Chương V. §2. Các quy tắc tính đạo hàm

CHÀO
CHÀOMỪNG
MỪNGCÁC
CÁCTHẦY
THẦYCÔ
CÔĐẾN
ĐẾN
DỰ
DỰTIẾT
TIẾTHỌC
HỌCLỚP
LỚP11M
11M

GVHD: Lê Thị Duyên
GSTT: Trần Thị Trâm


KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 1: Nêu quy tắc tính đạo hàm theo định
nghĩa trên một khoảng?
3
Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số y x  3
theo định nghĩa?


Bài 2: CÁC QUY TẮC TÍNH
ĐẠO HÀM
Tiết 76,77: Đạo hàm của tổng, hiệu,
tích, thương hai hàm số.

đ

Định lí 1: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x)
có đạo hàm trên J thì hàm số
y = u(x) +v(x) và
y = u(x) - v(x) cũng có đạo hàm trên J, và
'
a) 
'
'

 u  x   v  x   u  x   v  x 
'
'
'
 u(x)  v(x) u  x   v  x 
b)

Chú ý: Công thức có thể viết gọn:
( u + v )’ = u’ + v’ và ( u – v )’ = u’ – v’


1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số.
( u + v )’ = u’ + v’ và ( u – v )’ = u’ – v’

y  u  x  x   v  x  x     u  x   v  x  
 u  x  x   u  x     v  x  x   v  x  

u  v
y
u  v
u
v
lim
 lim
 lim
 lim
x  0 x
x  0
x  0 x
x  0 x
x
u'  x   v '  x 
'

 u  x   v  x   u'  x   v '  x 


1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số.
( u + v )’ = u’ + v’ và ( u – v )’ = u’ – v’
- Nhận xét: Có thể mở rộng định lí trên cho tổng
hay hiệu của nhiều hàm số: Nếu các hàm số u,
v,…, w có đạo hàm trên J thì trên J ta có
'

'

'

(u v ... w) u v ...w

'


y 2018  x  x 2
5

4

y x  x  x


Ví dụ 2
5

a) Cho f(x) = x 
Tính f’(1) = ?
A. 4
B.3
b) Đạo hàm của hàm số

4

2

x x  1
C. 8

D.10

x8
2x 6

 a ( với a là hằng số)
y = f (x) =
4
3
bằng biểu 7thức nào
dưới đây?
5
A. 2x 7  4x 5
C. 2x  4x  a

B.
D.

8x 7  12x 5  a

2x8  4x 6


H1: Tìm đạo hàm của hàm số sau



y x 3 x 2  3

Ta có:

Đặt :
Khi đó:

'

4

y 5x  9x

u  x  x ,
3

2

u  x  3x ,
2

2

v(x) x  3

y u  x  .v  x 

'



v  x  2x
'

So sánh
y’  u’.v’
Hãy biểu diễn y’ qua u, v, u’, v’
y’ = u’.v + u.v’ hay (u.v)’ = u’.v + u.v’


2. Đạo hàm của tích hai hàm số
Định lí 2 Nếu hai hàm số u u ( x)và v v( x)có
đạo hàm trên J thì hàm số y u ( x).v( x) cũng có đạo
hàm trên J, và
 u( x).v( x) ' u '( x).v( x)  u( x).v '( x)
Đặc biệt, nếu k là hằng số thì :
 ku ( x)  ' ku '( x)
Chú ý: Các công thức trên có thể viết gọn:
(u.v)’ = u’.v + u.v’ và (ku)’ = k.u’


Chứng minh: (u.v)’ = u’.v + u.v’ và (k.u)’ = k.u’
f  x  u  x  .v  x 

u u(x  x)  u(x)
u  x  x  u  x   u

v v  x  x   v  x 

v  x  x  v  x   v

f  x  x   f  x  u  x  x  .v  x  x   u  x  .v  x 
 u  x   u  .  v  x   v   u  x  .v  x 

u.v  x   u  x  .v  u.v


Chứng minh (u.v)’ = u’.v + u.v’ và (ku)’ = k.u’
u.v  x   u  x  .v  u.v
y
lim
lim
x  0
x x  0
x
v 
 u


 u.v 
lim 
v  x    lim  u  x 
 lim 

x  0
x  0
x  x  0  x 
 x


Ta có:
 u

 u 

'
lim 
v  x   lim 
v
x

u


 x  .v  x 

x  0
x  0
 x

 x 
v 
v

'
lim  u  x 

u
x
lim

u
x
.v





 x

x  0
x  0
x 
x


lim
x  0

Do đó

u.v
u
v
'
'
lim
.lim
.lim

x

u
x
.v



 x  .0 0
x  0
x  0
x  0
x
x
x

y
'
'
f  x  lim

u
x
.v
x

u
x
.v
x









x  0
x
'

Khi v  x  k thì v  x  0 nên ta có:
'

'

 k.u  x   k.u '  x 


2. Đạo hàm của tích hai hàm số
(u.v)’ = u’.v + u.v’ và (ku)’ = k.u’
H2: Cách tính đạo hàm sau đúng hay sai, tại
 x3  x 2  4   '  x3  '.  x 2  4  '
sao?




3x 2 .2 x 6 x 3
Lời gải đúng:
 x 3 x 2  4  '  x 3 '. x 2  4







  

 x . x  4 '
3 x .  x  4   x .2 x
3

2

2

2

5 x 4  12 x 2

3


Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau?
a)
y  x 2  1 5  3x 2 
2
2x(5

3x
)
A.  12x
B.

3

12x
 4x
C.  6x(x 2  1)
D.
2

b)

y  x  x 

A.
B.
C.
D.

2  7x  1  x  1

7

6

7

2  x7  x 

7x6  1
(7x 6  1)2

2. Đạo hàm của tích hai hàm số
(u.v)’ = u’.v + u.v’ và (ku)’ = k.u ’
f  x  u  x  v  x  w  x 

 uvw  ' u'v w + uv'w  uvw'

y x 2  1  x   x  2 

y ' 2 x  1  x   x  2   x 2 ( 1)  x  2 

 uvw ' (uv) ' w  (uv)w '
 u ' v  uv ' w  uvw '
u ' vw  uv ' w  uvw '

 x 2 (1  x)1
 4 x3

 y' ( 2) 32


3. Đạo hàm của thương hai hàm số
Định lí 3: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có
đạo hàm trên J và với mọi
v( xthì
) 0hàm số

u ( x)
y
'

có
đạo
v ( x) cũng
 u ( x)  hàm
u '( x)trên
v( x)J, và
u ( x)v '( x)
 v( x)  
2
v ( x)


Chú ý: Cơng thức có
' thể' viết gọn:
'
 u  u .v  u.v
  
2
v
v


'

'

3. Đạo hàm của thương hai hàm số  u   u .v  u.v
 
2
v

v
 

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1
a)
y
x

b)

2x
y 2
x 1

'


Hệ quả:
a) Trên   ; 0    0;  

ta có

'

1
1
   2
x
 x

b) Nếu hàm số v v( x) có đạo hàm trên J và v( x) 0
với mọi x  J thì trên J ta có:
'

 1 
v '( x)

  2
v ( x)
 v( x) 


Ví dụ 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1  9x ( a là hằng số)
a)
f  x 
x  2a
18a  1

A.  x  2a  2

B.

1  9x

C.
b)
A.
C.

D.

2

 x  2a 
f  x 
1

x

2

 1

2

2

 1

B.

18  x  a   1

 x  2a 
1

x

2

 1

2

2x

 2x

x

1
x2  1

9
 x  2a 

2

D.  x

2

 1

2

2