0310PPDBSDA

Câu 1:

[2D3-4.3-1] (THPT Chuyên Khoa Học tự Nhiên – Hà nội lần 4 năm 2016 – 2017) Tính tích
1

phân

x

2

0

x
dx.
1

1
I  ln 2.
2
A.

B. I  1  ln 2.

C. I = ln2.

D.

I

ln 2  1

2 .

Lời giải:
Chọn A.
Đặt

t  x 2  1  dt 2 xdx 

dt
 xdx
2

Đổi cận: x 1  t 2; x 0  t 1
2

2
dt 1
1
I   ln t dt|  ln 2
1
2t 2
2
1
a

Câu 2:

[2D3-4.3-2] (THPT Hai Bà Trưng – Huế lần 1 năm 2016 – 2017) Tính
A.

I  a 2  1 a 2  1  1.

1
I    a 2  1 a 2  1  1 .

3
C.

B.

I 
0

x3  x
x2 1

dx.

I  a 2  1 a 2  1  1.

1
I    a 2  1 a 2  1  1 .

3
D.
Lời giải:

Chọn D.
2
2

2
Đặt t  x  1  t  x  1  tdt  xdx
2
Đổi cận: x a  t  a  1; x 0  t 1
a 2 1

t3
I   t dt 
3
1
2

3
 1
a 2 1 1  2
   a  1 2  1    a 2  1 a 2  1  1 .

1
3
 3
Chọn đáp án D.

Câu 3: [2D3-4.3-2] (THPT Ninh Giang – Hải dương lần 2 năm 2016 – 2017) Cho
2

I 2 x x 2  1dx
1

3

A.

I  udu.
0

2
và đặt u  x –1 . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau ?

2
I  27
3
B.
.

2

C.
Lời giải:

I  udu.
1

3
2
I  u u|
0
3
D.
.

Chọn C.
Đặt u = x2-1  du 2 xdx
3

1
2

3

3
2

u
x 2  u 3; x 1  u 0  I u du 
3
0
2
Đổi cận:

0

3

32
 
3
2
Chọn đáp án C.
1

Câu 4:

[2D3-4.3-3] (THPT An Lão – Bình Định 2016 – 2017) giả sử

x
0

1  x 2 dx 

a a1
b

với a, b là

2
2
số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T a b  b a  2024.

A. T 2016 .

B. T 2017

C. T 2018

D. T 2019 .

Lời giải:
Chọn C.
2

2
2
Đặt t  1  x  t 1  x  tdt  xdx

Đổi cận: I  X 1  t  2; x 0  t 1
2

I  t 2 dt 
1

t3 2 2 2 1 2 2  1

 

3 1
3
3
3

a 2

b 3

T a 2b  b 2 a  2024 223  32 2  2014 2018  Chọn đáp án C.

Câu 5:

[2D3-4.3-2] (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang lần 3 năm 2016 – 2017) Cho a, b là các số
5

dx
I 
a ln 3  b ln 5.
1 x 3x 1
nguyên thỏa mãn
Tính tổng a  b .
A. a  b 2 .

B. a  b 3 .

C. a  b 1 .
Lời giải:

Chọn C.
Đặt:

2
3 x  1 t  3x  1 t 2  dx  tdt
3

x 1  t 2; x 5  t 4

Đổi cận:
4

 I

4

2

tdt
dt
t1 4
3
1
2
ln
ln  ln 2ln 3  ln 5
|
2

32t 1
t  1  t  1
t 1 2
5
3
2 
t
3

D. a  b 11 .


a 2
 a  b 1.

b  1
Chọn đáp án C.
Câu 6:

[2D3-4.3-3] (THPT Chuyên Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Huế lần 1 năm 2016 – 2017)
5

1
I 
dx a  b ln 3  c ln 5
1 1  3x 1
giả sử
với a, b, c là các số hữu tỷ. Tìm a  b  c.

4
a b c  .
3
A.

5
a b c  .
3
B.

7
a b c  .
3
C.

8
a b c  .
3
D.

Lời giải:
Chọn A.
Đặt

2
3 x  1 t  3 x  1 t 2  dx  tdt
3

Đổi cận: x 1  t 2; x 5  t 4
4

4

4
2 tdt 2 
1 
2
 I 
  1 
 dt  (t  ln t  1)|2
3 2 1  t 3 2  t 1 
3



2
2
4 2
2
 4  ln 5  2  ln 3   2  ln 3  ln 5    ln 3  ln 5

3
3
3 3
3
4

a  3

2
4

b   a  b  b  .
3
3

2

c  3

Chọn đáp án A.
3

Câu 7:

[2D3-4.3-3] (Sở Phú Thọ 2017) Cho tích phân

dx
I 
.
1 ( x  1) 2 x  3

2

Đặt t  2 x  3, ta được

3

m
I  2
dt
 m, n   . Tính T 3m  n
2 t n
với
A. T  7 .

B. T  2.

C. T  4.
Lời giải:

Chọn D.

D. T  5.


1

3
m 2
2
 x  , t 2

t  2 x  3  t 2 x  3  tdt dx  

I

dt  
 T 5
2
2

n

1
t

1

2

 x 3, t 3
Đặt
2

Câu 8:

[2D3-4.3-2] (THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh năm 2016 – 2017) Thực hiện phép đổi biến

2

sin

u s inx thì tích phân

x cos xdx
sẽ trở thành tích phân nào sau đây?

0


2

1

A.

4

u

4

1  u 2 du.

B.

0


2

1

4

u du.

4

C.

0

u du.
0

D.

u

3

1  u 2 du.

0

Lời giải:
Chọn C.
Đặt u s inx  du cosxdx
1

x

Đổi cận
Câu 9:


 u 1; x 0  u 0  I u 4 du.
2
0

Chọn đáp án C.

[2D3-4.3-2] (THPT Phan Bội Châu – Bình Định năm 2016 – 2017) Cho n là số nguyên
n

1

dương khác 0, hãy tính tích phân
A.

I

1
.
2n  2

B.

I

I  1  x

2



xdx
theo n.

0

1
.
2n  1

C.

I

1
.
2n

D.

I

1
.
2n  1

Lời giải:
Chọn A.

 dt
 xdx
2
Đặt
đổi cận x 1  t 0; x 0  t 1
1
n 1)
 tn
 1 t  0 1 1
1
dt



|

1
2 n 1
2 n 1 2(n  1)
I trở thành 0 2
Chọn đáp án A.
t 1  x 2  dt  2 xdx 

Câu 10: [2D3-4.3-2] (THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh lần 1 năm 2016 – 2017) Khi đổi biến x  3 tant thì
1

tích phân

dx
I  2
0 x 3

trở thành tích phân nào sau đây?



3

A.


6

I  3dt.

B.

0

I 
0


6


6

3
dt.
3

C.

I  3tdt.

D.

0

1
I  dt.
t
0

Lời giải:
Chọn B.
2
Đổi biến số x  3 tan t  dx  3(1  tan t )dt

x 1  t 

Đổi cận


6



I trở thành


; x 0  t 0
6

3  1  tan 2 t  dt
2

3 tan t  3

0


6

3  1  tan 2 t  dt



2

3(tan t  1)

0


6

3dt
.
3


0

Chọn đáp án B
1

I 

Câu 11: [2D3-4.3-3] (Kim Liên – Hà Nội 2017) Tính tích phân

0

2
4  x2

dx

bằng cách đặt x  2 sint

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

6

1

A.

I 2dt .
0

B.

I 2 dt.
0

C.


3


6

I dt.

I dt.

0

D.

0

Lời giải:
Chọn B.

x 0  t 0

Đặt

x 2sin t  dx 2 cos tdt  t   0;    .

6

Khi đó

I 
0


6

x 1  t 

Đổi cận


6



6
4 cos tdt

2 dt.
4  4sin 2 t 0 2 cos t

0

4cos tdt

Câu 12: [2D3-4.3-3] (THPT Công Nghiệp – Hịa Bình lần 1 năm 2016 – 2017) Cho hai số nguyên

a
dương a, b và có phân số b tối giản thỏa mãn
A. P   19

B. P   18 .

e

ln x 1  3ln x
a
dx  .
x
b Tính P  a – b .
1



C. P   2 .
Lời giải:

Chọn A.
Đặt

t  1  3ln x  t 2 1  3ln x 

dx 2
 tdt
x 3

D. P   21.


Đổi cận: x 1  t 1; x e  t 1
2 2
2
a 116
t 1 2
2
116
I 
.t. tdt  (t 4  t 2 ) dt 
 
 a  b  19
b

135
3
3
9
135

1
1
Chọn đáp án A.

Câu 13: [2D3-4.3-3] (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2016 – 2017) Tìm các giá trị
e

1  m ln t
dt 0,
t
thực của m để 1
các giá trị tìm được của m thỏa điều kiện nào sau đây.



A.

m    5;0  .

B.

m    1;   .

C.

m    6;  4  .

D.

m    ;  2  .

Lời giải:
Chọn A.

e

e

e
1  m ln t
1
m 0  
dt  dt ln t | 1 0  m 0.
1
t
1
1 t
Với
Loại
e

m 0 
Với

1  m ln t
dt 0
t
1



m
u 1  mlnt  du  dt
t

Đặt
Đổi cận t e  u 1  m; t 1  u 1
1 m

udu 1
I

m
m
1

1 m

1 u 2 1m 1  (1  m) 2 1 
udu 
| m  2  2 

m 2 1


1

 (1  m) 2 1


2
2   m  2(t / m)
I 0  
 m 0(loai )
 1 0


 m
Chọn đáp án A.
Câu 14: [2D3-4.3-3] (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình lần 3 năm 2016 – 2017) Cho a, b, c là các
2
x

số hữu tỉ thỏa mãn

x

e (2 x  e )dx ae

4

 be2  c.

0

A. S  2.

B. S  -4.

C. S  -2.
Lời giải:

Chọn D.
2
x

x

e (2 x  e )dx ae
0

4

 be 2  c.

Tính S a  b  c .
D. S  -4.


x
x
x
Đặt t 2 x  e  dt (2  e )dx  dt  2 e dx.
2
Đổi cận x 2  t 4  e ; x 0  t 1
4 e 2

I

 t (dt  2)  2t|

4 e 2

1

1

4 e 2



 tdt  2t 
1

t 2 4 e 2
|
2 1

1

a  2
(4  e 2 )2
1 e4
3 
 2(4  e 2 ) 
 2    2e 2   b 2  a  b  c 4.
2
2 2
2 
3
c 
2

2
Câu 15: [2D3-4.3-2] (THPT Trung Giã – Hà Nội lần 1 năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x ) ln x.

e

Tính tích phân

I g ( x) dx,
1

2
I .
e
A.

với g(x) là đạo hàm cấp hai của f(x).

B. I  1.

C. I  e  1.

D I  1  e.

Lời giải:
Chọn A.
Ta có

f '( x) 2 ln x

1 2ln x
2  2 ln x 2 2 ln x

 g ( x)  f ''( x) 

 2
x
x
x2
x
x2

e

e

e

e

e

e

dx
ln x
dx
 2 2 ln x 
1
I g ( x)dx  2 
dx 2  2  2  2 dx 2  2  2 ln xd  
2 
x
x 
x

x
x
 x
1
1
1
1
1
1
Ta có
e

e

e

e

dx 2 ln x e
1
dx 2
dx 2
2  2 
 2  d (ln x) 2 2   2  2  .
|
x 1
e
e Chọn đáp án A.
1 x
1 x

1 x
1 x
Câu 16: [2D3-4.1-1] (THPT Hồng Quang – Hải Dương lần 1 năm 2016 – 2017)

2

Cho

I esin x .cos x.dx
0

. Nếu đặt sin x t ta sẽ được tích phân nào sau đây ?

1

A.

I et dt
0

1

.

B.

I dt
0

.

C.
Lời giải:

Đặt t s inx  dt cosxdx .


2

1

I  et dt
0

.

D.

I et dt
0

.


Đổi cận

1

x   t 1; x 0  t 0  I I et dt
2

0

.
4

Câu 17: [2D3-4.4-2] (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Cho

f  x  dx 16.
0

Tính tích

2

phân

I f  2 x  dx
0

.

A. I 32 .

B. I 8 .

C. I 16 .

D. I 4 .

Lời giải:

Đặt t 2x  dt 2dx .
Đổi cận x 0  t 0; x 2  t 4 .
4

I

4

1
1
f  t  dt  f  x  dx 8.

20
20

Câu 18: [2D3-4.3-1] (THPT Gia Lộc II – Hải Dương lần 1 năm 2016 – 2017) Cho hàm số
2017

mãn

f  x

thỏa

1

 f  x  dx 1.
0

Tính tích phân

A. I 2017 .

I f  2017 x  dx
0

B. I 0 .

.

C. I 1 .

D.

I

1
2017 .

Lời giải:
t 2017x  dt 2017dx  dx 

Đặt

dt
2017 .

Đổi cận x 0  t 0; x 1  t 2017 .

I

1
2017

2017

 f  t  dt 
0

1
2017

2017

1

 f  x  dx  2017 .
0

Câu 19: [2D3-4.11-1] (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định lần 8 năm 2016 – 2017) Cho là hàm

4

1

số

A.

f  x

I

liên tục trên  và

2
2017 .

B.

f  x  dx 2017.
0

I

2017
2 .

Tính

I f  sin 2 x  cos 2 x.dx
0

C. I 2017 .

D.

.

I 

2017
2 .


Lời giải:
Đặt t sin 2x  dt 2cos2dx .


x 0  t 0; x   t 1
4
Đổi cận
.
1

I f  t 
0

1

dt 1
1
2017
 f  x  dx  .2017 
.
2 20
2
2

Ta có
Câu 20: [2D3-4.4-1] (THPT Chuyên Đại học Vinh lần 2 năm 2016 – 2017) Cho hàm số

e

trên  và thỏa mãn

f  ln x 


1

x

f  x

dx e.

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

1

1

e

e

f  x  dx 1.

f  x  dx e.

f  x  dx 1.

f  x  dx e.

B.

0

A.

liên tục

0

C.

0

D.

0

Lời giải:

Đặt

x ln t  dx 

dt
t .

Đổi cận x 0  t 1; x 1  t e .
1

e

e
f  ln x 
dt
I f  x  dx f  ln t  
dx e.
t 1 x
0
1

Ta có
Câu 21: [2D3-4.4-1] (THPT Tiên Lãng – Hải Phòng năm 2016 – 2017) Biết
2

e3 x
ex
I

dx
y

0; 

x
x
1

của hàm số
trên khoảng
. Tính tích phân
.

A.

C.

I 3  F  2   F  1  .
I F  6   F  3  .
B.
F  6   F  3
I
.
I 3  F  6   F  3  .
3
D.

Hướng dẫn.
Đặt x 3x  dt 3dx .
Đổi cận x 1  t 3; x 2  t 6 .

F  x

là một nguyên hàm


6

6

et dt
ex
I 

dx F  6   F  3
t 3 
x
3
3
3
Ta có
.
4

f  x

Câu 22: [2D3-4.1-1] Cho hàm số

liên tục trên  và

f  x  dx 2

2

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

2

3

2

6

f  2 x  dx 2

f  x  1 dx 2

f  2 x  dx 1

2 f  x  2  dx 1.

1

A.

.

B.

3

.

C.

1

.

1

D. 0

Lời giải:
Đặt t 2 x  dt 2dx .
Đổi cận x  2  t  1; x 4  t 2 .
4

2

2

2

I  f  x  dx  f  2t  .2dt 2 f  2 x  .dx 2
2

1

1

Ta có

. Suy ra

f  2 x dx 1.

1

4

Câu 23:

[2D3-4.1-1] (THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương lần 2 năm 2016-2017) Cho

f  x  dx 2.
0

1

tích phân

I f  4 x  dx.
0

A. I 8 .

B.

I

1
2.

C. I 4 .
Lời giải:

Chọn A.
Đặt t 4 x  dt 4dx. Với x 0  t 0  t 4.
4

4

1
1
2 1
I  f  t  dt  f  x  dx   .
40
40
4 2
Ta có

D. I 2 .

Tính


Câu 24:

y  f  x

[2D3-4.11-1] (ĐHSP 2017) Cho hàm số

xác định và liên tục trên R thoả mãn


6

f  x   f   x  cos 2 xx  R.

A. 2 .

Khi đó



 f  x  dx
6

1
C. 2 .

B.  2 .

3
D. 4 .

Lời giải:
Chọn D.

6




6


6

1


6

 f  x  dx   f   x  dx   cos 2 xdx  2  cos 2 xd  2 x 


6



6



6

6

Ta có

1
3
 sin 2 x 6 

2

2 .
6




 x  6 , t  6
t  x  dt  dx  

 x  ; t  

6
6


6






6


6


6

 f   x  dx  f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx
6



6

6



6

Đặt

6




6


6

3

 f  x  dx   f   x  dx 2  f  x  dx  2
6





6


6




6

3

 f  x  dx  4

.

6

Suy ra
Câu 25: [2D3-4.11-1] (Đề tham khảo – BGD 2017) Cho hàm số

f  x

liên tục trên R và thoả mãn

3

2

I
f  x   f   x   2  2 cos 2 x , x  R.
A. I  6 .

B. I 0 .

Tính



3
2

C. I  2 .
Lời giải:

Chọn D.

 f  x  dx

.
D. I 6 .


3
2

3

2

3
2

 f  x  dx   f   x  dx  

3

2

3

2

2  2 cos 2 xdx 12.

3

2

Ta có
3
3

 x  2 ; t  2
t  x  dt  dx  

3


3

 x  ; t 

2
2

3
2





3
2

3
2

 f   x  dx   f  t  dt   f  x  dx
3
2

3
2



3

2

Đặt
3
2



3
2

3
2

 f  x  dx   f   x  dx 2  f  x  dx 12
3
2



3
2



3
2

Suy ra
3

2




 f  x  dx 6  I 6.
3
2

y  f  x

Câu 26: [2D3-4.12-1] (Sở Bắc Giang 2017) Cho hàm số
9

f


1


2

  dx 4
x

x

và

3

f  sin x  cosxdx 2
0

A. I  6 .

. Tích phân

B. I 0 .

I f  x  dx

Chọn C.

Xét

Đổi cận

 x  dx 4
x

1

1

Khi đó

t x  dt 
; đặt

1
2 x

dx
.

x 1  t 1; x 9  t 3.
9 f
P 

 x  dx 2
x

3

3

f  t  dt 4 

f  t  dx 2.

1

0

C. I  2 .
Lời giải:

9 f
P 

liên tục trên R thoả mãn

1

bằng?
D. I 6 .



2

  
t sin x; x    ;   dt cos xdx.
 2 2
đặt

J f  sin x  cos xdx 2,
0

Xét


x 0  t 0; x   t 1.
2
Đổi cận

2

Khi đó

1

J f  sin x  cos xdx f  t  dt 2
0

0

3

1

.

3

I f  x  dx f  x  dx  f  x  dx 2  2 4.
0

Câu 27:

0

1

f  x

(THPT Chuyên Lào Cai lần 1 năm 2016-2017) Cho hàm số

4

phân

1

f  tan x  dx 4
0

A. I 6 .

x2 f  x 

x

và

2

0

1

1

dx 2.
Tính tích phân

I f  x  dx.
0

C. I 3 .

B. I 2 .

D. I 1 .

Lời giải:
Chọn A.

4

f  tan x  dx 4.
0

Xét

Đặt


4

Khi đó

t tan x  dt 

1

1
dx  tan 2 x  1 dx
2

cos x



1

f  x
4 f (tan x)dx  2
dt  2
dx
t 1
x 1
0
0
0
1

x2 f  x 

x
0

2

1

f  t

1

dx 2 

x



2



1  1 f  x 
2

x 1

0

.

dx 2

Do đó
1

 f  x  dx 
0

1

f  x

x
0

2

1

1

dx 2  f  x  dx 2  4  I 6.
0

liên tục trên R và các tích




Câu 28:

[2D3-4.11-1] (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang lần 3 năm 2016-2017) Biết

2

tục trên R và các có

A.

là hàm số liên


4

f  x  dx 4
0

2
2 .

I 2 

f  x

B.

. Tính tích phân

I 3 

2
2 .

C.

I  f  2 x   sin x  dx.
0

I 1 

2

2 .

D.

I 2 

2
2 .

Lời giải:
Chọn C.

4


4


4

I  f  2 x   sin x  dx f  2 x  dx  sin xdx
0

0

0

Ta có:

4

J f  2 x  dx
0

Tính

. Đặt


2

t 2 x  dt 2dx 



dt


dx
x   t  ; x 0  t 0
2
4
2
. Với



dt 1 2
12
1

J f  t   f  t  dt  f  x  dx  .4 2
2 20
20
2
0

Suy ra

4



K sin xdx  cos x 04 1 
0

2
2

Tính
I  J  K 1 

2
2

Vậy:
2

Câu 29: [2D3-4.6-1] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh lần 1 năm 2016-2017) Cho tích phân

f  x  dx a

0

1

tính tích phân
A. I 2a .





I xf x 2  1 dx
0

theo a .

B. I 4a .

C.
Lời giải:

I

a
2.

D.

I

a
4.

. Hãy


Chọn C.
t  x 2  1  dt 2dx .Với x 0  t 0; x 1  t 2

Đặt

2

2

I f  t 
1

dt 1
1
a
 f  x  dx  .a 
2 21
2
2

Ta có
1

1

 f  x  dx 
0

x
0

1

f  x
2

1

dx 2  f  x  dx 2  4  I 6.
0

Câu 30: [2D3-4.6-1] (Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ) Cho

f  x

là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với
a

mọi

A.

x   0; a 

I

, ta có

f  x  0

a
3.

và

f  x  f  a  x  1

B. I 2a .

C.

.Tính

I

a
2.

Lời giải:
Chọn C.
f  x  1  f  x  

1
f  a  x

Ta có:
a
a
f  a  x  dx
dx
I 

1 f  x 0 1 f  a  x
0

Khi đó

t a  x   dt dx
Đặt
x 0  t a ; x a  t 0

Đổi cận
0
f  t  dt a f  x  dx
I  

1 f  t  
1 f  x
a
0

Nên

.

a

a
f  x  dx a
dx
a
I  I 

dx a  I 
1 f  x 0 1 f  x 0
2
0

Do đó:

.

dx
I 
1 f  x
0

.

D.

I a ln  a  1

.