De cuong on thi

TÍCH MỘT SĨ VỚI MỘT VEC-TƠ
Dang 1. Phân tích Í vec- tơ theo hai vec- tơ không cùng phương
Bài 1. Cho tam giác ABC,
AM,AN

gọi M,N

là điểm thuộc đoạn BC

sao cho BM=MC,

BN=2NC,

Biểu diễn các vec-tơ

theo AB, AC.

Bài 2. Cho tam giác ABC, gọi M,N là điểm thuộc đoạn AB, AC sao cho BM=MA,

AN=3NC,

goi K, I lân lượt là

AN=3NC,

goi K, I lân lượt là

trung điểm của BC, MN. Biéu diễn các vec-tơ AK, Al theo AB, AC .
Bài 3. Cho tam giác ABC, gọi M,N là điểm thuộc đoạn AB, AC sao cho BM=2MA,

điểm thuộc BC, MN: BK=2KC, IM=3IN. Biểu diễn các vec-tơ 4K, 47 theo AM, AN.

Bài 4. Cho AABC.
SFB = 2FC.

Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Goi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho

a) Tinh AI, AF theo AB va AC.

b) Goi G la trong tam AABC. Tinh AG theo Al va AF.

Bai 5. Cho hinh binh hanh ABCD, dat AB =4, AD
BCI. Phan tich cac vecto BI, AG

=b. Gọi Ilà trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác

theo a,b.

Bài 6. Cho lục giác đêu ABCDEE. Phân tích các vectơ BC va BD theo cac vecto AB va AF.
Dạng 2. chứng minh đẳng thức vec-to
Bai

1.

Cho

4

diém

A,

B,

C,

D.

Goi

L

J

lần

lượt

là

trung

diém

của

BC

và

CD.

Chứng

minh:

2(AB+ AI+JA+ DA)=3DB.
Bài 2. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a) Chứng minh:

2IA + IB + IC = 0.

Bài 3. Cho AABC
Chung mir
minh:
a) AH

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh:

20A + OB + OC = AOL.

có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp.

= 20M

b) HA+HB+HC=2HO

c) OA+OB+OC=OH.

Bai 4. Cho hai tam giác ABC va A'B’C’ lần lượt có các trong tam la G va G’.

a) Chứng minh AA +

+CC' =3GG' .b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Bài 5Š. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:

AM

= BiB ts—AC.
3

Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho

CN =2NA. K là trung điểm của MN. Chứng minh:

a) AK =+AB++AC
4
6

b) KD=—AB+—AC.
4
3

Bài 7. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh răng:
—ờr

—

—

—ờ

a) AM= 20B~ OA

—ờ

b) BN =—0C - OB

—ờ>

1

—ờ

Bài 8. Cho AABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rang:

a) AB=—=CM -—BN

c) AC==5CM—< BN

¢) MN =—BN-—CM

Bài 9. Cho AABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
—ờ

2

—ờ

—>

a) Chứng minh: AH - 5 AC -— AB va CH =-—(AB+ AC).

—ờ

c) MN =—(OC~0B).


c—_——

1_|

-—_

b) Goi M là trung điểm của BC. Chứng minh: M⁄H = cac

\-—

—.AP .

Dạng 3. Tìm tập điểm thỏa mãn tính chất cho trước

Bài 1. Cho AABC.. Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: A- MB+ MC =0.
Bài2.

Cho đoạn thắng AB có trung điểm I. M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thắng AB. Trên MI kéo dải,
lây 1 điểm N sao cho IN = MI.

a) Chứng minh: BN - BA = MB.
Bai 3.

b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA+ NI = ND

; NM

— BN = NC.

Cho hình bình hành ABCD.

a) Chứng minh rang:
Bài 4.

AB+ AC+AD=2AC

.b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3AM = AB+ AC+AD.

Cho AABC. Hãy xác định các diém I, J, K, L thoa cac dang thức sau:

a) 2IB+3IC=0 —

b)JA-2JC=0

c) KA+4KB=0

d) 3LA-LB=0.

Bai 5. Cho AABC. Hay xac dinh cac diém I, J, K, L thoa cac dang thức sau:

a) 2IB+3IC
+ IA =0 b) 2JA+JC—JB=0

c) KA+2KB-3KC=0_ —

d)3LA-LB+LC=0.

Bài 6. Cho AABC. Hãy xác định các diém I, J, K, L thoa cac dang thức sau:

a) 2IB~ IC =0

b) 2JA+JC~
JB = CA

c) KA+ KB+ KC = 2BC

d) 3LA—LB+2LC
=0.

Bai 7. Cho AABC. Hay xac dinh cac diém I, J, K, L thoa cac dang thức sau:

a) 2IA-3IB=3BC_

b) JA+JB+2JC
=0

c) KA+ KB—KC = BC

d) LA—2LC
= AB-2AC.

Bai 8. Cho AABC. Hay xac dinh cac diém I, F, K, L thoa cac dang thức sau:

a) IA+1B—IC = BC

b) FA+ FB+ FC = AB+ AC

c) 3KA+KB+KC=0

d) 3LA—2LB+ LC =Ư.

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm L F, K thoả các đăng thức sau:

a) IA+1IB+IC =4ID

b) 2FA+2FB =3FC -—FD

c) 4KA+3KB+2KC+KD=0.

Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho các vectơ ¥ déu

bằng k.MI với mọi điểm M:
a) ¥ = MA+ MB+2MC
ees

b) # = MA-MB-2MC
OC

c) Ơ=MA+MB+MC+MD

d) Đ =2MA+2MB+MC +3MD.

Bai 11. Cho AABC. Hay xac dinh cac điểm M thoả các dang thức sau:

a) MA+MB+Mc|==|MB+MC

b) [MA +MB =|4MB-MC

FO

c) #È-MA+ MB+ MC =3|2.MA + ME~ MC
FO

oo

FO

d). IMA+2MB =|MB+2MC]

Bai 12. Cho AABC. Hay xac dinh cac diém M thoa cac te sau:

a) [MA +MB+ MC min
os

FO

b) M€AC :|MA+ MP min

c) M ed:|2MA+ MB-MC min
sO