Tài liệu Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề chung pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (256.62 KB, 5 trang )
S GD-T BÌNH PHC
KÌ THI TUYN SINH VÀO TRNG THPT CHUYÊN
QUANG TRUNG NM HC 2009-2010
MÔN THI: TOÁN ( CHUNG)
Thi gian: 120 phút (không k thi gian giao )
Bài 1 (2 im)
a) Tính
8 2 15 8 2 15 12= − − + +A
b) Gii phng trình:
1 3
x x− − = −
Bài 2 (2 im)
Cho phng trình bc hai:
2
2 2 3 0x mx m− + − + = , (vi m là tham s).
a) Xác nh m phng trình có hai nghim
1 2
,x x tho
1 1 2 2
2 10x x x x− + − =
b) Xác nh m phng trình có hai nghim âm phân bit.
Bài 3 (2 im)
Nhà Hng có mt khu vn trng cây bp ci. Vn c ánh thành nhiu lung, mi lung
c trng cùng mt s cây bp ci. Hng tính rng: nu tng thêm 8 lung rau, nhng mi lung
trng ít i 3 cây thì toàn vn s gim i 54 cây. Nu gim i 4 lung, nhng mi lung trng tng
thêm 2 cây thì toàn vn s tng thêm 32 cây. Hi vn nhà Hng có bao nhiêu cây bp ci.
Bài 4 (3,5 im)
Cho tam giác nhn ABC ni tip trong ng tròn tâm O. Phân giác trong ca góc A ct BC ti D và
ct ng tròn ti E. Gi K, M ln lt là hình chiu ca D trên AB và AC.
a) Chng minh rng t giác AMDK ni tip ng tròn.
b) Chng minh rng tam giác AKM cân.
c) Cho
BAC
α
= . Chng minh rng
.sinMK AD
α
=
.
d) Chng minh rng
AKEM ABC
S S=
, vi
AKEM
S
và
ABC
S
ln lt là din tích ca t giác AKEM và tam
giác ABC.
Bài 5 (1 im)
Tìm giá tr ln nht ca biu thc
2
2
3 5
1
x
P
x
+
=
+
Ht
H và tên thí sinh: ……………………… S báo danh: ………………
H và tên giám th 1: ………………………………. Ch kí: ………….
H và tên giám th 1: ………………………………. Ch kí: ………….
CHÍNH THC
S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC
TR
NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
HNG DN GII THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MÔN TOÁN CHUNG NM HC 2009-2010
Bài 1 (2 im)
a) Tính
8 2 15 8 2 15 12= − − + +A
Gii
Ta có:
( ) ( )
2 2
5 2 5. 3 3 5 2 5. 3 3 2 3 5 3 5 3 2 3A = − + − + + + = − − + +
( )
5 3 5 3 2 3 0= − − + + =
b) Gii phng trình:
1 3x x− − = −
Gii
+) PT
2 2
3
3 0 3
1 3
5( )
1 ( 3) 7 10 0
2( )
x
x x
x x
x N
x x x x
x L
≥
− ≥ ≥
⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔
=
− = − − + =
=
+) KL: Phng trình ã cho có mt nghim là x = 5.
Bài 2 (2 im)
Cho phng trình bc hai:
2
2 2 3 0x mx m− + − + = , (vi m là tham s).
a) Xác nh m phng trình có hai nghim
1 2
,x x tho
1 1 2 2
2 10x x x x− + − =
Gii
+) Phng trình có hai nghim
2 2
1 2
, ' 2 3 0 ( 1) 2 0x x m m m⇔ ∆ = − + ≥ ⇔ − + ≥ , (luôn úng vi mi m).
+) Theo nh lí Viet ta có:
1 2
1 2
2
. 2 3
x x m
x x m
+ =
= −
.
Thay vào gi thit
1 1 2 2
2 . 10x x x x− + − = ta có: 2 2(2 3) 10 2 16 8m m m m− + − = ⇔ = ⇔ =
+) i chiu vi iu kin có nghim ta có giá tr m tha mãn bài toán là m = 8.
b) Xác nh m phng trình có hai nghim âm phân bit.
Gii
+) Ph
ng trình có hai nghi
m âm phân bi
t
2
' 0 2 3 0
0 2 0 0
0 2 3 0 3
2
m m m R
S m m m
P m
m
∆ > − + > ∈
⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈∅
> − >
>
.
Bài 3 (2 im)
Nhà Hng có mt khu vn trng cây bp ci. Vn c ánh thành nhiu lung, mi lung
trng c cùng mt s cây bp ci. Hng tính rng: n u t!ng thêm 8 lung rau, nhng mi
lung trng ít i 3 cây thì toàn vn s" gim i 54 cây. N u gim i 4 lung, nhng mi lung
trng t!ng thêm 2 cây thì toàn vng s" t!ng thêm 32 cây. H#i vn nhà Hng có bao nhiêu
cây bp ci.
Gii
+) Gi x là s lung rau và y là s cây trên mt lung rau, iu kin x, y là các s nguyên dng.
+) Ta có s cây trên vn rau ban u là x.y.
+) Nu tng thêm 8 lung rau, nhng mi lung trng ít i 3 cây thì toàn vn s gim i 54 cây
Ta có phng trình: ( 8)( 3) 54 3 8 30x y xy x y+ − = − ⇔ − + = , (1).
+) Nu gim i 4 lung rau, nhng mi lung trng tng thêm 2 cây thì toàn vn s tng thêm 32
cây
Ta có phng trình: ( 4)( 2) 32 2 20x y xy x y− + = + ⇔ − = , (2).
+) T (1) và (2) ta có h phng trình
3 8 30 50
. 2 20 15
− + = − =
⇔
− = =
x y x
x y y
, (tho mãn iu kin).
+) KL: Vn rau nhà Hng có 750 cây bp ci.
Bài 4 (3,5 im)
Cho tam giác nh$n ABC ni ti p trong ng tròn tâm O. Phân giác trong c%a góc A ct BC t&i
D ct ng tròn t&i E. G$i K, M l'n lt là hình chi u c%a D trên AB và AC.
a) Ch(ng minh rng t( giác AMDK ni ti p ng tròn.
b) Ch(ng minh rng tam giác AKM cân.
c) Cho
BAC
α
= . Ch(ng minh rng
.sinMK AD
α
=
.
d) Ch(ng minh rng
AKEM ABC
S S=
, vi
AKEM
S
và
ABC
S
l'n lt là din tích c%a t( giác AKEM và
tam giác ABC.
Gii
a) Ch(ng minh rng t( giác AMDK ni ti p ng tròn.
Xét t giác AKEM ta có
0 0 0
90 90 180AKE AME+ = + =
t giác
AMDK ni tip ng tròn ng kính AD, có tâm là trung im I
ca AD.
b) Ch(ng minh rng tam giác AKM cân.
Trong ng tròn ngoi tip t giác AMDK ta có:
=
,
(vì theo gt ta có AD là phân giác ca
)
Mà AD là ng kình
⊥
và AD i qua trung m H ca
KM
∆
cân nh A.
c) Cho
BAC
α
=
. Ch(ng minh rng
.sinMK AD
α
=
.
+) Trong ng tròn ngoi tip t giác AKDM ta có
=
, (góc ni tip và góc tâm cùng
chn mt cung), mà
α
= = =
.
+) Xét tam giác vuông IKH ta có:
α
=
, mà
=
,
=
.sinMK AD
α
=
, (
pcm)
d) Ch(ng minh rng
AKEM ABC
S S
=
, vi
AKEM
S
và
ABC
S
l'n lt là din tích c%a t( giác AKEM và
tam giác ABC.
Cách 1
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên
α
= =
, (1).
+) Mt khác ta có
∆ ∆ − = ⇔ =
. Thay kt qu này vào (1) ta
có
α
∆
= =
, (pcm).
H
I
O
M
K
E
D
C
B
A
Cách 2
+) Gi B’ là im i xng vi B qua AE, vì AE là phân giác ca
góc A nên ta có
∆ = ∆ − − =
T
giác DECB’ ni tip (vì
+ = +
= + + = + +
=
=
).
+) T giác DECB’ ni tip
=
mà AB = AB’
nên ta có
=
.
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên
α
= =
α
∆
= =
, (pcm).
Cách 3
+) Ta có
∆ ∆ ∆
= + = +
+) Mt khác ta có
= =
. Do ó
∆
= +
+) Mt khác ta cng có h thc
+ =
, (bn c t chng minh).
Do ó
α
∆
= = =
, (1).
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên
α
= =
, (2).
T (1) và (2) ta có
AKEM ABC
S S
=
, (pcm).
Cách 4
+) Gi AX là ng cao ca tam giác ABC, gi Y là giao im
ca AX vi ng th ng qua E và song song vi BC. Gi K’ và
M’ ln l!t là hình chiu ca E trên AB và AC
= =
.
+) Mt khác ta có K’M’ chính là ng th ng Simson ca tam
giác ABC i vi im E, do ó K’M’ i qua trung im I ca
BC. Mt khác AY ⊥ BC và K’M’ ⊥ AE nên ta có =
Do ó = = = ⇔ =
Hay
AKEM ABC
S S
= , (pcm).
B'
H
O
M
K
E
D
C
B
A
Y
X
K'
M'
H
O
M
K
E
D
C
B
A
Cách 5
+) Gi B’, C’ ln l!t là hình chiu ca E trên AB và AC, gi F và F’ ln l!t là hình chiu
ca E trên DK và DM. D" th#y EFKB’ và EF’MC’ là hai hình ch$ nh%t b&ng nhau
=
.
+) Ta có
= + +
= + +
Do ó chng minh
=
ta ch cn chng
minh
+ = +
, (*)
+) Mà (*)
⇔ + = +
⇔ + =
(**), (Vì EF = EF’ và DK = DM).
+) M
t khác ta có hai tam giác vuông EB’B và EC’C
b&ng nhau (vì EB’ = EC’ và
=
cùng bù vi
)
=
+) Ta có BK + CM = BK + CC’ + C’M
= BK + BB’ + C’M = KB’+C’M = EF + EF’ = 2EF
V%y (**) úng
bài toán !c chng minh.
Bài 5 (1 im)
Tìm giá tr ln nh)t c%a biu th(c
2
2
3 5
1
x
P
x
+
=
+
Gii
+) K:
x R
∈
+) Ta có:
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
3 3 2 3 1 2
3 5 2
3
1 1 1 1
x x
x
P
x x x x
+ + + +
+
= = = = +
+ + + +
+) Ta có
2 2
2 2
1 2
0, 1 1, 1, 2,
1 1
x x R x x R x R x R
x x
≥ ∀ ∈ + ≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
+ +
. Do ó
2
2
3 5,
1
P x R
x
= + ≤ ∀ ∈
+
.
+) V%y giá tr ln nh#t ca P là 5, t !c khi x = 0.
H t
GV: Ph&m V!n Quý, Trng THPT chuyên Quang Trung
E
H
FF'
B'
C'
D
O
M
K
C
B
A
