CHUYEN DE ELIP

Mục
1

lục

ĐƯỜNG ELIP
1.1 Lý thuyết
1.1.1
Phương trình chính tắc...........
1.2

1.1.2
Diều kiện tiếp xúc
...........
Một số bài tốn ..................
1.2.1
Một số bài tốn tìm các yếu tố của elip
1.2.2
Một số bài tốn lập phương trình chính tắc của elip
1.2.3
Một số bài toán về tiếp tuyến elip. . .
1.2.4
Một số bài toán về tiếp tuyến của elip xuất phát từ một điểm
1.2.5
Một số bài tốn về tìm điểm thuộc elip


Chương

1

DUGNG
1.1

ELIP

Lý thuyết

1.1.1

Phương

trình chính tắc

‘

U

2
(B): +

Bì

i

\`

:

Na

Ề

vo.

B,

và a,b > 0

- Độ dài trục nhỏ bằng 2b

TH

Fi

— 1 với a2 = PP +

- Độ dài trục lớn bằng 2a

nh
Ay (

2

F,

—+->

an

\A;

⁄]

- Liêu

.

cự

PFịFạ

C

=

2c

- lầm sai e = —

#1(—c;0); Fy(c;0)
Fö(€;
* - viesTiêu a8điểm Fy(—c;0);

- Cac dinh A;(—a; 0), Aa(a;0); Ø¡(0;ð); B›(0; —b)

- Ban kinh qua tiéu cia diém M (x;y) € (£)
MF,

=a+

<2 va MF,

a

=a— <2

a

- Phuong trinh hinh chi nhat co s6 x = Ea; y = +b
- Dudng chuan A; :a+exr =0 va Ay: a—ex =0
1.1.2

Diéu kién tiép xtic

2

Xét (E): 5 +

2

= 1; dutng thang A: Ar + By + C =0 va diém M(9; yo) € (E)

- Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm M có dạng
LLO

YVo

mop?

- Diều kiện cần và đủ để đường thắng A tiếp xúc (E) là

A2a2

+

B?t?

—

C2


Trường THPT Dương Háo Học

1.2

Một

1.2.1

Một

Chuyên đề đường Eilip

số bài toán
số bài tốn tìm các yếu tố của elip

Bài tốn 1.2.1. Tìm các yếu tố của các elip sau
2
2

an

Lời giải. —

a) (E) : 5c

b)(E):z2?+4/U?=1 —

ce)(E):4z2+5g2
= 20

ao!

ae

a2 = 2ð

eon

a=5

on

MA
v=P4+Ca
C=C —-0 =25-16=9
>c=3

Vậy elíp có
- Độ dai trục lớn bằng 10

- Độ đài trục nhỏ bằng 8
cự

FịFs

- Lâm

sai e=

=6

orl ce

- Liêu

- Tiêu điểm F1(—3;0); F2(3;0)

- Các đỉnh 4i(—5;0), 4:(5;0); E:(0;4); B›(0;—4)
+2

ye

4

Ta có

a2 =1

1

b? = —
4

=>

Ma
al

2

1

3

2
2
2
2
2
+C
C
al
1
1
=P4+@s3@=0-P=1--=*

+

3

Vậy elíp có
- Độ đài trục lớn bằng 2
- Độ đài trục nhỏ bằng 1

- Tiêu cự FL Fy = V3
- Tâm sai

e=

3

Xổ

2
3
- Tiéu điểm #ị (-.0)

2

Fy

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

l

3

3

a=1

1
b= =
2


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường Eilip
1

1

Ax?
By?
x
cy?
E):4
øˆ
= 2)<>——+
——=l<© 2e
c) (EB)
: 4a? + 5y?
a) + a0
20 * „20 =lÌl<©—+
5+]—-—Ì
4

Ta có

a 2_ 5

_,

9D

ja — V5

b? = 4

b=2

Ma

e=P4+EC5C=0-W=5-4=1
>c=l1

Vậy elíp có

- Dộ dài trục lớn bằng 25
- Độ đài trục nhỏ bằng4
- Tiêu

cự

Fì họ

=

- Tam

aS

2

- Tiêu điểm F1(—1;0); F;(1;0)

- Các đỉnh Ai(— vỗ:0), Aa(v5;0); B:(0;2); Bạ(0; —2)
Bài tập tương tự

Tìm các yếu tố của các elip sau
2
T2

a) T+

=1

d) 3a? + 4u? =48
1.2.2

Một

b)4z? +9? =1

c) 4z2+ 9? = 36

e) x? + 5y*
= 20

2

2

0+

=1

số bài tốn lập phương trình chính tắc của elip

Bài tốn 1.2.2. Lập phương trình chính tắc của elip biết

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và độ dài trục nhỏ bằng 4
b) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và tiêu cự bằng 25

e) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng 1
`

`

3

d) Tiéu cu bang 6 va tam sai bang 5

e) Dộ dài trục nhỏ bằng 6 và tâm sai bằng 1

f) Có hai đỉnh là (—4;0) và (0; v15)
ø) Có tiêu điểm (—2;0) và một đỉnh (4;0)
h) Có một đỉnh (—3;0) và tâm sai bằng 3
i) Qua hai điểm A(4; v3) và B(2V2; —3)

j) Có độ dài trục lớn bằng 8 và qua điểm (2

2

k) Có tiêu điểm (—4;0) và qua điểm (15; —-1)
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

4


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường Eilip

Lời giải

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và độ dài trục nhỏ bằng 4
'a có
2a =6

a=3

=>

2b=4

b=2

Vậy phương trình chính tắc của elip là

wy?

b):):s?n
+
——Ì]
b) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và tiêu cự bằng 25
'a có

2b=6

—

2c = 2V5
Mà a2 = ?+c2=9+
5=

b=

c= Vỗ

14

Vậy phương trình chính tắc của elip là
bo

2
Ụ
—=Ị
1479

;

ws

8

(BE) :
`

3

c) Độ dài trục lớn bang 8 va tam sai bang 1
Ta có
2a=8
3

4

©€=_—

a=4

>

ec

a4

—

—

a=4

30>

oe

—

—=

a-4

30>

=3

,—

—=

Ma
av=P4+Ces3RP=0-C7=16-9=7

Vậy phương trình chính tắc của elip là
(È)
on

*

`

^

.

*

z2

g2

16

7

È:): + T—Ì

3

d) Tiéu cu bang
6 va tam sai bang =
a co
2c=6
3

e=—

=> Á

Oo

c=3
€
3

—-=

a

=> 4

Oo

c=3
3
3

——=—~
a

Ma

ad? =bÙ +c°>bˆ=a?—c2=5ˆ—-3
=16
Vậy phương trình chính tắc của elip là
z2

g2

25

16

Èt): => + —_—Ì

()
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

5

oO

=>

c=

3

a=—=ð


Trường THPT

Chuyên đề đường Eilip

Dương Háo Học

`

`

3

e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và tâm sai bang 1
Ta có
e=-

3

=>

4

¢

=—-

3.

=

a

=>

—

4

=_-

Mà
3a\?

av=P4+ead=37+

(7)

9a?

2
œa?=9+—
a
+ 16
9a?

2
&@——=9
"6G

Ta?16 _ 4
7

2

«œ2 = 1
—

Vậy phương trình chính tắc của elip là

„2

y2

7

f) Có hai đỉnh là (—4;0) và (0; v15)
Ta có

Vậy phương trình chính tắc của elip là

1“
ø) Có tiêu điểm (—2;0) và một đỉnh (4;0)
Ta có

e=

2

i

Mà
q2 =b?+c?>b=aœ?—c)=106—4=
12

Vậy phương trình chính tắc của elip là

z2

(E)

g2

itp

`

2

h) Có một đỉnh (—3;0) và tâm sai bằng 3
Ta có
— 2

“a8

Sác

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

2

a

3

Các

6

2

3.3

04

3a

—

na


Trường THPT

Chun đề đường Eilip

Dương Háo Học

Mà

aq?=bÙ?+c2

>bˆ=a?—c°=9—4=5ä

Vậy phương trình chính tắc của elip là
vy

b): +

——ÌI

¡) Qua hai điểm A(4; v3) và B(2V2; —3)

Goi (ZF): Av? + By? =1

Theo giả thuyết ta có

16A + 3B = 1

A.422+ B(v3)? =1
A(2V2)? + B(-3)? =1

8SA44+9B=1
+9B=

~

Vậy phương trình chính tắc của elip là

(E):Ÿ
20 +! =1
3v3
3.

j) Có độ dài trục lớn bằng 8 và qua điểm

1

Goi Goi (£) : Ax? + By’? =lvới
4 = = vaB
a

Theo giả thut ta cd 2a =8 >a=4>A=
6

3v3

16

>

c

Vậy phương trình chính tắc của elip là
(4)

B):—
167

9

=

) Có tiêu điểm (—4;0) và qua điểm (v15; —1)

2

yp —

Theo mm.

—€°=qa

Do đó
hj):
(F)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

*

—=

3

— 16
Ù

T2

—16

=]

A= 55
pa

l

15


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường Eilip

Mà (1ã; —1) € () nên
15

1

15(a? — 16) + a?

15 n 16

=]

~~ q42 10 —

Ấ© 15(œŸ — 16) + aˆ = a?(a2 — 16)
& 15a? 240 + a? = a* 16a?
ôâ aˆ — 32a2 + 240 = 0
a?” = 20 => Ù= 4

=>

a’? = 12 > b* = —A4( loai)

(BE) :

2
+o =1

|

5

Vậy phương trình chính tắc của elip là

Bài tập tương tự
1.2.3

Một

số bài toán về tiếp tuyến elip

1. Lý thuyết.
22
Cho (EF) : tp

2
= 1 va duong thang A: Ax + By+C=0

a
- Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm M (29; yo) € (E) có dang
LLO

YVo

a?

b2

=1

- Diều kiện cần và đủ để đường thắng A tiếp xúc (E) là
A2a? + B?b2 = C?
2. Luu

y:

- Dường thắng đ tạo với trục Óz theo chiều dương một góc a thi đường thẳng đ có hệ

số góc bang tana.
- Đường thắng đ có hệ số góc k có dạng y = kx + b.
- Dường thẳng đ có hệ số góc k và qua điểm A(za;4) có dang
Ụ = k(# — #A) + UA

- Cho hai đường thắng A¡ có hệ số góc là k¡ và đường thẳng As có hệ số góc là kạ.
khi đó

3. Một

+

Néu

Ai //Ae

+

Néu

Ay

tL

Ao

thi
thi

ky

=

kq.ka

ky.
=

—].

số bài tốn về tiếp tuyến.

Bài tốn 1.2.3. Cho (#) : x? + 4ˆ = 40. Viết phương trình tiếp tuyến của (#) tại

điểm M(—2;3).

Lời giải.

Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm A⁄(—2; 3). là
##o + 4o

= 40 © —2+z + 12 — 40 = 0 © +z — ố + 20=0

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

8


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường Eilip

2
Q2
Bài toán 1.2.4. Cho (F) : > + T = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (F) có hệ
sỐ góc & = 2

Lời giải.

Ta có øˆ = 8 và ÙŸ = 4.

Phương trình đường thắng A có dạng A :

Để A tiếp xúc () thì

= 2z +?n <> 2z —

+ m = Ö.

A’a’ + B“bŸ = Œ2 = 2”.8 + (—1)ˆ.4 = mỸ & mm = +6
Vậy có hai tiếp tuyến cần tim là 2z — +6 = 0 và 2z ——6=0
2
2
Bài toán 1.2.5. Cho (?) : Tổ + 5 = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (#) song
song với đường thắng đ: z-+

=0

Lời giải.

Ta c6 a? = 16 va b? = 9.

Phương trình đường thẳng A song song với đường thắng đ có dạng
A:x+y+C=0

Để A tiếp xúc với (E) thì
A2a? + B?b? = C2 = 16.17 + 9.12 = C2 + Ở = +ã
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm # + +5 =0 và z+5=0
2
2
Bài toán 1.2.6. Cho (#) : = + a = I1. Viết phương trình tiếp tuyến của () vng
góc với đường thẳng đ: z —

=0

Lời giải.
Ta có a2 = 2ð và bŸ = 16
Phương trình đường thắng A vng góc với đường thẳng đ có dạng
A:z+u+CŒ=0

Để A tiếp xúc với (E) thì
A2a2 + B?bŸ = C2 > 25.12 + 16.12 = Œ? <>

= +V4I

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm z + + 4l =0 và z+_— v41=0
2
Q2
Bài toán 1.2.7. Cho () : > + T = l1. Viết phương trình tiếp tuyến của (F) tao với
trục hồnh theo chiều dương một góc 459

Lời giải.

Ta có a7 = 9 và ÙŸ = 4.
Đường thẳng tạo với trục hồnh theo chiều dương một góc 450 suy ra đường thẳng có
hệ số góc & = tan 4ã = l.
Gọi À :1—=#++m
<© # — 9 +rn = 0Ư

Để A tiếp xúc với (E) thì

A’? + B”b = C2 => 9.12 + 4.(—1)2 = m <>m = +V13
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm z —
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

+ 13 = 0 và z——
9

w13=0


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường Eilip

2
2
Bai todn 1.2.8. Cho (£) : Tổ + 5 = l1. Viết phương trình tiếp tuyến của (7) tạo với

đường thắng đ: 3z +

— 16 = 0 một góc 45°

Lời giải.

Ta có đường thắng đ có hệ số góc kị = —3
Gọi & là hệ số góc của tiếp tuyến.
Do tiếp tuyến của (£) tạo với đường thẳng đ một góc 45° nén

tan 45° =

|k + 3|
|1 — 3#|

|k +3] =|L— 3h] vik #5

1

k+3=1-3h
+3 =—(L— 3#)
1

2

;—1
bao

z

* Với k= =5 phương trình tiếp tuyên của () có dạng
1
A:=—s#

+1m © # + 2u — 2m = Ơ

Khi đó
A?a2 + Bbˆ = Cˆ => 16.12 + 9.2” = (—2m)ˆ © m” = 13 © mm = +V13
Suy ra Ay : 2+ 2y —2V13
=0 va Ag: 44+ 2y4+2V13
= 0.

* Với k = 2 phương trình tiếp tuyến của () có dạng
đ:1

—= —2#+m

2z +—n =

Khi đó
A?a2 + B?bˆ = C7 => 16.22 + 9.1 = (—n)Ÿ
Suy ra dy: 2a +y—V741=0

nŸ = 4l $n = +V4I

va dy: 24+ y+ V41 =0

Vậy có 4 tiếp tuyến cần tìm là

Ay : ©+2y—2V13 = 0; Ag : ©+2yt+2V13 = 0 dy : 2a+y—V41
Bài tập tương tự

= 0 do : 2a+-y+V41 = 0

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của () : zÝ-+ 2/2 = 6 song song với đ : z + = 0
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của () : 8+7 + 17? — 136 = 0 song song với
d:x—-—y=0

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (H)
d: 2x —3y+1=0

Bài 4. Viết phương trình tiép
với trục hồnh một góc
Bai 5. Viết phương trình tiếp
với d.: 3# + — 16 = 0

: zÝ + 42 — 40 = 0 vuông góc với

tuyén cla (F) : 2? + 4y* — 20 = 0 biét tiép tuyến hợp
4ã?
tuyến của (#) : 4zˆ + 9 — 36 = 0 biết tiếp tuyến hợp
một góc 459

1.2.4

Một

số bài tốn về tiếp tuyến của elip xuất phát từ một điểm

1.2.5

Một

số bài tốn về tìm điểm thuộc elip

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

10