11 chuyen de 10 so thap phan

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ
SỐ THẬP PHÂN

Tài liệu sưu tầm, ngày 09 tháng 10 năm 2021


Website:tailieumontoan.com
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN
CHỦ ĐỀ 1: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. KHÁI NIỆM:
Khi viết phân số

a
dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b và gặp một trong hai
b

trường hợp sau:
- Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước.
37
3
Ví dụ: = 0,75 ;
= 1, 48 ; …
25
4
Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn.
- Phép chia a cho b khơng bao giờ chấm dứt.

2
−17
Ví dụ: = 0,6666... ;
= −1,5454... ; …
3
11
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm
chữ số lặp đi lặp lại vơ hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hồn và
nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN:
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu khơng có ước ngun tố khác 2 và 5 thì phân
số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân.
I.Phương pháp giải:
Để viết một tỉ số hoặc một phân số

a
dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a : b
b

II.Bài toán:
Bài 1: Viết phân số sau dưới dạng số thập phân

97 124
63 −139
;
;− ;
.
200 25

20 50

Lời giải:
Cách 1: Thực hiện phép tính chia tử cho mẫu ta được:

97
= 0, 485
200
124
= 4,96
25
63
− =
−3,15
20
−139
= −2 , 78
50
Cách 2: Phân tích mẫu ra thừa số rồi bổ sung các thừa số phụ đề mẫu là lũy thừa của 10:
97
97.5
485
= = = 0 , 485
200 200.5 1000
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

124 124.4 496
=
= = 4,96
25 25.4 100
63
63.5 −315
− =
−
= =
−3,15
20
20.5 100
−139 −139.2 −278
=
=
= −2 , 78
50
50.2
100
Bài 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân:

1
1
1
+
+ ... +
5.6 6.7
24.25
2

2
2
2
+
+
+ ... +
b) B=
2.4 4.6 6.8
98.100

a) A=

Lời giải:
a) A=

1
1
1
+
+ ... +
5.6 6.7
24.25

1 
1 1 1 1
 1
A =  −  +  −  + ... +  − 
5 6 6 7
 24 25 

1 1
4
A = − = =0,16
5 25 25
Vậy A = 0 ,16 .
b) B=

2
2
2
2
+
+
+ ... +
2.4 4.6 6.8
98.100

1 
1 1 1 1 1 1
 1
B =  −  +  −  +  −  + ... +  −

 2 4  4 6 6 8
 98 100 

1 1
−
2 100
49
=

B = 0, 49
100
Vậy B = 0 , 49 .
B=

Bài 3: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân:

=
a) A

1
1
1
1
+
+
+ ... +
5.10 10.15 15.20
395.400

B
b) =

33
33
33
33
+
+
+ ... +

11.16 16.21 21.26
61.66

Lời giải:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
5.10 10.15 15.20
395.400
5
5
5
5
5A
=
+
+
+ ... +
5.10 10.15 15.20
395.400

=
a) A

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

1 1 1 1 1 1
1
1
5 A = − + − + − ... +
−
5 10 10 15 15 20
395 400
1 1
5 A= −
5 400
79
= 0 ,0395
2000
33
33
33
33
B
+
+
+ ... +
b) =
11.16 16.21 21.26
61.66

=
A

5
5
5 
 5
5B 33. 
=
+
+
+ ... +

61.66 
 11.16 16.21 21.26
1 1 
1 1 1 1
5=
B 33.  − + − + ... + − 
61 66 
 11 16 16 21
1 1 
=
5 B 33  − 
 11 66 

5 B = 33.

5

66

1
= 0 ,5
2
Vậy B = 0 ,5 .
B=

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng số thập phân:
3
3
3
25
25  48
 3
  25
A= 
+
+
+ ... +
+
+ ... +
−
−
106.113   50.55 55.60
95.100  113
 1.8 8.15 15.22

Lời giải:
Ta có : B =

3
3
3
3
+
+
+ ... +
1.8 8.15 15.22
106.113

7
7
7
 7

7=
B 3
+
+
+ ... +

106.113 
 1.8 8.15 15.22

1
1 
1 1 1 1 1 1
7 B= 3  − + − + − + ... +
−


106 113 
 1 8 8 15 15 22
1 

=
B 3 1 −

 113 

=
B 3.

=
C

112
3.112 48
⇒=
B
=
.
113
7.113 113

25
25
25
+
+ ... +

50.55 55.60
95.100

5
5 
 5
=
C 5
+
+ ... +

95.100 
 50.55 55.60

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

1  1
1
C = 5 −
.
=
 50 100  20
Khi đó : A = B − C −

48 48 1 48

=
− −
= 0, 05 .
131 113 20 113

Bài 5: Kết quả của biểu thức sau biểu diễn số thập phân nào?
a) A =

22 32 42
242
.
.
...
1.3 2.4 3.5 23.25

b) B =

12 22 32
992
.
.
...
1.2 2.3 3.4 99.100

Lời giải:
a, A =

22 32 42
242
.

.
...
1.3 2.4 3.5 23.25

A=

2.2 3.3 4.4 24.24
. . ....
1.3 2.4 3.5 23.25

A=

( 2.3.4...24 )( 2.3.4...24 )
(1.2.3....23)( 3.4.5...25)

24.2 48
= = 1,92
25 25
Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 1,92 .
=
A

b) B =

12 22 32
992
.
.
...
1.2 2.3 3.4 99.100

B=

1.1 2.2 3.3 99.99
.
. ....
1.2 2.3 3.4 99.100

B=

(1.2.3....99 )(1.2.3...99 )
(1.2.3...99 )( 2.3.4...100 )

1
= 0, 01
100
Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 0 , 01 .

=
B

Bài 6: Chứng tỏ kết quả phép tính sau là một số nguyên :
 1999   1999   1999 
1 +
 1 +
 ... 1 +

1 
2   1000 


a) A =
 1000   1000   1000 
1 +
 1 +
 ... 1 +

1 
2   1999 

 1  1  1   1

b) B =
+ 1
 + 1  + 1  + 1 ... 
 2   3   4   999 

Lời giải:
 2000 2001 2002 2999   1001 1002 1003 2999 
A=
.
.
...
.
.
....
:

2
3
1000   1

2
3
1999 
 1
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
 2000.2001.2002...2999   1.2.3...1999 
A=
 .

1.2.3.4...1000

  1001.1002....2999 

A

1001.1002....1999
= 1
1001.1002...1999

Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.
 1  1  1   1

b) B =
+ 1
 + 1  + 1  + 1 ... 

 2   3   4   999 

=
B

3 4 5 1000 1000
. . .... = = 500
2 3 4 999
2

Vậy kết quả phép tính trên là một số ngun.
Bài 7: Kết quả phép tính sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không?
1  
1 
 1  1 
A =−
1
 1 −  1 −  ... 1 −

 4   9   16   400 
Lời giải:
1  
1 
 1  1 
A =−
1
 1 −  1 −  ... 1 −

 4   9   16   400 

3 8 15 399
A = . . ....
4 9 16 400
A=

1.3 2.4 3.5 19.21
.
.
...
2.2 3.3 4.4 20.20

A=

(1.2.3...19 )( 3.4.5...21)
( 2.3.4...20 )( 2.3.4.5...20 )

=
A

21 21
= = 0,525
20.2 40

Vậy kết quả phép tính viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Bài 8: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân :
a) A =

22 32 42 52 62 7 2 82 92
. . . . . . .
3 8 15 24 35 48 63 80

8 15 24 2499
. ...
9 16 25 2500

b) B = .
Lời giải:
a) A =

2.2 3.3 4.4 8.8 9.9
. . .... .
1.3 2.4 3.5 7.9 8.10

A=

( 2.3.4...8.9 )( 2.3.4...8.9 )
(1.2.3...7.8)( 3.4.5...9.10 )

A=

9.2 9
= = 1,8
10 5

8 15 24 2499
. ...
9 16 25 2500

b) B = .

Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

B=

2.4 3.5 4.6 49.51
. . ....
3.3 4.4 5.5 50.50

B=

( 2.3.4...49 )( 4.5.6...51)
( 3.4.5...50 )( 3.4.5...50 )

2.51 17
= = 0, 68
50.3 25
Bài 9: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân:
=
B

a) A =

3 8 15 99
. . ...
22 32 42 102

 1  1  1   1

b) B =
− 1
 − 1  − 1  − 1 ... 
 2   3   4   1000 

Lời giải:
a) A =
A=

=
A

1.3 2.4 3.5 9.11
. . ....
2.2 3.3 4.4 10.10

(1.2.3...9 )( 3.4.5...11)
( 2.3.4...10 )( 2.3.4...10 )
1.11
= 0,55
10.2

 1  1  1   1

b) B =
− 1
 − 1  − 1  − 1 ... 

 2   3   4   1000 

−1 −2 −3 −999
1
B=
. . ....
=
−
=
−0, 001
2 3 4 1000
1000
Dạng 2: Kiểm tra xem một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
I.Phương pháp giải:
-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương.
- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
II.Bài tốn:
Bài 10: Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng
6
9 39 121 204 378
dưới dạng đó: −1 ; − ; ;
;
;
8 25 60 220 −160 375
Lời giải:
6
9 39 121 204 378
Các phân số −1 ; − ; ;
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn vì các mẫu

;
;
8 25 60 220 −160 375
khơng có ước nguyên tố khác 2 và 5.
6 −14 −7
(mẫu 4 = 22 )
−1 = = =
−1, 75
8
8
4
9
( mẫu 25 = 52 )
−
=
−0,36
25
39 13
(mẫu 20 = 22.5 )
= = 0, 65
60 20

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
121
=

220
204
−160
378
=
375

11
= 0,55
20
−51
=
= −1, 275
40
126
= 1, 008
125

(mẫu 20 = 22.5 )
(mẫu 40 = 23.5 )
(mẫu 125 = 53 )

Bài 13: Chứng tỏ rằng các số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn với n ∈  .
a)

36n − 9
6

b)

28n + 14
35

c)

−8n + 24
100

d)

6n 2 − 12n + 18
120

Lời giải:
36n − 9 3.12n − 3.3 3. (12n − 3) 12n − 3
a)
.
= = =
6
2.3
2.3
2
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 2 nên số đó là số thập phân hữu hạn.
28n + 14 7.4n + 7.2 7. ( 4n + 2 ) 4n + 2
b) = = =
.
35
7.5
7.5
5

Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 5 nên số đó là số thập phân hữu hạn.
−8n + 24 4. ( −2n + 6 ) −2n + 6
c)= =
100
4.25
25

Có 25 = 52
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 25 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 5.
Vậy số đó là số thập phân hữu hạn.
2
6n 2 − 12n + 18 6. ( n − 2n + 3) n 2 − 2n + 3
d) = =
120
6.20
20

Có 20 = 22.5
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 20 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.
Vậy số đó là số thập phân hữu hạn.
Bài 11: Mỗi phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay khơng? Vì sao?
a)

3n 2 + 3n
12n

b)

12n 2 + 24n
20n

c)

−18n3 + 12n − 30n
60n

(n ∈ )

(n ∈ )
(n ∈ )

Lời giải:
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
3n 2 + 3n 3n.n + 3n.1 3n ( n + 1) n + 1
a) =
= =
12n
3n.4
3n.4
4

Có 4 = 22
Mẫu có ước nguyên tố là 2 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
12n 2 + 24n 4n. ( 3n + 6 ) 3n + 6
b) =

=
(n ∈ )
20n
4n.5
5
Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 5 nên phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
−18n3 + 12n − 30n 6n.(−3n 2 + 2n − 5) −3n 2 + 2n − 5
c) = =
60n
6n.10
10

Có 10 = 2.5
Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 10, mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên phân số đó viết được
dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Bài 12: Các phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khơng? vì sao?
a)

3n + 1
3n

14n + 6
7n
Lời giải:

b)

(n ∈ )
(n ∈ )

a)

3n + 1 3n 1
1
= +
=+
1
3n
3n 3n
3n

Vì

1
có mẫu là 3n có ước ngun tố là 3
3n

Nên

1
khơng viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn
3n

⇒

3n + 1
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
3n

b)

14n + 6 14n 6
6
= +
=2 +
7n
7n 7n
7n

Vì

6
có mẫu là 7n có ước nguyên tố là 7
7n

Nên

6
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn
7n

14n + 6
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
7n
Bài 13: Các phân số sau không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:
⇒

a)

48n + 5

42n

6n + 5
18n
Lời giải:

b)

(n ∈ )

(n ∈ )

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
a)

48n + 5
42n

(n ∈ )

ta có: 48n 3 ; 5 ! 3 ⇒ 48n + 5 ! 3
và: 42n 3
Do đó
Vậy
b)

48n + 5
khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3.
42n

48n + 5
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
42n

6n + 5
(n ∈ )
18n

ta có: 6n  6 ; 5 ! 6 ⇒ 6n + 5 ! 6
và: 18n 6
Do đó

6n + 5
khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3.
18n

6n + 5
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
18n
Dạng 3: Tìm điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
I.Phương pháp giải:
-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương.
- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
II.Bài tốn

Vậy

Bài 14: Tìm số tự nhiên x < 10 sao cho phân số

x+2
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
6

Lời giải:
Ta có:

x+2 x+2
=
6
2.3

Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số

x+2
viết được dưới dạng số thập phân
2.3

hữu hạn thì ( x + 2 ) 3

⇒ ( x + 2 ) ∈ B ( 3) =
{0;3;6;9;12;...} và x < 10

x + 2 =0 ⇒ x =−2 (loại);
x + 2 = 3 ⇒ x = 1 (thoả mãn);

x + 2 = 6 ⇒ x = 4 (thoả mãn);

x + 2 = 9 ⇒ x = 7 (thoả mãn);
x + 2 = 12 ⇒ x = 10 (loại).

Các trường hợp cịn lại khơng thoả mãn
Vậy x ∈ {1; 4; 7} .
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Bài 15: Tìm số tự nhiên x ; 0 < x < 20 để phân số

x 2 + 3x
viết được dưới dạng số thập phân hữu
14 x

hạn.
Lời giải:
x 2 + 3 x x ( x + 3) x + 3
Ta có: = =
x.7.2
14 x
7.2

Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số

x+3

viết được dưới dạng số thập phân
7.2

hữu hạn thì ( x + 3) 7

⇒ ( x + 3) ∈ B ( 7 ) =
{0;7;14; 21;...} và 0 < x < 20

x + 3 =0 ⇒ x =−3 (loại);
x + 3 = 7 ⇒ x = 4 (thoả mãn);

x + 3 = 14 ⇒ x = 11 (thoả mãn);
x + 3 = 21 ⇒ x = 18 (thoả mãn);

x + 3 = 28 ⇒ x = 25 (loại).

Các trường hợp cịn lại khơng thoả mãn.
Vậy x ∈ {4; 11; 18} .
Bài 16: Cho x và y là các số nguyên tố có một chữ số. Tìm x và y để các phân số sau viết được
dưới dạng số thập phân hữu hạn.
x
a) M =
5.7. y
b) N =

7x
48 y

Lời giải:
a) M =

x
5.7. y

Để M viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu khơng có ước nguyên tố khác 2 và 5
Nên số nguyên tố x = 7 và số nguyên tố y ∈ {2;5}
Vậy x = 7 ; y ∈ {2;5} .
b)=
N

7x
7.x
= 4
48 y 2 .3. y

Để N viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu khơng có ước ngun tố khác 2 và 5
Nên số nguyên tố x = 3 và số nguyên tố y ∈ {2;5;7}
Vậy x = 3 ; y ∈ {2;5;7} .
Bài 17: Thay các chữ cái bởi các chữ số khác 0 thích hợp, biết 1: 0, ab = a + b − c .
Lời giải:
1: 0, ab = a + b − c
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
⇒ 1:
⇒

ab
= a+b−c
100

100
= a+b−c
ab

⇒ 100 chia hết cho ab
⇒ ab ∈¦

(100)

Mà a, b là các chữ số khác 0 nên:

ab = 25
100
⇒ a+b−c =
25

⇒ 2+5−c = 4 ⇒ c = 3
Vậy a = 2 ; b = 5 ; c = 3 .
Bài 18: Thay các chữ cái bằng các số thích hợp:
a) 1: 0, abc = a + b + c
b) 1: 0, 0abcd = a + b + c + d
Lời giải:
a) Có a ; b ; c là các chữ số
0 ≤ a ≤ 9
0 ≤ b ≤ 9


⇒
0 < c ≤ 9
a, b, c ∈ 

⇒ 1 ≤ a + b + c ≤ 27
1: 0, abc =

1000
= a+b+c
abc

⇒ 1000
= abc.(a + b + c)

⇒ a + b + c là ước của 1000 không vượt quá 27
⇒ 1: 0,125 =1 + 2 + 5
Vậy a = 1 ; b = 2 ; c = 5 .
b) Có a ; b ; c ; d là các chữ số

0 ≤ a ≤ 9
0 ≤ b ≤ 9

⇒ 0 ≤ c ≤ 9
0 < d ≤ 9

a, b, c, d ∈ 

⇒ 1 ≤ a + b + c ≤ 27
1: 0,0abcd =

10000
= a+b+c+d
abcd

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

⇒ 10000
= abcd (a + b + c + d )

⇒ a + b + c + d là ước của 1000 và
10 < a + b + c + d ≤ 36

⇒ 1: 0, 06235 = 6 + 2 + 3 + 5
Vậy a  6 ; b  2 ; c  3 ; d  5 .
Bài 19: Có bao nhiêu số thập phân a, bc thoả mãn phân số

a+b+c
viết được dưới dạng số thập
4

phân hữu hạn là a, bc với c ≠ 0 .
Lời giải:
Vì a ; b ; c là các chữ số và c ≠ 0
0 ≤ a ≤ 9
0 ≤ b ≤ 9


⇒
0 < c ≤ 9
a, b, c ∈ N

⇒ 1 ≤ a + b + c ≤ 27
Phân số
⇒

a+b+c
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là a, bc
4

a+b+c
a, bc
=
4

Vì a, bc là số thập phân nên a + b + c chia cho 4 dư 1 hoặc chia 4 dư 3
Ta có bảng sau:

a+b+c

1

3

5

7

9

11

13

a, bc

0, 25

0, 75

1, 25

1, 75

2, 25

2, 75

3, 25

a+b+c

15

17

19

21

23

25

27

a, bc

3, 75

4, 25

4, 75

5, 25

5, 75

6, 25

6, 75

Vậy ta được 14 số cần tìm.
Bài 20: Tìm các phân số tối giản có có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết rằng
tích của tử và mẫu bằng 1260 và phân số này có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Lời giải:
Gọi phân số tối giản phải tìm là

a
với a, b ∈  + ,ƯCLN a, b  1
b

Ta có:=
ab 1260
= 22.32.5.7
Để phân số

a
có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố
b

là 2 và 5

Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Mà

a
là phân số tối giản và ƯCLN a , b  1
b

⇒ b không chứa thừa số 32 ; 7 và b ≠ 1 nên b ∈ {4;5; 20}
Ta có bảng sau:

a

4

5

20

b

315

252

63

a
b

315
4

252
5

63
20

315 252 63
;

;
.
4
5
20
Bài 21: Tìm các phân số tối giản có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết tích của
tử và mẫu là 4200 và phân số này viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Lời giải:
Vậy các phân số thoả mãn là

a
với a, b ∈  + , ƯCLN a, b  1
b

Gọi phân số tối giản phải tìm là

Ta có:=
ab 4200
= 23.3.52.7
a
Để phân số
có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố
b
là 2 và 5
Mà

a
là phân số tối giản và ƯCLN a, b  1
b

⇒ b không chứa thừa số 3; 11 và b ≠ 1 nên b ∈ {8; 25; 200}
Ta có bảng sau
b

8

25

200

a

525

168

21

a
b

525
8

168
25

21
200

Vậy các phân số thoả mãn là
9

Bài 22: So sánh  − 0,81
 11


525 168 21
;
;
.
8
25 200

2005

và

1
.
104010

Lời giải:
9

 − 0,81
 11

2005

2005

 9 81 
=−


 11 100 
2005

2005

9
 1 
9
.
 =

 
 11 
 100 
 11 

 9 
=


 1100 

2005

.

2005

9 1 
=
 .

 11 100 

2005

1
1
< 4010
4010
10
10

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
9

Vậy  − 0,81
 11


2005

<

1
104010

 HẾT 

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN
CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HỒN
PHẦN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. KHÁI NIỆM
a) Khái niệm:
a
Khi viết phân số
dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b , nếu phép chia a cho b
b
không bao giờ chấm dứt
2
−17
= 0,6666... ;
= −1,5454... ; …
3
11
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số
lặp đi lặp lại vơ hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hồn và nhóm
chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.
b) Cách viết:

Ví dụ:

Để viết số thập phân vơ hạn tuần hồn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn:
2
= 0,=
6666... 0, ( 6 ) ;
3
−17
=
−1,5454... =
−1, ( 54 ) ; …
11
7
= 0,=
2121... 0, ( 21) ;
33
7
= 0,31818...
= 0,3 (18 )
22

Chú ý: Số thập phân vơ hạn tuần hồn chia thành hai dạng
- Số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy.
VD: 0, ( 6 ) ; 0, ( 21) ; −1, ( 54 )
- Số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp nếu chu kì khơng bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần
thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường,
VD: 0,3 (18 ) có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN
HOÀN ĐƠN HAY TẠP.

- Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập
phân vơ hạn tuần hồn. Đặc biệt
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
+) Nếu mẫu khơng có ước ngun tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vơ hạn tuần hồn
đơn.
+) Nếu mẫu có một trong các ước ngun tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vơ hạn
tuần hồn tạp.
+) Ví dụ: khi chia 7 cho 33 được số thập phân vơ hạn, Ta có:

7
= 0, 212121... = 0, ( 21)
33

7
cũng có thể viết dưới dạng 0, ( 2121) hoặc 0, 2 (12 ) . So với cách viết 0, ( 21) có chu kì 21 thì
33
cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số thập phân liền trước chu kì và chữ số
cuối cùng của chu kì bằng nhau, ta không chọn những cách viết này.

Số

+) Số thập phân vơ hạn tuần hồn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ
0, ( 21) ; gọi là tạp nếu chu kì khơng bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì
gọi là phần bất thường, ví dụ 0,3 (18 ) có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
3. VIẾT SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ:

- Quy tắc viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số:
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hồn đơn dưới dạng phân số, ta lấy
chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ:
0, ( 6 )=

6 2
21 7
=
; 0, ( 21)=
=
9 3
99 33

+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp dưới dạng phân số, ta lấy
số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, cịn mẫu là một số gồm các chữ số
9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của
phần bất thường. Chẳng hạn:
16 − 1
1
5,1
=
( 6 ) 5= 5 ;
90
6

0,3 (18
=
)
- Tổng quát:

318 − 3 315 7
= =
990
990 22
0, ( a1a2 ...an ) =

a1a2 ...an
.
99...9




n

0, b1b2 ...bk ( a1a2 ...an ) =

b1b2 ...bk a1a2 ...an − b1b2 ...bk
99...9
 00...0

n

k

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
I.Phương pháp giải:
Để viết một tỉ số hoặc một phân số

a
dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a : b
b

II.Bài tốn:
Bài 1:

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn? Tại sao? Hãy viết
các phân số dưới dạng đó.
10 5 2 13 5
; ; ;
;
.
15 11 13 22 24

Lời giải:
a) Xét phân số

10 5
=
15 3

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên
Vậy:

10
viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn.
15

10 = 0, 666... = 0, (6)
15

b) Xét phân số

5
11
5
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hồn.
11

⇒ mẫu của phân số có ước ngun tố là 11 nên
Vậy:

5
= 0, 454545... = 0, (45)
11

c) Xét phân số

2
13

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 13 nên
Vậy:

2
= 0,153846153846... = 0, (153846)
13

d) Xét phân số

13
13
=
22 2.11

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên
Vậy:

13
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
22

13
= 0,590909... = 0,5(90)
22

e) Xét phân số

5
5
= 3
24 2 .3

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên
Vậy:

2
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hồn.
13

5
viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hoàn.
24

5
= = 0, 208333... = 0, 208(3)
24

Bài 2:
a) Khi viết phân số

5
dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ 2021 sau dấu phẩy là chữ số nào?
7

b) Tìm chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của phân số

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

17
(viết dưới dạng số thập phân).
900

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
c) Tìm chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy của phân số

24
(viết dưới dạng số thập phân).
27

Lời giải:
5
= 0, 714258 714258... = 0, ( 714258 )
7

a) Ta có:

Số thập phân 0, ( 714258 ) là số thập phân vơ hạn tuần hồn có chu kì gồm 6 chữ số.
Mà: 2021
= 6.336 + 5 , như vậy 2021 chia cho 6 dư 5 nên chữ số thập phân thứ 2021 sau dấu
phẩy của 0, ( 714258 ) là chữ số 5.
b) Ta có:

17
= 0, 018888... = 0, 01(8)
900

Số thập phân 0, 01(8) là số thập phân vô hạn tuần hồn tạp mà phần bất thường có hai chữ số và chu
kì có 1 chữ số là 8 .
Ta lại có: 100 > 2 nên chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của số 0, 01(8) là chữ số 8 .

c) Ta có:

24
= 1, (4117647058823529) là số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn mà chu kì gồm 16
27

chữ số.

= 64.16 , suy ra 210 chia 16 dư 0 nên chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy là chữ
Mà: =
210 1024
số 9.
Dạng 2: Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số
I.Phương pháp giải:
- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn dưới dạng phân số với
+ Tử: là chu kì
+ Mẫu: là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì.
0, ( 6 )=

Tổng quát:

0, ( a1a2 ...an ) =

6 2
21 7
; 0, ( 21)=
=
=
9 3
99 33

a1a2 ...an
.
99...9



n

- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp dưới dạng phân số với
+ Tử: phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường.
+ Mẫu: một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu
kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường.
16 − 1
1
5,1
=
( 6 ) 5= 5 ;
90
6

0,3 (18
=
)

318 − 3 315 7
= =
990
990 22

- Tổng quát:
0, b1b2 ...bk ( a1a2 ...an ) =

b1b2 ...bk a1a2 ...an − b1b2 ...bk
99...9
 00...0

n

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

k

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
II.Bài tốn:
Bài 3:
Viết các số thập phân vơ hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
0, ( 27 ) ; 0, ( 703) ; 0, ( 571428 ) ; 2, 01( 6 ) ; 0,1( 63) ; 2, 41( 3) ; 0,88 ( 63)

Lời giải:
a) 0, ( 27 ) =

27 3
=
99 11

b) 0, ( 703) =

703 19
=
999 27

c) 0, ( 571428 ) =
d) 2, 01( 6 ) = 2
e) 0,1( 63) =

571428 4
=
999999 7

1
16 − 1
15
=2
=2
60
900
900

163 − 1 9
=
990
55

f) 2, 41( 3) = 2

413 − 41

31
=2
900
75

g) 0,88 ( 63) =

8863 − 88 39
=
9900
44

Bài 4:
Các số thập phân vô hạn tuần hồn sau có bằng nhau khơng ?
0, (a1a2 ) ; 0, (a1a2 a1a2 ) ; 0, a1 (a2 a1 )

Lời giải:
Ta có: 0, (a1a2 ) =

a1a2
99

0, (a1a2 a1a2 ) =

0, a1 (a2 a1 ) =

a1a2 a1a2 101.a1a2 a1a2
=
=
101.99

99
9999

a1a2 a1 − a1 a1a2 0 a1a2 .10 a1a2
=
=
=
990
990
99.10
99

Vậy 0, (a1a2 ) = 0, (a1a2 a1a2 ) = 0, a1 (a2 a1 )
Nhận xét: Như vậy từ phân số

a1a2
ta có thể viết được các dạng nhiều số thập phân vơ hạn tuần
99

hồn khác nhau như 0, (a1a2 ) ; 0, (a1a2 a1a2 ) ; 0, a1 (a2 a1 ) ;…nhưng cách viết 0, (a1a2 ) thuận tiện hơn,
do đó người ta chọn cách viết này.
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số
I.Phương pháp giải:
Để thực hiện các phép tính về số thập phân vơ hạn tuần hồn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân
số tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân số.
II.Bài tốn:
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website:tailieumontoan.com
Bài 5: Tính:
a) 0,1( 6 ) + 1, ( 3)
b) 1, ( 3) + 0,1( 2 ) .2

8
11

c) 10, ( 3) + 0, ( 4 ) − 8, ( 6 )
d) 12, (1) − 2, 3 ( 6 )  : 4, ( 21)
Lời giải:
a) 0,1( 6 ) + 1,=
( 3)

16 − 1 3
+1
90
9

15 12 1 8
+ =
+
90 9
6 6
9 3
= =
6 2
3 12 − 1 30
8

.
b) 1, ( 3) + 0,1( 2 ) .2 = 1 +
9
90 11
11
12 11 30
=
+ .
9 90 11
=

12 3 15 5
+ = =
9 9 9 3
3 4
6
c) 10, ( 3) + 0, ( 4 ) − 8, ( 6 ) = 10 + − 8
9 9
9
=

=

93 4 78
+ −
9 9 9
19
=
9

33  21
 1
d) 12, (1) − 2, 3 ( 6 )  : 4, ( =
21) 12 − 2  : 4
90  99
 9

67 21
:4
90 99
877 99
9647
=
=
.
90 417 4170
=9

Bài 6:
Tìm x, biết:
a) 0, ( 37 ) + 0, ( 62 )  .x =
10
b) 0, (12 ) :1, ( 6 ) = x : 0, ( 4 )

0, ( 3) + 0, ( 384615 ) +
c)

0, 0 ( 3) + 13

3

x
13 = 50
85

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Lời giải:
a) 0, ( 37 ) + 0, ( 62 )  .x =
10
 37 62 
⇒ + x =
10
 99 99 

99
x=
10
99
⇒x=
10
Vậy x = 10 .
⇒

b) 0, (12 ) :1, ( 6 ) = x : 0, ( 4 )
⇒

12 6
4
:1 =
x:
99 9
9

4 12 9
=
.
9 99 15
4 4
⇒ x: =
9 55
⇒ x:

4 4
⇒x= .
55 9
16
⇒x=
496
16
Vậy x =
496
0, ( 3) + 0, ( 384615 ) +
c)

0, 0 ( 3) + 13

3
x
13 = 50
85

3 384615 3
+
+ x
50
⇒ 9 999999 13 =
3
85
+ 13
90
1 5 3
+ + x
10
⇒ 3 13 13 =
391
17
30

⇒

28 3
10 391
+ x =.
39 13
17 30

28 3
10 391
+ x =.
39 13
17 30
3
23 28
⇒ x= −
13
3 39
3
271
⇒ x=
13
39

⇒

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

271 3
⇒x= :
39 13
271 13
⇒x= .

39 3
271
1
= 30
9
9
271
.
Vậy x =
9
⇒ x=

Bài 7:
Thay các chữ cái bởi các chữ số thích hợp: 0, x ( y ) − 0, y ( x ) =
9
8.0, 0 (1) , biết rằng x + y =
Lời giải:
Ta có: 0, x ( y ) − 0, y ( x ) =
8.0, 0

⇒

xy − x yx − y 8
−
=
90
90
90

⇒ xy − x − yx + y =

8
⇒ 10 x + y − x − 10 y − x + y =
8

⇒ 10 x + y − x − 10 y − x + y =
8
⇒ 8x − 8 y =
8

⇒ x− y =
1
Mà x + y =
9
Do đó:=
x 5,=
y 4.
Vậy 0,5 ( 4 ) − 0, 4 ( 5 ) =
8.0, 0 (1)
Bài 8:
Cho A =

1
(số chia có 99 chữ số 0 sau dấu phảy). Tính A với 300 chữ số thập phân.
1, 00...01

Lời giải:

1
1
1 0...0

Ta có: A =
.
=
=
1, 00...01 1, 0...0
1
1
0...0
1


100 chu so 0

99 chu so 0

99 chu so 0

100 
100

9...9 0...0
Nhân cả tử và mẫu với 99...9
.
 , ta được: A =
9...99...9
100 chu so 9

100

100

Theo quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hồn đơn thành phân số thì số 0, ( 9...9 0...0 ) viết thành

100

100

phân số trên.
Vậy A = 0,9...9
 0...09...9...

100

100

100

Bài 9:
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Cho số x = 0,12345...998999 trong đó ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp
nhau. Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao?
Lời giải:
Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của x . Gọi chữ số thứ 2003 là a .
Chia dãy số trên thành ba nhóm:

1234567891011...99100101...x
 
 
nhom I

nhom II

nhom III

Nhóm I có 9 chữ số, nhóm II có 180 chữ số, nhóm III có:

2003 − 9 − 180 =
1814 (chữ số).
Ta thấy 1814 chia 3 được 604 dư 2 .
Số thứ 604 kể từ 100 là: 100 + 604 − 1 =703 .
Hai chữ số tiếp theo số 703 là chữ số 7 và chữ số 0 (thuộc số 704 ).
Vậy a = 0 .
Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số 0
Bài 10:
Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp:

Lời giải:
Xét phép trừ thứ hai, ta có: *** − ** =
*

⇒ số bị trừ có dạng 10*
⇒ số bị trừ *** = 100 (vì chữ số đơn vị của số bị trừ là chữ số 0 thêm vào để tìm các chữ số thập
phân của thương).
Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là ab ; c, deg ; mn
Ta thấy 10 : ab = 0, deg nên 10 000 = ab . deg . (Với d ≠ 0 (vì nếu d = 0 thì ab . eg < 10 000 ), g ≠ 0

(vì nếu d = 0 thì thương đã dừng lại ở e ))

⇒ deg là ước của 10 000 và có ba chữ số.
⇒ Suy ra deg bằng 53 = 125 hoặc 54 = 625 . Tương ứng ab bằng 80 hoặc 16
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

*** (số bị chia), loại
+ Trường hợp ab = 80 thì mn = 80 , trái với 80 + 10 =
106
+ Trường hợp ab = 16 thì
=
c 6,=
mn 96 , số bị chia là 96 + 10 =
Vậy ta có 106 :16 = 6, 625

Dạng 4: Kiểm tra một biểu thức phân số viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (đơn
hay tạp).
I.Phương pháp giải:
Đối với các phân số đó, nếu mẫu khơng có ước ngun tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vơ
hạn tuần hồn đơn, nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân
vơ hạn tuần hồn tạp.
II.Bài tốn
Bài 11:
Chứng tỏ rằng: các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn.
22n + 5 21n + 4 79!+ 79

;
;
(n ∈ )
5609n
7n
143n

Lời giải:
a)
22n = 11.2n  11
22n + 5
Ta có: 
rút gọn đến khi tối
⇒ 22n + 5 11 , mà 143n = 11.13n 11 , do đó
143n
5 11
giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 11 .
22n + 5
⇒
( n ∈  ) khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn
143n
b)

21n 7
21n + 4
Ta có: 
rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa
⇒ 21n + 4  7 , mà 7 n 7 , do đó
7n
4  7

thừa số là 7 .

⇒

21n + 4
7n

( n ∈  ) khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn.

c)
Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Ta có:

79!+ 79 1.2.3...79 + 79 1.2.3...78 + 1
=
=
5609n
71.79.n
71.n

1.2.3...78  71
21n + 4
Ta có: 
rút gọn đến khi tối giản
⇒ 1.2.3...78 + 1  71 , mà 71n  71 , do đó

7n
1  71
thì mẫu số vẫn chứa thừa số là số nguyên tố 71 .

⇒

79!+ 79
5609n

( n ∈  ) khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn.

Bài 12:
Với mọi số tự nhiên n ≠ 0 , khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân
hữu hạn hay vô hạn ? Nếu là số thập phân vơ hạn thì số đó là số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn
hay tạp?

3n 2 + 3n
;
12n
6n + 1
b)
12n
Lời giải:
a)

3n 2 + 3n 3n ( n + 1) n + 1
=
=
a) Ta có:
12n

12n
4
Vì mẫu của phân số là 4 = 22 nên
b) Xét phân số:

3n 2 + 3n
đổi ra số thập phân hữu hạn.
12n

6n + 1
12n

6 n  3
Ta có: 
1  3

⇒ 6n + 1 3
mà 12n = 3.4n  3

⇒ phân số

6n + 1
rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 3
12n

⇒ phân số

6n + 1
đổi thành số thập phân vơ hạn tuần hồn.
12n

Mặt khác:

6 n  2
Ta có: 
1  2

⇒ 6n + 1 2
mà 12n = 2.6n  2

⇒ phân số

6n + 1
rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 2
12n

Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC