Chuyên đề quan hệ vuông góc luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUN ĐỀ
QUAN HỆ VNG GĨC

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VNG GĨC
VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
 

Cho các véc tơ tùy ý a, b, c và k , l ∈  .
1. Cộng véc tơ:



 









OA a=
, AB b, thì OB= a + b
Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ=






Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K bất kỳ thì MN
= MK + KN








2. Trừ véc tơ: a − b = a + (−b)


 

Quy tắc ba điểm: MN
= KN − KM .






Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC
= AB + AD .








Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ ta có AC ′ = AB + AD + AA′ .
3. Tích véc tơ:




Tích của véc tơ a với một số thực k là một véc tơ. Kí hiệu là k .a


+) Cùng hướng với a nếu k > 0 .


+) Ngược hướng với a nếu k < 0 .




+) k .a = k . a .






Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B, O tùy ý thì OA + OB =
2OI .
4. Tích vơ hướng của hai véc tơ.


 

 

+) Định nghĩa: a.b = a . b .cos ( a, b ) .






+) Hệ quả: a ⊥ b ⇔ a.b =
0.
2



2

+) a= a=
.a a .
AB 2 + AC 2 − BC 2
.
2
 


+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b . Gọi a′ là hình chiếu vng góc của a trên đường

   
thẳng chứa b thì: a.b = a′.b .

+) Với ba điểm A, B, C ta có AB. AC =

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

 

5. Định nghĩa: Ba véc tơ a, b, c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một
mặt phẳng.
6. Các định lý:
 



 





c ma + nb ( với m, n xác định
a) Cho a, b không cùng phương: a, b, c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈  :=
duy nhất).
 



b) Nếu ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng:




x = ma + nb + kc với m, n, k xác định duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN.
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD .


 

 



1

6

1  1 
3
3



1  1  1 
6
3
3



  



, AC c=
, AD d . Phân tích véc tơ MG theo d , b, c .
AB b=
Đặt=


1
6

1  1 
3

3

B. MG = b + c + d .

− b+ c+ d .
A. MG =



1  1  1 
6
3
3

− b− c− d .
D. MG =

− b− c+ d .
C. MG =

Lời giải

Đáp án A

A

M

D

B
G
C
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
 1    1 1  1   1  
MG = MB + MC + MD = . AB + MA + AC + MA + AD
3
3 2
3
3
1  2  1  1  1  2  1   1  1 
= AB + MA + AC + AD = AB + .  − AB  + AC + AD
6
3
3
3
6
3  2
3
 3









1
1
1
1
1
1
=
− AB + AC + AD =
− b+ c+ d
6
3
3
6
3
3
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào

(

)

sau đây sai?.
















(

) (

)



1  
AD + BC .
2
 
 
D. MC + MD − 4MN =
0.

MN
B.=

A. AC + BD = AD + BC .


C. AC + BD + AD + BC =
−4 NM .

(

)

Lời giải:

Đáp án D

A
M
B
D
N
C
























A.Đúng vì: AC + BD = ( AD + DC ) + ( BC + CD ) = AD + BC .








( AM + MN + ND ) + ( BM + MN + NC )
  
 

= 2 MN + ( AM + BM ) + ( ND + NC ) = 2 MN
   


 

 

C.Đúng vì: AC + BD + AD + BC =
2 AN + 2 BN =
2 ( AN + BN ) =
−2 ( NA + NB ) =
−4 NM .

B. Đúng vì: AC + BD =

Vậy D sai
 
Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD = AC . Giá tri của cos ( AB, CD ) là:
A.

1
.
2

B. 0 .

Đáp án B

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

1
2

C. − .
Lời giải:

D.

3
.
2


Website: tailieumontoan.com

Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN ⊥ CD . Tam giác ACD cân tại A nên
AN ⊥ CD ta có:
 
        
 
AB.CD
0 ⇒ cos AB, CD =
0.
AB.CD =
AN + NB .CD =
AN .CD + NB.CD =
  =
AB . CD

(

)

(

)

 

= CD
= a; BC
= AD
= b; CA
= BD
= c . Giá trị của cos ( BC , DA ) là:
Cho tứ diện đều ABCD có AB

Ví dụ 4.

A.

a2 − c2
.
b2

B.

b2 − c2
.
a2

C.

c2 − a2
.

b2

D.

a 2 − b2
.
c2

Lời giải
Chọn A

        
BC.DA= BC DC + CA= CB.CD − CB.CA

(

)

1
1
CB2 + CD2 − BD2 ) − ( CB2 + CA2 − AB2 )
(
2
2
1
1
= ( AB2 + CD2 − BD2 − CA2 ) = ( 2a2 − 2c2 ) =
a2 − c2
2
2

2
2
 
a −c
a2 − c2
BC , DA
.
=
Vậy cos =

 
b2
BC . DA

=

(

)

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng (  ) cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
A. AC + BD = AB + CD .
   
B. SA + SC = SB + CD (Với S là điểm tùy ý).
   
C. Nếu tồn tại điểm S mà SA + SC = SB + SD thì ABCD là hình bình hành.
    
D. OA + OB + OC + OD =
0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD .

Lời giải
Đáp án C

 

 

   



A. Sai vì AC + BD =
AB + CD ⇔ AC − AB + DC − DB =⇔
0
B ≡ C (Vơ lí)
B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD . Ta có


 

 

 
SA + SC =
2 SO và SB + SD= 2 SO ' ⇔ SO= SO ' ⇔ O ≡ O ' điều này không đúng nếu ABCD

không phải là hình bình hành.
C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm của hình bình hành

ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?


 
 
A. MO, AB và B ' C .
B. MO, AB và A ' D ' .


 
 
C. MO, DC ' và B ' C .
D. MO, A ' D và B ' C ' .
Lời giải
Đáp án A

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

D'

C'

A'

B'
D

M

C
O

A

B

Cách 1: Ta có MO // ( CDA ' B ' ) ; AB / / A ' B ' ⇒ AB // ( CDA ' B ' ) , B ' C ' nằm trong mặt phẳng

  

( CDA ' B ') nên các vecto MO, AB, BC
( CDA ' B ') .


dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng

1
1   1   1  1 
A ' B ' + B 'C =
A' B ' + B 'C ' =
AB + B ' C .
=
A 'C 2
2
2
2
  

Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới
đây đồng phẳng?
  
  
A. BC , BD, AD.
B. AC ; AD; MN .
  
  
C. BC ; AD; MN .
D. AC ; DC ; MA.
Cách 2: Ta có MO=

(

)

(

)

Lời giải
Đáp án C
A

M

D

B

N
C

   
AD = AM + MN + ND
   
BC = BM + MN + NC
 
  1  1 
⇒ AD + BC = 2 MN ⇒ MN =
AD + BC
2
2
  
Vậy ba vecto BC ; AD; MN . đồng phẳng.
Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB = 2 MA . N là điểm trên đường thẳng


  
CD mà CN = kCD . Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

A. k =

2
.
3

B. k =

3
.
2

C. k =

4
.
3

D. k =

1
.
2

Lời giải
Đáp án A

A
M
N

B

Q
D

N

C
Qua M vẽ mặt phẳng (α ) song song với AD và BC .

(α ) cắt

AC tại P , BD tại Q và CD tại N . Ta có MP //PN //AD .
  
Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm trong mặt phẳng (α ) nên đồng phẳng.
 2 
2
Ta có CN = CD . Vậy k = .
3
3
 1 
Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = AD. N là điểm
2
trên đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng.

MN
Tính  .
NP
A.

1
.
3

B.

2
.
3

C.

1
.
2

D.

Lời giải
Đáp án B
P
D1

C1

A1

B1
C

D
M
A



 

 





B

 





BN xBD1=
=
yc .
AB a=
, AD b=
, AA1 c và=
; CP yCC
Đặt =
1
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

3
.

4


Website: tailieumontoan.com

STUDYTIP
 
  
Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo các vecto a, b, c





Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN = α .NP (1) .



  

Ta có: MN = MA + AB + BN


  
1 
1 
=− b + a + xBD1 =− b + a + x BA + BC + BB1
3
3






 
1
1 
=− b + a + x −a + b + c =(1 − x ) a +  x −  b + xc ( 2 )
3
3


(

(

)

)

Ta lại có:

   
 

   

NP =NB + BC + CP =− xBD1 + b + yc =− x b − a + c + b + yc





⇒ NP = xa + (1 − x ) b + ( y − x ) c ( 3)

(

)

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

1 − x =
αx

2
3
3
 1
.
α =
,x =
,y
 x − = α (1 − x ) . Giải hệ ta được=
3
3
5
2

 x α ( y − x )
=


MN 2
Vậy  = .
NP 3
Ví dụ 10. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là





trọng tâm tam giác BCD, α là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos α có giá trị là:
2
A. 2

2
B. 3

2
C. 6

Đáp án: C
Lời giải:



Đặt=
AB a=
; AC b=
; AD c;
 1   
   1 



(a + b + c) ⇒ MG = AG − AM =
(−a + 2b + 2c)
⇒ AG =
3
6
   1   
PN= AN − AP=
(a + b − c)
2
Khơng mất tính tổng qt, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1
  
  
1
0
⇒ a = b = c = 1 và a=
.b b=
.c c=
.a 1.1.c os60=
2
 
 
MG.PN
cosα cos( MG=
, PN )  
(*)
⇒=
MG . PN
  1 


   
Ta có: ⇒ MG.PN=
(−a + 2b + 2c)(a + b − c)
12




  2


  2
2
1
1
=
(−a − ab + ac + 2ab + 2b − 2bc + 2ac + 2bc − 2c ) =
12
12
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

1
D. 2


 1




1  1    2
(−a + 2b + 2c) 2=
; PN=
(a + b − c) =
MG=
6
2
2
Thay vào (*) ta được
1
1
2
12 =
⇒ cosα =
=
=
. (*)
6
1 2 3 2
.
2 2

Website: tailieumontoan.com

2
2

C.Bài tập rèn luyện kỹ năng
Câu 1:

Cho ABCD. A1 B1C1 D1 là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
   1 
   
A. AK = AB + AD + AA1
B. AK = AB + BC + AA1
2
  1  1 
   
D. AK =AB + AD + AA1
C. AK = AB + AD + AA1
2
2
Hướng dẫn giải
     1    1 
Có AK = AC + CK = ( AB + AD) + AA1 = AB + AD + AA1
2
2

B

A

C

D

K
A1

D1

B1

C1

Chọn A
Câu 2:

M CD1 ∩ C1 D . Khi đó:
Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với =
 1  1  1 
 1   1 
AM = AB + AD + AA1
AM =
AB + AD + AA1
2
2
2
2
2
A.
B.
   1 
 1  1  
AM = AB + AD + AA1
AM = AB + AD + AA1
2
2
2

C.
D.
Hướng dẫn giải
( hính vẽ câu 1)
    
1    1  1 
Ta có: AM =AD + DM =AD + DC1 =AD + ( DC + DD1 ) =AD + AB + AA1
2
2
2
Chọn B

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

Câu 3:

 
 
 
Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Khi đó: tổng 3 góc ( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B) là:
A. 1800
B. 2900
C.3600
D. 3150

Hướng dẫn giải

B

A

C

D

K
A1

D1

B1

C1

Ta có:
 
( D1 A1 , C C1 ) = 900
 
 
(C
B
,
DD
)
(
C
1350

=
=
1
1
1 B, CC1 )
 
 
( DC
(=
DC1 , D1C ) 900
=
1 , A1 B )
 
 
 
⇒ ( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B ) = 900 + 1350 + 900 = 3150
Chọn D

Câu 4:

 
 
 
D
Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C
,
đặt
=
α
(

AC
=
,
DC
);
β
(
=
DA
,
BB
);
γ
(
AA1 , C1C )
1 1
1
1
1
Khi đó: là α + β + γ :
A. 3600
B. 3750
C. 3150
D. 2750
Hướng dẫn giải

( hình câu 3)
 
=
α ( AC

=
, DC1 )
 
DA1 , BB1 )
=
β (=
 
AA1 , C1C )
=
γ (=

 
(=
AC , AB1 ) 600
 
( DA
1350
=
1 , A1 A)
 
(=
AA1 , A1 A) 1800

⇒ α + β + γ = 600 + 1350 + 1800 = 3750
Chọn B
Câu 5:

 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB. AD = 12 . Tính

 
( SC. − SA) 2 .
A. 76
B. 28
C. 52
D. 40
Hướng dẫn giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
S

A
6

4

D

4
7.42 cm
C

B

 
 2
 

 2  2
 
( SC. − SA) 2 . = AC = ( AB + AD) = AB + AD + 2 AB. AD

= 62 + 42 + 2(−12) = 28
Chọn B
Câu 6:

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng



  
B. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng thì có=
c ma + n b, với m, n là các số duy nhất






C. Ba vectơ đồng phẳng khi có d = ma + n b + pc với d là vec tơ bất kỳ
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
Hướng dẫn giải

Câu 7:

-Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó
 

Phương án B: Sai a, b phải không cùng phương.
Phương án C sai
Vậy chọn D
Chọn D
Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
 1   
   
A. OG=
B. GA + GB + GC =
0
(OA + OB + OC )
4
 1   
 2   
C. AG=
D. AG=
( AB + AC + AD)
( AB + AC + AD)
4
3
Hướng dẫn giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com
A

M

G
D

B
N
C

Câu 8:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
  
⇒ G là trung điểm của MN ⇒ GM + GN =
0
   
0 ⇒ B đúng
⇔ GA + GB + GC =
           
Ta có:
OA + OB + OC + OD = OG + GA + OG + GB + OG + GC + OG + GD
    

= 4OG + (GA + GB + GC + GD) = 4OG ⇒ A đúng
Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C.
Chọn C
  

  

 



Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng xét các vectơ x =
2a − b; y =
−4a + 2b; z =
−3a − 2c
Chọn mênh đề đúng trong các mệnh đề sau:
 
A.Hai vec tơ y, z cùng phương
 
B. Hai vec tơ x, y cùng phương
 
C.Hai vec tơ x, z cùng phương
  
D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng
Hướng dẫn giải



 
Ta thấy y = −2 x nên x, y cùng phương.
Chọn B
Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 , Tìm giá
  

AB + B1C1 + DD1 =
k AC1 )
A.k=4
B. k=1

C. k=0
Hướng dẫn giải

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

trị

của

k

thích

D. k=2

hợp

để


Website: tailieumontoan.com

A1

D1

B1

C1

B

A

C

D

     
Có 
AB + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 ⇒ k = 1
Chọn B




Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt =
AA1 a;=
AB b=
; AC c;=
BC1 d trong các
đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.
    
   
0
d
A. a + b + c + d =
B. a + b + c =

  





0
C. b − c + d =

 

D. a= b + c
Hướng dẫn giải

C

A
B

C1
A1
B1

        
Ta có:
b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = 0
Chọn C
Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đơi một thì 3 vectơ đồng phẳng
  


B.Nếu ba vectơ a, b, c có một vec tơ 0 thì ba vectơ đồng phẳng
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

  
C.Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng
  
D.Nếu trong ba vectơ a, b, c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng

Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 12: Cho ABCD. A1 B1C1 D1 là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:
 

 
 
B. AC1 + CA1 + 2CC1 =
A. AC1 + A1C =
2 AC
0
  
  
C. AC1 + A1C =
D. CA1 + AC =
CC1
AA1
Hướng dẫn giải

A

D

B

C

A1

D1

Ta có:

B1

C1

 
     
AC1 + A1C =
AA1 AC1 = AA1 − AC1 ⇔ A1C = C1 A1

Chọn C
Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
    
0
A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + BC + CD + DA =
 
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB = CD

   
C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành
  
AD
D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + AC =
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A' B ' C ' D ' Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB ' A' và
BCC ' B ' . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng
 1  1 
B.
=
IK =
AC
A' C '
2
2  
C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng







2 BC
D. BD + 2 IK =
Hướng dẫn giải
Chọn C

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC.
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
  
A.Các vec tơ BD, AC , MN không đồng phẳng
  
B. Các vec tơ MN , DC , PQ đồng phẳng
  
C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng
  
D. Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng
Hướng dẫn giải

A

P
M
E

B

F
Q

N

D

C

Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD
1

 NE / / AB, NE = 3 AB
⇒ NE / / MF , NE / / MF

1
 MF / / AB, MF = AB

3
  
⇒ NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt
  
phẳng (MFNE) ⇒ BA, DC , MN đồng phẳng
  
⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng.
Chon A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
    
  a 2 3
0
A. AD + CD + BC + DA =
B. AB. AC =
2
   
 

C. AC. AD = AC.CD
D. AD.CD = 0
Hướng dẫn giải
( sử dụng hình câu 7)
Phương án A:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

     
    
AD + CD + BC + DA = ( AD + DA) + ( BC + CD) = 0 + BD ≠ 0 ⇒ A sai
2
 
a
Phương=
án B: AB. AC a.a.c os600 =
⇒ B sai
2
   
  
 2
Phương án B AC. AD =
AC.CD ⇔ AC ( AD + DC ) =
0 ⇔ AC =
0 ⇒ C sai
Chọn D

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:

   1 
   
A. B1 M =B1 B + B1 A 1 + B1C1
B. C1 M =C1C + C1 D 1 + C1 B1
2
  1  1 
  

D. BB1 + B1 A1 + B1C 1 =
C. C1 M =
C1C + C1 D 1 + C1 B1
2 B1 D
2
2
Hướng dẫn giải

A

a

B
a

M
D

C

A1

D1

Ta có

B1

C1

      1 
C1 M = C1 D1 + D1 D + DM = C1 D1 + C1C + C1 B1
2

Chọn B

   
Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA + GB + GC =
0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là
giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?




A. GA = −2OG
B. GA = 4OG
 


C. GA = 3OG
D. GA = 2OG

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

A

N
G
B
O
M

H

D

C

Hướng dẫn giải
Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
⇒ G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD ⇒ NH là đường trung bình của
∆AOD và OG là đường trung bình của ∆MNH
1
1 1
1
1
⇒ OG=
NH=
. AO ⇒ OG=

NH=
. AO
2
2 2
2
4


hay GA = 3OG
Chọn C
Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
  
A.Các vec tơ AB, DC , MN đồng phẳng
  
B. Các vec tơ MN , AB, AC không đồng phẳng
  
C. Các vec tơ AN , CM , MN đồng phẳng
  
D. Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng
Hướng dẫn giải
A

M
P

B

Q

D

N
C

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD
  
⇒ Ba vec tơ 
AB, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ
này đồng phẳng ⇒ A đúng
  
Ba vec tơ 
AB, AC , MN không đồng phẳng ⇒ B đúng
  
Ba vec tơ 
AN , CM , MN có giá khơng thể song song với mặt phẳng nào ⇒ C sai
Chọn C
Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' , có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
 
 
A. AD '.CC ' = −a 2
B. AD '. AB ' = a 2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


 
C. AB '.CD ' = 0


D. AC = a 3

Website: tailieumontoan.com

Hướng dẫn giải

A

a

B
a

D

C

A'

D'

B'

C'

     
Xết phương án A có: AD
=
'.CC ' AD
=
'.AA ' AD ' . AA=

' cos450 a 2
Chọn A
Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các
điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi
(c ≥ AB). Gọi ϕ là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN

c 2 − AB 2
A.
2(1 − cosϕ )
C.

c 2 − AB 2
B.
2(1 + cosϕ )

c 2 + AB 2
2(1 − cosϕ )

D.
Hướng dẫn giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

c 2 + AB 2
2(1 + cosϕ )


Website: tailieumontoan.com

x

M
A

B
N

 2
  
Ta có: c 2 = MN 2 = MN = ( MA + AB + BN ) 2

≥ AB 2 + 2 AM .BN .(1 − cosϕ ) ⇒ AM .BN . ≤

c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )

Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng

c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )

Chọn A
 
= AM 2 + AB 2 + BN 2 − 2 AM .BN = = AM 2 + AB 2 + BN 2 − 2 AM .BN .c osϕ

Góc giữa hai đường thẳng.
Hai đường thẳng vng góc
1. Định nghĩa:
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn
góc mà a và b cắt nhau tạo nên.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong khơng gian là góc

giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song
song (hoặc trùng) với a và b .
Chú ý: góc giữa hai đường thẳng ln là góc nhọn ( hoặc vuông ).
2. Phương pháp
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com



Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: nếu u và v lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc
vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc ϕ của hai đường thẳng này được xác
định bởi công thức

u.v
 
=
=
cos ϕ cos
u, v
 .
u.v

( )

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC ,
C ′D′ . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP .

A. 450 .
Đáp án A.

B. 300 .

C. 600 .

D. 900

Lời giải
Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN //AC


.
, AP = AC,
AP . Ta tính góc PAC
nên: MN

(

) (

)

Vì ∆A′D′P vng tại D′ nên
2

a 5
a
.

A′P = A′D′ + D′P = a +   =
2
2
2

2

2

2

a 5
3a
∆AA′P vuông tại A′ nên AP = A′A + A′P = a + 
 = .
2
 2 
2

∆CC ′P vuông tại C ′ nên CP =

2

2

CC ′2 + C ′P 2 =

a2 +

a2 a 5

=
.
4
2

Ta có AC là đường chéo của hình vng ABCD nên AC = a 2
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:

CP 2 = AC 2 + AP 2 − 2 AC. AP.cos CAP
1
=
⇒ cos CAP
2
= 45° < 90°
⇒ cos CAP

(

(

)

)

= 45° hay MN;

AP= 45° . Chọn A.
AC ; AP= CAP
Nên 
 

   
 
 
MN . AP
Phương pháp 2: Ta có MN . AP = MN . AP .cos MN , AP ⇒ cos MN , AP =
  (*)
MN . AP

(

)

(

      
Ta có: MN . AP = MB + BN AA′ + A′D′ + D′P

(

)(

)

)

           
= MB. AA′ + MB. A′D′ + MB.D′P + BN . AA′ + BN . A′D′ + BN .D′P
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com
2

a a
a
3a
= 0 + 0 + . + 0 + .a + 0 =
(1)
2 2
2
4
  a 2 3a 3 2a 2
. AP
.
MN
=
=
( 2)
2 2
4

3a 2
 
1
4 =
Thay (1) , ( 2 ) vào ( ∗) ta được: cos MN , AP =
⇒ (
MN , AP ) =
450.
2

3 2a
2
4

(

)

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB
= CD
= 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng
MN = a 3. Tính góc của AB và CD .
A. 450.

B. 300 .

C. 600 .

D. 900 .

Đáp án C.
Lời giải

Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM
= IN
= a.
Áp dụng định lý cosin cho ∆IMN ta có:
2
2
2

2
2
2
1
 =IM + IN − MN =a + a − 3a =
=
cos MIN
− ⇒ MIN
1200 .
2.IM .IN
2.a.a
2

AB, CD ) = (
IM , IN ) = 1800 − 1200 = 600 .
Vì IM / / AB, IN / / CD ⇒ (
Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCA′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

AB = a , AC = a 3 và hình chiếu vng góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung
điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′ , B′C ′ .
Lời giải
Chọn D
Phương pháp 1:
Gọi H là trung điểm của BC , ϕ là góc giữa AA′ và B′C ′ .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


(

Website: tailieumontoan.com

) (

)


′, BC .
AA′, B′C ′ = BB
Ta có AA′ / / BB′ và B′C ′ / / BC nên góc giữa 
Ta tính góc 
B′BH

∆ABC vng tại A nên ta có: BC =

AB 2 + AC 2 =

a 2 + 3a 2 = 2a .

1
AH = BC =a ⇒ A′H = AA′2 − AH 2 = 4a 2 − a 2 =a 3 .
2

Vì AH ⊥ ( A′B′C ′ ) nên ∆A′B′H vuông tại A′

B′H =

A′H 2 + A′B′2 =

a 2 + 3a 2 = 2a .

B′B 2 + BH 2 − B′H 2 4a 2 + a 2 − 4a 2 1

′BH
Chọn A
=
cos B
= =
2 B′B.BH
2.2a.a
4
Phương pháp 2:
Ta có
 
AA′.B′C ′
=


AA′ . B′C ′

 
=
AA′; B′C ′
cos ϕ cos =

(

=

)

1    
AB + AC AC − AB
2
=
4a 2

(

)

)(

  

HA′ ) .BC
( AH +=
2a.2a

1
( AC 2 − AB 2 )
2
=
4a 2

   
AH .BC + HA′.BC
=
4a 2

 

AH .BC
4a 2

1
( 3a 2 − a 2 ) 1
2
.
=
4a 2
4

Ví dụ 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD . Gọi M là trung
điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM .
3
3
3
2
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
4
6
2
2
Hướng dẫn giải

Chọn B

AC ; BM =
MN
; BM . Ta tính góc
Cách 1. Gọi N là trung điểm AD ta có: MN //AC ⇒ 

(

) (

a 3
 . Ta có: BM
(trung tuyến tam giác đều).
BMN
= BN
=
2
AC a
.
MN
= =
2
2
Áp dụng định lý cosin cho ∆BMN , ta được:

cos BMN
=

(

BM 2 + MN 2 − BN 2
MN
=
=
2 BM .MN
2 BM

3
>0.
6

)

3
Vậy cos 
AC ; BM =
.
6

 
Cách=
2. cos ϕ cos =
AC , BM

(

)

 

AC.BM
=


AC . BM

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

  
AC. CM − CB

(

a.

a 3
2

)

)


Website: tailieumontoan.com

   
AC.CM − AC.CB
=
a2 3
2

=

a
a. cos1200 − a.a.cos1200
2
=
a2 3
2

−

2

2

a a
a2
+
4 2
4
= =
a2 3
a2 3
2
2

3
.
6

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa.
Nếu đường thẳng a ⊥ ( P ) thì góc giữa đường thẳng a và ( P ) bằng 900 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với ( P ) thì góc giữa đường thẳng a và ( P ) là góc giữa

a và hình chiếu a′ của a trên ( P ) .
a

a'

P

2. Phương pháp tính.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6 .
Gọi α là góc giữa SC và ( SAB ) , β là góc giữa AC và ( SBC ) . Giá trị tan α + sin β bằng?
A.

1+ 7
.
7

B.

1 + 19
.
7

C.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

7 + 21
.
7

D.

1 + 20
.
7


Website: tailieumontoan.com

Để xác định góc giữa SC và ( SAB ) ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( SAB ) . Ta
 BC ⊥ AB
có: S là hình chiếu của S trên ( SAB ) , B là hình chiếu của C trên ( SAB ) vì 
.
 BC ⊥ SA

Vậy SB là hình chiếu của SC trên ( SAB ) ⇒ ( SC , ( SAB ) ) =
SC =
B
α.

1

BC
a

∆SBC vuông tại B ⇒ tan α =tan B
SC = =
= .
SB
7
SA2 + AB 2

Kẻ AH ⊥ SB tại H mà BC ⊥ ( SAB ) nên AH ⊥ BC .

⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ HC là hình chiếu vng góc của AC trên ( SBC )

ACH =
β.
⇒ ( AC , ( SBC ) ) =

∆SAB vuông nên

1
1
1
a 6
.
=
+
⇒ AH =
2
2

2
AH
AS
AB
7

21
AH
.
∆ACH vuông tại H ⇒ sin β =sin 
ACH =
=
7
AC
7 + 21
Vậy tan α + sin β =
.
7

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S . ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và ( ABCD ) bằng 60° . Tính góc giữa MN và ( SAO ) .
A. ϕ = arcsin
C. ϕ = arcsin

1
2 5
3
2 5

.

B. ϕ = arcsin

1
.
5

.

D. ϕ = arcsin

1
4 5

.

Lời giải

Chọn A.
S

M

A

B
P
N

O

H
D

C

Gọi P là trung điểm của AO ⇒ MP là đường trung bình của ∆SAO ⇒ MP / / SO
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


Website: tailieumontoan.com

= 60° .
⇒ MP ⊥ ( ABCD ) ⇒ Góc giữa MN và ( ABCD ) bằng góc MNP
Áp dụng định lý cosin cho ∆PNC ta có:
2

2
°
NP=
CN 2 + CP 2 − 2CN .CP.cos 45=

a2  3
a 3
1

+  a 2  − 2. . a 2.
4 4
2 4
2


2

a 2 9a 3 2a 2 11a 2 3a 2 5a 2
=
−
=
−
=
+
4 8
8
4
8
4 2
Trong tam giác vng MNP ta có :

PN
5
15
=
.a và PM
= NP.tan =
60° a
⇒=
SO 2=
MP
cos 60°
2
8

Gọi H là trung điểm CO ⇒ NH / / BD ⇒ NH ⊥ AC .
.
Mà NH ⊥ SO ⇒ NH ⊥ ( SAC ) do đó (
MN , ( SAC ) ) = NMH

=
MN

15
.a .
2

5a
1
a 2
, MN =
(tính trên)
OB
=
2
4
2
NH
1

Vậy trong ∆MHN ta có : sin NMH
. Nên nếu gọi ϕ là góc giữa MN và ( SAO ) thì:
= =
MN 2 5
1 

1
π
hay ϕ = arcsin
sin ϕ =
0 ≤ϕ ≤  .
2
2 5 
2 5

Ta có : =
HN

 = α . Gọi ϕ là góc giữa
Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có a là độ dài cạnh đáy và CBS
cạnh bên với đáy. Tính sin ϕ theo α .

ϕ
=
A. sin

1
α
9 − 12sin 2 .
3
2

ϕ
B. sin=

ϕ

=
C. sin

1
α
9 − 4sin 2 .
3
2

ϕ
=
D. sin
Lời giải

Chọn A.
S

A

C
a

O

a

H

B

Gọi H là trung điểm BC , O là chân đường cao hạ từ S .
2
a 3
Ta có=
, ∆SHB vng tại H nên ta có:
AO =
AH
3
3

THIẾU PHẦN 9
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

9 − 12sin 2

α
2

.

1
α
9 + 12sin 2 .
3
2