GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II hàm số LUỸ THỪA hàm số mũ hàm số LOGARIT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 42 trang )

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT
BÀI 1: LŨY THỪA
I – LÝ THUYẾT
a. Định nghĩa lũy thừa và căn
- Cho số thực b và số nguyên dương n (n  2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b .
- Chú ý:  Với n lẻ và b  : Có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu là n b .
b  0 : Không tồn tại căn bậc n của b .
b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
Với n

chẵn:
b  0 : Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu
n

là

b , căn có giá trị âm kí hiệu là − n b .

Số mũ 

 = n

Cơ số a

a

*

 =0

a0

 = −n, (n 

*

a0

)

Lũy thừa aα
a = an = a  a
)
a = a0 = 1
1
a = a − n = n
a

a ( n thừa số a

m

m
 = , (m  , n 
n

*

a0

)

 = lim rn , ( rn  , n 

*

a0

)

a = a n = n a m ,
( n a = b  a = bn )

a = lim arn

b. Một số tính chất của lũy thừa
- Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:






a a = a

 +

a
a  a 
a

;  = a −  ; (a )  = a . ; (ab) = a  b ;   =  ;  
a
b
b
b

−



b
=  
a

- Nếu a  1 thì a  a      ; Nếu 0  a  1 thì a  a      .
- Với mọi 0  a  b , ta có: am  bm  m  0 ; am  bm  m  0
- Chú ý:  Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
 Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
 Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a phải dương.
c. Một số tính chất của căn bậc n
- Với a, b ;n 

*

, ta có:

2 n +1

a 2 n+1 = aa .



2n

a 2 n =
a a; 



2n

ab = 2 n
a 2 n
b , ab  0 ; 

2 n +1

 2n

a 2 n
a
=
, ab  0, b  0 ; 
b 2 n
b

2 n +1

ab = 2 n +1 a  2 n +1 b  a , b .

a
=
b

2 n +1
2 n +1

a
a, b  0 .
b

-Với a, b  , ta có:


n

a m = ( n a ) , a  0 , n nguyên dương, m nguyên.
m

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

1

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT


n m

a = nm a , a  0 , n , m nguyên dương.

p q
=
thì n a p = m a q , a  0, m, n nguyên dương, p, q nguyên. Đặc biệt:
n m
( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất của lũy thừa.)
d. So sánh hai lũy thừa
• So sánh cùng cơ số
- Nếu cơ số a  1 thì     a  a  .


Nếu

n

a = mn a m .

- Nếu cơ số 0  a  1 thì     a  a  .
• So sánh cùng số mũ
- Nếu số mũ   0 thì a  b  0  a  b .
- Nếu số mũ   0 thì a  b  0  a  b .
II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Biến đổi biểu thức liên quan
Phương pháp giải
- Tự luận thuần túy
- Trắc nghiệm (Cách nhận xét bài toán, mẹo mực để lọa trừ)
- Casio, Cơng thức giải nhanh
Ví dụ 1: Kết luận nào đúng về số thực a nếu (2a + 1)−3  (2a + 1) −1

 1

− a0
A.  2
.

 a  −1

B. −

1
a0.
2

0  a  1
C. 
.
 a  −1

D. a  −1 .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Khẳng định nào sau đây đúng:
A. a−n xác định với mọi a 

\ 0 ; n  N .

m

B. a n = n a m ; a 

.

m

C. a 0 = 1; a 

.

D.

n

a m = a n ; a  ; m, n 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức

81a 4b2 , ta được:

A. −9a 2 b .

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

B. 9a 2 b .

C. 9a2b .

D. 3a 2 b .

2

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------−1

2

1
 1
 
y y
Ví dụ 4: Cho K =  x 2 − y 2  1 − 2
+  với x  0, y  0 . Biểu thức rút gọn của K là?
x
x

 
A. x . B. 2x .
C. x + 1 .
D. x − 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 5: Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức

5

a3b a
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
b a b

là
7

30

31
30

30
31

1
6

a
a
a
a
A.   .
B.   .
C.   .
D.   .
b
b
b
b
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Dạng 3: Dạng khác
Ví dụ 6: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng. Biết rằng nếu
người đó khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu
(người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng
thời gian này không rút tiền ra và lãi suất khơng đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là:
A. 3 triệu 600 ngàn đồng.
B. 3 triệu 800 ngàn đồng.

C. 3 triệu 700 ngàn đồng.
D. 3 triệu 900 ngàn đồng.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

3

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Bài 2. HÀM SỐ LŨY THỪA
I – LÝ THUYẾT
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số y = x  , với   được gọi là hàm số lũy thừa.
Chú ý: Tập xác định của hàm số y = x  tùy thuộc vào giá trị của  .
Cụ thể:
•  nguyên dương: D = ;
•  nguyên âm hoặc bằng 0: D = \ 0 ;
•  khơng ngun: D = ( 0; + ) .

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa y = x  ,   có đạo hàm với mọi x  0 và:

( ) =  x

• x

 −1

( ) =  u

;

• u

 −1

.u với u là biểu thức chứa x.

3. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x 

y = x ,   0

y = x  ,  0

a. Tập khảo sát: ( 0; + )

a. Tập khảo sát: ( 0; + )

b. Sự biến thiên:
• y =  x −1  0,  x >0
Hàm số luôn đồng biến.
• Giới hạn đặc biệt:
lim+ x = 0, lim x = +.

b. Sự biến thiên:
• y =  x  −1  0,  x >0
Hàm số luôn nghịch biến.
• Giới hạn đặc biệt:
lim+ x = +, lim x = 0.

• Tiệm cận: Khơng có.

• Tiệm cận:
Trục Ox là tiệm cận ngang.
Trục Oy là tiệm cận đứng.

c. Bảng biến thiên:

c. Bảng biến thiên:

x →0

x →+

x →0

x →+

d. Đồ thị

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm
số đó trên tồn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số
y = x 3 trên tập xác định của nó là , khảo sát hàm số y = x −2 trên tập
xác định D =

\ 0 .

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

4

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
II. CÁC DẠNG TOÁN
Bài tốn 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

(

Ví dụ 1: Tập xác định của hảm số y = − x + 5x − 6
\ 2;3 .

A.

2

B. ( −;2 )  ( 3; + ) .

)

−

1
5

là
D. ( 3; + ) .

C. ( 2;3) .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sin 2018 )
Ví dụ 2: Tập xác định của hảm số y = x (

là

B. ( 0; + ) .

D.  0; + ) .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A.

.

C.

(

Ví dụ 3: Tập xác định của hảm số y = 1 + x
B. ( 0; + ) .

)

\ 0 .

−2019

là

D.  0; + ) .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A.

.

C.

\ 0 .

(

)

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  ( −2018;2018) để hàm số y = x 2 − 2 x − m + 1

5

có tập xác

định là ?
A. 4036.
B. 2018.
C. 2017.
D. Vơ số
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài tốn 2. Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

(

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = 1 − x 2
5

)

−

1

4

.
5

5

5

−
−
−
−
5
1
1
5
B. y = − x 1 − x 2 4 .
C. y = x 1 − x 2 4 . D. y = x 1 − x 2 4 .
1− x2 4 .
2
2
4
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền
5

A. y = −

(

)

(

)

(

)

(

)

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = ( 2 + 3cos 2 x ) .
4

A. y = −24 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

B. y = −12 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

C. y = 24 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

D. y = 12 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

3

3

3

3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số y = ( x sin x ) 3 là
1
1
−
−
2
2
x sin x ) 3 .
B. y = ( x sin x ) 3 . ( sin x + x cos x ) .
(
3
3
1
−
2
2 sin x + x cos x
C. y = .
D. y = ( x sin x ) 3 .cos x.
.
3
3 3 x 2 sin2 x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A. y =

(

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số y = 1 + x
A. y =

−1

(3x + 3 x ) . (1 + x )
3

C. y =

−1

( x + x ) . (1 + x )
3

2

2

.

.

)

−

2
3

là

(

)

(

)

2
B. y = − 1 + x
3

2
D. y = − 1 + x
3

−

−

5
3

5
3

.

1
x

.

.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán 3. Khảo sát sự biến thiên và nhận dạng đồ thị của hàm số lũy thừa

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

6

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi f ( x ) có thể là hàm số nào trong bốn hàm số dưới
đây?
1
3

A. f ( x ) = x .
1

C. f ( x ) = x 3 .
−

B. f ( x ) = 3 x .
D. f ( x ) = x 3 .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = x −
A. Hàm số tăng trên ( 0; + ) .

C. Tập xác định của hàm số là

2

có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. Đồ thị ( C ) khơng có tiệm cận.

.

D. Hàm số khơng có cực trị.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BÀI 3 . LÔGARIT
I – LÝ THUYẾT
1/ Khái niệm :
Cho 2 số dương a,b với a ≠ 1, số 𝛼 thỏa 𝑎𝛼 =b đc gọi là logarit cơ số a của b
KH: log 𝑎 𝑏

 = log a b  a = b
II/Công thức : cho 0<a,b,c  1 ,M,N > 0,  ,   R ta có :
1/cơng thức cơ bản

log a 1 = 0 ;log a a = 1; log a a M = M ; a loga M = M

2/ công thức về lũy thừa
log a M  =  log a M ; log a  M =

1



log a M ; log a  M  =


log a M


3/ tính chất

log a M + log a N = log a ( M .N ) ; log a M − log a N = log a (

M
)
N

4/ Công thức đổi cơ số
log c b
1
log a b =
, log a b =
, log a b = log a c.log c b
log b a
log c a
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

7

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
III/ Logarit thập phân, logarit tự nhiên
Logarit thập phân là logarit cơ số 10 Kí hiệu : log10 𝑎 = log 𝑎 = 𝑙𝑔𝑎
- Logarit tự nhiên là logarit cơ số e
Kí hiệu : log 𝑒 𝑎 = 𝑙𝑛𝑎 (e = 2,718)
I I– CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit:
a) Phương pháp giải:
a  0, a  1
- Dựa vào định nghĩa logarit: log a b xác định  
.
b  0
- Sử dụng máy tính cầm tay, CALC tại các giá trị thuộc các đáp án đề ra để thử
b) Ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức A = 2x −1 − log ( x − 2) .
2

A. D = ( 2; + ) .

B. D = 0; + )

.C. D = 0; +) \ 2 .

D. D = ( 0; + ) \ 2 .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức B = log 2 (2 x − 1) xác định?

1
1

1 

A. x   ; +  .
B. x   −;  .
C. x  \   .
D. x  (−1; +) .
2
2
2


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3: Với giá trị nào của x thì biểu thức C = ln(4 − x 2 ) xác định?
A. x  (−2;2) .
B. x [ − 2;2] .
C. x  \[ − 2;2] .
D. x  \ (−2;2) .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng 2: Rút gọn biểu thức
a) Phương pháp giải:
Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số
b) Ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P = a3−2loga b ( a  0, a  1, b  0) bằng:
A. P = a3b−2
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

B. P = a3b

C. P = a2b3

D. P = ab2
8

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a2 3 a2 5 a4 
Ví dụ 2: log a 
 bằng:
 15 a 7



12
9
A. 3 .
B.
C.
D. 2 .
5
5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
Ví dụ 3: Nếu log a x = log a 9 − log a 5 + log a 2 ( a  0, a  1) thì x bằng:
2
6
2
3
A. .
B. .

C. .
D. 3 .
5
5
5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng 3: Tính giá trị biểu thức
a) Phương pháp giải:
Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số
b) Ví dụ điển hình:
4log

5

Ví dụ 1: Cho (a  0, a  1) , biểu thức E = a a có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 25 .
B. 625 .
C. 5 .
D. 58 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

1
.
7
C. A = 2 log 3 7 .

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = log 1 7 + 2log9 49 − log
3

A. A = 3log 3 7 .
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

B. A = log 3 7 .

3

D. A = 4 log 3 7 .
9

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 
 


Ví dụ 3: Biểu thức log 2  2sin  + log 2  cos  có giá trị bằng:
12 
12 


A. −1
B. −2 .
C. 1 .
D. log2 3 −1 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 4: Cho lg x = a,ln10 = b . Tính log10e ( x ) bằng:
2ab
ab
b
a

A.
B.
C.
D.
1+ b
1+ b
1+ b
1+ b
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a
b
c
d
Ví dụ 5: Cho a, b, c,d  0 . Rút gọn biểu thức S = ln + ln + ln + ln ta được
b
c
d
a
a b c d
A. S = 1.
B. S = 0.
C. S = ln  + + +  .
D. S = ln ( abcd ) .
b c d a
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 6: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  1, a  b và loga b = 3.
Biến đổi biểu thức P = log

b
a

b

ta được
a

A. P = −5 + 3 3.

B. P = −1 + 3.

C. P = −1 − 3.

D. P = −5 − 3 3.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

10

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 7. Cho log12 27 = a. Khi đó giá trị của log 6 16 được tính theo a là

4 (3 − a )

4 (3 + a )

4a
2a
.
.
D.
3+ a
3−a

3−a
3+ a
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.

.

B.

.

C.

Ví dụ 8. Cho lg3 = a,lg2 = b. Khi đó giá trị của log125 30 được tính theo a là:
A.

4 (3 − a )
3−b

.

B.

1+ a
.
3 (1 − b )

C.

a
.
3+ b

D.

a
.
3+ a

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 9. Đặt a = log2 3, b = log5 3. Biểu diễn log 6 45 theo a, b ta được
2a 2 − 2ab
a + 2ab
log
45
=
.
.
B.
6
ab
ab
2a 2 − 2ab
a + 2ab
.
.
C. log6 45 =
D. log6 45 =
ab + b
ab + b

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1

1

O

O

2. Hàm số logarit: y = loga x , ( a  0, a  1)
•

Tập xác định: D = ( 0, + )

•
•
•

Tập giá trị: T =
Tính đơn điệu
Khi a 1 thì hàm số đồng biến trên ( 0; + ) . Khi 0

•

Dạng đồ thị: Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

1 thì hàm số nghịch biến ( 0; + ) .

a

1

O

O

1

3. Đạo hàm

Đạo hàm hàm số sơ cấp

Đạo hàm hàm số hợp

( a ) = a .ln a
(e ) = e

 (a

( log

 ( log a u ) =

x '

x

x '

x

x) =
'

a

( ln x )

'

=

) = a .ln u.u '
 ( e ) = e .u '
u '

u

u '

1
x ln a

u

'

1
, ( x  0)

x

 ( ln u ) =
'

u'
u ln a

u'
u

II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Tập xác định của hàm số.
a) Phương pháp giải:
- Tự luận thuần túy: Tìm điều kiện của hàm số và giải điều kiện ta thu được tập xác định của hàm số.
- Casio: Áp dụng cho các hàm số trong đó khơng chứa hàm số lũy thừa
+ Nhập hàm số cần tìm tập xác định
+ CALC: x = a Nếu Casio báo Math ERROR thì loại bỏ các đáp án chứa giá trị a .
b) Ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Tập xác định xủa hàm số f ( x ) = log
A. D = (1;3) .

B. D = ( −1;1) .

x + 1 − log 1 ( 3 − x ) − log3 ( x − 1) là:
3

2

2

C. D = ( −;3) .

D. D = (1; + ) .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

12

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

e 2 x + 4e x + 5
1− x
A. D = ( −3;e ) .
B. D = ( 0;1) .
C. D = ( −;1) .
D. D = ( 0; + ) .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y =
có tập xác định là .
log3 ( x 2 − 2 x + 3m)
Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số f ( x ) = x + ln

2
2

 2
2



A.  ; +  .
B.  ; +  .
C.  −;  .
D.  ;  .
3
3

3

 3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng 2: Tính đạo hàm các cấp của hàm số mũ và hàm số logarit; Tìm min, max của hàm số mũ và hàm
số logarit
a) Phương pháp giải:
* Đối với bài tốn tính đạo hàm hoặc chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm
- Dùng các công thức tính đạo hàm đã học
- Thay vào các đẳng thức chứa đạo hàm ta thu được kết quả
* Đối với bài tốn tìm min, max
- Tìm đạo hàm của hàm số
- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đang xét
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm vừa tìm được
- Kết luận
b) các ví dụ
Ví dụ 1: Đạo hàm của hàm số y = ecos 2 x tại x =
3

A. −e 2


6

bằng bao nhiêu ?

B. − 3e

3

C. e 2

D.

3e

2
Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số y = log8 ( x − 3x + 8 ) là.
2
A. y = ( 2 x − 3) .log8 ( x − 3 x + 8 ) .

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

B. y =

2x − 3
.
x − 3x + 8
2

13

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
2x − 3
2x − 3
C. y = 2
.
D. y = 2
ln 8 .
( x − 3 x + 8) ln 8
x − 3x + 8
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x −1

Ví dụ 3: Cho f ( x ) = 2 x +1 . Giá trị f  ( 0 ) bằng.
1
B. 2ln 2 .
C. 2 .
D. ln 2 .
..
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.

1
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
x +1
A. xy − 1 = −e y
B. xy − 1 = e y
C. xy + 1 = e y

D. xy + 1 = −e y
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 4: Cho hàm số y = ln

)

(

Ví dụ 5 : Đạo hàm của hàm số y = ln x + x 2 + 1 là
A. y =

1+ x
x + x2 + 1

.

B. y =

1
x2 + 1

.

C. y =

2
x2 + 1

.

D. y =

2x
x2 + 1

.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 6 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − ln( x + 1) trên [0, 2] là
A. 0.
B. 1-ln 2.
C. 2-ln 3.
D. Đáp án khác.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

14

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(

)

Ví dụ 7: Gọi M , N lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y = ln x + x 2 + 4 trên đoạn 0; 5  .
Khi đó tổng M + N là
8
A. ln(6 + 3 5)
B. ln

C. ln(6 − 2 5)
D. Kết quả khác
3− 5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Dạng 3: Sự biến thiên của hàm số mũ, logarit
a) Phương pháp giải
- Tự luận thuần túy:
+ Nếu là hàm số dạng y = a x ; y = log a x thì dựa vào cơ số a để xác định tính đơn điệu hàm số.
+ Nếu là các hàm số khác ta xét sự biến thiên của hàm số theo các bước: TXĐ⇒BBT⇒Kết luận
- Casio:
+ Dùng MODE 7 để khảo sát tính tăng giảm, giảm của hàm số để chọn được đáp án.
b) Ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?
x
x
x
x
1
2
 
 
A. y =  
B. y =  
C. y =  
D. y =  
3
e
3
4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
2

A. y = log x
B. y = x 2 + 1
C. y = log 2 x
D. y = ln ( x + 1)
3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3: Cho bốn hàm số sau: y = f ( x) = ln x ; y = g ( x ) = 2 x2 + 4 ;
x

 2017  y = l ( x) = ln x 2 + 1
y = h( x ) = 
( ) . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; + )
 ;
 2018 
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

15

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 4: Cho hàm số sau: y = f ( x) = ( x 2 − 2 ( m + 4 ) x + 2m + 12 ) .e x . Tìm tổng các giá trị nguyên của m để hàm
số nghịch biến trên TXĐ là S thì giá trị của S sẽ là:
A. 15

B. -12
C. -15
D. -10
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Dạng 4: Bài toán cực trị của hàm số mũ và hàm số logarit
a) Phương pháp:
* Đối với bài toán cực trị hàm một biến
- Tính đạo hàm của hàm số
- Tìm các nghiệm của phương trình y = 0
- Xét dấu đạo hàm
- Suy ra cực đại, cực tiểu của hàm số
* Đối với bài tốn nhiều biến
- Tìm cách biến đổi về biểu thức liên hệ giữa các biến
- Khéo léo xét hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
b) Các ví dụ
ex
. Tìm cực tiểu đại của hàm số
x +1
A. x = 0
B. y = 1
C. x = 1
D. y = e
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 1: Cho hàm số y =

Ví dụ 2 : Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x ln x
1
1
A. e
B.

C. −
D. − e
e
e
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x 2 .ln x
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

16

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
1
1
A. x = e
B. x =
C. x = e
D. x =
e
e
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Dạng 5: Đồ thị của hàm số mũ, logarit
Ví dụ 1: Phát biểu nào sau đây sai?
A. Hai hàm số y = a x và y = log a x ( a  1) có cùng tình đơn điệu trên TXĐ.
B. Đồ thị hàm số y = a x ( a  0, a  1) ln nằm trên trục hồnh
C. Đồ thị hàm số y = log a x ( a  0, a  1) luôn nằm bên phải trục tung
D. Hai hàm số y = a x và y = log a x ( 0  a  1) đều có đồ thị nằm phía trên trục hồnh.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) = 2e x − x . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây
là đồ thị của hàm số y = f '( x) . Tìm đồ thị đó.

A.

B.

C.

D.

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

17

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án
A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

y
2
1

O
A. y =

( 2)

x

2 x
D. y =

C. y = 2 x

B. y = x

( 2)

−x

4

Ví dụ 4Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án
3
A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y
1
O

2

x

1

A. y = log 1 x

B. y = log 2 x

C. y = log

2

x

D. y = log 2 ( 2 x )

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

18

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I – LÝ THUYẾT
DẠNG 1: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VỀ CÙNG CƠ SỐ.
1. Phương trình mũ a x = b
+ Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = log a b .
+ Nếu b  0 thì phương trình vơ nghiệm.
f x
gx
LOẠI 1 Phương trình có dạng a ( ) = a ( ) .

f x
g x
+ Nếu a = 1 thì a ( ) = a ( ) nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu 0  a  1 thì f ( x ) = g ( x ) .

LOẠI 2 Phương trình có dạng a

f ( x)

= b (với 0  a  1, b  0 )

a f ( x ) = b  f ( x ) = log a b.
DẠNG 2: GIẢI PH. TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH LẤY LOGARIT HAI VẾ.
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng : af(x) = bg(x)
(1).
a  0

Bước2: Lấy logarit hai vế theo cơ số c thích hợp thì (1)  b  0
.
f (x).log a = g(x).log b
c
c

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ.
Bước 1: Đặt t = ax > 0 với a thích hợp , để biến đổi phương trình mũ thành phương trình đại số theo t.
Bước 2: Giải và chọn nghiệm t > 0 , rồi sau đó tính x từ ax = t.
Chú ý : Các cặp số nghịch đảo với nhau như : 2 + 1 và 2 − 1 ; 2 + 3 và 2 − 3 ; 3 + 8 và 3 − 8 ;
4 + 15 và 4 − 15 ……
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶC BIỆT.
Bước 1: Đoán nhận một nghiệm.
Bước 2: Chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
A  m
A = m
Chú ý : Nếu 

thì A = B  
.
B  m
B = m
DẠNG 5: Phương trình chứa tham số:
Trong phương trình có chứa tham số. Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn u cầu bài tốn
VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

1
là
81
A. 0;4 .
B.  .
C. 2;1 .
D. 0;1 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 1. Tập hợp nghiệm của phương trình 3x

Ví dụ 2. Phương trình 3x

2

+ 4 x −3

2

− x −4

=

= 3x +1 có nghiệm là

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

19

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
x = 1
 x = −1
A. 
.
B. 
.
C. x = −4 .
D. x = 1
 x = −4
x = 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình 2x + 2x+1 = 3x + 3x+1 là:
2
3
A. x = log 3 .
B. x = 1 .
C. x = 0 .
D. x = log 4
2 4
3 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình x  −2
A. S = 1 .
B. S = −1 .

C. S = −3 .
D. S = 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 5. Nghiệm của phương trình 22 x − 3.2x+2 + 32 = 0 là:
A. x 2;3 .
B. x 4;8 .
C. x 2;8 .
D. x 3;4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 6. Số nghiệm của phương trình 7x − 71− x = 6 là?
A. Vô nghiệm.
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

20

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
2
Ví dụ 7. Phương trình 2 x −3 = 3x −5 x +6 có hai nghiệm S = −1; 5 trong đó x1  x2 , hãy chọn phát biểu đúng

(

A. 3x1 − 2 x2 = log3 8 .

)

B. 2 x1 − 3x2 = log3 8 .

C. 2 x1 + 3x2 = log3 54 .
D. 3x1 + 2 x2 = log3 54
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 x −3

Ví dụ 8 Phương trình 3x −2.4 x = 18 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

1
x

Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình 2 + 2 x = 3.
A. Có 2 nghiệm.
B. Có vơ số nghiệm.
C. Có 1 nghiệm.
D. Khơng có nghiệm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 10 Phương trình

(

3− 2

) +(
x

3+ 2

) =(
x

10

)

x

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

21

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

(

Ví dụ 10 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 + 3

) + (2 − 3)
x

x

= m có hai nghiệm phân biệt

A. m  2 .
B. m  2 .
C. m = 2 .
D. m  2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 11 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x − m.2x+1 + 2m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 với x1 , x2
thỏa mãn x1 + x2 = 3 ?
A. m = 4 .
B. m = 2 .
C. m = 1 .
D. m = 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 x−1 + m2 − m = 0 có nghiệm.
A. m  0 .
B. 0  m  1 .
C. m  0 ; m  1 .
D. m  1 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

22

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 13 Cho phương trình ( m + 1)16x − 2 ( 2m − 3) 4 x + 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị
của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng ( a; b) . Tính P = ab.
A. P = 4 .

B. P = −4 .

3
C. P = − .
2
Lời giải.

D. P =

5
.
6

Chọn.
A.
x
Đặt t = 4  0 .
Phương trình trở thành ( m + 1) t 2 − 2 ( 2m − 3) t + 6m + 5 = 0. (*)
f (t )

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  0  x2

⎯⎯
→ 4 x1  40  4 x2 ⎯⎯
→ t1  1  t2 .
m + 1  0

Ycbt  phương trình (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa 0  t1  1  t2  ( m + 1) f (1)  0

( m + 1) f ( 0)  0
m + 1  0


a = −4
 ( m + 1)( 3m + 12 )  0  −4  m  −1 ⎯⎯
→
→ P = 4. Chọn.A.
b = −1

( m + 1)( 6m + 5)  0

PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log a b =   a = b
 a  0, a  1
Chú ý: log a b có nghĩa khi 
b  0
lg b = log b = log10 b
• Logarit thập phân:
n

 1
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = log e b (với e = lim  1 +   2,718281 )
 n
2. Tính chất
log a a b = b ;
log a a = 1 ;
a loga b = b (b  0)
• log a 1 = 0 ;
• Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b  log a c  b  c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b  log a c  b  c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:
b
• loga (bc) = loga b + loga c
• log a   = log a b − log a c • log a b =  log a b
c
4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:
log a c
• logb c =
hay loga b.logb c = loga c
log a b
1
1
• loga b =
• loga c = loga c (  0)

logb a
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

23

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
II. DẠNG TOÁN
DẠNG 1: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VỀ CÙNG CƠ SỐ
Phương pháp giải
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng log a f (x) = log a g(x)
0  a  1

Bước 2: Áp dụng công thức log a f (x) = log a g(x)  
.
f (x) = g(x)  0
Lưu ý : log a f (x) = M  f (x) = a M
DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ.
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Đặt t = logax với a thích hợp , để biến đổi phương trình lơgarit thành phương trình đại số theo t.
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HĨA.
Phương pháp giải: Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau:
0  a  1
* log a f ( x ) = g ( x )  
g( x)
 f ( x ) = a
t

 f ( x) = a
* log a f ( x ) = logb g ( x ) = t  
.
t

g ( x) = b
Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm x.

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG CÁCH ĐẶC BIỆT.
Phương pháp giải
Bước 1: Đoán nhận một nghiệm.
Bước 2: Chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CĨ CHỨA THAM SỐ
Phương pháp giải: Dùng kết hợp các phương pháp đặt ẩn, mũ hóa, đưa về cùng cơ số, đánh giá tính đơn điệu

của hàm số.
VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Tập nghiệm của phương trình log2 (3x − 7) = 3 là
A. {1}.
B. {-2}.
C. {5}.
D. {-3}
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2. Tập nghiệm của phương trình log2 x = 5 là
A. {5}.
B. {1}.
C. {25}.
D. {32}
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3. Phương trình log 2 ( x 2 + 2 x + 1) = 0 có bao nhiêu nghiệm:
A. 1.
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

B. 2.

C. 0.

D. 3
24

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 4. Tìm số nghiệm của phương trình log 3 x.log3 x.log9 x = 8 .
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 5. Tìm số nghiệm của phương trình log 5 ( x + 2) = log5 (4 x + 6) .
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 6. Phương trình log 2 ( x + 2) + log 4 x 2 = 3 có nghiệm là:
A. x = −2, x = 4 .
B. x = 2, x = 4 .
C. x = 2 .
D. x = 0 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 7. Phương trình log22 x + 4log 1 x − 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó K = 2 x1 x2 − 3 bằng
4

A. K = 4 .
B. K = 5 .
C. K = 6 .
D. K = 7 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 8. Phương trình 3 log3 x − log3 ( 3x ) = 1 có hai nghiệm x1 , x 2 . Khi đó tích x1. x2 bằng?
A. 1 .
B. 36 .
C. 243 .
D. 81 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

25

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II hàm số LUỸ THỪA hàm số mũ hàm số LOGARIT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về