phuong trinh mat cau giai chi tiet BTN

NHĨM 8.2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Định nghĩa:
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả
những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi
là mặt cầu tâm I, bán kính R.
 Scầu
 I ; R mặt
 I ;:R   M / IM R
2/ Các dạng
phươngS trình
Kí hiệu:
Dạng 2 : Phương trình tổng qt
Dạng 1 : Phương trình chính tắc
( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d 0 (2)
I  a; b; c 
Mặt cầu (S) có tâm
, bán kính R  0 .
 Điều kiện để phương trình (2) là phương trình

 S  :  x  a

2

2

2

  y  b    z  c  R

2

mặt cầu:

a 2  b2  c 2  d  0
I  a; b; c 



(S) có tâm

.



2
2
2
(S) có bán kính: R  a  b  c  d .

3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu

S  I; R

và mặt phẳng

 P  . Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên  P 

 P  . Khi đó :
khoảng cách từ I đến mặt phẳng

+ Nếu d  R : Mặt cầu và mặt + Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc
phẳng khơng có điểm chung.
 P  là mặt phẳng
mặt cầu. Lúc đó:
tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp
điểm.

 d IH là

 P
+ Nếu d  R : Mặt phẳng
cắt mặt cầu theo thiết diện là
đường trịn có tâm I' và bán
2
2
kính r  R  IH

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó
được gọi là đường trịn lớn.
4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
S  I; R
Cho mặt cầu
và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó :
+ IH  R :  khơng cắt mặt + IH R :  tiếp xúc với mặt cầu. + IH  R :  cắt mặt cầu tại
 là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp hai điểm phân biệt.
cầu.
điểm.


* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định:

d  I ;   IH .

 AB 
R  IH  AH  IH  

 2 
2

+ Lúc đó:

2

2

2

ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
* Đường trịn (C) trong khơng gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng ( ) .
 S  : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d 0

  :

Ax  By  Cz  D 0

I

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
I ' d    

+ Tâm
.
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vng góc với mp ( )
2

2

R '  R 2   II '  R 2   d  I ;     
+ Bán kính
5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S) 
+ Mặt phẳng

 

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm

là tiếp diện của (S)
M 0  x0 ; y0 ; z0 

.



d  I ;   R.
d  I ;     R.


 IM 0  ad
 IM 0  d

 


IM 0    
IM 0  n



Sử dụng tính chất :

R
I'
R'


B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1:
Phương pháp:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

I  a; b; c 
* Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm
.
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
I  a; b; c 
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm
và bán kính R .

(S ) :

 x  a

2

2

2

  y  b    z  c  R 2

2
2
2
* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0
2
2
2
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d . ( a  b  c  d  0 )

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
 S  có tâm I  2; 2;  3 và bán kính R 3 .
a)
 S  có tâm I  1; 2;0  và (S) qua P  2;  2;1 .
b)
 S  có đường kính AB với A  1;3;1 , B   2;0;1 .
c)
Bài giải:
I  2; 2;  3
a) Mặt cầu tâm

và bán kính R 3 , có phương trình:
2

2

2

 x  2    y  2    z  3 9
(S):

IP  1;  4;1  IP 3 2
b) Ta có:
.
I  1; 2; 0 
Mặt cầu tâm
và bán kính R IP 3 2 , có phương trình:
 x  1
(S):
c) Ta có:

2

2

  y  2   z 2 18


AB   3;  3;0   AB 3 2

.

 1 3 
 I   ; ;1
 2 2 .
Gọi I là trung điểm AB
 1 3 
AB 3 2
I   ; ;1
R

2
2 , có phương trình:
Mặt cầu tâm  2 2  và bán kính
2

2

1 
3
9
2

 x     y     z  1 
2 
2
2.
(S): 

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
A  3;1;0  , B  5;5; 0 

a) (S) qua
và tâm I thuộc trục Ox .
   : 16 x  15 y  12 z  75 0 .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng
x 1 y  1 z
:

 .
I   1; 2; 0 
1
1
3
c) (S) có tâm
và có một tiếp tuyến là đường thẳng
Bài giải:
a) Gọi

I  a;0;0   Ox

Do (S) đi qua A, B


. Ta có :


IA  3  a;1;0  , IB  5  a;5;0 

 IA IB 

 3  a

2

1 

 5  a

2

.

 25  4a 40  a 10


 I  10; 0; 0 

và IA 5 2 .
2

 x  10   y 2  z 2 50
và bán kính R 5 2 , có phương trình (S) :
75

d
O
,


R


R

3.




 
25
b) Do (S) tiếp xúc với
2
2
2
O  0; 0;0 
Mặt cầu tâm
và bán kính R 3 , có phương trình (S) : x  y  z 9
A   1;1;0     IA  0;  1;0 
c) Chọn
.
 


u


1;1;

3

 . Ta có:  IA, u   3;0;  1 .

Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là 

 IA, u 
10


  d  I ,   R  R  

u
11
Do (S) tiếp xúc với
.
Mặt cầu tâm

I  10; 0; 0 

10
10
2
2
 x  1   y  2   z 2  .
11 , có phương trình (S) :
121
Mặt cầu tâm
và bán kính
Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
A  1; 2;  4  , B  1;  3;1 , C  2; 2;3 , D  1;0; 4 
a) (S) qua bốn điểm
.
A  0;8; 0  , B  4;6; 2  , C  0;12; 4 

b) (S) qua
và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:
I  x; y; z 
a) Cách 1: Gọi
là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
R

I   1; 2; 0 

Theo giả thiết:
Do đó:

 IA2  IB 2
  y  z  1
 2

2
 IA IC   x  7 z  2 
 IA2  ID 2
 y  4 z 1



 IA IB

 IA IC 
 IA ID


I   2;1; 0 

 x  2

 y 1
 z 0


2

.

2

x  2    y  1  z 2 26

R

IA

26
và
. Vậy (S) :
.

2
2
2
 a 2  b2  c 2  d  0 .
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 ,

Do

A  1; 2;  4    S  

Tương tự:

 2a  4b  8c  d  21

(1)

B  1;  3;1   S    2a  6b  2c  d  11

(2)

C  2; 2;3   S    4a  4b  6c  d  17

(3)

D  1; 0; 4    S    2a  8c  d  17

(4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :

 x  2

2

2

  y  1  z 2 26

.

b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)
2

 I  0; b; c 

.

2

b 7
 IA IB
IA IB IC   2

2
c 5 .
 IA IC
Ta có:
Vậy

I  0; 7;5 

2

2

x 2   y  7    z  5  26.
và R  26 . Vậy (S):


Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng
mặt phẳng

  :

x  2 y  2 z  3 0

và

:

x  2 y  2 z  7 0

Bài giải:
I  t ;  1;  t   
Gọi
là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
1 t
5 t
d  I ,     d  I ,     


3
3
Theo giả thiết:
2

R d  I ,     
x
I  3;  1;  3
3 . Vậy (S) :
Suy ra:
và

 x t

 :  y  1
 z  t


và (S) tiếp xúc với hai

.

 1  t 5  t
 1  t t  5  t 3

.
2

2

2

3   y  1   z  3 

4

9.

A  2; 6; 0  , B  4; 0;8 

Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm

và có tâm thuộc d:

x  1 y z 5
 
1 2
1 .
Bài giải:
 x 1  t

d :  y 2t
 z  5  t
I  1  t ; 2t ;  5  t   d

Ta có
. Gọi
là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.


IA  1  t;6  2t ;5  t  , IB  3  t;  2t ;13  t 
Ta có:
.
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B  AI BI


1 t 

2

2

2

  6  2t    5  t  

 3t 

2

 4t 2   13  t 

 62  32t 178  20t  12t  116  t 

2

29
3

 32 58 44 
 I  ;
;

3
3  và R IA 2 233 . Vậy (S):
 3

Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm
hai điểm A, B với AB 16 .

2

2

2

32  
58  
44 

x
   y     z   932
3  
3  
3 

.

I  2;3;  1

và cắt đường thẳng

:

x 1 y  1 z



1
 4 1 tại

Bài giải:


M   1;1;0     IM   3;  2;1


u  1;  4;1

Chọn
. Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
.
 
 IM , u 

 IM , u   2; 4;14   d  I ,       2 3


u
Ta có:
.

AB 2
R   d  I ,    
2 19.
4
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết :
2

 x  2
Vậy (S):

2

2

2

  y  3   z  1 76

.


Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng

 P  : 5 x  4 y  z  6 0,  Q  :

2 x  y  z  7 0

và đường thẳng

x 1 y z 1
 
7
3
 2 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và  sao cho (Q) cắt (S)
theo một hình trịn có diện tích là 20 .
:

Bài giải:
(1)
 x 1  7t

 x 1  7t
(2)
 y 3t


 :  y 3t
(3)
 z 1  2t
 z 1  2t


Ta có
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: 5 x  4 y  z  6 0 (4)
5  1  7t   4  3t    1  2t   6 0  t 0  I  1;0;1
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:
.
Ta có :

d  I , Q  

5 6
3 .

2
Gọi r là bán kính đường trịn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 20  r  r 2 5.

R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
2
330
110
2
2
R   d  I ,  Q     r 2 
.
 x  1  y 2   z  1 
3
3 .
Theo giả thiết:
Vậy (S) :

 x  t

d :  y 2t  1
 z t  2


Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  2 0 và đường thẳng
.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao
tuyến là đường trịn có bán kính bằng 3.
Bài giải:
I   t ; 2t  1; t  2   d :
Gọi
là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
2

R   d  I ;  P     r 2  4  9  13
Theo giả thiết :
.
d  I ;  P   2 
Mặt khác:

 2t  2t  1  2t  4  2
4 1  4

1

 t 6
2  6t  5 6  
 t  11

6
2

2

2

1
2
13
 1 2 13 
1
I1   ;  ; 
 S1  :  x     y     z   13
t

6 
3 
6

6 : Tâm  6 3 6  , suy ra
* Với
.
2

2

2

11
2
1
 11 2 1 
11
I2  ;  ; 
 S2  :  x     y     z   13
t 
6 
3 
6

6 : Tâm  6 3 6  , suy ra
* Với
.
x  1 y 1 z  1
d:



I  1; 0;3
2
1
2 . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm
Bài tập 9: Cho điểm
và đường thẳng
I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I.
Bài giải :

u  2;1; 2 
P  1;  1;1  d
d
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương
và
.



 u, IP 
20


d  I; d   

u
3



IP  0;  1;  2    u , IP   0;  4;  2 
Ta có:
. Suy ra:
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I


.

1
1
1
2
40
 2  2  2  R  2 IH  2d  I , d  
2
IH
IA IB
R
3
40
2
2
 x  1  y 2   z  3 
9 .
Vậy (S) :


2
2
2

A  4; 4; 0 
Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x  y  z  4 x  4 y  4 z 0 và điểm
. Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải :
I  2; 2; 2  ,
(S) có tâm
bán kính R 2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).

R/ 
Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp
2
2
d  I ;  P    R2   R/  
3.
Khoảng cách :
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng :
Do (P) đi qua A, suy ra: 4a  4b 0  b  a .
Lúc đó:

d  I; P  

2 a  b  c
a2  b2  c2



2c
2a 2  c 2

OA 4 2

3
3 .

ax  by  cz 0  a 2  b 2  c 2  0   *



2c
2a 2  c 2



2
3

 c a
 2a 2  c 2 3c 2  
 c  1 . Theo (*), suy ra  P  : x  y  z 0 hoặc x  y  z 0.
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường trịn trong khơng gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường trịn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C):

r  R 2   d  I ;  P   

2

2
2
2
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  3 0 cắt mặt phẳng (P): x  2 0 theo
giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài giải :
I  1; 0; 0 
* Mặt cầu (S) có tâm
và bán kính R 2 .

Ta có :

d  I ,  P   1  2 R 

mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)

I  1; 0; 0 
nP  1; 0; 0 
* Đường thẳng d qua
và vng góc với (P) nên nhận
làm 1 vectơ chỉ phương, có

phương trình

 x 1  t

d :  y 0
 z 0


.


 x 1  t
 y 0



 z 0

/
+ Tọa độ tâm I đường tròn là nghiệm của hệ :  x  2 0
+ Ta có:

d  I ,  P   1

 x 2

/
 y 0  I  2;0;0 

 z 0

.

2

r  R 2   d  I ,  P     3.
. Gọi r là bán kính của (C), ta có :

Dạng 2 :
SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:
d  I ;   R.

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S) 

d  I ;     R.
+ Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S) 
* Lưu ý các dạng tốn liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
x y 1 z 2

  : 
2
2
2
2
1
 1 và và mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  4 z  1 0 . Số
Bài tập 1: Cho đường thẳng

 

điểm chung của
A. 0.B.1.C.2.D.3.
Bài giải:
Đường thẳng
Mặt cầu

và

   đi qua

S

là :

M  0;1; 2 


u  2;1;  1

và có một vectơ chỉ phương là

 S  có tâm I  1;0;  2  và bán kính

R 2.


 u, MI 
498


 d  I,  

 



6

 u , MI    5;7;  3
u
MI  1;  1;  4 

Ta có
và 
d  I,   R
   không cắt mặt cầu  S  .
Vì
nên
Lựa chọn đáp án A.
Bài tập 2: Cho điểm

 x  1
A.

2

 x  1
C.

2

I  1;  2;3

. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

  y  2

2

 z  3

2

 10.

 x  1
B.

  y  2

2

 z  3

2

10.

 x  1
D.

2

2

  y  2
  y  2

2

2

 z  3
 z  3

2

2

10.
9.

Bài giải:
I  1;  2;3
M  0;  2; 0 
Gọi M là hình chiếu của
lên Oy, ta có :
.

IM   1;0;  3  R d  I , Oy  IM  10
là bán kính mặt cầu cần tìm.

 x  1
Phương trình mặt cầu là :

2

  y  2

2

 z  3

2

10.

Lựa chọn đáp án B.
I  1;  2;3

Bài tập 3: Cho điểm
cầu tâm I, tiếp xúc với d là:

 x  1
A.

2

2

x 1 y  2 z  3


1
 1 . Phương trình mặt
và đường thẳng d có phương trình 2
2

  y  2    z  3 50.

 x  1
B.

2

2

2

  y  2    z  3 5 2.


 x  1
C.

2

2

2

  y  2    z  3 5 2.

 x  1
D.

Bài giải:

Đường thẳng

d

đi qua

I   1; 2;  3

 x  1
Phương trình mặt cầu là :

2

2

 z  3

2

2

  y  2    z  3 50.


 u , AM 


 d  A, d  
5 2



u
u  2;1;  1

và có VTCP

  y  2

2

2

50.

Lựa chọn đáp án D.
I ( 2; 3; - 1)

 S

Bài tập 4: Mặt cầu
tâm
AB 16 có phương trình là:

cắt đường thẳng

 x  2
A.

2

  y  3   z  1 17.

 x  2
C.

2

  y  3   z  1 289.

d:

x  11 y z  25
 
2
1
 2 tại 2 điểm A, B sao cho

2

2

 x  2
B.

2

  y  3   z  1 289.

2

2

2

2

 x  2
D.

2

  y  3    z  1 280.

2

2

Bài giải:

 d  đi qua M  11; 0;  25  và có vectơ chỉ
Đường thẳng

u  2;1;  2 
phương
.
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:
 

 u , MI 
2



IH d  I , AB  
15  R  IH 2   AB  17



u
 2 
.
 S  :  x  2
Vậy

2

2

I
R
B d

A
H

2

  y  3   z  1 289.

Lựa chọn đáp án C.
Bài tập 5: Cho đường thẳng

d:

x 5 y  7 z


2
2
1 và điểm I (4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  có

 S  là:
tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB 6 . Phương trình của mặt cầu
A.

 x  4

2

 x  4

2

2

2

  y  1   z  6  18.
2

 x  4

2

B.

  y  1   z  6  18.

 x  4

2

D.

  y  1   z  6  16.

2

  y  1   z  6  9.

C.

2

2

2

2

Bài giải :

Đường thẳng d đi qua M ( 5;7;0) và có vectơ chỉ phương

u (2;  2;1) . Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :

 u , MI 
2


IH d  I , AB  
3  R  IH 2   AB  18

 2 
u


2

2

I
R
B d

A
H

2

 S  :  x  4    y  1   z  6  18.
Vậy

Lựa chọn đáp án A.

x 1 y  1 z 2


1
2
1 . Phương trình mặt cầu  S  có tâm I
Bài tập 8: Cho điểm
và đường thẳng
và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
I  1; 0; 0 

d:


A.
C.
Bài giải:

 x 1

2

 x  1

2

 y2  z 2 

20
.
3

B.

16
 y2  z2  .
4

   đi

Đường thẳng

u  1; 2;1
phương

MI  0;  1; 2 

D.
M  1;1;  2 

qua

 x  1

2

 x  1

2

 y2  z 2 

20
.
3

5
 y2  z2  .
3

và có vectơ chỉ


 u , MI   5;  2;  1

và 

Ta có
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :

 u , MI 


IH d  I , AB  
 5

u
.

R

B d

A
H

3
2 IH 2 15
 R

2
3
3

IH R.
Xét tam giác IAB, có

 x 1

I

2

 y2  z2 

20
.
3

Vậy phương trình mặt cầu là:
Lựa chọn đáp án A.
2
2
2
Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  4 x  2 y  6 z  5 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu
(S) qua

A  0;0;5 

biết:


u  1; 2; 2 
a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương
.
b) Vng góc với mặt phẳng (P) : 3x  2 y  2 z  3 0.

Bài giải:

a) Đường thẳng d qua


u  1; 2; 2 

A  0; 0;5 

và có một vectơ chỉ phương
, có phương trình d:


n  3;  2; 2 
b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là P
.
A  0; 0;5 
Đường thẳng d qua
và vng góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương


nP  3;  2; 2 

, có phương trình d:
2

2

2

 x 3t

 y  2t
 z 2t  5


 x t

 y 2t
 z 5  2t


.
1 :

x 1 y 1 z  1


;
3
2
2

Bài tập 10: Cho ( S ) : x  y  z  6 x  6 y  2 z  3 0 và hai đường thẳng
x y 1 z 2
2 :


2
2
1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 và  2 đồng thời tiếp xúc với
(S).
Bài giải:
I  3;3;  1 , R 4
Mặt cầu (S) có tâm
.

.



u1  3; 2; 2 


1
Ta có:
có một vectơ chỉ phương là
.

 2 có một vectơ chỉ phương là u2  2; 2;1 .

Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P).
 
( P ) / / 1
n  u1
   
  

n  u1 , u2    2;  1; 2 
(P) / / 2

 n  u2
Do:
chọn
Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng :  2 x  y  2 z  m 0 .

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)
 m 7
 5  m 12  
 m  17 .

 d  I ;( P )  R 

5m
3

4

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là :  2 x  y  2 z  7 0,  2 x  y  2 z  17 0 .

 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  5 0 , biết tiếp
Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu
diện:
M  1;1;1
a) qua
.
b) song song với mặt phẳng (P) : x  2 y  2 z  1 0 .
d:

x  3 y 1 z  2


2
1
2 .

b) vng góc với đường thẳng
Bài giải:
I   1; 2;3 
Mặt cầu (S) có tâm
, bán kính R 3 .
M  S 

a) Để ý rằng,
. Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là
   : 2  x  1   y  1  2  z  1 0  2 x  y  2 z  1 0.
b) Do mặt phẳng
Do

 

  / /  P

nên

 

 d I,  



IM  2;  1;  2 

có dạng : x  2 y  2 z  m 0 .
m 3
R 
3  m  3 9 
3

, có phương trình :

 m  6
 m 12


.

tiếp xúc với (S)
* Với m  6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  6 0.

* Với m 12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  12 0.

u  2;1;  2 
c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là d
.

    d nên    nhận ud  2;1;  2  làm một vectơ pháp tuyến.
Do mặt phẳng
   có dạng : 2 x  y  2 z  m 0 .
Suy ra mặt phẳng
m 6
 m  3
 d  I ,     R 
3  m  6 9  
   tiếp xúc với (S)
3
 m 15 .
Do
* Với m  3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  3 0.
* Với m 15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  15 0.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
2
2
2
2
2
2
A. x  y  z  2 x 0.
B. x  y  z  2 x  y  1 0.


2

C.
Câu 2.

Câu 3.

2 x 2  2 y 2  x  y   z 2  2 x  1.

 x  y

2

2 xy  z 2  1.

Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?
2

2

2
2
A. x  y  z  2 x 0.

B.

2 x 2  2 y 2  x  y   z 2  2 x  1.

2
2
2
C. x  y  z  2 x  2 y  1 0.

D.

 x  y

2

2 xy  z 2  1  4 x.

Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?
A.

 x  1

2

 2 x  1
C.

Câu 4.

D.

2

2

  2 y  1   z  1 6.
2

2

B.

2

  2 y  1   2 z  1 6.

Cho các phương trình sau:

 x  1

2

 x  1

2

 x  y

D.

2

2

  y  1   z  1 6.
2

2 xy  z 2  3  6 x.
2

 y 2  z 2 1; x 2   2 y  1  z 2 4;
2

2

2
x 2  y 2  z 2  1 0;  2 x  1   2 y  1  4 z 16.

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
A. 4.
B. 3.
2

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

C. 2.

D. 1.

2

 S  :  x  1   y  2   z 2 9 có tâm là:
Mặt cầu
I  1;  2;0  .
I   1; 2; 0  .
I  1; 2; 0  .
A.
B.
C.

D.

I   1;  2; 0  .

 S  : x 2  y 2  z 2  8x  2 y  1 0 có tâm là:
Mặt cầu
I  8;  2; 0  .
I   4;1;0  .
I   8; 2; 0  .
A.
B.
C.

D.

I  4;  1; 0  .

Mặt cầu

 S  : x 2  y 2  z 2  4 x 1 0

có tọa độ tâm và bán kính R là:

A.

I  2;0;0  , R  3.

B.

I  2; 0; 0  , R 3.

C.

I  0; 2;0  , R  3.

D.

I   2;0;0  , R  3.

I   1; 2;  3

Phương trình mặt cầu có tâm

 x  1

2

 x 1
C.

2

A.

2

, bán kính R 3 là:

2

  y  2    z  3 9.
2

 x 1

2

  y  2    z  3 3.

 x 1
D.

2

  y  2    z  3 9.

B.

2

  y  2    z  3 9.

2

2

2

2

2

Câu 9.

Câu 10.

 S  :  x  y  2 xy  z 2  1  4 x có tâm là:
Mặt cầu
I   2; 0;0  .
I  4; 0;0  .
I   4; 0; 0  .
A.

B.
C.
S  : x 2  y 2   z  1

Đường kính của mặt cầu
A. 4.

B. 2.

2

D.

I  2; 0; 0  .

4

bằng:
C. 8.

D. 16.

D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.2
1
A

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A


41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B A C A D A
81 82 83 84 85 86 87 88 89
A A B A C A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
2
2
2
2
2
2
A. x  y  z  2 x 0.
B. x  y  z  2 x  y  1 0.
2

2 x 2  2 y 2  x  y   z 2  2 x  1.

C.
Hướng dẫn giải:

S

Phương trình mặt cầu

 x  a
(1)

2

 x  y
D.

2

2 xy  z 2  1.

có hai dạng là:

2

2

  y  b    z  c  R 2

;
2
2
2
(2) x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 với a  b  c  d  0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình
cho trước về một trong hai dạng trên.
Lựa chọn đáp án A.
2

Câu 2.

2

2

Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?
2

2
2
2
A. x  y  z  2 x 0.
2
2
2
C. x  y  z  2 x  2 y  1 0.
Hướng dẫn giải:
 S  có hai dạng là :
Phương trình mặt cầu

 x  a
(1)

2

2

B.

2 x 2  2 y 2  x  y   z 2  2 x  1.

D.

 x  y

2

2 xy  z 2  1  4 x.

2

  y  b    z  c  R 2

;
2
2
2
(2) x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 với a  b  c  d  0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương
trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy nhiên ở đáp án A thì
2

2

2

2

2 x 2  2 y 2  x  y   z 2  2 x  1  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 x  1 0

phương trình:

dạng phương trình mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 3.

Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?

 x  1
A.

2

2

2

  2 y  1   z  1 6.
2

2

2

 2 x  1   2 y  1   2 z  1 6.
C.
Hướng dẫn giải:
 S  có hai dạng là:
Phương trình mặt cầu
 x  a
(1)

2

 x  1
B.

2

D.

2

 x  y

2

2

2 xy  z 2  3  6 x.

2

  y  b    z  c  R 2

;
2
2
2
(2) x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 với a  b  c  d  0 .
2

2

2

2

  y  1   z  1 6.

không đúng


Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương
trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Phương trình ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Ví dụ :
2

2

2

1
1
1
3
2
2
2
 2 x  1   2 y  1   2 z  1 6   x     y     z    .
2 
2 

2
2

C.

 x  y
D.

2

2 xy  z 2  3  6 x  x 2  y 2  z 2  6 x  3 0.

Lựa chọn đáp án A.


GIỚI THIỆU

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12
Giải chi tiết
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT – đáp án chi tiết **

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok

HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU

Nhấn giữ phím Ctrl

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ

8
CHUYÊN
ĐỀ
LUYỆN
THI THPT
đ

(200.000 )
(2331 câu hỏi
giải chi tiết )

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái vào đường
link gạch chân dưới để XEM bản PDF đầy đủ

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số ứng dụng của đạo hàm 400 câu giải chi tiết )

X3ssre5aUlhXNGlNdkY4c3c/view?usp=sharing

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số ứng dụng của đạo hàm 180 câu giải chi tiết )

3.Phương trình, Bất PT mũ

X3ssre5aWWs3R1dieTdodW8/view?usp=sharing

và logarit
( 349 câu giải chi tiết )
4. Nguyên hàm Tích phân

( 410 câu giải chi tiết )

/>
/>
/>
5. Số Phức
( 195 câu giải chi tiết )

/>
6. Lãi suất + bài tập
( 72 câu giải chi tiết )
7. HH không gian bộ lớp 11
( 290 câu giải chi tiết )
8. HH tọa độ không gian
( 435 câu giải chi tiết )

/>
/>
CAM KẾT!
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức tốn học Math Type Để các thầy cơ chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi,
NHCH…
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File khơng có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh tốn: nếu khơng n tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chun đề

nhỏ bất kì mà thầy cơ u cầu trong bản PDF xem trước bên dưới.
Điện thoại hỗ trợ : 0912

801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0988 360 309
Hoặc nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ
gửi 8 chuyên đề bản PDF vào mail để thầy cô tham khảo


8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU

Nhấn giữ phím Ctrl

STT

1

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PTLG

Giữ phím Ctrl và bấm chuột vào
đường link gạch chân bên dưới để xem
tài liệu
/> />
2

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

3

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

/>
4

GIỚI HẠN

/>
5

ĐẠO HÀM

/>
6

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

/>
7

QUAN HỆ SONG SONG

/>

8

QUAN HỆ VNG GĨC

/>
KHOẢNG CÁCH

/>
- Cơng thức tốn học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File khơng có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh tốn: nếu khơng n tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chun đề
nhỏ bất kì mà thầy cơ u cầu trong bản xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912

801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem trọn bộ 11 + địa chỉ gmail của
thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham khảo trước
khi mua tài liệu.
Ngồi ra chúng tơi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm

9 CHUYÊN ĐỀ HHKG NÂNG CAO
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 9 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
Nhấn giữ phím Ctrl

STT

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl Bấm vào đường
link gạch chân bên dưới để xem tài
liệu

1

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

/>iew?usp=sharing

2

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHĨP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

/>iew?usp=sharing

3

CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 />JiEpOQTzZlQVc0Z2xGTmJrVkk/vie
w?usp=sharing
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}
CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
/>Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
w?usp=sharing
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}

4

5

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

/>ew?usp=sharing

6

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}

Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

/>w?usp=sharing

7

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CÁC KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}
JiEpOQTzZlbGNqckR0YzhBOEk/vie
w?usp=sharing
Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017


(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}

Điện thoại hỗ trợ : 0912

801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem bộ HHKG NÂNG CAO + địa chỉ
gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham
khảo trước khi mua tài liệu.
Ngồi ra chúng tơi cịn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm

MUA NHIỀU KHUYẾN MÃI NHIỀU...