SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Phòng GD - ĐT huyện Thanh Oai
Trêng THCS Cao Viªn

ĐỀ TÀI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N
Tác giả: VŨ THỊ LAN
Giáo viên : Trường THCS Cao Viên
Thanh Oai - Hà Nội

0

GV: Vị ThÞ Lan
Cao Viªn

Trêng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
năm học 2019 -2020
Cộng hoà x· héi chđ nghÜa viƯt nam

§éc lËp – Tù do – H¹nh phóc
-----------o0o-----------

SƠ YẾU LÝ LỊCH

Họ và tên:

VŨ THỊ LAN

Ngày tháng năm sinh:

06/04/1980

Năm vào ngành:

2002

Chức vụ:

Giáo viên

Đơn vị công tác:

Trường THCS

Cao Viên
Trình độ chun mơn:
Hệ đào tạo:
Bộ mơn giảng dạy:
Ngo¹i ngữ:
Trình độ chính trị:

i hc toỏn
Chớnh quy
Môn toán

Anh văn
Sơ cấp

Khen thởng:
-

Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2002 - 2003

-

Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2003 - 2004

-

Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2006 - 2007

-

Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2007 - 2008
1

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
-

Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh năm học 2003 -

-

Sáng kiến kinh nghiệm cấp thành phố năm học

2004

2007 - 2008
PHN TH NHT
M U
1. Lý do chọn đề tài:
a. Cơ sở lí luận:
Tốn học là một mơn khoa học gây nhiều hứng thú cho
học sinh, nó là một mơn học khơng thể thiếu trong q trình
học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày. Một
nhà tốn học đã nói: “Tốn học được xem như là một khoa học
chứng minh”.
Trong các môn học phổ thông tốn học được coi như là
một mơn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy được
năng lực bản thân, góp phần tạo điều kiện để các em học tốt
các môn khoa học tự nhiên khác. Vậy dạy như thế nào để học
sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ
thống mà phải được nâng cao phát triển để các em có hứng
thú say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cơ ln đặt ra
cho mình.
Tuy nhiên để học tốt mơn tốn thì người giáo viên phải
biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ
thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học
sinh có thể phát triển tư duy tốn học, làm cho cỏc em tr

2

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
nờn yờu thớch toỏn hn từ đó các em có ý thức học tập đảm
bảo yêu cầu của thời đại mới.
b. Cơ sở thực tiễn:
Là một giáo viên dược phân công giảng dạy lớp 6A, 6C
với nhiều đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy
bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để phát
huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của mỗi
người giáo viên. Qua giảng dạy chương trình tốn lớp 6 tôi
nhận thấy đề tài về phép chia hết là một đề tài thật lý thú,
phong phú đa dạng không thể thiếu ở mơn số học lớp 6.
Việc giải bài tốn chia hết là một dạng toán hay, với
mong muốn cung cấp cho các em một số phương pháp giải
các bài toán về chia hết, giúp các em làm bài tập tốt hơn
nhằm tích cực hố hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó
trong năm học này tơi chọn đề tài: “Một số phương pháp
giải các bài toán về chia hết trong tập N” để thực hiện
trong chương trình tốn lớp 6.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán về
phép chia hết.

- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về
phép chia hết.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nhiệm vụ khái quát: Nêu những phương pháp giải bài
toán chia hết theo chng trỡnh mi.
3

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
- Nhiờm v c th:
- Tìm hiểu thực trạng học sinh.
- Những phương pháp thực hiện.
- Những chuyển biến sau khi áp dụng.
- Bài học kinh nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về phép chia hết
trong tập N, trong SGK toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới
phương pháp dạy toán 6.
- Đối tượng khảo sát: HS lớp 6A, 6C trường THCS Cao
Viên.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo.
- Phương pháp kiểm tra, thực hành.
- Phương pháp phát vấn, đàm thoại nghiên cứu vấn đề.

- Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp
khi dạy phần “phép chia ht.

4

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
PHN TH HAI
NI DUNG
I. THC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
I.1. Đặc điểm tình hình lớp:
Lớp 6A, 6C có số lượng học sinh khơng đồng đều về mặt
nhận thức gây khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn
phương pháp phù hợp. Nhiều học sinh có hồn cảnh khó khăn
do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế và ảnh
hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của
các em. Đa số các em hay thoả mãn trong học tập, các em
cho rằng chỉ cần học thuộc lịng các kiến thức trong SGK là
đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ
động, khơng tự mày mị, khám phá kiến thức mới, hầu hết các
em đều hấp tấp khi giải các bài tập dạng này.
VD: Lời giải của em Lê Thị Thu - Lớp 6A
(Bài 85 trang 36 – SGK NXBGD – 2002)
Áp dụng tính chất chia hết xét xem tổng (560 + 18 + 3)
có chia hết cho 7 khơng?

HS giải:
Ta có 560 chia hết cho 7
18 không chia hết cho 7
3 không chia hết cho 7
nên (560 + 18 + 3) khơng chia hết cho 7.
Lời giải đúng:
5

GV: Vị ThÞ Lan
Cao Viªn

Trêng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Ta cú 560 M7
(18 + 3) M7
Suy ra (560 + 18 + 3) M7
(Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rõ tính chất chia hết:
Nếu trong một tổng có 2 số hạng khơng chia hết cho 1 số thì
chưa thể kết luận được tổng đó có chia hết cho số đó hay
khơng)
Qua một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản và
thu được kết quả như sau:
+ Lớp 6A: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm
khoảng 50%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận
dụng vào bài tập chiếm khoảng 30%.
+ Lớp 6C: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm
khoảng 85%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận
dụng vào bài tập chiếm khoảng 10%.

I.2. Nguyên nhân:
Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý
thức tự giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học
ở nhà, học cịn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu
sâu kiến thức tốn học, khơng tự ơn luyện thường xun một
cách hệ thống, khơng chịu tìm tịi kiến thức mới qua sách
nâng cao, sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt không chịu
học hỏi bạn bè, thầy cô. Đứng trước thực trạng trên tôi thấy
cần phải làm thế nào để khắc phục tình trạng trên nhằm nâng
cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thích học toỏn hn.
6

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Vy tụi thit ngh tài của tôi nghiên cứu về vấn đề này là
bước đi đúng đắn với tình trạng và sức học của học sinh hiện
nay.
II. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
Để đạt được hiệu quả khi giải các bài toán nói chung và
giải các bài tốn về chia hết nói riêng, tôi đã rèn cho học sinh
ghi nhớ khái niệm, công thức, định nghĩa, quy tắc để áp dụng
giải một số bài toán dạng này.
II.1. TRƯỚC TIÊN HỌC SINH PHẢI NẮM VỮNG ĐỊNH
NGHĨA TÍNH CHẤT, DẤU HIỆU CHIA HẾT.
1. Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b �0), nếu có

số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta
có phép chia hết a: b = x.
2. Tính chất của quan hệ chia hết.
+ Số 0 chia hết cho moị số b � 0.
+ Số a chia hết cho a với mọi a � 0.
+ Nếu a chia hết cho bvà b chia hết cho c thì a chia hết
cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) =1
thì a chia hết cho b.c
+ Nếu a .b chia hết cho m và (b, m) = 1 thì a chia hết
cho m.
+ Nếu a.b chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia
hết cho m hoặc b chia hết cho m.
7

GV: Vò Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
+ Nu a chia ht cho m và b chia hết cho n thì a.b chia
hết cho m.n
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho m thì (a �b)
chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b không chia hết cho m thì (a
�b) khơng chia hết cho m.

+ Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m (n �N).
+Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết b n (n �N).
3. Các dấu hiệu chia hết.
a. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2 � chữ số tận cùng của số đó là số
chẵn.
b. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 � chữ số tận cùng của số đó bằng
0 hoặc 5.
c. Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9).
Môt số chia hết cho 3 (hoặc 9) � tổng các chữ số của số
đó chia hết cho 3 (hoặc 9).
Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì
tổng các chữ số của nó chia 3 (hoặc 9) dư bấy nhiêu và ngược
lại.
d. Dấu hiệu chia hết cho 4(hoặc 25).
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) � hai chữ số tận cùng
của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25).
8

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
e. Du hiu chia ht cho 8 (hoặc125).
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) � ba chữ số tận cùng
của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125).

f. Dấu hiệu chia hết cho 11.
Một số chia hết cho 11 � hiệu giữa tổng các chữ số hàng
lẻ và các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
Sau khi học sinh đã nắm chắc được lý thuyết thì việc vận
dụng lý thuyết vào giải bài tập là vô cùng quan trọng, do vậy
người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà
quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ tìm ra con
đường hợp lý để giải bài tốn như nhà tốn học Pơlia đã nói
“Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát
minh”. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn
dừng lại ở những bài tập SGK mà tôi muốn giới thiệu thêm
một số bài tập điển hình và một số phương pháp giải các bài
tập đó.
II.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA
HẾT
1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia
hết.
Để chứng minh số a chia hết cho số b (b �0) ta biểu diễn
a dưới dạng tích, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết
cho b).
Bài 1: Cho n�N, chứng minh rằng (5n) 100 chia hết cho 125
Giải : Ta có : (5n) 100 = 5 100 . n 100 = 53.597.n100  125.597.n100 M125
9

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Vy (5n) 100 chia ht cho 125.
Bài 2: Chứng minh số abcabc chia hết cho 143.
Giải: Ta có: abcabc = 1001. abc = 7.11.13. abc =143.(7 abc )
M143.

Vậy abcabc chia hết cho 143.
Bài 3: Chứng minh rằng: S  (5  52  53  ...  599  5100 ) chia hết cho
6.
Giải: Ta có
S  (5  52  53  ...  599  5100 )
 (5  52 )  (53  54 )  ...  (599  5100 )
 5(1  5)  53 (1  5)  ...  599 (1  5)
 5.6  53.6  ...  599.6
 6.(5  53  ...  599 ) M6

2. Phưong pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ
chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu.
- Để chứng minh a chia hết cho b �0 ta biểu diễn số a dưới
dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số
hạng đó đều chia hết cho b.
- Để chứng minh a không chia hết cho b � 0 ta biểu diễn
số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh có
một số hạng khơng chia hết cho b cịn tất cả các số hạng còn
lại đều chia hết cho b.
Bài 1: Chứng minh rằng: Tổng của 3 số lẻ liên tiếp chia
hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6.
10

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Gii: Gi 3 s l liên tiếp là: 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (n �N)
Tổng của 3 số đó là: a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) =
6n+ 9 = 6n + 6 + 3
Suy ra a chia hết cho 3 (vì 3 số hạng của a đều chia hết
cho 3).
Mặt khác: 6n M6 và 6 M6
nhưng 3 khơng chia hết cho 6
Do đó a khơng chia hết cho 6.
Vậy tổng của 3 số lẻ liên tiếp chia hết cho 3 nhưng
không chia hết cho 6.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a. n + 2 chia hết cho n – 1.
b. 2n + 7 chia hết cho n+1.
Giải: Căn cứ vào tính chất chia hết của một tổng (hiệu)
ta có thể rút ra phương pháp chung để giải dạng này dựa vào
nhận xét sau:
Nếu A MB thì (mA + nB) hoặc (mA - nB) MB (m, n)
a) Vì (n + 2) M(n – 1) suy ra [(n+ 2) – (n – 1)}] M(n – 1)
Hay 3 M(n – 1)
Do đó (n – 1) � Ư(3) = {1 ; 3}
+ Nếu n – 1 = 1 thì n = 2
+ Nếu n – 1 = 3 thì n = 4
Vậy với n = 2; 4 thỡ (n+2) M(n 1)

11

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
b) Vỡ (2n + 7) M (n + 1) suy ra [( 2n + 7) – 2(n + 1)] M (n
+ 1)
hay 5 M(n + 1)
Do đó (n+ 1) � Ư(5) = {1 ; 5}
+ Nếu n+ 1 = 1 thì n = 0
+ Nếu n + 1 = 5 thì n = 4
Vậy với n = 0; 4 thì (2n + 7) M(n + 1)
Bài 3: Chứng minh tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn
chia hết cho 3.
Giải: Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2
Tổng của 3 số tự nhiên đó là: n + (n + 1) + (n + 2) = (n +
n + n) + (1 + 2)
= 3n + 3 chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một
tổng).
Từ bài tập này giáo viên có thể đưa ra tình huống:
Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n
khơng? Qua đó gợi cho học sinh trí tị mị đưa ra tình huống có
vấn đề cần giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh qua
bài tập sau:
Bài 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4
hay khơng?

Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2; n + 3
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n + (n + 1) + (n +
2) + (n + 3)
12

GV: Vị ThÞ Lan
Cao Viªn

Trêng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
= (n + n + n + n) + (1+ 2 +3)
= 4n + 6
Ta có: 4n chia hết cho 4
6 khơng chia hết cho 4
Suy ra (4n + 6) không chia hết cho 4
Vậy tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc chia hết
cho n.
* Dùng tính chất chia hết của một tích.
a 1 . Để chứng minh số a chia hết cho số b (b �0) ta có thể
biểu diễn số b dưới dạng 1 tích b = m.n
+ Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh a Mm và a Mn
lúc đó a Mm.n tức là a Mb
+ Nếu (m, n) � 1 thì ta biểu diễn số a thành tích a = a 1 a
2

rồi chứng minh a 1 Mm; a 2 Mn thì a 1 a 2 Mm.n tức là a Mb
Bài 5: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp ln

chia hết cho 8.
Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + 2.
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n và n+ 1 khơng cùng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1) M2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n+1) M(4.2)
Hay 4n.(n+1) M8.
Suy ra 2n.(2n + 2) M8.
Vậy tích của 2 số chẵn liên tip luụn chia ht cho 8
13

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Bi 6: Tỡm cỏc s tự nhiên có 2 chữ số gấp 9 lần chữ số
hàng đơn vị của nó.
Giải: Gọi số phải tìm là ab = 10a + b (1 �a, b � 9)
Theo đề bài ta có 10a + b = 9b hay 10a = 8b
Suy ra 5a = 4b (1)
Suy ra 4b M5 mà (4, 5) = 1 nên b M5
Vì (1 �b � 9) nên b = 5
Thay b = 5 vào (1) ta được a = 4.
Vậy số phải tìm là 45.
* Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến các số
nguyên tố, các số nguyên tố cùng nhau.
+ Nếu tích ab Mm mà (b, m) =1 thì a Mm.
+ Nếu a Mm; a Mn và (m, n) =1 thì a Mmn.

+ N ếu a n Mp (p là số nguyên tố) thì a Mp.
Bài 7: Cho a, b là các số tự nhiên, n � 0, biết a n M7.
Chứng minh rằng: (a 2 + 98b) M49
Giải : Ta có a n M7; mà 7 là số nguyên tố nên a M7.
Suy ra a 2 M7 2 hay a 2 M49
Mặt khác: 98b M 49 nên (a 2 + 98b) M 49 (tính chất chia
hết của một tổng).
3. Phương pháp 3: Vận dụng dấu hiệu chia hết cho
2; 3; 5; 9; 11;… hoặc có thể xét chữ số tận cùng khi
chứng minh chia hết cho 2, cho5, cho 10.
Bài 1: Cho n�N .Chứng minh A = (3 4 n1 +7) M10
14

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Gii: Ta cú : 34 n có tận cùng là 1
(3 4 n1 +7) = 34 n .3+ 7
= X 1.3  7  Y 3  7  Z 0M10
Vậy AM10
Bài 2: Tìm các chữ x và y để 41x5 yM2; 3; 5
Giải : Để 41x5 yM2 và 5 thì y = 0

(1)

41x5 yM3 thì (4+1+x+5+y) M3 � (10 + x + y) M3

Hay x + y = 2; 5 ; 8

(2)

Từ (1) và (2) suy ra x = 2; 5 ; 8
Vậy với x = 2; 5; 8 và y = 0 thì 41x5 yM2; 3; 8
4. Phương pháp 4: Dùng định lý về phép chia có
dư.
Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về
số dư khi chia n cho p (có thể có số dư là một trong các số từ
0 đến p-1)
Bài 1: Chứng minh rằng :
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Giải:
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: n; n+ 1; n+ 2
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là: n(n + 1)(n + 2).
Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các
số dư sau: 0; 1; 2
15

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
+ Nu r = 0 thì n chia hết cho 3 � n(n + 1)(n + 2) chia

hết cho 3
+ Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).
� n + 2 = 3k + 1+ 2 = (3k + 3) chia hết cho 3
� n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

+ Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên)
� n + 1 = 3k + 2+ 1 = (3k + 3) chia hết cho 3
� n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

Vậy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự
nhiên.
b) Chứng minh tương tự ta có: n(n + 1)(n +2)(n+ 3) chia
hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải xong bài tập này giáo viên cho học sinh nêu
bài tập này ở dạng tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên
liên tiếp luôn chia hết cho n.
Chú ý: Phương pháp này sử dụng khi chứng minh 1 biểu
thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có 1 chữ số.
Khi chứng minh 1 biểu thức chia hết cho các số tự nhiên có 2
chữ số trở nên ta khơng sử dụng phương pháp này vì phải xét
nhiều trường hợp đối với số dư.
5. Phương pháp 5: Vận dụng nguyên lý Đirichlê.
Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh, chứng minh rằng có ít
nhất 4 học sinh có thỏng sinh ging nhau.
16

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Gii:
Mt nm cú 12 thỏng, ta phân chia 40 học sinh vào 12
tháng đấy, nếu mỗi tháng có khơng q 3 học sinh được sinh
ra trong tháng đó thì số học sinh khơng q 3.12 = 36
Mà lớp có 40 học sinh, như vậy cịn thừa 4 học sinh. Vậy
tồn tại 1 tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh.
Bài 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ tìm
được 2 số có hiệu chia hết cho 5.
Giải:
Một số bất kỳ chia cho 5 chỉ có 1 trong 5 số dư: 0; 1; 2;
3; 4;
Vì có 6 số tự nhiên bất kỳ nên tồn tại 2 số có cùng số dư
khi chia cho 5.
Vậy hiệu của 2 số đó chia hết cho 5.
*) Sau khi học sinh đã nắm vững được một số phương
pháp trên, giáo viên có thể đưa ra một số dạng bài toán về
chia hết nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến thức một cách có
hệ thống.
II.3. MỘT S DNG BI TON V CHIA HT.
1. Dạng1: Tìm các chữ số cha biết của một số.
Bài 1: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho
5 và chia hết cho 3.
* Để tìm đợc a và b học sinh phải thấy đợc 2 dấu hiệu
cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và cho 3 vµ sử dụng dấu hiệu
chia hết cho 3, 5 tỡm a, b.
17

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Vì

19ab

chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b

= 5 (1)
Vì 19ab chia hết cho 3 nên suy ra (1 + 9 + a + b)  3
� (10 + a + b)  3
� a + b = 2; 5; 8

(2)

Từ (1) vµ (2) suy ra a = 2; 5; 8 vµ b = 0 hoặc a = 0; 3 vµ
b=5
Vậy với a = 2; 5; 8 vµ b = 0 hoặc a = 0; 3 vµ b = 5 thỡ
19ab chia ht cho 5

Bài 2: Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96

vừa chia hết

cho 3 vừa chia hÕt cho 8.
(Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 3; 8 để
làm)
V× aaaaa96 8  a96 8  (100a + 96) 8 mµ 96 8
Suy ra 100a 8 do đó a là số chẵn a 2, 4, 6, 8}
(1).
Vì aaaaa96 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6) 3
 (5a + 15) 3

Mµ 15 3 nªn 5a 3
Mặt khác: (5, 3) = 1 suy ra a  3 vËy a  3, 6, 9}
(2).
Tõ (1) và (2) suy ra a = 6
KL: Vậy số phải tìm là 6666696.
18

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Bài 3: Tìm chữ số a để 1aaa1 11.
HD: Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a.
Tổng các chữ số hàng chẵn là 2a.
* NÕu 2a  a + 2  a  2 th× 2a - (a + 2) = a -2 9 - 2
=7
Mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0  a = 2
* NÕu 2a  a + 2 � a �2 th× (a + 2) - 2a = 2 - a

Suy ra 2 - a = 1 hoặc 2 - a = 2 không chia hết cho 11
Kết luận: VËy a = 2 thì 1aaa1 11
Bài 4: Tìm các chữ số a, b để số 1234ab chia hết cho 8
và cho 9.
* Cách 1:
+) Nếu 1234ab chia hết cho 8 thì da vào dấu hiÖu chia
hÕt cho 8

ta cã

4ab 8 hay

4ab = 400 + 10a + b = 8p (p N)

(*)

Mặt khác nếu 1234ab 9 th× (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9
Hay (1 + a + b) 9  1 + a + b = 9q (q N)

( **)

Vì a và b là các chữ số nên a + b  18
Tõ (**) suy ra 9q  19 (q>1) VËy q = 2
Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p - 9q
Hay p = 49 + a + q +

aq 2
8

19

GV: Vị ThÞ Lan
Cao Viªn

Trêng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Vì p N nên

aq 2
N hay a + q – 2 8
8

+) NÕu q = 2 thì a = 0 hoặc a = 8
Từ (**) ta cã b = 9q - a - 10 do đó b = 8 hoặc b = 0
KL: Vậy có số thoả mÃn đề bài là: 123480; 123408.
* Cách 2:
Ta có: 1234ab = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab
Vì 1234ab chia hết cho 8 và cho 9 nªn 1234ab chia hÕt cho
72
VËy 64 + ab chia hÕt cho 72.
V× ab  99 nên 64 < 64 + ab 163 nên 64 + ab bằng 72
hoặc 144.
+ NÕu 64 + ab = 72 th× ab = 08
+ NÕu 64 + ab = 144 th× ab = 80
KL: Vậy các số thoả mÃn đề bài là: 123480; 123408.
Bài 5: Tìm các số a, b sao cho:
a) a - b = 4 vµ 7a5b1 chia hÕt cho 3
b) a - b = 6 vµ 4a7 + 1b5 chia hết cho 9

Giải:
a) a - b = 4 và 7a5b1 chia hÕt cho 3
Ta cã: 7a5b1  3 � (7 + a + 5 + b + 1)  3
Hay (a +b + 13)  3 suy ra (a +b ) chia 3 d 2

(1)

Ta cã a -b = 4 nªn 4  a  9 ; 0  b 5
20

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Suy ra 4 a+b 14
(2)
Mặt khác a - b là số chẵn nên a + b là số chẵn
(3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra a + b  {8; 14}
Víi a + b = 8; a - b = 4 ta đợc a = 6; b = 2.
Víi a + b = 14; a - b = 4 ta đợc a = 9; b = 5.
Vậy các số phải tìm là a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5
b) 4a7 + 1b5  9 � (4 + a + 7 + 1 + b + 5)  9
hay (a + b + 8)  9
Suy ra (a + b) chia cho 9 d 1
Do a + b  a – b = 6 nªn a + b = 10 từ đó tìm đợc a = 8;
b = 2.

* Bài tập tơng tự :
Bài 1: Tìm các số x, y sao cho 1994 xy  72
HD: 1994 xy  72 � 72. 2769 + 32 + xy  72
� 32 + xy  72

V× 32  32 + xy  32 + 99 = 131 nªn 32 + xy = 72 
xy = 40

VËy x = 4, y = 0.
Bài 2: Tìm chữ số x để x1994 chia hết cho 3 nhng
không chia hết cho 9.

21

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viªn

Trêng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
HD: Vì x1994 chia hết cho 3  (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia
hÕt cho 3
Hay (x + 25) chia hÕt cho 3
Vì 1 x 9 nên 24 23 + x 32
Trong các số tự nhiên từ 23 ®Õn 32 cã sè 24, 30 chia hÕt
cho 3 mµ không chia hết cho 9.
Bài 3: Phải viết ít nhất mấy số 1994 liên tiếp nhau để
đợc một số chia hết cho 3.
HD: Tổng các chữ số của 1994 là 23 khi chia cho 3 thì

d 2.
Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ
số của số nhận đợc có cùng số d với 2k khi chia cho 3. Để số
nhận đợc chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số
nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp
nhau.
Bài 4: Tìm 3 chữ số tận cùng của tích 4 số tự nhiên liên
tiếp khác không, biÕt r»ng tÝch nµy chia hÕt cho 125. TÝch
nµy nhá nhÊt b»ng bao nhiªu?
HD: TÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiếp chia hết cho 8 thì tích
4 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận
cùng là 000.
Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp không thể có 2 số chia
hết cho 5 nên ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 125.
TÝch nhá nhÊt là: 125.126.127.128
22

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
2. Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức
số.
Bài 1: Chứng minh rằng: 2139 + 3921 chia hÕt cho 45.
Ta cã 2139 + 3921 = (2139- 1) + (3921 + 1)
V× 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ … + 1) chia hÕt cho 5
vµ 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ … + 1) chia hÕt cho 5

Suy ra: (2139- 1) + (3921 + 1) chia hết cho 5
Mặt khác 2139- 3921 = (2139- 339) - (3921 - 321) + (339 - 321)
Mµ 2139- 339= 18 (2138+ … +338) chia hÕt cho 9
3921- 321 = 27(1321318 + … +318) chia hÕt cho 9
Vµ 339+ 321= 321 (318 - 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9
Mà (5, 9) = 1 nên 2139 + 3921  45
KL: VËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 45
Bµi 2: Chøng minh r»ng: 4343 - 1717 chia hÕt cho 5
+) Ta cã: 4343 = 4340. 433= (434)10.433
Vì 433 có tận cùng bởi chữ số 1 (34 cã tËn cïng bëi 1)
nªn (434) cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 hay 43 40 cã tËn cïng
bëi ch÷ sè 1.
433cã tËn cïng bëi ch÷ sè 7.
VËy 4340. 433 có tận cùng là chữ số 7.
Hay 4343 có tận cùng là chữ số 7
+) Ta có 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17

23

GV: Vũ Thị Lan
Cao Viên

Trờng THCS


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Vì 174 có chữ số tận cùng là 1 nên (17 4)4 cũng có chữ số
tận cùng là chữ số 1 hay 1716 có chữ số tận cùng là 1.
Suy ra: 1716.17 có chữ số tận cùng là 7
Hai số 4343 và 1717có chữ số tận cùng giống nhau nên

4343 - 1717 có chữ số tận cùng là chữ số 0
KL: Vậy 4343 - 1717 chia hÕt cho 5.
Bµi 3: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260
Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 3; 7 vµ 15.
Giải
Ta cã: A =2 + 22 + 23+ … + 260
A = 2(1+2) + 23 (1+2) + … + 259 (1 + 2) = 3 (2 + 22 +
23+ … + 259)
A = 3 (2 + 22 + 23+ … + 259) chia hÕt cho 3
Ta cã A = 2 + 22 + 23+ … + 260
A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 +
22)
A = 2.7 + 24.7 + … + 258.7
A = 7(2 + 24 + … + 258) chia hÕt cho 7
Ta cã A = 2 (1 + 2 + 2 2+ 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1
+ 2 + 22 + 23)

A = 2. 15 + 25.15 + … + 257.15

A = 15(2 + 25 + … + 257) chia hÕt cho 15
KL: VËy A chia hÕt cho 3, 7 vµ 15.
* Bài tập tơng tự:
Bài 1:

Cho B = 3 + 33 + 35 + … + 31991
24

GV: Vị ThÞ Lan
Cao Viªn

Trêng THCS