casio

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH YÊN BÁI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC
Mơn: TỐN
(Đề thi có 01 trang, gồm có 06 câu) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03/3/2012

Câu 1. (4,0 điểm)
Tìm hai số x, y nguyên thỏa mãn: x − xy = 7x − 2y − 15
Câu 2. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với các
đỉnh. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳng này cắt hai
cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Gọi H là
trung điểm của IJ.
a. Chứng minh rằng: FH = HE
b. Cho AB = 2CD. Chứng minh rằng: EJ = JI = IF
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB (O  AB). Các tiếp tuyến tại A và B của
đường tròn cắt nhau tại C. Kẻ dây cung CD của đường trịn đường kính OC (D khác A và
B). Dây cung CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D).
a. Chứng minh: =
b. Chứng minh: DE = DA.DB
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho S = + +…+ +…+ , (kN, 1≤ k ≤ 2012).
So sánh S và .

Câu 6. (3,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1.


HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
Câu 1.
* Cách 1:
Ta có: x − xy = 7x − 2y − 15  xy − 2y = x − 7x + 15
 y(x − 2) = x − 7x + 15  y = = = +
Vì x, y  Z   Z  x − 2  Ư(5)
- Nếu x − 2 = 1  x = 3  y = 3−5 + = 3
- Nếu x − 2 = -1  x = 1  y = 1−5+ = -9
- Nếu x − 2 = 5  x = 7  y = 7−5+ = 3
- Nếu x − 2 = -5  x = -3  y = -3−5+ = -9
Vậy các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình là
(x ; y) = (3 ; 3) , (-1 ; -9) , (7 ; 3) , (-3 ; -9)


* Cách 2:
Ta thấy phương trình đã cho tương đương:
x − xy − 7x + 2y + 15 = 0


(2y − xy) − (2x − x) + (10 − 5x) = -5



y(2 − x) − x(2 − x) + 5(2 − x) = -5



(2 − x)(y − x + 5) = -5



(x − 2)(y − x + 5) = 5

Vì x, y là các số nguyên nên x − 2 và y − x + 5 cũng là các số nguyên
 x − 2 và y − x + 5 là các ước của 5.
Xét từng trường hợp ta được (x ; y) = (3 ; 3) , (-1 ; -9) , (7 ; 3) , (-3 ; -9)
Câu 2.
Ta có: (x + y)1+ = 6  x + + y + = 6  + = 6
Đặt = a ,

=b

(a, b ≥ 2)

Hệ phương trình đã cho tương đương:
Từ đó suy ra ab = 9. Áp dụng hệ thức Viet ta có a, b là các nghiệm của phương trình:
X − 6X + 9 = 0. Phương trình này có nghiệm X = X = 3
Do đó a = b = 3 (t/m a, b > 2)
Từ đó rút ra = = 3
Quy về phương trình bậc hai rồi sử dụng công thức nghiệm ta thu được:
(x ; y) = ; , ; , ; , ;
Câu 3.
a) Gọi giao điểm giữa MF và AC là N
ME và BD là P
AC và BD là O
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

MF // BD  = =  =
ME // AC  =

=  =

(1)
(2)

Mà AB // CD  =  =

(3)

Do đó: =  NP // EF (định lí Ta-lét đảo)
Các tứ giác NPEI và NPIF là các hình bình hành cho ta NP = IE và NP = FJ
 IE = FJ  FJ − JH = IE − IH  FH = HE (đccm)
b) Từ CD // AB  = mà AB = 2CD nên = 2  =
Kết hợp (2) và (4) ta suy ra =  = =
 IE = FJ = NP = EF. Từ đó ta có EJ = JI = IF = EF
Câu 4.
a) Ta có: = + = sđ + sđ
là góc ngoài của BEC nên = + = sđ + sđ
Từ đó ta có =
b) Ta có: = sđ

( = sđ ) , = sđ

( = sđ )

Mà AC = BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 =  =  ADE ∽ EDB (g.g)
 =  DE = DA.DB
Câu 5.
S = + + … + + … + (gồm 2012 hạng tử)
Các hạng tử của S đều có dạng
Xét = > = (bất đẳng thức Cô-si)
Dấu “=” xảy ra  k = 2012 − k + 1  k =  N
Do đó >
Suy ra S > 2012 ∙ =

(4)


Câu 6.
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
+ > 2 = 2 ∙ = x (1)
Tương tự + > y (2) ,

+ > z (3)

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được
+ + + + + >x+y+z
 + + >

(4)

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cơ-si ta có:
x + y + z > 3 = 3. = 3

(5)

Từ (4) và (5) suy ra + + > =
Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 1.