tính chiều
rộng của mỗi mảnh bìa hình chữ nhật đó.
Giải:
Gọi chiều rộng của mảnh thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là x, y, z (đơn vị cm, điều kiện
x, y, z 0 )
Ta có 3x 4 y 5 z
x
y
z
20 15 12
Do chiều rộng của mảnh thứ nhất nhỏ hơn tổng chiều rộng của hai mảnh kia là 14 cm nên ta có:
y z x 14
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x
y
z
yzx
14
2 x 40, y 30, z 24
20 15 12 15 12 20 7
Vậy chiều rộng của mảnh thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 40 cm, 30 cm, 24 cm (
Bài 11.
Một trường có ba lớp 7. Tổng số học sinh ở cả hai lớp 7A và 7B là 85 học sinh. Nếu chuyển 10
học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C 10 học sinh thì số học sinh ở ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ
với 7,8,9.
Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Giải:
Gọi số học sinh lúc đầu của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z ( điều kiện x, y, z * )
Do tổng số học sinh ở cả hai lớp 7A và 7B là 85 học sinh nên x y 85
Khi chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C 10 học sinh thì số học sinh ở ba lớp 7A, 7B, 7C
lần lượt
tỉ lệ với 7,8,9 nên:
x 10 y z 10
7
8
9
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x 10 y z 10 x 10 y 85 10
5
7
8
9
78
15
x 45, y 40, z 35
Vậy số học sinh lúc đầu của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45,30,35 học sinh.
Bài 12*. Tìm x,y,z biết:
9
4 7
d) x y z 0
2
3 2
2
1
1
e) x 5 y 2 0
4
2
8
1
x y 0
10
f)
Bài 13*. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
2
2
h) B 5 x 2 1
g) A 5 x
3
2
2
i) C 0,5 x 4
j) D 2x
3
3
1
x 1996
l) F
k) E
x 1
1997
2
Bài 12*.
9
4 7
y z 0
2
3 2
9
9
x 2 0
x 2
4
4
y 0 y
3
3
7
7
2 z 0
z 2
9
4
7
Vậy x ; y ; z
2
3
2
a) x
2
1
1
b) x 5 y2 0
4
2
1
1
x 10
2 x 5 0
2 x 5
1
y2 1 0
y2 1
y 2
4
4
1
Vậy x 10 ; y
2
8
1
c) x 2 y 0
10
x 0
x 0
1
1
y
0
10
y 10
1
Vậy x 0 ; y
10
Bài 13*.
2
5 x
3
5 x 0, x
a) A
2
2
5 x , x
3
3
2
A
3
u “=” xảy ra 5 x 0
x5
2
Vậy GTNN của A là khi x 5
3
c) C 0,5 x 4
x 4 0, x
x 4 0, x
0,5 x 4 0,5 x
C 0,5
u “=” xảy ra x 4 0
b) B 5 x 2 1
2
x 2 0, x
2
5 x 2 0, x
2
5 x 2 1 1, x
2
B 1
u “=” xảy ra x 2 0
x2
Vậy GTNN của B là 1 khi x 2
d) D
2x
2
2
2x
3
3
2
0, x
3
x4
y GTLN của C là 0,5 khi x 4
2x
2
0, x
3
2
2 2
2x ,x
3
3 3
2
D
3
u “=” xảy ra 2x
2
0
3
1
3
2
1
y GTLN của D là khi x
3
3
1
f) F
x 1
x
e) E
x 1996
1997
x 0, x
x 0, x
x 1996 1996, x
x 1996 1996
, x
1997
1997
1996
E
1997
u “=” xảy ra x 0
1996
y GTLN của E là
khi x 0
1997
x 1 1, x
1
1, x
x 1
1
1, x
x 1
F 1
u “=” xảy ra x 0
y GTNN của F là -1 khi x 0
Câu 14. Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị là một số nguyên.
a) A
3n 9
.
n4
b) B
6n 5
2n 1
Lời giải
a) Ta có A
3n 9
21
.
3
n4
n4
21
n 4 là ước của 21 n 4 1; 3; 7; 21
n4
7
3
3
7
21
1
1
17
3
3
5
1
4
11
A là số nguyên
n4
n
b) Ta có B
21
25
6n 5
2
3
2n 1
2n 1
2
2n 1 là ước của 2 2n 1 1; 2
2n 1
2n 1
2
1
n
0
1
2
Loại
B
Câu 15. Cho tỉ lệ thức
nghĩa)
1
1
2
3
2
Loại
a c
. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có
b d
2
ab a 2 b 2
b)
cd c 2 d 2
2a 3b 2c 3d
a)
2a 3b 2c 3d
a 2 b2
ab
c)
2
c d2
cd
Lời giải
a c
k a k .b ; c k.d .
b d
Gọi
a) Ta có
2a 3b 2kb 3b 2k 3 b 2k 3
2a 3b 2kb 3b 2k 3 b 2 k 3
2c 3d 2kd 3d 2k 3 d 2k 3
.
2c 3d 2kd 3d 2k 3 d 2k 3
Vậy
2a 3b 2c 3d
.
2a 3b 2c 3d
2
2
2
2
ab k .b.b b 2 a 2 b 2 k .b b
k 2 .b 2 b 2 k 1 b
b2
b) Ta có
.
2; 2
cd k .d .d d
c d 2 k .d 2 d 2 k 2 .d 2 d 2 k 2 1 d 2 d 2
Vậy
ab a 2 b 2
.
cd c 2 d 2
c) Ta có
2
2
2
2
b2
a b kb b k 1 b b
d2
c d kd d k 1 d d
2
2
2
2
a 2 b 2 kb b
k 2b 2 b 2 k 1 b
b2
c 2 d 2 kd 2 d 2 k 2 d 2 d 2 k 2 1 d 2 d 2
2
a 2 b2
ab
Vậy
.
2
2
cd c d
II. HÌNH HỌC
Bài 1.
Cho ABC , M là trung điểm của AC , N là trung điểm của AB . Trên tia đối của tia MB lấy
điểm D sao cho MD MB . Trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE NC . Chứng
minh:
b) AD BC
b) AD // BC
c) A là trung điểm của DE .
Lời giải
A
E
N
B
a) Xét ADM và CBM có:
AM MC (vì M là trung điểm của AC )
(hai góc đối đỉnh)
AMD CMB
D
M
C
BM MD (gt)
ADM CBM (c – g – c)
AD BC (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
MCB
(hai góc tương ứng)
b) Vì ADM CBM (cma) MAD
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
AD // BC (dhnb) (đpcm)
c) Chứng minh tương tự: AEN BCN (c – g – c)
AE BC (hai cạnh tương ứng)
Mà AD BC (cma).
AE AD BC (t/c bắc cầu) (1)
NBC
(hai góc tương ứng)
Vì AEN BCN (cmt) EAN
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
AE // BC (dhnb)
Mà AD // BC (cmb)
A , E , D thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) (2)
Từ (1) và (2) A là trung điểm của DE (đn) (đpcm).
Bài 2.
Cho ABC vuông ở A . Lấy điểm D trên cạnh BC , kẻ DH AC . Trên tia DH lấy điểm E
sao cho HE HD . Chứng minh:
d) BAD
ADE
e)
f)
AD AE .
.
AED BAD
Lời giải
B
D
A
H
E
a) Vì ABC vng ở A (gt) AB AC (đn)
Mà DH AC (gt)
AB // DH (đly từ vng góc đến song song).
C
BAD
ADE (hai góc so le trong) (đpcm)
b) Vì DH AC tại H (gt)
AHD
AHE 90 (đn)
Xét ADH và AEH có:
DH HE (gt)
AHD
AHE (cmt)
Cạnh AH chung
ADH AEH (c – g – c)
AD AE (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
c) Vì ADH AEH (cmt)
ADE
AED (hai góc tương ứng)
Mà BAD
ADE (cma)
AED (t/c bắc cầu) (đpcm)
BAD
Bài 3.
Cho ABC có AB BC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho
AM MD . Chứng minh:
e) ABM ACM
f)
AM BC
g) ABM DCM
h) AB // DC .
Lời giải
A
B
M
C
D
Lời giải
a) Xét ABM và ACM có:
AB AC (gt)
BM CM (vì M là trung điểm của BC )
Cạnh AM chung
ABM ACM (c – c – c) (đpcm)
b) Vì ABM ACM (cma)
AMB
AMC (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này kề bù.
AMB
AMC 90
AM BC (đn) (đpcm).
c) Xét ABM và DCM có:
AM MD (gt)
(hai góc đối đỉnh)
AMB CMD
BM CM (vì M là trung điểm của BC )
ABM DCM (c – g – c) (đpcm)
(hai góc tương ứng)
d) Vì ABM DCM
ABM MCD
Mà hai góc này so le trong.
AB // CD (dhnb) (đpcm).
Bài 4.
Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường . Trên tia đối của tia
DA , lấy điểm I sao cho DI DA . Trên tia đối của tia CB lấy K sao cho CK CB . Chứng
minh rằng:
a, AD // BC
b, ODI OCK
c, Ba điểm K , O , I thẳng hàng
d,
AIB
AKB
Lời giải
K
C
O
A
D
I
a, Xét AOD và BOC có
OA=OB ( O là trung điểm của AB)
OD=OC(O là trung điểm của CD )
( 2 góc đối đỉnh )
AOD BOC
AOD BOC (c.g.c)
( 2 góc tương ứng )
ADO BCO
Mà 2 góc ở vị trí so le trong
Suy ra AD//BC
b, Ta có AOD BOC ( ý a)
AD=BC
B
Mà DI=AD; CK=BC
Suy ra DI=CK
=1800
Ta có
ADO IDO
KCO
=1800
BCO
(ý a)
Mà
ADO BCO
KCO
Suy ra IDO
Xét KOC và IOD có
OC=OD
KC=DI
IOD
KCO
KOC =IOD (c.g.c)
c , Ta có KOC=IOD
IOD
KOC
+ BOI
1800
Ta có
AOD IOD
KOC
BOC
AOK 1800
ICD
(Cmt)
Mà KOC
AOD BOC
Suy ra BOI
AOK
+ IOD
1800
Ta có
AOD BOI
=1800
KOI
K ; O ; I thẳng hàng
d, Ta có AD=BC ( ý a)
Mà AD=
1
AI
2
1
BC= BK
2
Suy ra AI=BK
Ta có AD//BC
BAI
ABK
Xét AIB và BKA có
BAI
ABK (cmt)
AI=BK(Cmt)
AB :cạnh chung
AIB BKA(c.g.c)
AIB
AKB
Bài 5.
Cho ABC có góc A 900 , lấy điểm D trên cạnh BC , kẻ DM vuông góc với AB , DN
vng góc với AC ( M thuộc AB , N thuộc AC ). Lấy điểm I , K sao cho M , N tương ứng
là trung điểm của DI và DK . Chứng mình rằng:
a, AMD AMI
b , AND ANK
c, Ba điểm I , A, K thẳng hàng
Lời giải
B
D
M
I
A
N
K
a, Ta có M là trung điểm của DI
DM=IM
Xét AMD và AMI có
AM : cạnh chung
=900
AMD AMI
MD=MI (cmt)
AMD AMI ( 2 cạnh góc vng )
b , Ta có N là trung điểm của DK (gt)
NK=ND
Xét AND và ANK có
AN : cạnh chung
AND
ANK =900
ND=NK (cmt)
AND ANK (c.g.c)
c, Ta có AMD = AMI (ý a)
MAI
MAD
Lại có AND ANK (ý b )
NAK
NAD
NAD
=900 ( vì BAC
900 )
Ta có MAD
NAK
=900
Suy ra MAI
NAK
=900 +900 =1800
MAI
+ NAD
Vì MAD
900
KAI
K; A; I thẳng hàng
C
Bài 6.
Cho ABC trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BA BD , trên tia đối của tia CA lấy
điểm F sao cho CF CA . Gọi M là trung điểm của BC , kéo dài AM một đoạn sao cho
ME MA . Chứng minh:
a, MAB MEC
b, AC // BE
c, E là trung điểm của DF .
Lời giải
A
B
M
D
C
E
a, Xét MAB= MEC
AM = EM (GT)
BM = MC (M là trung điểm của BC)
( 2 góc đối đỉnh )
AMB EMC
ABM = ECM
b, Xét ACM và EBM có
AM=EM (GT)
CM = BM (M là trung điểm của BC )
AMC EMB
ACM= EBM
c, Vì ∆𝐴𝐵𝑀 = ∆𝐸𝐶𝑀 (ý 𝑎)
AB=EC
Và
ABM ECM
Mà 2 góc ở vị tri so le trong
AB//CE
ECF
( 2 góc đồng vị )
BAC
Xét ABC và CEF:
AB=CE
AC=CF
ECF
BAC
ABC= CEF
𝐵𝐶 = 𝐸𝐹
Vì ACM = EBM
AC=EB (2 cạnh tương ứng )
F
